# 1. Einführung
## Modellbildung
- **Modell**: Vereinfachte Darstellung eines Systems
- **Simulation**: Virtuelles Experiment

## Mathematische Modellierung
- Features, Größen ( Objekte z.B. Staub, Wandposter ; Parameter z.B. Temperatur, Druck)
- Wechselwirkungen (Temperatur auf Personen im Raum; Druck und Staub)

- Eindeutige Lösung: Existiert eine Lösung und ist sie eindeutig?
- Abhängigkeit von Initialwerten: Je nachdem wo man in einem Shooter startet, sind die Überlebenschancen unterschiedlich gut.
- Genauigkeit / Auflösung: Personenströme als Flüssigkeit modellieren, kann nicht eine einzelne Person darstellen.

## Modellarten
- **Diskret**: In Schritten Simuliert
- **Kontinuierlich**: In Echtzeit / stetig
Simuliert
- **Deterministisch**: Immer das gleiche Ergebnis, mit den gleichen Anfangsbedingungen
- **Stochastisch**: Zufällige Ergebnisse, auch mit den gleichen Anfangsbedingungen (z.B. Würfel)
- **Inverse**: Ausgangsbedingungen aus Ergebnissen bestimmen oder Ergebnisse aus Ausgangsbedingungen bestimmen

### Skalen
- 1D, 2D, 3D, so einfach wie möglich, so komplex wie nötig
- Abstraktionsebene: Menschen, Zellen oder Moleküle, oder gar Atome

## Diskretitierung
- Gitterbreite h (delta zwischen punkten)

# 2. Geometrische Modellierung
## Rigid Body Anforderungen
- keine losen Teile (Zusammenhängend)
- keine 1D-Teile (z.B Linie, Punkt)
- Es muss ein Innen und Außen geben (Volumen)
- keine Löcher
- keine Überlappungen
- Orientierbar (Außen und Innen unterscheidbar)
- Manigfaltig möglich (Zwei körper teilen sich eine Kante)

![alt text](image.png)

## Darstellungsformen (Speicherung)
- Vertecies (Ecken), Edges (Kanten), Faces (Flächen)
- $n_{v} - n_{e} + n_{f} = 2$ (Euler-Formel) -> Gilt für Rechtecke und Dreiecke

### vef-Graph
> Es werden nur die Koordinaten der **Eckpunkte** gespeichert, Kanten und Flächen speichern referenzen. Dadurch werden änderungen an den Eckpunkten automatisch in den Kanten und Flächen übernommen. \
> Eine **Kante** wird durch zwei Eckpunkte definiert. \
> Eine **Fläche** durch drei Kanten. \

![alt text](image-1.png)

## Volumenmodell
![alt text](image-3.png)

### Spacetree
- **Balanzierung**: Jeder Knoten entweder **0** oder **4** Kinder (Eine Fläche 2 hat Angrezende Flächen)
![alt text](image-7.png)

![alt text](image-4.png)

#### Codierung
![alt text](image-10.png)

#### Linearisierung
![alt text](image-11.png)

# 3. Spieltheorie
## Definition
- **Gewissheit**: Konsequenzen zu Aktionen  bekannt
- **Risiko**: Wahrscheinlichkeit von Konsequenz zu Aktion teilweise bekannt
- **Unsicherheit**:keine Konsequenz zu Aktion bekannt

**Modellierung**
- Numbers of Players $N=\{1,2, \ldots, n\}$
- Anzahl Aktionen (Strategien)$A_i\qquad i\in \mathbb{N}$
- Menge Aktionsprofile (Strategieprofile) $A=\{\left( a_i \right)_{i\in \mathbb{N}}, a_i\in A_i, i\in\mathbb{N} \}$
- Auszahlungsfunktion $u_i: A\rightarrow\mathbb{R}$

## Unterteilung
- **Kooperation**
    - **kooperative Spiele**: Spieler kooperieren müssen um zu gewinnen.
    - **nicht-kooperative Spiele**: Spieler konkurrieren um zu gewinnen / spielen gegeneinander. (z.B. nur einer kann gewinnen)
- **Serie**
    - **simultane Spiele**: In einem Durchlauf treffen alle für sich gleichzeitig die Wahl.
    - **sequentielle Spiele**: Regeln wer wann Entscheiden darf.Sequenzielle Abfolge.

