From ff6266b2f85ed319b482462f4661325638ba8667 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: DotNaos Date: Thu, 17 Apr 2025 13:17:21 +0200 Subject: [PATCH] Organisation --- Code/Python Formelsammlung.md | 61 + Code/combinations.py | 197 +++ Code/comination.ipynb | 235 +++ Code/test.py | 36 + Notes/Lernplan.md | 270 ++++ Notes/Stichpunkte.md | 152 ++ Notes/o1-mini.md | 392 +++++ formulas/Formeln und Vorgehen Oliver.md | 102 ++ formulas/Formeln und Vorgehen.md | 16 + formulas/Formelsammlung.md | 648 +++++++++ formulas/Merkhilfe ENTGÜLTIG.md | 149 ++ formulas/O1 Formelsammlung.md | 215 +++ formulas/Vorgehen laut O1-mini.md | 1731 +++++++++++++++++++++++ formulas/Vorgehen laut O1.md | 410 ++++++ 14 files changed, 4614 insertions(+) create mode 100644 Code/Python Formelsammlung.md create mode 100644 Code/combinations.py create mode 100644 Code/comination.ipynb create mode 100644 Code/test.py create mode 100644 Notes/Lernplan.md create mode 100644 Notes/Stichpunkte.md create mode 100644 Notes/o1-mini.md create mode 100644 formulas/Formeln und Vorgehen Oliver.md create mode 100644 formulas/Formeln und Vorgehen.md create mode 100644 formulas/Formelsammlung.md create mode 100644 formulas/Merkhilfe ENTGÜLTIG.md create mode 100644 formulas/O1 Formelsammlung.md create mode 100644 formulas/Vorgehen laut O1-mini.md create mode 100644 formulas/Vorgehen laut O1.md diff --git a/Code/Python Formelsammlung.md b/Code/Python Formelsammlung.md new file mode 100644 index 0000000..cb32b4d --- /dev/null +++ b/Code/Python Formelsammlung.md @@ -0,0 +1,61 @@ +## SymPy Merkhilfe + +|**Kategorie**|**Funktion/Method**|**Beschreibung**|**Beispiel**| +|---|---|---|---| +|**Initialisierung**|`symbols()`|Definiert symbolische Variablen|`x, y = symbols('x y')`| +||`Symbol()`|Erstellt ein einzelnes symbolisches Objekt|`a = Symbol('a')`| +|**Gleichungen**|`solve()`|Löst Gleichungen oder Gleichungssysteme|`solve(x**2 - 4, x)` → `[ -2, 2 ]`| +||`Eq()`|Erstellt eine symbolische Gleichung|`Eq(x + y, 2)`| +|**Differentialrechnung**|`diff()`|Berechnet die Ableitung|`diff(x**2, x)` → `2*x`| +||`integrate()`|Berechnet das Integral|`integrate(x, x)` → `x**2/2`| +|**Vereinfachung**|`simplify()`|Vereinfacht einen Ausdruck|`simplify((x**2 - 1)/(x - 1))` → `x + 1`| +||`expand()`|Erweitert einen Ausdruck|`expand((x + 1)**2)` → `x**2 + 2*x + 1`| +||`factor()`|Faktorisierte einen Ausdruck|`factor(x**2 - 1)` → `(x - 1)*(x + 1)`| +|**Lösungen**|`nsolve()`|Numerische Lösung für Gleichungen|`nsolve(x**2 - 2, x, 1.5)` → `1.414213562373095`| +|**Reihen und Summen**|`summation()`|Berechnet die Summe einer Reihe|`summation(n, (n, 1, 10))` → `55`| +||`limit()`|Berechnet den Grenzwert|`limit(sin(x)/x, x, 0)` → `1`| +|**Matrixalgebra**|`Matrix()`|Erstellt eine symbolische Matrix|`Matrix([[1, 2], [3, 4]])`| +||`.inv()`|Berechnet die Inverse einer Matrix|`Matrix([[1, 2], [3, 4]]).inv()`| +|**Substitution**|`.subs()`|Ersetzt Symbole durch Werte oder andere Ausdrücke|`(x + y).subs(x, 2)` → `2 + y`| +|**Plotten**|`plot()`|Erstellt einfache Plots|`plot(x**2, (x, -5, 5))`| +|**Weitere Funktionen**|`latex()`|Konvertiert einen Ausdruck in LaTeX-Format|`latex(x**2 + y**2)` → `'x^{2} + y^{2}'`| +||`pretty()`|Gibt einen "schönen" String des Ausdrucks aus|`pretty(x**2 + y)`| + +--- + +## NumPy Merkhilfe + +|**Kategorie**|**Funktion/Method**|**Beschreibung**|**Beispiel**| +|---|---|---|---| +|**Array-Erstellung**|`np.array()`|Erstellt ein Array aus einer Liste oder Tupel|`np.array([1, 2, 3])`| +||`np.zeros()`|Erstellt ein Array gefüllt mit Nullen|`np.zeros((2,3))`| +||`np.ones()`|Erstellt ein Array gefüllt mit Einsen|`np.ones(5)`| +||`np.arange()`|Erstellt ein Array mit einer Sequenz von Zahlen|`np.arange(0, 10, 2)` → `array([0, 2, 4, 6, 8])`| +||`np.linspace()`|Erstellt ein Array mit gleichmäßig verteilten Werten|`np.linspace(0, 1, 5)` → `array([0. , 0.25, 0.5, 0.75, 1. ])`| +|**Grundlegende Operationen**|`+`, `-`, `*`, `/`|Elementweise Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division|`a + b`, `a * 2`| +||`np.dot()`|Berechnet das Skalarprodukt zweier Arrays|`np.dot(a, b)`| +||`np.transpose()`|Transponiert ein Array|`a.T`| +|**Indexierung & Slicing**|`a[i]`, `a[i:j]`|Zugriff auf Elemente oder Teilbereiche des Arrays|`a[0]`, `a[1:3]`| +|**Statistische Funktionen**|`np.mean()`|Berechnet den Mittelwert|`np.mean(a)`| +||`np.median()`|Berechnet den Median|`np.median(a)`| +||`np.std()`|Berechnet die Standardabweichung|`np.std(a)`| +|**Lineare Algebra**|`np.linalg.inv()`|Berechnet die Inverse einer Matrix|`np.linalg.inv(A)`| +||`np.linalg.det()`|Berechnet die Determinante einer Matrix|`np.linalg.det(A)`| +||`np.linalg.eig()`|Berechnet Eigenwerte und Eigenvektoren|`np.linalg.eig(A)`| +|**Broadcasting**|-|Ermöglicht Operationen auf Arrays unterschiedlicher Formen|`a + np.array([1, 2, 3])`| +|**Reshaping**|`np.reshape()`|Ändert die Form eines Arrays ohne Daten zu ändern|`a.reshape((3, 2))`| +||`np.flatten()`|Konvertiert ein mehrdimensionales Array in ein eindimensionales Array|`a.flatten()`| +|**Random Module**|`np.random.rand()`|Erstellt ein Array mit zufälligen Werten aus einer gleichverteilten Verteilung|`np.random.rand(3,2)`| +||`np.random.randint()`|Erstellt ein Array mit zufälligen Ganzzahlen|`np.random.randint(0, 10, (2,3))`| +||`np.random.seed()`|Setzt den Seed für reproduzierbare Zufallszahlen|`np.random.seed(42)`| +|**Mathematische Funktionen**|`np.sin()`, `np.cos()`, `np.exp()`, `np.log()`|Wendet mathematische Funktionen elementweise auf Arrays an|`np.sin(a)`, `np.exp(a)`| +|**Aggregation**|`np.sum()`|Berechnet die Summe aller Elemente|`np.sum(a)`| +||`np.prod()`|Berechnet das Produkt aller Elemente|`np.prod(a)`| +||`np.cumsum()`|Berechnet die kumulative Summe|`np.cumsum(a)`| +|**Sortieren**|`np.sort()`|Sortiert ein Array|`np.sort(a)`| +|**Speicher & Datentypen**|`a.dtype`|Gibt den Datentyp des Arrays an|`a.dtype`| +||`a.astype()`|Ändert den Datentyp eines Arrays|`a.astype(float)`| +|**Dateioperationen**|`np.loadtxt()`|Lädt Daten aus einer Textdatei in ein Array|`np.loadtxt('data.txt')`| +||`np.savetxt()`|Speichert ein Array in eine Textdatei|`np.savetxt('output.txt', a)`| +|**Weitere nützliche Funktionen**|`np.concatenate()`|Verbindet zwei Arrays entlang einer bestehenden Achse|`np.concatenate((a, b), axis=0)`| +||`np.split()`|Teilt ein Array in mehrere Teilarrays|`np.split(a, 2)`| diff --git a/Code/combinations.py b/Code/combinations.py new file mode 100644 index 0000000..475be33 --- /dev/null +++ b/Code/combinations.py @@ -0,0 +1,197 @@ +import streamlit as st +import math +import networkx as nx +import matplotlib.pyplot as plt + +def calculate_formula(with_replacement, ordered): + if with_replacement: + if ordered: + formula = f"n^k" + else: + formula = f"Binomialkoeffizient (n + k - 1 über k)" + else: + if ordered: + formula = f"P(n, k) = n! / (n - k)!" + else: + formula = f"C(n, k) = n! / (k! (n - k)!)" + return formula + +def calculate_number_of_possibilities(with_replacement, ordered, n, k): + if with_replacement: + if ordered: + return n ** k + else: + return math.comb(n + k - 1, k) + else: + if ordered: + return math.perm(n, k) + else: + return math.comb(n, k) + +def build_tree(n, k, with_replacement, ordered): + G = nx.DiGraph() + G.add_node("Start") + # Queue enthält Tupel aus (current_node, used_elements, last_selected) + queue = [("Start", [], 0)] # (current_node, used_elements, last_selected) + + for depth in range(1, min(k + 1, 4)): # Limit auf 3 Schichten + next_queue = [] + for node, used, last_selected in queue: + for i in range(1, n + 1): + if not with_replacement: + if i in used: + # Ohne Zurücklegen und Element bereits verwendet: Eliminiert + child_label = f"{node}->{i} (elim)" + G.add_node(child_label) + G.add_edge(node, child_label) + continue + + if not ordered: + if depth == 1: + # Im ersten Schritt gibt es keine Einschränkungen + pass + else: + # Bei Kombinationen: nur Elemente >= dem letzten ausgewählten Element + if i < last_selected: + # Diese Auswahl würde eine Permutation darstellen, die wir bei Kombinationen vermeiden + child_label = f"{node}->{i} (elim)" + G.add_node(child_label) + G.add_edge(node, child_label) + continue + + # Gültige Auswahl + if with_replacement: + new_used = used.copy() + else: + new_used = used.copy() + new_used.append(i) + child_label = f"{node}->{i}" + G.add_node(child_label) + G.add_edge(node, child_label) + next_queue.append((child_label, new_used, i)) + queue = next_queue + return G + +def hierarchy_pos(G, root=None, width=1.0, vert_gap=0.2, vert_loc=0, xcenter=0.5, pos=None, parent=None, parsed=None): + """ + Hierarchical layout für einen Baum, mit der Wurzel oben. + Optimiert die horizontale Verteilung basierend auf der Anzahl der Unterknoten. + """ + if pos is None: + pos = {} + if parsed is None: + parsed = set() + + if root is None: + root = "Start" + + children = list(G.successors(root)) + if not children: + pos[root] = (xcenter, vert_loc) + else: + # Anzahl der Kinder + num_children = len(children) + # Gesamte Breite für die Kinder + dx = width / num_children + next_x = xcenter - width / 2 + for child in children: + next_x += dx + pos = hierarchy_pos(G, child, width=dx, vert_gap=vert_gap, vert_loc=vert_loc - vert_gap, xcenter=next_x, pos=pos, parent=root, parsed=parsed) + pos[root] = (xcenter, vert_loc) + return pos + +def plot_tree(G, show_eliminated, with_replacement, ordered, n, k): + pos = hierarchy_pos(G) + plt.figure(figsize=(12, 8)) + ax = plt.gca() + ax.set_axis_off() + + # Bestimme welche Knoten gezeichnet werden sollen + if show_eliminated: + nodes_to_draw = list(G.nodes()) + else: + nodes_to_draw = [node for node in G.nodes() if "(elim)" not in node] + + # Bestimme welche Kanten gezeichnet werden sollen + edges_to_draw = [] + for edge in G.edges(): + source, target = edge + if show_eliminated: + edges_to_draw.append(edge) + else: + if "(elim)" not in target: + edges_to_draw.append(edge) + + # Bestimme Farben + node_colors = [] + for node in nodes_to_draw: + if node == "Start": + color = 'black' + elif '->' in node: + if "(elim)" in node: + color = 'red' + else: + color = 'blue' + else: + color = 'black' + node_colors.append(color) + + # Zeichne Knoten + nx.draw_networkx_nodes(G, pos, nodelist=nodes_to_draw, node_color=node_colors, node_size=500, alpha=0.9) + + # Zeichne Kanten + nx.draw_networkx_edges(G, pos, edgelist=edges_to_draw, arrows=True, arrowstyle='->', arrowsize=20) + + # Zeichne Labels + labels = {} + for node in nodes_to_draw: + if node == "Start": + labels[node] = "Start" + else: + # Entferne "(elim)" für die Anzeige, wenn eliminiert ist + label = node.replace("Start->", "").replace("->", "\n→ ") + if "(elim)" in label: + label = label.replace(" (elim)", "") + labels[node] = label + nx.draw_networkx_labels(G, pos, labels=labels, font_size=10, font_weight='bold') + + st.pyplot(plt) + plt.close() + +def main(): + st.title("Interaktives Lerntool für Kombinatorische Formeln") + + st.sidebar.header("Einstellungen") + + with_replacement = st.sidebar.checkbox("Mit Zurücklegen", value=False) + ordered = st.sidebar.checkbox("Berücksichtigung der Reihenfolge", value=False) + + st.sidebar.header("Parameter") + n = st.sidebar.number_input("Anzahl der Elemente (n)", min_value=1, value=5, step=1) + k = st.sidebar.number_input("Anzahl der Auswahlen (k)", min_value=1, value=3, step=1) + + formula = calculate_formula(with_replacement, ordered) + st.subheader("Entsprechende Formel") + st.write(formula) + + num_possibilities = calculate_number_of_possibilities(with_replacement, ordered, n, k) + st.subheader("Anzahl der Möglichkeiten") + st.write(f"Anzahl der Möglichkeiten: {num_possibilities}") + + st.subheader("Baumdarstellung (erste 3 Schichten)") + G = build_tree(n, k, with_replacement, ordered) + + show_eliminated = st.checkbox("Eliminierte Möglichkeiten anzeigen", value=True) + plot_tree(G, show_eliminated, with_replacement, ordered, n, k) + + st.markdown(""" + --- + **Hinweise:** + - *Mit Zurücklegen*: Elemente können mehrfach ausgewählt werden. + - *Berücksichtigung der Reihenfolge*: Reihenfolge der Auswahl ist wichtig. + - *Baumdarstellung*: Zeigt die ersten 3 Schichten der Auswahlmöglichkeiten. + - *Eliminierte Möglichkeiten*: Elemente, die aufgrund der Einstellungen nicht zulässig sind, werden rot markiert. + """) + +if __name__ == "__main__": + main() diff --git a/Code/comination.ipynb b/Code/comination.ipynb new file mode 100644 index 0000000..a11cd2d --- /dev/null +++ b/Code/comination.ipynb @@ -0,0 +1,235 @@ +{ + "cells": [ + { + "cell_type": "code", + "execution_count": 3, + "metadata": {}, + "outputs": [ + { + "data": { + "application/vnd.jupyter.widget-view+json": { + "model_id": "e15757ea0cf743dc9af162093423cb6e", + "version_major": 2, + "version_minor": 0 + }, + "text/plain": [ + "VBox(children=(HBox(children=(Dropdown(description='Regel:', options=('Kombination', 'Permutation', 'Fakultät'…" + ] + }, + "metadata": {}, + "output_type": "display_data" + } + ], + "source": [ + "import matplotlib.pyplot as plt\n", + "import numpy as np\n", + "import ipywidgets as widgets\n", + "from IPython.display import display, Math, clear_output\n", + "\n", + "# Interaktives Lern-Tool für Kombinatorik-Regeln\n", + "# Dies ist ein Jupyter-Notebook-Style Code für interaktive Widgets.