Update Summary

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@@ -178,14 +178,77 @@ Dieser sollte $$-1 \leq BAL(N)\leq 1$$
 ## 5. Reelwertige Optimierung in einer Dimension
 
 Bisektion mit Sampling. I.e. man macht Bisektion mehrere Male, mit anderen Intervallen.
+Also z.B. komplettes intervall ist $I=[1, 10]$, und dort sind vielleicht 4 lokale Minima.
+Dann macht man halt $$I_1=[1, 4], I_2=[4,7], I_3=[7, 10]$$
+Und führt auf den Intervallen Bisektion aus und nimmt das beste Ergebnis.
 
 Ganz Normal Newton Verfahren mit Schrittweitensteuerung.
 
+### Straf- (Penalty-) Funktionen
+
+**Grundidee**  
+Mit einer Straffunktion $$p(x)$$ wird ein restringiertes Problem
+
+$$
+\text{Min } f(x), \qquad A \le x \le B
+$$
+
+auf ein *unrestringiertes* Problem
+
+$$
+\text{Min } \Phi(x) \;=\; f(x) + p(x)
+$$
+
+abgebildet.  Die Strafe $$p(x)$$ ist null im gültigen Bereich und wächst quadratisch, sobald eine Schranke verletzt wird.
+
+---
+
+#### Quadratische Strafterme (2-mal diff'bar)
+
+$$
+p_1(x) \;=\; \beta (x-A)^2 \quad \text{für } x \ge A,\;\text{sonst }0,
+$$
+$$
+p_2(x) \;=\; \beta (x-B)^2 \quad \text{für } x \le B,\;\text{sonst }0,
+$$
+
+$$
+p(x) \;=\; p_1(x) + p_2(x), \qquad \beta>0.
+$$
+
+Je größer $\beta$, desto stärker die Strafe ⇒ höhere Genauigkeit am Rand, aber auch instabilere Newton-Schritte.
+
+---
+
+#### Beispiel
+
+$$
+\text{Min } e^x, \qquad 0 \le x \le 1.
+$$
+
+Strafterme  
+
+$$
+p_1(x)=\beta x^2, \qquad p_2(x)=\beta (x-1)^2,
+$$
+
+Gesamtfunktion  
+
+$$
+\Phi(x)=e^x + p_1(x) + p_2(x).
+$$
+
+*Ableitungen einsetzen → Newton-Iteration mit $\Phi$ anstelle von $f$.*
+
+> **Merke:** Die Wahl von $\beta$ ist ein Kompromiss zwischen Genauigkeit und numerischer Stabilität.
+
+
 ## 6. Bivariate Lineare Programmierung
 1. Nebenbedingungen Aufbauen (Ungleichungen)
-2. Nach $y$ auflösen und einzeichnen
+2. Nach $y$ auflösen und einzeichnen (Aufpassen)
 3. Lösung finden
 
+>Werden beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden (z.B. aus $<$ wird $>$)
 
 
 ## 7. Reelwertige Optimierung in N Dimensionen
@@ -195,7 +258,6 @@ $$f(x_1, x_2,..., x_n)$$
 $$ f'(x) \longrightarrow \nabla f(x)$$
 $$f''(x) \longrightarrow H$$
 
-TODO: hesse matrix
 ### 7.2 Downhill-Simplex
 
 Besteht aus n+1 Punkten
@@ -225,27 +287,55 @@ $$mean((f_{x_i} - mean([...f_x]))^2)$$
 ### 7.3 Newton
 Für 1 Parameter:
 $$x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x)}{f''(x)}$$
+
 Für 1< Parameter:
 $$x_{x+1} = x_n - H^{-1}_n * \nabla f_n$$
 
 Mit Schrittweitensteuerung:
 $$x_{x+1} = x_n - c_i * H^{-1}_n * \nabla f_n$$
 
-Straffunktion:
-Sei $A \leq x \leq B$ eine Restriktion für ein Optimierungsproblem. Dann
-
-kann man die Restriktion $A \leq x \leq B$ in das Optimierungsproblem mittels einer Straf- bzw. Penaltyfunktion einbauen. Eine häufig verwendete Methode ist die quadratische Strafterm-Methode:
-
+**1. Partielle Ableitungen**
+$f_{xx}$ ist $f(x, y)$, zweimal partiell nach x abgeleitet. $f_{xy}$ wäre einmal nach $x$ und ein zweites mal nach $y$ abgeleitet.
 $$
-\phi(x) = f(x) + \mu \cdot \left( \sum_i \max(0, A_i - x_i)^2 + \sum_i \max(0, x_i - B_i)^2 \right)
+f_{xx} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\qquad
+f_{xy} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x\,\partial y},\qquad
+f_{yx} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y\,\partial x},\qquad
+f_{yy} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
 $$
 
-Dabei ist:
-- $f(x)$ die ursprüngliche Zielfunktion,
-- $\mu > 0$ ein Strafparameter, der die Stärke der Strafe reguliert,
-- $A_i$, $B_i$ die untere bzw. obere Schranke für $x_i$.
+**2. Gradient**
+Vektor mit $\text{1. Partieller Ableitung nach x}$ in der $x$ Komponente, respektive part. diff. y in y . 
+$$
+\nabla f(x,y)=
+\begin{pmatrix}
+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\\[6pt]
+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}
+\end{pmatrix}.
+$$
 
-Ziel ist es, eine neue Funktion $\phi(x)$ zu minimieren, die außerhalb des zulässigen Bereichs stark anwächst, sodass die Minimierung bevorzugt innerhalb der Restriktionen erfolgt.
+
+**3. Hesse Matrix und Determinante**
+$$
+H=
+\begin{pmatrix}
+f_{xx} & f_{xy}\\
+f_{yx} & f_{yy}
+\end{pmatrix},
+\qquad
+\det H = f_{xx}\cdot f_{yy}-(f_{xy})^2.
+$$
+**4. Inverse Hesse-Matrix bestimmen**
+
+$$
+H^{-1}=\frac{1}{\det H}
+\begin{pmatrix}
+f_{yy} & -f_{xy}\\
+-f_{xy} & f_{xx}
+\end{pmatrix}.
+$$
 ### 7.4 Steepest-Descent
-Newton aber mit Hesse-Matrix = 1
-$$x_{x+1} = x_n - c_i  * \nabla f_n$$
+Newton aber mit $H^{-1} \approx 1$. Btw. das $c$ ist wichtig, weil der Gradient nur ne Richtung ist.
+$$x_{x+1} = x_n - c_i  * \nabla f_n$$
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