## Darstellung
- Bimatrixform / Normalform
    - Gewinn wird angezeigt ($u_i$, $u_i$)
    ![bimatrix](image-12.png)

## Reine Strategien
### Gefangenen-Dilema
- Zwei Subjects $A_1\textrm{ und }A_2$
- Mögliche Aktionen
    - **Leugnen L**: Niedrigere Strafe (2 Jahre)
    - **Gestehen G**: Volle Strafe 5 (Kronzeuge) oder 8 Jahre
### Nash-Gleichgewicht
> Ist das Optimale Ergebnis für **alle** Spieler
- Wenn ein Spieler durch Ändern seiner Strategie, seinen Gewinn erhöhen kann, ist der aktuelle Zustand nicht im Nash-Gleichgewicht.

**Vorsicht!**:
- Jede Zelle muss einzeln betrachtet werden
- WICHTIG: Nicht mit der gleichen Strategie vergleichen
- Nash-Gleichgewicht muss für BEIDE Spieler gelten

![nash](image-14.png)

#### Dominante Strategien
> Eine Strategie die besser oder gleich gut ist wie alle anderen Strategien (>=)
**Beispiel:**
Sicht von S1:
- S2 nimmt Leugnen: Nimmt S1 Gestehen = 8, nimmt S1 Leugnen = 6. 8 >= 6
- S2 nimmt Gestehen: Nimmt S1 Gestehen = 3, nimmt S1 Leugnen = 0. 3 >= 0

- Kreuzen sich Dominante Strategien, ist dort das Nash-Gleichgewicht (aber nicht umgekehrt)
#### Stark Dominante Strategien
> Eine Strategie die echt besser ist als alle anderen Strategien (>)
#### Falke-Taube-Spiel
#### Zwei-Personen-Nullsummenspiel
- Spieler 2 will gewinn maximieren, Spieler 1 will verlust minimieren
- nicht jedes 2PNS in reinen Strategien hat ein Nash-Gleichgewicht.
- **Gewinnfunktion**: $u_2 = -u_1$

- Matrixform
    ![bimatrix_und_matrix](image-13.png)

##### Konservative Strategien
- Wenn die Konservate Strategie beider Spieler gleich ist, ist dort ein Nash-Gleichgewicht.

**MinMax-Strategie**
Was sollte ich höchstens verlieren?

> 1. Mache eine liste mit dem jeweils größten Verlust
> 2. Daraus wähle den kleinsten Verlust

$$U_{-} = \min_{i}(\max_{j}(a_{ij}) )$$

**MaxMin-Strategie**
Was sollte ich mindestens gewinnen?

> 1. Mache eine liste mit dem minimalen gewinn
> 2. Daraus wähle den größten Gewinn

$$U_{+} = \max_{j}(\min_{i}(a_{ij}) )$$

**Sattelpunkt**
> Nash-Gleichgewicht, wenn die Untergrenze und Obergrenze übereinstimmen. Dort ist auch der Sattelpunkt.
$$U_{-} = a_{i^* j^*} = U_{+}$$

![alt text](image-15.png)
## Gemischte Strategien

> Spieler entscheidet zufällig zwischen Strategien
- Jede Strategie hat eine Wahrscheinlichkeit. $p_i$
- Alle Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1: $\sum_{i} p_i = 1$
- Minimum 2 Strategien

**Beispiel Spieler 1:**
$$p_1 = 70\%$$

$$p_2 = 1-p_1 = 30\%$$

**Beispiel Spieler 2:**
$$q_1 = 60\%$$

$$q_2 = 1-q_1 = 40\%$$

>Summe aus allen Zellen, eine Zelle wird mit der Wahrscheinlichkeit von Zeile und Spalte Multipliziert.

**ACHTUNG KANN MAN NUR GRAPHISCH LÖSEN**
![alt text](image-19.png)

### Lösen von Gemischten Strategien
> **Tip**: Beim Vereinfachen nicht die Klammern ausmultiplizeren, weil man einfach kürzen kann.
1. Setze Erwartungswerte gleich von Beiden Strategien für Beide Spieler

**Berechnen von q aus Sicht von Spieler 1**
$$\mu_{S_{11}} =  \mu_{S_{12}}$$

**Berechnung von p aus Sicht von Spieler 2**
$$\mu_{S_{21}} =  \mu_{S_{22}}$$

2. Einsetzen der Erwartungswerte und U- und U+ ausrechnen
3. Wenn U- und U+ gleich sind, ist das Nash-Gleichgewicht

> **INFO**: Wenn eine Freie Variable in der Gleichung ist, die gleichung in abhängigkeit von der freien Variable umstellen, nash-gleichgewicht ist dann von z.B. s abhängig.