\n", + "# Bitte in einer Umgebung ausführen, die Widgets unterstützt (z.B. JupyterLab/Notebook).\n", + "\n", + "# Funktionen zur Berechnung\n", + "def combination(n, k):\n", + " from math import comb\n", + " return comb(n, k)\n", + "\n", + "def permutation(n, k):\n", + " from math import perm\n", + " return perm(n, k)\n", + "\n", + "def factorial(n):\n", + " from math import factorial\n", + " return factorial(n)\n", + "\n", + "def binomial_coefficient(n, k):\n", + " from math import comb\n", + " return comb(n, k)\n", + "\n", + "def variation(n, k):\n", + " from math import perm\n", + " return perm(n, k)\n", + "\n", + "def multiset_combination(n, k):\n", + " from math import comb\n", + " return comb(n + k - 1, k)\n", + "\n", + "# Funktion, um den Entscheidungsbaum zu zeichnen (nur für Kombinationen und Permutationen)\n", + "def draw_tree(n, k, is_perm):\n", + " plt.figure(figsize=(8, 6))\n", + " ax = plt.gca()\n", + " ax.clear()\n", + " ax.set_title(\"Entscheidungsbaum\", fontsize=14)\n", + " ax.axis('off')\n", + "\n", + " if k == 1:\n", + " x_start = 0.5\n", + " y_start = 0.9\n", + " plt.text(x_start, y_start, f\"Start\\n(n={n})\", ha='center', va='center')\n", + " for i in range(n):\n", + " x = 0.1 + i*(0.8/(n-1)) if n > 1 else 0.5\n", + " y = 0.6\n", + " plt.plot([x_start, x], [y_start-0.05, y], 'k-')\n", + " plt.text(x, y, f\"Wahl {i+1}\", ha='center', va='center')\n", + "\n", + " elif k == 2:\n", + " x_start = 0.5\n", + " y_start = 0.9\n", + " plt.text(x_start, y_start, f\"Start\\n(n={n})\", ha='center', va='center')\n", + " child_coords = []\n", + " for i in range(n):\n", + " x = 0.1 + i*(0.8/(n-1)) if n > 1 else 0.5\n", + " y = 0.7\n", + " plt.plot([x_start, x], [y_start-0.05, y], 'k-')\n", + " plt.text(x, y, f\"W1={i+1}\", ha='center', va='center')\n", + " child_coords.append((x, y))\n", + " for (ix, iy) in child_coords:\n", + " branch_count = (n-1) if is_perm else (n)\n", + " for j in range(branch_count):\n", + " x2 = ix - 0.08 + j*(0.16/(branch_count-1)) if branch_count > 1 else ix\n", + " y2 = 0.45\n", + " plt.plot([ix, x2], [iy-0.05, y2], 'k-')\n", + " plt.text(x2, y2, f\"W2={j+1}\", ha='center', va='center', fontsize=8)\n", + " elif k == 3:\n", + " x_start = 0.5\n", + " y_start = 0.95\n", + " plt.text(x_start, y_start, f\"Start\\n(n={n})\", ha='center', va='center')\n", + " layer1 = []\n", + " for i in range(n):\n", + " x = 0.1 + i*(0.8/(n-1)) if n > 1 else 0.5\n", + " y = 0.8\n", + " plt.plot([x_start, x], [y_start-0.03, y], 'k-')\n", + " plt.text(x, y, f\"W1={i+1}\", ha='center', va='center', fontsize=9)\n", + " layer1.append((x, y))\n", + " layer2 = []\n", + " for (ix, iy) in layer1:\n", + " branch_count = (n-1) if is_perm else n\n", + " for j in range(branch_count):\n", + " x2 = ix - 0.05 + j*(0.1/(branch_count-1)) if branch_count > 1 else ix\n", + " y2 = 0.6\n", + " plt.plot([ix, x2], [iy-0.03, y2], 'k-')\n", + " plt.text(x2, y2, f\"W2={j+1}\", ha='center', va='center', fontsize=7)\n", + " layer2.append((x2, y2))\n", + " for (ix2, iy2) in layer2:\n", + " branch_count = (n-2) if is_perm else n\n", + " for j in range(branch_count):\n", + " x3 = ix2 - 0.02 + j*(0.04/(branch_count-1)) if branch_count > 1 else ix2\n", + " y3 = 0.4\n", + " plt.plot([ix2, x3], [iy2-0.03, y3], 'k-')\n", + " plt.text(x3, y3, f\"W3={j+1}\", ha='center', va='center', fontsize=6)\n", + " else:\n", + " plt.text(0.5, 0.5, \"Baumdiagramm für k>3 ist zu groß.\\nBitte k <= 3 für Baum\", ha='center', va='center', fontsize=12)\n", + "\n", + " plt.tight_layout()\n", + " plt.show()\n", + "\n", + "# Widgets erstellen\n", + "dropdown_rule = widgets.Dropdown(\n", + " options=['Kombination', 'Permutation', 'Fakultät', 'Binomialkoeffizient', 'Variation', 'Mehrfachkombination'],\n", + " value='Kombination',\n", + " description='Regel:',\n", + " style={'description_width': 'initial'}\n", + ")\n", + "\n", + "input_n = widgets.IntText(value=5, description='n:', style={'description_width': 'initial'})\n", + "input_k = widgets.IntText(value=2, description='k:', style={'description_width': 'initial'})\n", + "input_k.layout.visibility = 'visible' # Standardmäßig sichtbar\n", + "\n", + "output_area = widgets.Output()\n", + "\n", + "# Button zum Berechnen\n", + "button = widgets.Button(description='Berechnen & Visualisieren')\n", + "\n", + "# Callback-Funktion\n", + "def on_button_click(b):\n", + " with output_area:\n", + " clear_output()\n", + " rule = dropdown_rule.value\n", + " n = input_n.value\n", + " k = input_k.value if rule in ['Kombination', 'Permutation', 'Binomialkoeffizient', 'Variation', 'Mehrfachkombination'] else None\n", + "\n", + " try:\n", + " if rule == 'Kombination':\n", + " if k > n:\n", + " print(\"k darf nicht größer als n sein.\")\n", + " return\n", + " res = combination(n, k)\n", + " display(Math(r\"C(n,k) = \\binom{{{}}}{{{}}} = {}\".format(n, k, res)))\n", + " draw_tree(n, k, is_perm=False)\n", + " elif rule == 'Permutation':\n", + " if k > n:\n", + " print(\"k darf nicht größer als n sein.\")\n", + " return\n", + " res = permutation(n, k)\n", + " display(Math(r\"P(n,k) = {} = {}\".format(res, res)))\n", + " draw_tree(n, k, is_perm=True)\n", + " elif rule == 'Fakultät':\n", + " res = factorial(n)\n", + " display(Math(r\"n! = {} = {}\".format(res, res)))\n", + " elif rule == 'Binomialkoeffizient':\n", + " if k > n:\n", + " print(\"k darf nicht größer als n sein.\")\n", + " return\n", + " res = binomial_coefficient(n, k)\n", + " display(Math(r\"\\binom{{{}}}{{{}}} = {}\".format(n, k, res)))\n", + " elif rule == 'Variation':\n", + " if k > n:\n", + " print(\"k darf nicht größer als n sein.\")\n", + " return\n", + " res = variation(n, k)\n", + " display(Math(r\"V(n,k) = P(n,k) = {} = {}\".format(res, res)))\n", + " elif rule == 'Mehrfachkombination':\n", + " res = multiset_combination(n, k)\n", + " display(Math(r\"\\binom{{n+k-1}}{{k}} = {} = {}\".format(res, res)))\n", + " else:\n", + " print(\"Unbekannte Regel.\")\n", + " except Exception as e:\n", + " print(f\"Fehler: {e}\")\n", + "\n", + "# Event verknüpfen\n", + "button.on_click(on_button_click)\n", + "\n", + "# Anpassung der sichtbaren Eingabefelder basierend auf der gewählten Regel\n", + "def on_rule_change(change):\n", + " rule = change['new']\n", + " if rule in ['Kombination', 'Permutation', 'Binomialkoeffizient', 'Variation', 'Mehrfachkombination']:\n", + " input_k.layout.visibility = 'visible'\n", + " else:\n", + " input_k.layout.visibility = 'hidden'\n", + "\n", + "dropdown_rule.observe(on_rule_change, names='value')\n", + "\n", + "# Anzeige\n", + "controls = widgets.VBox([\n", + " widgets.HBox([dropdown_rule]),\n", + " widgets.HBox([input_n, input_k]),\n", + " button,\n", + " output_area\n", + "])\n", + "display(controls)\n" + ] + } + ], + "metadata": { + "kernelspec": { + "display_name": "Python 3", + "language": "python", + "name": "python3" + }, + "language_info": { + "codemirror_mode": { + "name": "ipython", + "version": 3 + }, + "file_extension": ".py", + "mimetype": "text/x-python", + "name": "python", + "nbconvert_exporter": "python", + "pygments_lexer": "ipython3", + "version": "3.12.7" + } + }, + "nbformat": 4, + "nbformat_minor": 2 +} diff --git a/Code/test.py b/Code/test.py new file mode 100644 index 0000000..24139b4 --- /dev/null +++ b/Code/test.py @@ -0,0 +1,36 @@ +s = """ +CREATE TABLE kunde +( + id INTEGER PRIMARY KEY, + name CHARACTER VARYING NOT NULL, + email CHARACTER VARYING NOT NULL, + password CHARACTER VARYING NOT NULL +); + +CREATE TABLE bestellung +( + id INTEGER PRIMARY KEY, + kunde_id INTEGER NOT NULL, + datum DATE NOT NULL +); + +CREATE TABLE produkt +( + id INTEGER PRIMARY KEY, + name CHARACTER VARYING NOT NULL, + beschreibung CHARACTER VARYING NOT NULL, + anzahl INTEGER NOT NULL, + preis NUMERIC(8,2) NOT NULL +); + +CREATE TABLE bestellung_produkt +( + bestellung_id INTEGER NOT NULL, + produkt_id INTEGER NOT NULL, + anzahl INTEGER NOT NULL +); +""" + +for command in s.split(';'): + print(command) + print('-----------------------') \ No newline at end of file diff --git a/Notes/Lernplan.md b/Notes/Lernplan.md new file mode 100644 index 0000000..3e245a3 --- /dev/null +++ b/Notes/Lernplan.md @@ -0,0 +1,270 @@ +## Woche 1 +### Thema 1: **Mengenlehre und Zahlenmengen** + +- Begriffe und Eigenschaften: Menge, Teilmenge, Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Grundmenge, Komplementärmenge +- Zahlenmengen: natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale, irrationale und reelle Zahlen +- Intervalltypen und deren Schreibweisen +- Kartesisches Produkt und Darstellung in xy-Diagrammen +- Anwendung: Venn-Diagramme zeichnen, Mengenoperationen durchführen + +### Thema 2: **Zahlenoperationen und algebraische Gesetze** + +- Zahlenkörper, Brüche, Potenzen, Logarithmen: Begriffe und Rechenregeln +- Potenzen mit natürlichen, ganzzahligen, rationalen und irrationalen Exponenten +- Logarithmenregeln und Basisverschiebungssatz +- Binomische Formeln und Anwendung +- Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen + +### Thema 3: **Numerik und Computer-Algebra-Systeme (CAS)** + +- Begriffe: Numerik, CAS, Python/Numpy, Python/Sympy +- Numerische und analytische Berechnungen mit Python/Numpy und Python/Sympy +- Terme auswerten, faktorisieren, vereinfachen und Gleichungen lösen +- Dokumentation mehrstufiger numerischer Berechnungen + +--- +## Woche 2 +### Thema 1: **Funktionen und Abbildungen** + +- Begriffe und Eigenschaften: Abbildung, Funktion, Definitionsmenge, Wertebereich, Zielmenge, Bildmenge +- Abbildungsvorschrift, unabhängige/abhängige Variablen, Argument, Bild, Urbild, Umkehrabbildung +- Eigenschaften: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität +- Anwendung: Funktionen mathematisch korrekt formulieren, Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität prüfen + +### Thema 2: **Winkelmaße und Kreisberechnungen** + +- Begriffe: Kreiszahl, Gradmaß, Bogenmaß, nautische Meile +- Zusammenhang zwischen Winkel (Bogenmaß), Radius und Bogenlänge +- Anwendung: Umrechnungen zwischen Gradmaß und Bogenmaß, Berechnung von Bogenlängen + +### Thema 3: **Kombinatorik und Binomialkoeffizienten** + +- Begriffe: Fakultät, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, Permutation, Kombination +- Formeln: Permutationen von nnn Elementen, Kombinationen kkk-ter Ordnung +- Anwendung: Berechnung von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Permutationen und Kombinationen +--- + +## Woche 3 +### Thema 1: **Zahlenfolgen und Grenzwerte** + +- Begriffe: Zahlenfolge, Folgeglied, arithmetische/geometrische Folge, untere/obere Schranke, beschränkt, (streng) monoton fallend/steigend, Divergenz, Konvergenz, Grenzwert +- Zusammenhang: Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz/Divergenz +- Anwendung: Folgen abschätzen, auf Eigenschaften untersuchen, Grenzwerte bestimmen (manuell und mit Python/Sympy) + +### Thema 2: **Lineare Gleichungssysteme und Matrixverfahren** + +- Begriffe: lineares Gleichungssystem, Dimensionszahl, Äquivalenzumformung, Gauß-Schema, Gauß-Verfahren, Gauß-Jordan-Verfahren, Stufenform, reduzierte Stufenform, Pivotelement +- Anwendung: Umwandlung in Gauß-Schema, Lösen mit Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren + +### Thema 3: **Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen** + +- Begriffe: Kombination, Variation (mit und ohne Wiederholung) +- Formeln: Permutationen von nn Elementen, Kombinationen und Variationen kk-ter Ordnung +- Anwendung: Berechnung und Anwendung der Formeln auf konkrete Aufgaben +--- + +## Woche 4 + +### Thema 1: **Summen und Reihen** + +- Begriffe: Summe, Summenzeichen, geometrische Summe, Reihe, geometrische Reihe +- Anwendung: Darstellung mit Summenzeichen, geometrische Summenformel, Grenzwert einer geometrischen Reihe +- Berechnungen: Summen manuell und mit Python/Sympy berechnen + +### Thema 2: **Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter** + +- Begriffe: Stufenform, reduzierte Stufenform, Dimensionszahl, Rang, Defekt, Pivot-Variable, freier Parameter, Verträglichkeit +- Anwendung: Rang und Defekt bestimmen, Verträglichkeit prüfen, Lösungsmenge anhand der Stufenform beurteilen +- Verfahren: Lösungsmenge mit Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren bestimmen + +### Thema 3: **Kombinatorik und spezielle Werteberechnung** + +- Begriffe: Fakultät, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, Permutation, Kombination, Variation +- Anwendung: Berechnung und Interpretation von Fakultäten und Binomialkoeffizienten +- Formeln: Permutationen, Kombinationen und Variationen mit und ohne Wiederholung berechnen +--- +## Woche 5 + +### Thema 1: **Funktionen und ihre Eigenschaften** + +- Begriffe: Betrag, Vorzeichen, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, hyperbolische Funktion +- Trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens +- Umkehrfunktionen: Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens, Arcuscotangens +- Anwendung: Skizzieren der Graphen von Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen (auch mit Python/Numpy) + +### Thema 2: **Trigonometrische und Arcuswerte** + +- Ausgezeichnete Funktionswerte der trigonometrischen und Arcusfunktionen +- Anwendung: Werte bestimmen und Funktionsgraphen interpretieren + +### Thema 3: **Wahrscheinlichkeit und Ereignisse** + +- Begriffe: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Ereignis, unmögliches/sicheres Ereignis +- Laplace-Experiment und Laplace-Wahrscheinlichkeit +- Absolute/relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeitsraum +- Ereignisverknüpfungen und Anwendung der De-Morgan’schen Regeln + +--- +## Woche 6 + +### Thema 1: **Funktionen: Parität, Lineare und Exponentialfunktionen** + +- Begriffe: Parität (gerade/ungerade Funktion), lineare Funktion, verallgemeinerte Exponentialfunktion +- Bedeutung der Parameter einer verallgemeinerten Exponentialfunktion +- Anwendung: Graphenverschiebung durch Änderung des Funktionsterms, Bestimmung des Funktionsterms einer linearen Funktion aus Punkten und Steigung + +### Thema 2: **Trigonometrische Funktionen und Theoreme** + +- Begriffe: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Steigung, Additionstheorem, Multiplikationstheorem, trigonometrische Gleichung +- Anwendung: Additionstheoreme und Multiplikationstheoreme auf trigonometrische Funktionen anwenden +- Lösung trigonometrischer Gleichungen manuell und mit Python/Sympy + +### Thema 3: **Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kolmogorov-Axiome** + +- Begriffe: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsraum +- Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov und deren Anwendung +- Absolute und relative Häufigkeit sowie Verknüpfung und Analyse von Ereignissen + + +--- +## Woche 7 + +### Thema 1: **Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung** + +- Begriffe: Steigung, Steigungswinkel, Differenzquotient, Ableitung, Aufleitung +- Rechenregeln: Faktorregel, Summenregel +- Geometrische Bedeutung: Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion +- Anwendung: Berechnung der Ableitung einfacher Monome, Ableitungen und Aufleitungen von Polynomen + +### Thema 2: **Vektoren und Vektorrechnung** + +- Begriffe: Vektor, Vektorgeometrie, Linearkombination, Einheitsvektor, Richtungsvektor, Betrag eines Vektors +- Anwendung: Addition und Subtraktion von Vektoren, Linearkombinationen berechnen und grafisch darstellen +- Zerlegung eines Vektors: Zerlegung in Betrag und Richtungsvektor oder Linearkombination anderer Vektoren + +### Thema 3: **Ableitung mit Differenzquotient** + +- Definition der Ableitung über den Differenzquotienten +- Anwendung: Bestimmung der Ableitung einfacher Funktionen direkt über den Differenzquotienten + + +--- + +## Woche 8 + +### Thema 1: **Differenzialrechnung: Erweiterte Ableitungsregeln** + +- Begriffe: Produktregel, Kettenregel, Quadratregel, Reziprokenregel, Quotientenregel +- Anwendung: Ableiten von Produkten, Quotienten und verschachtelten Funktionen +- Spezialfall: Ableitung von Beträgen mithilfe passender Regeln + +### Thema 2: **Vektorrechnung und Skalarprodukt** + +- Begriffe: Skalarprodukt, Länge und Winkelberechnung +- Rechenregeln und Eigenschaften des Skalarprodukts +- Anwendung: Berechnung von Längen und Winkeln in nn-dimensionalen Räumen sowie praktische Anwendungen in Alltag, Naturwissenschaft und Technik + +### Thema 3: **Wahrscheinlichkeitsrechnung und bedingte Wahrscheinlichkeit** + +- Begriffe: Additionssatz, Multiplikationssatz, bedingte Wahrscheinlichkeit, totale Wahrscheinlichkeit, abhängige/unabhängige Ereignisse, Ereignisbaum, Satz von Bayes +- Anwendung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Satzes von Bayes und Ereignisbäumen + +--- + +## Woche 9 + +### Thema 1: **Exponential- und Logarithmusfunktionen** + +- Begriffe: Eulersche Zahl, natürliche Exponentialfunktion, natürlicher Logarithmus +- Regeln: Exponentialregel und Logarithmusregel zur Ableitung und Vereinfachung von Funktionen +- Anwendung: Kombinierte Anwendung der Ableitungsregeln auf komplexe Funktionen + +### Thema 2: **Vektor- und Spatprodukt** + +- Begriffe: Vektorprodukt, Spatprodukt +- Eigenschaften und Rechenregeln: Berechnung von Flächen (Vektorprodukt) und Volumen (Spatprodukt) in 3D +- Anwendung: Bestimmung von Flächeninhalten und Volumen in geometrischen Aufgaben + +### Thema 3: **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung** + +- Begriffe: Zufallsvariable (diskret), Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Stabdiagramm +- Anwendung: Erstellung und Interpretation von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Verteilungsfunktionen (auch grafisch) + + +--- + +## Woche 10 + +### Thema 1: **Ableitungen spezieller Funktionen** + +- Begriffe: Ableitungen der trigonometrischen, hyperbolischen, Arkus- und Areafunktionen +- Anwendung: Ableitung zusammengesetzter und verschachtelter Funktionen mithilfe dieser Regeln + +### Thema 2: **Geraden in 2D und 3D** + +- Begriffe: Gerade, Parameterdarstellung, Normalenvektor, Einheitsnormalenvektor, Hessesche Normalform +- Anwendung: Darstellung von Geraden in 2D und 3D durch Parameterform und Hessesche Normalform + +### Thema 3: **Vektorrechnung und Projektionen** + +- Begriff: Orthogonalprojektion +- Anwendung: Berechnung und Darstellung von Projektionen von Punkten und Vektoren auf Geraden oder Ebenen + +--- + +## Woche 11 +### Thema 1: **Integralrechnung** + +- Begriffe: Aufleitung, Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral, Integrand, Integrationsgrenzen +- Anwendung: Berechnung bestimmter und unbestimmter Integrale von Polynomen und Exponentialfunktionen (manuell und mit Python/Sympy) + +### Thema 2: **Geraden in 2D und 3D** + +- Begriffe: Normalform, Hessesche Normalform, Parameterdarstellung +- Anwendung: Darstellung einer Geraden in 2D (Normal- und Hessesche Normalform) und in 3D (Parameterform) +- Abstand eines Punktes von einer Geraden und Bestimmung der Lagebeziehung zweier Geraden in 3D (parallel, windschief, schneidend) + +### Thema 3: **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen** + +- Begriffe: Gleichverteilung, Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung +- Anwendung: Erkennen und Anwenden der passenden Wahrscheinlichkeitsverteilung auf konkrete Situationen + +--- + +## Woche 12 + +### Thema 1: **Extremstellen und Sattelpunkte von Funktionen** + +- Begriffe: kritische Stelle, kritischer Punkt, lokales/globales Extremum, Hoch-, Tief-, Sattelpunkt +- Kriterien zur Bestimmung und Charakterisierung kritischer Stellen +- Anwendung: Bestimmung lokaler/globale Extrema und Sattelpunkte einer Funktion + +### Thema 2: **Ebenen in 3D** + +- Begriffe: Parameterform, Normalenform, Hessesche Normalform einer Ebene +- Anwendung: Darstellung einer Ebene in verschiedenen Formen und Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene + +### Thema 3: **Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene** + +- Begriffe: Lagebeziehung (parallel, enthalten, schneidend) +- Anwendung: Bestimmung der Lage von Gerade und Ebene zueinander (Schnittpunkt bestimmen oder Nachweis der Parallelität) + +--- +## Woche 13 + +### Thema 1: **Krümmung und Wendepunkte** + +- Begriffe: analytische und geometrische Krümmung, Wendepunkt +- Eigenschaften: Verhalten einer Funktion an Wendepunkten, Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung + +### Thema 2: **Wendepunktbestimmung** + +- Anwendung: Bestimmung der Wendepunkte durch zweite und dritte Ableitung einer Funktion + +### Thema 3: **Kurvendiskussion und praktische Anwendungen** + +- Durchführung einer vollständigen Kurvendiskussion: + - Definitionsbereich, Symmetrie, Grenzwerte + - Nullstellen, Extrema, Wendepunkte + - Krümmungsverhalten, Grapheninterpretation +- Anwendung auf praktische Aufgaben in Alltag, Naturwissenschaft und Technik \ No newline at end of file diff --git a/Notes/Stichpunkte.md b/Notes/Stichpunkte.md new file mode 100644 index 0000000..76c38d8 --- /dev/null +++ b/Notes/Stichpunkte.md @@ -0,0 +1,152 @@ + + +# Analysis + +- Menge +- Teilmenge +- Vereinigungsmenge +- Schnittmenge +- Grundmenge +- Komplementärmenge +- Zahlenmengen und ihre Eigenschaften +- kartesisches Produkt +- Abbildung +- Funktion +- Definitions-, Werte-, Ziel-, Bildmenge +- Abbildungs-/Zurordnungsvorschrift +- abhängige/unabhängige Variable +- Argument +- injektiv, surjektiv, bijektiv +- Bild, Urbild +- Umkehrabbildung +- Folge, Folgeglied +- arithmetische/geometrische Folge +- untere/obere Schranke, beschränkt +- (streng) monoton fallend/steigend +- Divergenz, Konvergenz +- Grenzwert +- Summe, Summenzeichen, +- geometrische Summe, +- Reihe, geometrische Reihe +- Betrag +- Vorzeichen +- Potenzfunktion +- eigentliche Exponentialfunktion +- Logarithmusfunktion +- hyperbolische Funktion +- Parität +- lineare Funktion +- verallgemeinerte Exponentialfunktion +- Steigung +- Steigungswinkel +- Differenzquotient +- Ableitung +- Faktor- und Summenregel +- Produkt-, Ketten-, Quadrat-, Reziproken- und Quotientenregel +- Eulersche Zahl +- natürliche Exponentialfunktion +- natürlicher Logarithmus +- Exponential- und Logarithmusregel +- Ableitungen der trigonometrischen, hyperbolischen, Arkus- und Areafunktionen +- Aufleitung +- Stammfunktion +- bestimmtes/unbestimmtes Integral +- Integrand +- Integrationsgrenzen +- kritische Stelle +- kritischer Punkt +- lokales/globales Extremum +- Hoch-/Tief-/Sattelpunkt +- analytische/geometrische Krümmung +- Wendepunkt +# Lineare Algebra + + +- Numerik +- Computeralgebrasystem (CAS) +- Python/Numpy mathematische Terme numerisch auswerten +- Python/Numpy mehrstufige numerische Berechnungen durchführen +- Python/Sympy mathematische Terme analytisch manipulieren, insbesondere ausmultiplizieren, faktorisieren und vereinfachen +- Python/Sympy Gleichungen analytisch lösen +- Kreiszahl +- Gradmass, Bogenmass +- nautische Meile +- lineares Gleichungssystem +- Dimensionszahl +- Äquivalenzumformung +- Gauß-Schema +- Gauß-Verfahren +- Gauß-Jordan-Verfahren +- Stufenform, reduzierte Stufenform +- Pivot-Element +- freier Parameter +- Verträglichkeit +- Rang, Defekt, Pivot-Variablen und freie Parameter +- Sinus-, Cosinus-, Tangens-, +- Cotangens-, Arcussinus-, Arcuscosinus- +- Arcustangens- und Arcuscotangensfunktion +- Sinus-, Cosinus-, Tangens-, Cotangensfunktion +- Steigung +- Additionstheorem, Multiplikationstheorem +- trigonometrische Gleichung +- trigonometrische Gleichungen mit Python/Sympy lösen +- Vektor +- Vektorgeometrie +- Linearkombination +- Einheitsvektor +- Richtungsvektor +- Betrag eines Vektors +- Skalarprodukt +- Längen und Winkel mit Skalarprodukt +- Vektor- und Spatprodukt +- Flächen und Volumen in 3D mit Vektor- und Spatprodukt +- Orthogonalprojektion +- Gerade +- Parameterdarstellung +- Normalen- und Einheitsnormalenvektor +- Hessesche Normalform +- Geraden in 2D in Normal- und Hesse Normalform +- 3D in Parameterform +- Abstand eines Punktes von einer Geraden in 2D und 3D +- Lage zweier Geraden in 3D +- Ebene in Parameter-, Normalen- und Hesse Normalform +- Abstand eines Punktes von einer Ebene +- Lage von Geraden und Ebene + + +# Stochastik +- Binomialkoeffizent +- Pascalsches Dreieck +- Fakultät +- Kombination +- Variation +- Permutation +- Kombinationsmöglichkeiten (HIER DEN ENTSCHEIDUNGSBAUM) +- Zufallsexperiment +- Elementarereignis +- Ereignisse +- Ergebnisse +- Wahrscheinlichkeitsraum +- Laplace-Experiment +- LaplaceWahrscheinlichkeit +- absolute/relative Häufigkeit +- Wahrscheinlichkeitsaxiome +- Additionssatz +- Multiplikationssatz +- bedingte Wahrscheinlichkeit +- totale Wahrscheinlichkeit +- abhängige/unabhängige Ereignisse +- Ereignisbaum +- Satz von Bayes +- Zufallsvariable +- Verteilungsfunktion +- Wahrscheinlichkeitsverteilung +- Wahrscheinlichkeitsfunktion +- Stabdiagramm +- Erwartungswert +- Mittelwert +- Varianz +- Standardabweichung +- Gleichverteilung +- Bernoulli-Verteilung +- Binomialverteilung \ No newline at end of file diff --git a/Notes/o1-mini.md b/Notes/o1-mini.md new file mode 100644 index 0000000..a5fcd89 --- /dev/null +++ b/Notes/o1-mini.md @@ -0,0 +1,392 @@ +https://chatgpt.com/share/679a4829-ce94-8006-a76a-6b9d1e02947c + +Natürlich! Hier ist eine umfassende Formelsammlung für die von dir angegebenen Themenbereiche: Analysis, Lineare Algebra und Stochastik. Zusätzlich sind grundlegende Python-Syntax und Beispiele für numerische Berechnungen und Visualisierungen enthalten, wo es erforderlich ist. + +--- +## **Analysis** + +### **1. Mengen und Mengenoperationen** + +**Mengenbegriffe:** + +- **Menge:** A={a,b,c}A = \{a, b, c\} +- **Leere Menge:** ∅\emptyset +- **Teilmenge:** A⊆BA \subseteq B + +**Mengenoperationen:** + +- **Vereinigung:** A∪B={x∣x∈A oder x∈B}A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\} +- **Durchschnitt:** A∩B={x∣x∈A und x∈B}A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\} +- **Differenz:** A∖B={x∣x∈A und