![alt text](image-20.png)
![alt text](image-22.png)

## Gruppenentscheidungen
- Menge an Auswahlmöglichkeiten
- Jeder Möglichkeit wird eine Zahl ( $k \isin \N$ ) zugeordnet ( Rang )
- Rangabbildung ist Surjetiv (Jede Möglichkeit hat einen Rang. Ein Rang kann aber mehrmals auftreten )

### Relationen
$$r(x) < r(y): \text{x ist besser als y}$$
$$x \ R \ y: \text{x steht in Relation zu y}$$

>reflexiv schließt asymetrisch aus und umgekehrt

- **transitiv**: $x \ R \ y \ und \ y \ R \ z \Rightarrow x \ R \ z$
  - $\text{Wenn 2 < 3 und 3 < 4, dann auch 2 < 4}$
- **reflexiv**: $x \ R \ x$
  - $\text{2 <= 2}$
- **asymetrisch**: $x \ R \ y \And y \ R \ x \Rightarrow False$
  - $\text{2 < 3, aber nicht 3 < 2}$

### Präferenzen
![](image-23.png)
![alt text](image-24.png)
>*Lesen*: Von links starten dann relation dann rechts
![](image-26.png)

### Extern/Intern Diktator
![alt text](image-27.png)

### Rangaddition
>Jede Wahlmöglichkeit wird mit der Summe der Ränge bewertet. Die Wahlmöglichkeit mit der niedrigsten Summe ist die beste.
![alt text](image-29.png)
![](image-30.png)

### Condorcet-Verfahren (BEI MINUTE 40:00 bis 1:10:00)
![alt text](image-32.png)
![](image-33.png)

### Einstimmigkeit
![alt text](image-34.png)

![alt text](image-37.png)
- I.e. Irrelevante Änderungen hinten in der Reihenfolge, dürfen nicht vorne in der Reihenfolge etwas ändern.

![](image-38.png)
![alt text](image-39.png)

# 4. Automaten
- **Forderung**: Simulation schneller als Echtzeit

## Bestandteile
- **Zellraum**: Spielfeld, i.d.R. eine Matrix in der jedes Element einer Zelle entspricht
- **Zustandsmenge**: Menge aller möglichen ( diskrete ) Zustände einer Zelle -> State Machine
- **Nachbarschaftsbeziehung**: Zustände der Nachbarzellen werden berücksichtigt
- **diskrete Zeit**: Zustandsänderung eines ZA erfolgt in diskreten Zeitschritten $\delta t$ (z.B. 1s)
- **lokale übergangsfunktion**: Berechnet den Zustand $Z_{t+\delta t}$ einer Zelle aus dem aktuellen Zustand $Z_t$ und den Zuständen der Nachbarzellen

## Nachbarzellen (im 2D und Schachbrett )
- **Moore-Nachbarschaft**: 8 Zellen um die Zelle
- **Von-Neumann-Nachbarschaft**: 4 Zellen um die Zelle

## Übergangsfunktion ( Beispiel Conways Game of Life)
```python
def transition_function(cell, neighbors):
    if cell == 0 and sum(neighbors) == 3: # Wenn Zelle tot und 3 Nachbarn lebendig
        return 1                           # Dann wird die Zelle wiederbelebt
    elif cell == 1 and sum(neighbors) in [2, 3]: # Wenn Zelle lebendig und 2 oder 3 Nachbarn lebendig
        return 1
    else:
        return 0
```

## Game of Life
Start mit 2D-Gitter.
Jede Zelle ist entweder lebendig oder tot und ändert ihren Zustand gemäß der Nachbarzellen: \
Eine lebende Zelle mit 2 oder 3 lebenden Nachbarn bleibt am Leben, sonst stirbt sie.
Eine tote Zelle mit genau 3 lebenden Nachbarn wird lebendig.
Es werden ALLE Zellen mit dem aktuellen Zustand und den Nachbarzellen betrachtet, daraus wird der nächste Zustand berechnet, damit die Zellen parallel aktualisiert werden.

**Kurzfassung**:
- Grid anlegen (2D-Liste)
- Jede Runde Nachbarn zählen
- Nach obigen Regeln neue Zustände berechnen
- Endlos aktualisieren und ausgeben.
# Mathe schriftlich rechnen
## Dividieren
![alt text](image-16.png)

## Multiplizieren
![alt text](image-18.png)