x∉B}A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \notin B\} +- **Symmetrische Differenz:** A△B=(A∖B)∪(B∖A)A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) +- **Komplement:** Ac={x∣x∉A}A^c = \{x \mid x \notin A\} + +**Mengenoperationen in Python:** + +```python +A = {1, 2, 3} +B = {3, 4, 5} +union = A | B +intersection = A & B +difference = A - B +sym_diff = A ^ B +``` + +### **2. Funktionen** + +**Definition einer Funktion:** + +- **Funktion:** f:A→Bf: A \rightarrow B, f(x)=yf(x) = y +- **Bijektiv, injektiv, surjektiv** + +**Wichtige Funktionstypen:** + +- **Lineare Funktion:** f(x)=mx+bf(x) = mx + b +- **Quadratische Funktion:** f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c +- **Exponentialfunktion:** f(x)=a⋅ebxf(x) = a \cdot e^{bx} +- **Trigonometrische Funktionen:** sin⁡(x),cos⁡(x),tan⁡(x)\sin(x), \cos(x), \tan(x) + +### **3. Folgen und Reihen** + +**Folgen:** + +- **Definition:** (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbb{N}} +- **Grenzwert einer Folge:** lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L + +**Reihen:** + +- **Definition:** ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n +- **Partialsummen:** SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n +- **Konvergenzkriterien:** + - **Divergenztest:** Wenn lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, divergiert die Reihe. + - **Geometrische Reihe:** ∑n=0∞arn=a1−r\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r} für ∣r∣<1|r| < 1 + - **Harmonische Reihe:** ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} divergiert. + +### **4. Differentialrechnung** + +**Ableitungen:** + +- **Definition:** f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} +- **Regeln:** + - **Konstantenregel:** ddxc=0\frac{d}{dx}c = 0 + - **Potenzregel:** ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} + - **Produktregel:** (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg' + - **Quotientenregel:** (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} + - **Kettenregel:** ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) + +**Höhere Ableitungen:** + +- **Zweite Ableitung:** f′′(x)f''(x) +- **Allgemeine Ableitung:** f(n)(x)f^{(n)}(x) + +### **5. Integralrechnung** + +**Integrale:** + +- **Unbestimmtes Integral:** ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) \, dx = F(x) + C, wobei F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) +- **Bestimmtes Integral:** ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) + +**Grundlegende Integrationsregeln:** + +- **Konstantenregel:** ∫c dx=cx+C\int c \, dx = cx + C +- **Potenzregel:** ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C für n≠−1n \neq -1 +- **Linearkombination:** ∫[af(x)+bg(x)] dx=a∫f(x) dx+b∫g(x) dx\int [af(x) + bg(x)] \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx + +**Polynomiale Integration:** + +- **Beispiel:** ∫(3x2+2x+1) dx=x3+x2+x+C\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^3 + x^2 + x + C + +### **6. Eigenschaften von Funktionen** + +**Extrema:** + +- **Lokales Maximum:** f′(c)=0f'(c) = 0 und f′′(c)<0f''(c) < 0 +- **Lokales Minimum:** f′(c)=0f'(c) = 0 und f′′(c)>0f''(c) > 0 +- **Globale Extrema:** Höhere Betrachtung des Definitionsbereichs. + +**Wendepunkte:** + +- **Definition:** f′′(c)=0f''(c) = 0 und Vorzeichenwechsel von f′′f'' um cc + +### **7. Python für Numerische Berechnungen und Visualisierungen** + +**Grundlegende Syntax:** + +```python +# Variablen +x = 5 +y = 3.2 + +# Funktionen +def f(x): + return x**2 + 2*x + 1 + +# Listen und Schleifen +liste = [1, 2, 3, 4, 5] +for elem in liste: + print(elem) +``` + +**Numerische Berechnungen mit NumPy:** + +```python +import numpy as np + +# Arrays +A = np.array([1, 2, 3]) +B = np.array([4, 5, 6]) + +# Operationen +C = A + B +D = A * B +``` + +**Visualisierungen mit Matplotlib:** + +```python +import matplotlib.pyplot as plt + +# Daten +x = np.linspace(-10, 10, 400) +y = x**2 + +# Plot +plt.plot(x, y) +plt.title('Parabel') +plt.xlabel('x') +plt.ylabel('f(x) = x²') +plt.grid(True) +plt.show() +``` + +--- + +## **Lineare Algebra** + +### **1. Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren** + +**Gauß-Verfahren:** + +- Ziel: Lösung eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform bringen. +- **Schritte:** + 1. Vorwärtseinsetzen zur Eliminierung unterhalb der Pivotelemente. + 2. Rückwärtseinsetzen zur Bestimmung der Lösungen. + +**Gauß-Jordan-Verfahren:** + +- Ziel: Reduktion auf die reduzierte Zeilenstufenform. +- **Schritte:** + 1. Vorwärtseinsetzen. + 2. Rückwärtseinsetzen mit Eliminierung oberhalb der Pivotelemente. + +**Rang und Defekt:** + +- **Rang (R):** Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten). +- **Defekt (D):** D=n−RD = n - R, wobei nn die Anzahl der Variablen ist. + +**Lösungsmenge:** + +- **Eindeutige Lösung:** Rang der erweiterten Matrix gleich Rang der Koeffizientenmatrix und gleich der Anzahl der Variablen. +- **Unendlich viele Lösungen:** Rang der erweiterten Matrix gleich Rang der Koeffizientenmatrix, aber kleiner als die Anzahl der Variablen. +- **Keine Lösung:** Rang der erweiterten Matrix größer als Rang der Koeffizientenmatrix. + +### **2. Vektoren und Grundoperationen** + +**Vektoren:** + +- **Definition:** a=(a1a2an)\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} +- **Addition:** a+b=(a1+b1a2+b2an+bn)\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{pmatrix} +- **Skalare Multiplikation:** ca=(ca1ca2can)c\mathbf{a} = \begin{pmatrix} ca_1 \\ ca_2 \\ \vdots \\ ca_n \end{pmatrix} + +**Geometrische Wirkung:** + +- **Verschiebung, Skalierung, Rotation** + +### **3. Skalarprodukt und Vektoroperationen** + +**Skalarprodukt (Dot Product):** + +- **Definition:** a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n +- **Länge eines Vektors:** ∥a∥=a⋅a\|\mathbf{a}\| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} +- **Winkel zwischen Vektoren:** cos⁡(θ)=a⋅b∥a∥∥b∥\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} + +**Projektion eines Vektors:** + +- **Projection von a\mathbf{a} auf b\mathbf{b}:** projba=(a⋅bb⋅b)b\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{b} + +### **4. Vektorprodukt (Kreuzprodukt) und Geometrie** + +**Vektorprodukt (nur in R3\mathbb{R}^3):** + +- **Definition:** a×b=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} +- **Eigenschaften:** + - Orthogonal zu beiden Ausgangsvektoren. + - Betrag: ∥a×b∥=∥a∥∥b∥sin⁡(θ)\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \sin(\theta) + +**Berechnung von Flächen und Volumen:** + +- **Fläche des Parallelogramms:** ∥a×b∥\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| +- **Volumen des Tetraeders:** 16∣a⋅(b×c)∣\frac{1}{6} |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| + +### **5. Geraden und Ebenen in Vektoralgebra** + +**Gerade:** + +- **Parameterform:** g(t)=a+td\mathbf{g}(t) = \mathbf{a} + t\mathbf{d}, t∈Rt \in \mathbb{R} +- **Stützvektor:** a\mathbf{a} +- **Richtungsvektor:** d\mathbf{d} + +**Ebene:** + +- **Parameterform:** E(s,t)=a+sb+tc\mathbf{E}(s, t) = \mathbf{a} + s\mathbf{b} + t\mathbf{c}, s,t∈Rs, t \in \mathbb{R} +- **Stützvektor:** a\mathbf{a} +- **Richtungsvektoren:** b,c\mathbf{b}, \mathbf{c} +- **Normalenform:** n⋅(x−a)=0\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0, wobei n\mathbf{n} der Normalenvektor ist. + +**Geometrische Fragestellungen:** + +- **Schnitt von Geraden und Ebenen** +- **Abstände zwischen Punkten und Geraden/Ebenen** +- **Winkel zwischen Geraden und Ebenen** + +### **6. Python für Numerische Berechnungen und Visualisierungen** + +**Lösen linearer Gleichungssysteme mit NumPy:** + +```python +import numpy as np + +# Koeffizientenmatrix +A = np.array([[2, 1], [1, 3]]) + +# Rechtehandvektor +b = np.array([8, 13]) + +# Lösung +x = np.linalg.solve(A, b) +print(x) # Ausgabe: [3. 3.] +``` + +**Berechnung von Rang, Determinante und Inversen:** + +```python +# Rang +rang = np.linalg.matrix_rank(A) + +# Determinante +det = np.linalg.det(A) + +# Inverse +A_inv = np.linalg.inv(A) +``` + +**Visualisierung von Vektoren und Ebenen mit Matplotlib:** + +```python +from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D + +fig = plt.figure() +ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') + +# Vektoren +origin = [0, 0, 0] +ax.quiver(*origin, *A[:,0], color='r', label='a') +ax.quiver(*origin, *A[:,1], color='b', label='b') + +# Ebene +xx, yy = np.meshgrid(range(-10, 10), range(-10, 10)) +zz = ( -2*xx - yy + 8 ) / 1 +ax.plot_surface(xx, yy, zz, alpha=0.5) + +ax.legend() +plt.show() +``` + +--- + +## **Stochastik** + +### **1. Kombinatorik** + +**Grundlegende Begriffe:** + +- **Permutation:** Anordnung von nn verschiedenen Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. P(n)=n!P(n) = n! +- **Variation:** Anordnung von kk Objekten aus nn ohne Wiederholung, bei der die Reihenfolge wichtig ist. V(n,k)=n!(n−k)!V(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} +- **Kombination:** Auswahl von kk Objekten aus nn ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. C(n,k)=(nk)=n!k!(n−k)!C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} + +**Wichtige Formeln:** + +- **Binomialkoeffizient:** (nk)\binom{n}{k} +- **Multinomialkoeffizient:** n!k1!k2!…km!\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!} + +### **2. Wahrscheinlichkeitsrechnung** + +**Grundlegende Begriffe:** + +- **Zufallsexperiment:** Ein Versuch, dessen Ausgang nicht vorhergesagt werden kann. +- **Ereignis:** Eine Teilmenge des Ergebnisraums Ω\Omega. +- **Ergebnisraum:** Gesamtheit aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. + +**Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov):** + +1. P(Ω)=1P(\Omega) = 1 +2. P(A)≥0P(A) \geq 0 für jedes Ereignis AA +3. Für disjunkte Ereignisse A1,A2,…A_1, A_2, \dots: P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) + +**Wichtige Wahrscheinlichkeitsregeln:** + +- **Additionstheorem:** P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) +- **Multiplikationstheorem (unabhängige Ereignisse):** P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) +- **Bedingte Wahrscheinlichkeit:** P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0 +- **Satz von Bayes:** P(A∣B)=P(B∣A)⋅P(A)P(B)P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)} + +### **3. Wahrscheinlichkeitsverteilungen** + +**Diskrete Verteilungen:** + +- **Binomialverteilung:** P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} +- **Poisson-Verteilung:** P(X=k)=λke−λk!P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} + +**Stetige Verteilungen:** + +- **Normalverteilung:** f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} +- **Exponentialverteilung:** f(x)=λe−λx,x≥0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 + +### **4. Erwartungswert und Varianz** + +**Erwartungswert (Erwartung):** + +- **Diskret:** E(X)=∑ixiP(X=xi)E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i) +- **Stetig:** E(X)=∫−∞∞xf(x) dxE(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx + +**Varianz:** + +- **Definition:** Var(X)=E(X2)−[E(X)]2\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 + +**Standardabweichung:** + +σX=Var(X)\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)} + +### **5. Unabhängigkeit und Bedingte Wahrscheinlichkeiten** + +**Unabhängigkeit:** + +- Zwei Ereignisse AA und BB sind unabhängig, wenn: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) + +**Bedingte Wahrscheinlichkeiten:** + +- **Definition:** P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0 + +### **6. Kombinatorische Wahrscheinlichkeiten** + +**Beispiel:** + +- **Wahrscheinlichkeit, kk Erfolge in nn Versuchen (Binomialverteilung):** P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} + +**Hypergeometrische Verteilung:** + +- **Definition:** P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}} wobei NN die Gesamtzahl, KK die Anzahl der Erfolge in der Gesamtpopulation und nn die Anzahl der gezogenen Elemente ist. + +--- + +Diese Formelsammlung deckt die grundlegenden und erweiterten Themen in Analysis, Lineare Algebra und Stochastik ab. Für spezifische Anwendungen oder tiefere Einblicke in bestimmte Bereiche empfiehlt es sich, weiterführende Literatur oder spezialisierte Ressourcen zu konsultieren. \ No newline at end of file diff --git a/formulas/Formeln und Vorgehen Oliver.md b/formulas/Formeln und Vorgehen Oliver.md new file mode 100644 index 0000000..ad48589 --- /dev/null +++ b/formulas/Formeln und Vorgehen Oliver.md @@ -0,0 +1,102 @@ +# Abitur Formelsammlung + + +![[Pasted image 20250129145851.png]] + +![[Pasted image 20250129145815.png]] + +![[Pasted image 20250129145414.png]] + +![[Pasted image 20250129145429.png]] +![[Pasted image 20250129150805.png]] +![[Pasted image 20250129145448.png]]![[Pasted image 20250129145519.png]] +![[Pasted image 20250129145542.png]] +![[Pasted image 20250129145705.png]]![[Pasted image 20250129145737.png]] +![[Pasted image 20250129145808.png]] + +![[Pasted image 20250129151224.png]] +![[Pasted image 20250129151253.png]] +![[Pasted image 20250129151400.png]] +![[Pasted image 20250129151412.png]]![[Pasted image 20250129151420.png]] +![[Pasted image 20250129151434.png]] + +![[Pasted image 20250129151453.png]] +![[Pasted image 20250129151519.png]] +![[Pasted image 20250129151533.png]] +![[Pasted image 20250129151607.png]]![[Pasted image 20250129151617.png]] +![[Pasted image 20250129151642.png]] +![[Pasted image 20250129152238.png]] +![[Pasted image 20250129152252.png]]![[Pasted image 20250129152305.png]] + +# Andere Formelsammlung +![[Pasted image 20250129153234.png]] + +![[Pasted image 20250129153153.png]] +![[Pasted image 20250129153252.png]]![[Pasted image 20250129153311.png]] +![[Pasted image 20250129153348.png]] +![[Pasted image 20250129154319.png]] +![[Pasted image 20250129154420.png]] +![[Pasted image 20250129154530.png]] + + + +# Nochmal andere Formelsammlung +https://www.plus.ac.at/wp-content/uploads/2021/02/Formelsammlung_-_Mathematik_1_und_2.pdf + +![[Pasted image 20250129160307.png]] +![[Pasted image 20250129160341.png]] +![[Pasted image 20250129160415.png]] +![[Pasted image 20250129160505.png]] + +![[Pasted image 20250129155453.png]] +![[Pasted image 20250129155525.png]] +![[Pasted image 20250129155709.png]] +![[Pasted image 20250129155755.png]] +![[Pasted image 20250129155804.png]] +![[Pasted image 20250129155844.png]] +![[Pasted image 20250129160005.png]] +![[Pasted image 20250129160017.png]] +![[Pasted image 20250129160200.png]] +![[Pasted image 20250129160211.png]] + +![[Pasted image 20250129160113.png]] + + +# Nochmal was anderes +https://mmf.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/Formelsammlung-Angewandte_Mathematik.pdf + +![[Pasted image 20250129160902.png]] + +![[Pasted image 20250129161140.png]] +![[Pasted image 20250129161224.png]] + +--- +# Chatgpt +![[Pasted image 20250129153437.png]]https://chatgpt.com/share/679a3c80-ac54-8006-a47c-8e96230a1210 + +--- + +# Vorherige Formelsammlungen +### Ableitungen +>Nicht Aufgelistet sind Ableitung die trivial sind. + +| **$f(x)$** | **$f'(x)$** | **$F(x)$** | +| ------------------- | ---------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------- | +| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | +| $c \cdot f(x)$ | $c \cdot f'(x)$ | $c \cdot \int f(x)\,dx + C$ | +| $f(x) \cdot g(x)$ | $f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ | $\int f(x)g(x)\,dx + C$ | +| $\frac{f(x)}{g(x)}$ | $\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$ | $\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx + C$ | +| $f(g(x))$ | $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ | $\int f(g(x))\,dx + C$ | +| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x \ln(x) - x + C$ | +| $\ln(a \cdot x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x \ln(a x) - x + C$ | +| $\ln(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | $x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx + C$ | +| $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \cdot \ln(a)}$ | $\frac{x \ln(x) - x}{\ln(a)} + C$ | +| $\log_b(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x) \cdot \ln(b)}$ | $\frac{x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx}{\ln(b)} + C$ | +| $a^x$ | $a^x \cdot \ln(a)$ | $\frac{a^{x}}{\ln(a)} + C$ | +| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\frac{2}{3} x^{3/2} + C$ | +| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | $-\cos(x) + C$ | +| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | $\sin(x) + C$ | +| $\tan(x)$ | $\frac{1}{\cos^2(x)}$ | $-\ln ( \| \cos(x) \|) + C$ | + + +# O1 Formelsammlung \ No newline at end of file diff --git a/formulas/Formeln und Vorgehen.md b/formulas/Formeln und Vorgehen.md new file mode 100644 index 0000000..c583414 --- /dev/null +++ b/formulas/Formeln und Vorgehen.md @@ -0,0 +1,16 @@ + +# Mengen + +![[Pasted image 20250129145851.png]] + +![[Pasted image 20250129145815.png]] + +# Grundlagen +![[Pasted image 20250129145414.png]] + +![[Pasted image 20250129145429.png]] + +![[Pasted image 20250129145448.png]]![[Pasted image 20250129145519.png]] +![[Pasted image 20250129145542.png]] +![[Pasted image 20250129145705.png]]![[Pasted image 20250129145737.png]] +![[Pasted image 20250129145808.png]] diff --git a/formulas/Formelsammlung.md b/formulas/Formelsammlung.md new file mode 100644 index 0000000..94088fd --- /dev/null +++ b/formulas/Formelsammlung.md @@ -0,0 +1,648 @@ +# Analysis +# Formelsammlung + +## Grundlagen: Mengen +- **Menge**: Sammlung unterschiedlicher Objekte. +- **Teilmenge**: $A \subseteq B$ bedeutet, jedes Element von $A$ liegt in $B$. +- **Vereinigungsmenge**: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}$. +- **Schnittmenge**: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}$. +- **Grundmenge** (Universalmenge): $\Omega$, umfasst alle relevanten Elemente. +- **Komplementärmenge**: $A^c = \Omega \setminus A$. +- **Zahlenmengen**: + - $\mathbb{N}$: natürliche Zahlen + - $\mathbb{Z}$: ganze Zahlen + - $\mathbb{Q}$: rationale Zahlen + - $\mathbb{R}$: reelle Zahlen + - $\mathbb{C}$: komplexe Zahlen + +--- + +## Kartesisches Produkt +$$ +A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\} +$$ + +--- + +## Abbildung/Funktion +- **Abbildung**: Zuordnungsvorschrift von einer **Definitionsmenge** (Domain) in eine **Zielmenge** (Codomain). +- **Funktion**: Spezielle Abbildung, z.B. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. +- **Definitionsmenge (D)**: $D_f$ +- **Zielmenge (Z)**: Codomain +- **Bildmenge (Wertebereich)**: $\mathrm{Im}(f)$ (alle tatsächlich angenommenen Werte). +- **Abbildungsvorschrift**: Vorschrift, wie $x \mapsto f(x)$. +- **abhängige/unabhängige Variable**: $y=f(x)$, $x$ ist unabhängig, $y$ abhängig. +- **Argument**: Wert, der in die Funktion eingesetzt wird ($x$). + +--- + +## Eigenschaften von Abbildungen +- **Injektiv** (eineindeutig): $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. + - Ein y hat höchstens ein x + - nicht injektiv, sind funktionen die lokale Extrema haben +- **Surjektiv** (auf): Jedes Element der Zielmenge wird getroffen. + - Jedes y hat mindestens ein x + - Globales verhalten muss von -unendlich nach + unendlich, oder umgekehrt sein. + - Also jedes Y muss belegt sein +- **Bijektiv**: Injektiv und surjektiv. +- **Bild** eines Teilbereichs $A$: $f(A)$. +- **Urbild** eines Bereichs $B$: $f^{-1}(B)$. +- **Umkehrabbildung** (Inverse): $f^{-1}$, existiert nur bei Bijektion. + +--- + +## Folgen +- **Folge** $(a_n)$: Geordnete Liste von Werten. +- **Folgeglied**: $a_n$. +- **arithmetische Folge**: $a_{n+1} = a_n + d$. +- **geometrische Folge**: $a_{n+1} = a_n \cdot q$. +- **untere/obere Schranke**: Kleinster/größter Wert, der die Folge begrenzt. +- **beschränkt**: Folge hat obere und/oder untere Schranke. +- **(streng) monoton steigend/fallend**: $a_{n+1} \ge a_n$ bzw. $a_{n+1} > a_n$ (oder umgekehrt fallend). +- **Konvergenz**: Folge nähert sich einem Grenzwert. +- **Divergenz**: Kein endlicher Grenzwert. +- **Grenzwert** $L$: $\lim_{n \to \infty} a_n = L$. + +--- + +## Summen und Reihen +- **Summe**: $\sum_{k=1}^{n} a_k$. +- **Summenzeichen**: $\sum$. +- **geometrische Summe**: $S_n = a\,\frac{1-r^n}{1-r}$ (für $r \neq 1$). +- **Reihe**: Unendliche Summe: $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$. +- **geometrische Reihe**: $\sum_{k=0}^{\infty} ar^k$. + +--- + +## Betrag und Vorzeichen +- **Betrag**: $|x|$. +- **Vorzeichenfunktion**: $\mathrm{sgn}(x)$. + +--- + +## Wichtige Funktionen +- **Potenzfunktion**: $f(x) = x^n$. +- **Exponentialfunktion** (eigentliche): $f(x) = e^x$. +- **Logarithmusfunktion**: $f(x) = \log_a(x)$. +- **hyperbolische Funktionen**: $\sinh x, \cosh x, \ldots$ +- **Parität**: $f(-x) = f(x)$ (gerade), $f(-x) = -f(x)$ (ungerade). +- **lineare Funktion**: $f(x) = m x + b$. +- **verallgemeinerte Exponentialfunktion**: $a^x = e^{x \ln a}$. + +--- + +## Steigung und Differenzquotient +- **Steigung** $m$ einer Geraden: $m = \tan(\alpha)$ (Steigungswinkel $\alpha$). +- **Differenzquotient**: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. + +--- + +## Ableitung +$$ +f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} +$$ + +### Ableitungsregeln +- **Faktorregel**: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. +- **Summenregel**: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$. +- **Produktregel**: $(f \cdot g)' = f' g + f g'$. +- **Kettenregel**: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. +- **Quadratregel**: $(x^2)' = 2x$. +- **Reziprokenregel**: $\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)' = -\tfrac{1}{x^2}$. +- **Quotientenregel**: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. + +--- + +## Exponential- und Logarithmusableitungen +- **Eulersche Zahl**: $e \approx 2{.}71828$. +- **natürliche Exponentialfunktion**: $(e^x)' = e^x$. +- **natürlicher Logarithmus**: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. +- **Allgemeines**: $(a^x)' = a^x \ln(a)$, $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln(a)}$. + +--- + +## Ableitungen trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen +- **Trigonometrisch**: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \sec^2 x$, … +- **Hyperbolisch**: $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$, $(\tanh x)' = \mathrm{sech}^2 x$, … +- **Arkusfunktionen**: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, … +- **Areafunktionen**: $(\mathrm{arsinh}\,x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, … + +--- + +## Aufleitung und Integration +- **Aufleitung / Stammfunktion**: $F'(x) = f(x)$. +- **unbestimmtes Integral**: $\int f(x)\,dx = F(x) + C$. +- **bestimmtes Integral**: $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. +- **Integrand**: $f(x)$. +- **Integrationsgrenzen**: $[a,b]$. + +--- + +## Differenzialrechnung: kritische Stellen und Extrempunkte +- **kritische Stelle**: $x_0$, bei dem $f'(x_0)=0$ oder $f'(x_0)$ undefiniert. +- **kritischer Punkt**: $(x_0, f(x_0))$. +- **lokales/globales Extremum**: Minimum oder Maximum (lokal/global). +- **Hoch-/Tief-/Sattelpunkt**: Punkt mit $f'(x_0)=0$; Klassifizierung via $f''(x_0)$. + +--- + +## Krümmung und Wendepunkt +- **analytische/geometrische Krümmung**: Vorzeichen von $f''(x)$ oder spezielle Krümmungsformeln. +- **Wendepunkt**: Stelle, an der $f''(x)$ Vorzeichen wechselt (Krümmungswechsel). + +# Stochastik +# Formelsammlung + +## Binomialkoeffizient +$$ +\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} +$$ + +--- + +## Pascalsches Dreieck +Dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten: +Zeile $n$ enthält $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$. + +--- + +## Fakultät +$$ +n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 +$$ + +--- + +## Kombination (ohne Wiederholung) +$$ +\binom{n}{k} +$$ + +--- + +## Variation +- Ohne Wiederholung: + $$ + \frac{n!}{(n-k)!} + $$ +- Mit Wiederholung: + $$ + n^k + $$ + +--- + +## Permutation +$$ +n! +$$ + +--- + +## Kombinationsmöglichkeiten – Entscheidungsbaum +1. **Wird die Reihenfolge beachtet?** + - **Ja → Variation** (evtl. Permutation, wenn alle Elemente benutzt werden) + - **Nein → Kombination** +2. **Mit oder ohne Wiederholung?** + - **Ohne → \binom{n}{k} oder \frac{n!}{(n-k)!}** + - **Mit → n^k** + +--- + +## Zufallsexperiment +Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber nicht vorhergesagt werden können. + +--- + +## Elementarereignis +Einzelnes, unzerlegbares Ereignis (genau ein Ergebnis). + +--- + +## Ereignisse +Mengen von Elementarereignissen. + +--- + +## Ergebnisse +Die möglichen Resultate eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse). + +--- + +## Wahrscheinlichkeitsraum +$$(\Omega, \mathcal{A}, P)$$ +- $\Omega$: Ergebnismenge +- $\mathcal{A}$: Ereignissystem +- $P$: Wahrscheinlichkeitsfunktion + +--- + +## Laplace-Experiment +Gleichwahrscheinliche Elementarereignisse: +$$ +P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger}}{\text{Anzahl aller}} +$$ + +--- + +## Laplace-Wahrscheinlichkeit +$$ +P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} +$$ + +--- + +## Absolute/Relative Häufigkeit +- **Absolute Häufigkeit**: Anzahl der Auftretensfälle eines Ergebnisses. +- **Relative Häufigkeit**: + $$ + \frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}} + $$ + +--- + +## Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov) +1. $P(E) \ge 0$ +2. $P(\Omega) = 1$ +3. $$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$$ + +--- + +## Additionssatz +$$ +P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) +$$ + +--- + +## Multiplikationssatz +$$ +P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) +$$ +Bei Unabhängigkeit: +$$ +P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) +$$ + +--- + +## Bedingte Wahrscheinlichkeit +$$ +P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} +$$ + +--- + +## Totale Wahrscheinlichkeit +$$ +P(B) = \sum_i \bigl[P(B \mid A_i)\cdot P(A_i)\bigr] +$$ +wenn $\{A_i\}$ vollständige Zerlegung von $\Omega$ ist. + +--- + +## Abhängige/Unabhängige Ereignisse +- **Unabhängig**: + $$ + P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) + $$ +- **Abhängig**: Obige Gleichung gilt nicht. + +--- + +## Ereignisbaum +Grafische Darstellung von Ereignissen, deren Abzweigungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriftet sind. + +--- + +## Satz von Bayes +$$ +P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)} +$$ + +--- + +## Zufallsvariable +Funktion $X: \Omega \to \mathbb{R}$, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet. + +--- + +## Verteilungsfunktion +$$ +F_X(x) = P(X \le x) +$$ + +--- + +## Wahrscheinlichkeitsverteilung +Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsvariable. + +--- + +## Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Zufallsvariable) +$$ +p_X(x) = P(X = x) +$$ + +--- + +## Stabdiagramm +Grafische Darstellung $x$ gegen $p_X(x)$ (diskrete Verteilung). + +--- + +## Erwartungswert (diskret) +$$ +E(X) = \sum_x \bigl[x \cdot p_X(x)\bigr] +$$ + +--- + +## Mittelwert (Stichprobe) +$$ +\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i +$$ + +--- + +## Varianz +$$ +\mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - [E(X)]^2 +$$ + +--- + +## Standardabweichung +$$ +\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} +$$ + +--- + +## Gleichverteilung +Alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, z.B. +$$ +p(x) = \frac{1}{n} \quad \text{für } x \in \{1,\dots,n\} +$$ + +--- + +## Bernoulli-Verteilung +$$ +P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p +$$ + +--- + +## Binomialverteilung +$$ +P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k} +$$ +# Lineare Algebra +# Formelsammlung + +## Binomialkoeffizient +$$ +\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} +$$ + +--- + +## Pascalsches Dreieck +Dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten: +Zeile $n$ enthält $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$. + +--- + +## Fakultät +$$ +n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 +$$ + +--- + +## Kombination (ohne Wiederholung) +$$ +\binom{n}{k} +$$ + +--- + +## Variation +- Ohne Wiederholung: + $$ + \frac{n!}{(n-k)!} + $$ +- Mit Wiederholung: + $$ + n^k + $$ + +--- + +## Permutation +$$ +n! +$$ + +--- + +## Kombinationsmöglichkeiten – Entscheidungsbaum +1. **Wird die Reihenfolge beachtet?** + - **Ja → Variation** (evtl. Permutation, wenn alle Elemente benutzt werden) + - **Nein → Kombination** +2. **Mit oder ohne Wiederholung?** + - **Ohne → \binom{n}{k} oder \frac{n!}{(n-k)!}** + - **Mit → n^k** + +--- + +## Zufallsexperiment +Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber nicht vorhergesagt werden können. + +--- + +## Elementarereignis +Einzelnes, unzerlegbares Ereignis (genau ein Ergebnis). + +--- + +## Ereignisse +Mengen von Elementarereignissen. + +--- + +## Ergebnisse +Die möglichen Resultate eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse). + +--- + +## Wahrscheinlichkeitsraum +$$(\Omega, \mathcal{A}, P)$$ +- $\Omega$: Ergebnismenge +- $\mathcal{A}$: Ereignissystem +- $P$: Wahrscheinlichkeitsfunktion + +--- + +## Laplace-Experiment +Gleichwahrscheinliche Elementarereignisse: +$$ +P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger}}{\text{Anzahl aller}} +$$ + +--- + +## Laplace-Wahrscheinlichkeit +$$ +P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} +$$ + +--- + +## Absolute/Relative Häufigkeit +- **Absolute Häufigkeit**: Anzahl der Auftretensfälle eines Ergebnisses. +- **Relative Häufigkeit**: + $$ + \frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}} + $$ + +--- + +## Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov) +1. $P(E) \ge 0$ +2. $P(\Omega) = 1$ +3. $$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$$ + +--- + +## Additionssatz +$$ +P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) +$$ + +--- + +## Multiplikationssatz +$$ +P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) +$$ +Bei Unabhängigkeit: +$$ +P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) +$$ + +--- + +## Bedingte Wahrscheinlichkeit +$$ +P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} +$$ + +--- + +## Totale Wahrscheinlichkeit +$$ +P(B) = \sum_i \bigl[P(B \mid A_i)\cdot P(A_i)\bigr] +$$ +wenn $\{A_i\}$ vollständige Zerlegung von $\Omega$ ist. + +--- + +## Abhängige/Unabhängige Ereignisse +- **Unabhängig**: + $$ + P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) + $$ +- **Abhängig**: Obige Gleichung gilt nicht. + +--- + +## Ereignisbaum +Grafische Darstellung von Ereignissen, deren Abzweigungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriftet sind. + +--- + +## Satz von Bayes +$$ +P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)} +$$ + +--- + +## Zufallsvariable +Funktion $X: \Omega \to \mathbb{R}$, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet. + +--- + +## Verteilungsfunktion +$$ +F_X(x) = P(X \le x) +$$ + +--- + +## Wahrscheinlichkeitsverteilung +Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsvariable. + +--- + +## Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Zufallsvariable) +$$ +p_X(x) = P(X = x) +$$ + +--- + +## Stabdiagramm +Grafische Darstellung $x$ gegen $p_X(x)$ (diskrete Verteilung). + +--- + +## Erwartungswert (diskret) +$$ +E(X) = \sum_x \bigl[x \cdot p_X(x)\bigr] +$$ + +--- + +## Mittelwert (Stichprobe) +$$ +\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i +$$ + +--- + +## Varianz +$$ +\mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - [E(X)]^2 +$$ + +--- + +## Standardabweichung +$$ +\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} +$$ + +--- + +## Gleichverteilung +Alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, z.B. +$$ +p(x) = \frac{1}{n} \quad \text{für } x \in \{1,\dots,n\} +$$ + +--- + +## Bernoulli-Verteilung +$$ +P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p +$$ + +--- + +## Binomialverteilung +$$ +P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k} +$$ diff --git a/formulas/Merkhilfe ENTGÜLTIG.md b/formulas/Merkhilfe ENTGÜLTIG.md new file mode 100644 index 0000000..dbe4d9b --- /dev/null +++ b/formulas/Merkhilfe ENTGÜLTIG.md @@ -0,0 +1,149 @@ +## Mengen + +![[Pasted image 20250129170443.png]] + +## Abbildungen +![[Pasted image 20250129172335.png]] + +### Injektiv +- Ein y hat höchstens ein x +- nicht injektiv, sind funktionen die lokale Extrema haben +### Surjektiv +Jedes Element der Zielmenge wird getroffen. +- Jedes y hat mindestens ein x +- Globales verhalten muss von -unendlich nach + unendlich, oder umgekehrt sein. + - Also jedes Y muss belegt sein +$$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{\textit{\textcolor{red}{Nullstellen des Nenners}}\} $$ $$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2,2\} $$ + +### Abhängig / Unabhängig +1. **Unabhängige Variable**: Die Variable, die du frei wählen kannst. +2. **Abhängige Variable**: Die Variable, die von der unabhängigen Variable abhängt. +Beispiel mit Mengen: +- $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \leq 5\} = \{1,2,3,4,5\}$ → **Unabhängige Variable** +- $B = \{y \mid y = x^2, x \in A\} = \{1,4,9,16,25\}$ → **Abhängige Variable** + +- Hier ist $x$ die **unabhängige Variable**, weil du sie frei aus $A$ wählen kannst. $y$ ist die **abhängige Variable**, weil ihr Wert durch $x$ bestimmt wird $(y = x^2)$. + +Kurz: +- $x$ unabhängig +- $y$ abhängig von $x$ +### Umkehrabbildung +![[Pasted image 20250129192644.png]] + +### Folgen und Reihen + +![[Pasted image 20250129173438.png]] + +>Reihe = summe aus folge ( Liste ) + +![[Pasted image 20250129173450.png]] + +### Grenzwert berechnen + + +![[Pasted image 20250129192429.png]] +### Funktionen +![[Pasted image 20250129173849.png]] + + +### Steigungswinkel +![[Pasted image 20250129174359.png]] +## Ableitung + +| **$f(x)$** | **$f'(x)$** | **$F(x)$** | +| ------------------- | ---------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------- | +| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | +| $c \cdot f(x)$ | $c \cdot f'(x)$ | $c \cdot \int f(x)\,dx + C$ | +| $f(x) \cdot g(x)$ | $f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ | $\int f(x)g(x)\,dx + C$ | +| $\frac{f(x)}{g(x)}$ | $\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$ | $\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx + C$ | +| $f(g(x))$ | $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ | $\int f(g(x))\,dx + C$ | +| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x \ln(x) - x + C$ | +| $\ln(a \cdot x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x \ln(a x) - x + C$ | +| $\ln(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | $x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx + C$ | +| $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \cdot \ln(a)}$ | $\frac{x \ln(x) - x}{\ln(a)} + C$ | +| $\log_b(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x) \cdot \ln(b)}$ | $\frac{x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx}{\ln(b)} + C$ | +| $a^x$ | $a^x \cdot \ln(a)$ | $\frac{a^{x}}{\ln(a)} + C$ | +| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\frac{2}{3} x^{3/2} + C$ | +| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | $-\cos(x) + C$ | +| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | $\sin(x) + C$ | +| $\tan(x)$ | $\frac{1}{\cos^2(x)}$ | $-\ln ( \| \cos(x) \|) + C$ | +| $\sinh(x)$ | $\cosh(x)$ | $\cosh(x) + C$ | +| $\cosh(x)$ | $\sinh(x)$ | $\sinh(x) + C$ | +| $\tanh(x)$ | $\frac{1}{\cosh^2(x)}$ | $\ln(\cosh(x)) + C$ | +![[Pasted image 20250129174542.png]] +![[Pasted image 20250129174619.png]] +![[Pasted image 20250129174749.png]] +![[Pasted image 20250129174834.png]] + +### Logarithmen +![[Pasted image 20250129174006.png]] + + +![[Pasted image 20250129175643.png]] + +![[Pasted image 20250129175759.png]] + +### Kritische Punkte +![[Pasted image 20250129174711.png]] + +### Geometrische Krümmung +![[Pasted image 20250129192856.png]] + +## Bogenmaß - Gradmaß +![[Pasted image 20250129181018.png]] + +### Nautische Meile +1 nautische Meile (NM) = 1,852 Kilometer (km) = 1/60 eines Breitengrads + +### Gauß Verfahren +![[Pasted image 20250129181454.png]] +![[Pasted image 20250129181505.png]] + +- **Freier Parameter:** Tritt auf, wenn ein LGS unendlich viele Lösungen hat. Variablen, die beliebig gewählt werden können. + +- **Verträglichkeit:** Ein LGS ist verträglich, wenn es mindestens eine Lösung gibt. Unverträglich, wenn ein Widerspruch wie 0=50 = 5 auftritt. + +### Sinus - Cosinus - Tangens +![[Pasted image 20250129181821.png]] + +### Vektoren +![[Pasted image 20250129181943.png]] + +![[Pasted image 20250129182002.png]] +![[Pasted image 20250129193101.png]] +![[Pasted image 20250129193117.png]] +![[Pasted image 20250129193138.png]] + +![[Pasted image 20250129193231.png]] + + +![[Pasted image 20250129193309.png]] + +![[Pasted image 20250129193323.png]] + +![[Pasted image 20250129193342.png]] +![[Pasted image 20250129193358.png]] +![[Pasted image 20250129193414.png]] + +![[Pasted image 20250129193431.png]] + +![[Pasted image 20250129193448.png]] +![[Pasted image 20250129193459.png]] + +# Stochastik +![[Pasted image 20250129185823.png]] +![[Pasted image 20250129190640.png]] +![[Pasted image 20250129160017.png]] + +![[Pasted image 20250129190345.png]] + +![[Pasted image 20250129190326.png]] +![[Pasted image 20250129191208.png]]![[Pasted image 20250129191217.png]] +![[Pasted image 20250129191357.png]] + +# Python + + +![[Pasted image 20250129194154.png]]![[Pasted image 20250129194202.png]] +![[Pasted image 20250129194211.png]]![[Pasted image 20250129194227.png]] +![[Pasted image 20250129194238.png]] diff --git a/formulas/O1 Formelsammlung.md b/formulas/O1 Formelsammlung.md new file mode 100644 index 0000000..8da6ad0 --- /dev/null +++ b/formulas/O1 Formelsammlung.md @@ -0,0 +1,215 @@ +**Formelsammlung** +_(Inhalt geordnet nach den vorgegebenen Themenbereichen Analysis, Lineare Algebra und Stochastik. Bei Python nur die wichtigsten Ansätze für numerische Berechnung/Visualisierung – keine vollständigen Programme.)_ + +--- +https://chatgpt.com/share/679a476a-5c4c-8006-937d-46736e78cd0d +## 1. Analysis + +### 1.1 Mengenlehre und mathematische Notation + +- **Menge**: A={x∣x besitzt eine bestimmte Eigenschaft}A = \{x \mid x \text{ besitzt eine bestimmte Eigenschaft}\} +- **Vereinigung**: A∪B={x∣x∈A oder x∈B}A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\} +- **Schnitt**: A∩B={x∣x∈A und x∈B}A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\} +- **Differenz**: A∖B={x∣x∈A und x∉B}A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \notin B\} +- **Komplement** (in Grundmenge GG): Ac=G∖AA^c = G \setminus A +- **Teilmengen**: A⊆B  ⟺  ∀x(x∈A⇒x∈B)A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B) + +### 1.2 Funktionen + +- **Allgemein**: f:D→W,x↦f(x)f: D \to W, \quad x \mapsto f(x) + - DD = Definitionsmenge, WW = Wertemenge +- **Wichtige Grundtypen**: + 1. **Lineare Funktion**: f(x)=mx+bf(x) = mx + b + 2. **Quadratische Funktion**: f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c + 3. **Polynom**: f(x)=anxn+⋯+a1x+a0f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 + 4. **Exponentialfunktion**: f(x)=axf(x) = a^x + 5. **Logarithmusfunktion**: f(x)=log⁡a(x)f(x) = \log_a(x) + 6. **Trigonometrische Funktionen**: sin⁡x,cos⁡x,tan⁡x\sin x, \cos x, \tan x etc. + +### 1.3 Folgen und Reihen + +- **Folgenglied**: (an)(a_n), mit ana_n als nn-tes Glied +- **Grenzwert einer Folge**: lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L +- **Reihe**: ∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} a_k; Grenzwert bei n→∞n \to \infty = ∑k=1∞ak\sum_{k=1}^{\infty} a_k +- **Wichtige Reihen**: + - **Geometrische Reihe**: ∑k=0∞ark=a1−r\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r} für ∣r∣<1|r|<1 + +### 1.4 Grenzwerte (Funktionen) + +- **Definition**: lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L, falls für alle ε>0\varepsilon > 0 ein δ>0\delta > 0 existiert mit ∀x:0<∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε\forall x: 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon +- **Standardgrenzwerte**: + - lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 + - lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 + - lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 +- **Stetigkeit**: ff ist stetig in x0x_0, wenn lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). + +### 1.5 Differentialrechnung + +- **Ableitung (Definition)**: f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} +- **Wichtige Ableitungsregeln**: + 1. **Konstante**: (c)′=0(c)' = 0 + 2. **Potenzregel**: (xn)′=nxn−1(x^n)' = n x^{n-1} + 3. **Summenregel**: (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g' + 4. **Produktregel**: (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg' + 5. **Quotientenregel**: (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} + 6. **Kettenregel**: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) +- **Ableitungen wichtiger Funktionen**: + - (sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x + - (tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)' = \sec^2 x + - (ex)′=ex(e^x)' = e^x + - (ax)′=axln⁡(a)(a^x)' = a^x \ln(a) + - (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x} + +### 1.6 Integralrechnung (Polynome) + +- **Unbestimmtes Integral**: ∫f(x) dx=F(x)+C \int f(x)\,dx = F(x) + C (wobei F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)) +- **Bestimmtes Integral**: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a) \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) +- **Grundintegrale**: + - ∫xn dx=xn+1n+1+C,n≠−1\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 + - ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C + - ∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C + - ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x \, dx = -\cos x + C + - ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C + +### 1.7 Eigenschaften von Funktionen (Extrema, Wendepunkte) + +- **Lokale Extrema**: + 1. Notwendige Bedingung: f′(x0)=0f'(x_0) = 0 + 2. Hinreichende Bedingung: + - f′′(x0)<0  ⟹  f''(x_0) < 0 \implies lok. Maximum + - f′′(x0)>0  ⟹  f''(x_0) > 0 \implies lok. Minimum +- **Wendepunkt**: f′′(xW)=0f''(x_W) = 0 und f′′′(xW)≠0f'''(x_W) \neq 0 (i.d.R. Prüfbedingung) + +### 1.8 Python – Grundlagen numerische Berechnung/Visualisierung + +- **Variablen & Datentypen**: `x = 5`, `y = 3.14`, `text = "Hallo"` +- **Funktionen**: + + ```python + def f(x): + return x**2 + 3*x - 1 + ``` + +- **Numerische Berechnungen (Beispiel)**: + + ```python + import numpy as np + + x_values = np.linspace(-10, 10, 100) + y_values = f(x_values) # mit obiger Definition + ``` + +- **Plot**: + + ```python + import matplotlib.pyplot as plt + + plt.plot(x_values, y_values) + plt.show() + ``` + + +--- + +## 2. Lineare Algebra + +### 2.1 Lineare Gleichungssysteme: Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren + +- **Matrixform**: Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b} +- **Gauß-Verfahren**: Schrittweises Eliminieren von Unbekannten durch Zeilenoperationen, bis eine Dreiecksform entsteht. +- **Gauß-Jordan**: Weitermachen bis zur Diagonalform (oder reduzierten Zeilenstufenform). +- **Rang**: Anzahl linear unabhängiger Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix. +- **Defekt**: Def(A)=Anzahl Unbekannte−Rang(A)\text{Def}(A) = \text{Anzahl Unbekannte} - \text{Rang}(A). +- **Lösungsmenge** abhängig von Rang(A)\text{Rang}(A) vs. Rang([A∣b⃗])\text{Rang}([A|\vec{b}]): + - Eindeutige Lösung: Rang(A)=Rang([A∣b⃗])=Anzahl Unbekannte\text{Rang}(A) = \text{Rang}([A|\vec{b}]) = \text{Anzahl Unbekannte}. + - Unendlich viele Lösungen: Rang(A)=Rang([A∣b⃗])0 P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B)>0 +- **Satz von Bayes**: P(A∣B)=P(B∣A) P(A)P(B) P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)} + +--- + +**Fertig.** Damit hast du eine umfassende Formelsammlung zu Analysis (inkl. Mengen, Folgen/Reihen, Differenzial- und Integralrechnung, Kurzdarstellung Python), Lineare Algebra (Gauß-Verfahren, Vektoralgebra) und Stochastik (Kombinatorik, Wahrscheinlichkeiten, Wahrscheinlichkeitsregeln). \ No newline at end of file diff --git a/formulas/Vorgehen laut O1-mini.md b/formulas/Vorgehen laut O1-mini.md new file mode 100644 index 0000000..4967d73 --- /dev/null +++ b/formulas/Vorgehen laut O1-mini.md @@ -0,0 +1,1731 @@ + +# 📚 **Lernplan für Mathematik** + +## **Woche 1: Grundlagen der Folgen und Grenzwerte** + +### **Thema 1: Folgen und Grenzwerte** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Folge:** Eine geordnete Liste von Zahlen, meist dargestellt als $ (a_n) $. + - Beispiel: $2, 5, 8, 11, \dots$ +- **Grenzwert einer Folge:** Der Wert, dem die Folgenglieder immer näher kommen. + - Beispiel: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ +- **Konvergent vs. Divergent:** + - **Konvergent:** Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt. + - **Divergent:** Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Arithmetische Folge:** + - $a_1 = 2$, $d = 3$: $2, 5, 8, 11, \dots$ + - Grenzwert: Divergent, da $a_n \to \infty$. +- **Geometrische Folge:** + - $a_1 = 1$, $q = \frac{1}{2}$: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ + - Grenzwert: $0$. + - $a_1 = 3$, $q = 2$: $3, 6, 12, 24, \dots$ + - Grenzwert: Divergent ($a_n \to \infty$). +- **Beschränkte Folge:** + - $a_n = (-1)^n$: $-1, 1, -1, 1, \dots$ + - Grenzwerte: Keine, da sie zwischen -1 und 1 oszilliert. + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Arithmetische und geometrische Folgen:** + - Bestimme die ersten 5 Glieder der arithmetischen Folge mit $a_1 = 4$ und $d = 3$. + - Bestimme den Grenzwert der geometrischen Folge $ a_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n $. +2. **Monotonie und Beschränktheit:** + - Untersuche die Folge $a_n = \frac{n}{n+1}$ auf Monotonie und Beschränktheit. + - Bestimme, ob die Folge $a_n = \sqrt{n}$ konvergent ist. +3. **Grenzwerte von Folgen:** + - Berechne den Grenzwert der Folge $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$. + - Bestimme den Grenzwert der Folge $a_n = \frac{5n + 3}{2n - 1}$. + - Bestimme den Grenzwert der Folge $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst arithmetische und geometrische Folgen definieren und deren Glieder berechnen. +- Du verstehst den Unterschied zwischen beschränkten und unbeschränkten Folgen sowie zwischen konvergenten und divergenten Folgen. +- Du kannst Grenzwerte von Folgen sowohl manuell als auch mit Python/SymPy bestimmen. + +--- + +## **Woche 2: Lineare Gleichungssysteme und Matrixverfahren** + +### **Thema 1: Lineares Gleichungssystem (LGS)** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Lineares Gleichungssystem (LGS):** Eine Sammlung von linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. +- **Dimensionszahl:** Anzahl der Unbekannten in einem LGS. +- **Äquivalenzumformung:** Transformation eines LGS in ein anderes, äquivalentes System durch Rechenoperationen. +- **Gauß-Schema:** Darstellung eines LGS in erweiterter Matrixform. +- **Gauß-Verfahren:** Verfahren zur Lösung eines LGS durch schrittweises Eliminieren von Variablen. +- **Gauß-Jordan-Verfahren:** Weiterführung des Gauß-Verfahrens zur Reduzierung der Matrix auf die reduzierte Stufenform. +- **Stufenform:** Eine Matrix, in der jede nachfolgende Zeile mit einer führenden Eins beginnt, die weiter rechts liegt als die führende Eins der vorherigen Zeile. +- **Reduzierte Stufenform:** Zusätzlich zur Stufenform hat jede führende Eins nur Nullen in allen anderen Positionen der Spalte. +- **Pivotelement:** Das erste nicht-null Element in einer Zeile während des Gauß-Verfahrens. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Lösen eines LGS mit Gauß-Verfahren:** + $$ + \begin{cases} + 2x + 3y = 8 \\ + 5x - y = 2 + \end{cases} + $$ + **Schritte:** + 1. **Erweiterte Matrix:** + $$ + \begin{pmatrix} + 2 & 3 & | & 8 \\ + 5 & -1 & | & 2 + \end{pmatrix} + $$ + 2. **Eliminierung:** + - Multipliziere die erste Zeile mit $ \frac{5}{2} $ und subtrahiere die zweite Zeile, um $ x $ zu eliminieren. + 3. **Rücksubstitution:** Finde $ y $ und dann $ x $. + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Lösen eines einfachen LGS:** + - Löse das folgende Gleichungssystem mittels Gauß-Verfahren: + $$ + \begin{cases} + x + y = 4 \\ + 2x + 3y = 9 + \end{cases} + $$ +2. **Gauß-Jordan-Verfahren:** + - Wandle die erweiterte Matrix des folgenden LGS in die reduzierte Stufenform um: + $$ + \begin{cases} + 3x + 2y - z = 1 \\ + 2x - 2y + 4z = -2 \\ + -x + \frac{1}{2}y - z = 0 + \end{cases} + $$ +3. **Parameterlösung:** + - Finde die allgemeine Lösung des folgenden LGS: + $$ + \begin{cases} + x + 2y - z = 3 \\ + 2x + 4y - 2z = 6 \\ + 3x + 6y - 3z = 9 + \end{cases} + $$ +4. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um das folgende Gleichungssystem zu lösen: + $$ + \begin{cases} + x + y + z = 6 \\ + 2x + 2y + 5z = -4 \\ + 2x + 5y - z = 27 + \end{cases} + $$ + ```python + import sympy as sp + x, y, z = sp.symbols('x y z') + eq1 = sp.Eq(x + y + z, 6) + eq2 = sp.Eq(2*x + 2*y + 5*z, -4) + eq3 = sp.Eq(2*x + 5*y - z, 27) + solution = sp.solve((eq1, eq2, eq3), (x, y, z)) + print(solution) + ``` +5. **Stufenform und Rang:** + - Bestimme die Stufenform und den Rang des folgenden Systems: + $$ + \begin{cases} + x + 2y - z = 3 \\ + 2x + 4y - 2z = 6 \\ + 3x + 6y - 3z = 9 + \end{cases} + $$ + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren lösen. +- Du verstehst die Konzepte der Stufenform, reduzierten Stufenform und des Pivotelements. +- Du kannst den Rang und Defekt eines Systems bestimmen und die Lösungsmenge analysieren. + +--- + +### **Thema 2: Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Kombination:** Auswahl von $ k $ Elementen aus $ n $ ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. + $$ + C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} + $$ +- **Variation ohne Wiederholung:** Anordnung von $ k $ Elementen aus $ n $ ohne Wiederholung. + $$ + V(n, k) = P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} + $$ +- **Variation mit Wiederholung:** Anordnung von $ k $ Elementen aus $ n $ mit Wiederholung. + $$ + V_w(n, k) = n^k + $$ +- **Permutation:** Vollständige Anordnung aller $ n $ Elemente. + $$ + P(n) = n! + $$ +- **Kombination mit Wiederholung:** Auswahl von $ k $ Elementen aus $ n $ mit Wiederholung. + $$ + C_w(n, k) = \binom{n + k - 1}{k} + $$ +- **Anwendungen der kombinatorischen Formeln auf konkrete Aufgaben.** + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Kombination:** + - Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Bücher aus 5 auszuwählen? + $$ + C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = 10 + $$ +- **Variation ohne Wiederholung:** + - Wie viele verschiedene Anordnungen von 2 Schülern aus einer Gruppe von 4 gibt es? + $$ + V(4, 2) = \frac{4!}{2!} = 12 + $$ +- **Variation mit Wiederholung:** + - Wie viele 3-stellige Zahlen können mit den Ziffern 1, 2 und 3 gebildet werden (Wiederholung erlaubt)? + $$ + V_w(3, 3) = 3^3 = 27 + $$ +- **Permutation:** + - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben A, B und C in eine bestimmte Reihenfolge zu bringen? + $$ + P(3) = 3! = 6 + $$ +- **Kombination mit Wiederholung:** + - Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Kugeln aus 3 verschiedenen Farben (mit Wiederholung) zu wählen? + $$ + C_w(3, 2) = \binom{3 + 2 - 1}{2} = \binom{4}{2} = 6 + $$ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Kombination:** + - Bestimme die Anzahl der Kombinationen von 4 Elementen aus einer Menge von 10 Elementen. + - Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Karten aus einem Standardkartenspiel von 52 Karten zu ziehen? +2. **Variation ohne Wiederholung:** + - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Medaillen in einem Wettbewerb mit 3 Teilnehmern zu vergeben? + - Bestimme die Anzahl der Anordnungen von 3 aus 7 verschiedenen Stiften. +3. **Variation mit Wiederholung:** + - Wie viele mögliche Passwörter aus 4 Ziffern (0-9) gibt es, wenn Wiederholungen erlaubt sind? + - Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Eissorten aus 5 verfügbaren zu wählen, wenn eine Sorte mehrfach gewählt werden kann. +4. **Permutation:** + - Wie viele verschiedene Wege gibt es, die Buchstaben des Wortes "MATHEMATIK" anzuordnen (unter Berücksichtigung von Wiederholungen)? +5. **Kombination mit Wiederholung:** + - Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 identische Kugeln in 2 verschiedene Schachteln zu legen? +6. **Pascalsches Dreieck:** + - Verwende das Pascalsche Dreieck, um $ \binom{7}{4} $ zu bestimmen. + - Finde eine Beziehung zwischen dem Pascalschen Dreieck und Binomialkoeffizienten. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst Permutationen, Kombinationen und Variationen klar definieren und voneinander unterscheiden. +- Du kannst die entsprechenden Formeln korrekt anwenden, um kombinatorische Probleme zu lösen. +- Du verstehst die Anwendung der kombinativen Konzepte in praktischen und theoretischen Aufgaben. + +--- + +## **Woche 3: Summen, Reihen und erweiterte Gleichungssysteme** + +### **Thema 1: Summen und Reihen** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Summe ($ \Sigma $):** Addition einer Reihe von Zahlen oder Ausdrücken. + $$ + \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n + $$ +- **Geometrische Summe:** Summe einer geometrischen Folge. + $$ + S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{für } q \neq 1 + $$ + - **Unendliche geometrische Reihe:** Konvergent, wenn $ |q| < 1 $. + $$ + S = \frac{a_1}{1 - q} + $$ +- **Reihe:** Eine unendliche Summe von Gliedern einer Folge. +- **Grenzwert einer Reihe:** Der Wert, dem die Summe der ersten $ n $ Glieder gegen unendlich strebt, wenn die Reihe konvergent ist. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Geometrische Summe:** + - Berechne $ S_4 = 1 + 2 + 4 + 8 $. + $$ + S_4 = 1 \cdot \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 1 \cdot \frac{1 - 16}{-1} = 15 + $$ +- **Unendliche geometrische Reihe:** + - Berechne $ S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots $. + $$ + S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 + $$ +- **Summe einer arithmetischen Reihe:** + - $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ + - Beispiel: $ 3 + 5 + 7 + 9 $ + $$ + n = 4, \, a_1 = 3, \, a_4 = 9 \Rightarrow S_4 = \frac{4}{2}(3 + 9) = 2 \cdot 12 = 24 + $$ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Summe mit Summenzeichen:** + - Schreibe die Summe der ersten 5 natürlichen Zahlen mit dem Summenzeichen. + - Berechne $ \sum_{i=1}^{4} (2i) $. +2. **Geometrische Summe:** + - Berechne die geometrische Summe $ S_6 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 $. + - Finde den Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe $ \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^i $. +3. **Reihe und Grenzwert:** + - Bestimme, ob die Reihe $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $ konvergent oder divergent ist. + - Berechne den Grenzwert der Folge $ a_n = \frac{2n + 1}{3n - 2} $. +4. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um die Summe $ \sum_{i=1}^{10} i^2 $ zu berechnen. + - Bestimme den Grenzwert der Folge $ a_n = \frac{5n - 3}{2n + 4} $ mit SymPy. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst Summenzeichen korrekt verwenden, um endliche und unendliche Summen darzustellen. +- Du verstehst den Unterschied zwischen arithmetischen und geometrischen Reihen und kannst deren Summen berechnen. +- Du kannst den Grenzwert einer konvergenten Reihe bestimmen und erkennst, wann eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist. + +--- + +### **Thema 2: Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Rang:** Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten) in einer Matrix. +- **Defekt:** $ \text{Defekt} = \text{Anzahl der Unbekannten} - \text{Rang} $. +- **Pivot-Variable:** Variable, die in der Stufenform eine führende Eins hat. +- **Freier Parameter:** Variable, die nicht als Pivot-Variable erscheint und frei gewählt werden kann. +- **Verträglichkeit:** Ein LGS ist verträglich, wenn es mindestens eine Lösung gibt. +- **Lösungsmenge:** + - **Eindeutig:** Eine einzige Lösung. + - **Unendlich viele Lösungen:** Parameterabhängige Lösungen. + - **Keine Lösung:** Inkonstistentes System. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Rang und Defekt:** + - Gegeben das LGS: + $$ + \begin{cases} + x + y + z = 6 \\ + 2x + 2y + 5z = -4 \\ + 2x + 5y - z = 27 + \end{cases} + $$ + - **Matrix:** + $$ + \begin{pmatrix} + 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ + 2 & 2 & 5 & | & -4 \\ + 2 & 5 & -1 & | & 27 + \end{pmatrix} + $$ + - **Rang:** 3 (alle drei Zeilen sind linear unabhängig) + - **Defekt:** $ 3 - 3 = 0 $ + - **Lösung:** Eindeutig, wie in Woche 3 Thema 2 gezeigt. +- **Parameter und unendlich viele Lösungen:** + - Gegeben das LGS: + $$ + \begin{cases} + x + y + z = 3 \\ + 2x + 2y + 2z = 6 \\ + 3x + 3y + 3z = 9 + \end{cases} + $$ + - **Matrix:** + $$ + \begin{pmatrix} + 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ + 2 & 2 & 2 & | & 6 \\ + 3 & 3 & 3 & | & 9 + \end{pmatrix} + $$ + - **Rang:** 1 + - **Defekt:** $ 3 - 1 = 2 $ + - **Lösung:** Unendlich viele Lösungen, z.B., $ x = 3 - y - z $, wobei $ y $ und $ z $ freie Parameter sind. + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Rang und Defekt:** + - Bestimme Rang und Defekt des folgenden LGS: + $$ + \begin{cases} + x + 2y - z = 1 \\ + 2x + 4y - 2z = 2 \\ + 3x + 6y - 3z = 3 + \end{cases} + $$ +2. **Lösungsmenge:** + - Bestimme die Lösungsmenge des folgenden LGS: + $$ + \begin{cases} + x + y = 2 \\ + x - y = 0 + \end{cases} + $$ + - Bestimme die Lösungsmenge des folgenden LGS: + $$ + \begin{cases} + x + y + z = 4 \\ + 2x + 2y + 2z = 8 \\ + x + y + z = 5 + \end{cases} + $$ +3. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um den Rang und die Lösungsmenge des folgenden LGS zu bestimmen: + $$ + \begin{cases} + x + 2y + 3z = 9 \\ + 2x + 4y + 6z = 18 \\ + 3x + 6y + 9z = 27 + \end{cases} + $$ +4. **Anwendung:** + - Formuliere ein LGS für die folgenden Bedingungen und bestimme die Lösungsmenge: + - Eine Firma stellt Produkte A, B und C her. Insgesamt werden 100 Produkte hergestellt, die Einnahmen betragen 5000 Euro. Produkt A kostet 20 Euro, Produkt B 30 Euro und Produkt C 50 Euro. +5. **Stufenform:** + - Wandle das folgende LGS in die Stufenform um und bestimme den Rang: + $$ + \begin{cases} + 2x + 4y - z = 1 \\ + 4x + 8y - 2z = 2 \\ + 6x + 12y - 3z = 3 + \end{cases} + $$ + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst den Rang und den Defekt eines linearen Gleichungssystems bestimmen. +- Du verstehst die unterschiedlichen Lösungsarten (eindeutig, unendlich viele, keine Lösung) und kannst die Lösungsmenge entsprechend beschreiben. +- Du kannst die Konzepte von Pivot- und freien Variablen in der Stufenform anwenden und verstehen. + +--- + +### **Thema 3: Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- Vertiefung der Permutationen, Kombinationen und Variationen. +- **Permutationen von $ n $ Elementen:** Anordnung aller $ n $ Elemente. + $$ + P(n) = n! + $$ +- **Kombinationen $ k $-ter Ordnung:** Auswahl von $ k $ Elementen aus $ n $ ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. + $$ + C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} + $$ +- **Variationen $ k $-ter Ordnung:** Anordnung von $ k $ Elementen aus $ n $ mit oder ohne Wiederholung. + - Ohne Wiederholung: $ V(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} $ + - Mit Wiederholung: $ V_w(n, k) = n^k $ + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Permutationen:** + - Anzahl der Permutationen von 4 Elementen: $ P(4) = 4! = 24 $ +- **Kombinationen:** + - Anzahl der Kombinationen von 3 Elementen aus 5: $ C(5, 3) = 10 $ +- **Variationen:** + - Anzahl der Variationen ohne Wiederholung von 2 aus 4: $ V(4, 2) = 12 $ + - Anzahl der Variationen mit Wiederholung von 2 aus 3: $ V_w(3, 2) = 9 $ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Permutationen:** + - Bestimme die Anzahl der Permutationen der Buchstaben in "MATHE". + - Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es für 5 verschiedene Bücher auf einem Regal? +2. **Kombinationen:** + - Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Teams aus 8 Schülern zu bilden? + - Bestimme die Anzahl der möglichen Auswahl von 4 aus 10 verschiedenen Gerichten in einem Restaurant. +3. **Variationen:** + - Bestimme die Anzahl der 3-stelligen Codes, die mit den Ziffern 0-9 ohne Wiederholung gebildet werden können. + - Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 verschiedene Farben aus 4 verfügbaren Farben auszuwählen und anzuordnen? +4. **Komplexere kombinatorische Probleme:** + - Ein Passwort besteht aus 4 Buchstaben (A-Z) gefolgt von 2 Zahlen (0-9). Wie viele verschiedene Passwörter sind möglich? + - In einem Kartenspiel sollen 5 Karten gezogen werden. Wie viele verschiedene Hände gibt es? +5. **Anwendung von Binomialkoeffizienten:** + - Verwende den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der möglichen Kombinationen bei der Wahl eines Komitees von 3 aus 7 Personen zu bestimmen. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst Permutationen, Kombinationen und Variationen klar definieren und voneinander unterscheiden. +- Du kannst die entsprechenden Formeln korrekt anwenden, um verschiedene kombinatorische Probleme zu lösen. +- Du verstehst die praktischen Anwendungen der kombinativen Konzepte in realen und theoretischen Kontexten. + +--- + +## **Woche 4: Summen, Reihen und erweiterte Gleichungssysteme** + +### **Thema 1: Summen und Reihen** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Summe ($ \Sigma $):** Addition einer Reihe von Zahlen oder Ausdrücken. + $$ + \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n + $$ +- **Geometrische Summe:** Summe einer geometrischen Folge. + $$ + S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{für } q \neq 1 + $$ + - **Unendliche geometrische Reihe:** Konvergent, wenn $ |q| < 1 $. + $$ + S = \frac{a_1}{1 - q} + $$ +- **Reihe:** Eine unendliche Summe von Gliedern einer Folge. +- **Grenzwert einer Reihe:** Der Wert, dem die Summe der ersten $ n $ Glieder gegen unendlich strebt, wenn die Reihe konvergent ist. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Geometrische Summe:** + - Berechne $ S_4 = 1 + 2 + 4 + 8 $. + $$ + S_4 = 1 \cdot \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 1 \cdot \frac{1 - 16}{-1} = 15 + $$ +- **Unendliche geometrische Reihe:** + - Berechne $ S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots $. + $$ + S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 + $$ +- **Summe einer arithmetischen Reihe:** + - $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ + - Beispiel: $ 3 + 5 + 7 + 9 $ + $$ + n = 4, \, a_1 = 3, \, a_4 = 9 \Rightarrow S_4 = \frac{4}{2}(3 + 9) = 2 \cdot 12 = 24 + $$ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Summe mit Summenzeichen:** + - Schreibe die Summe der ersten 5 natürlichen Zahlen mit dem Summenzeichen. + - Berechne $ \sum_{i=1}^{4} (2i) $. +2. **Geometrische Summe:** + - Berechne die geometrische Summe $ S_6 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 $. + - Finde den Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe $ \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^i $. +3. **Reihe und Grenzwert:** + - Bestimme, ob die Reihe $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $ konvergent oder divergent ist. + - Berechne den Grenzwert der Folge $ a_n = \frac{2n + 1}{3n - 2} $. +4. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um die Summe $ \sum_{i=1}^{10} i^2 $ zu berechnen. + - Bestimme den Grenzwert der Folge $ a_n = \frac{5n - 3}{2n + 4} $ mit SymPy. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst Summenzeichen korrekt verwenden, um endliche und unendliche Summen darzustellen. +- Du verstehst den Unterschied zwischen arithmetischen und geometrischen Reihen und kannst deren Summen berechnen. +- Du kannst den Grenzwert einer konvergenten Reihe bestimmen und erkennst, wann eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist. + +--- + +### **Thema 2: Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Rang:** Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten) in einer Matrix. +- **Defekt:** $ \text{Defekt} = \text{Anzahl der Unbekannten} - \text{Rang} $. +- **Pivot-Variable:** Variable, die in der Stufenform eine führende Eins hat. +- **Freier Parameter:** Variable, die nicht als Pivot-Variable erscheint und frei gewählt werden kann. +- **Verträglichkeit:** Ein LGS ist verträglich, wenn es mindestens eine Lösung gibt. +- **Lösungsmenge:** + - **Eindeutig:** Eine einzige Lösung. + - **Unendlich viele Lösungen:** Parameterabhängige Lösungen. + - **Keine Lösung:** Inkonstistentes System. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Rang und Defekt:** + - Gegeben das LGS: + $$ + \begin{cases} + x + y + z = 6 \\ + 2x + 2y + 5z = -4 \\ + 2x + 5y - z = 27 + \end{cases} + $$ + - **Matrix:** + $$ + \begin{pmatrix} + 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ + 2 & 2 & 5 & | & -4 \\ + 2 & 5 & -1 & | & 27 + \end{pmatrix} + $$ + - **Rang:** 3 (alle drei Zeilen sind linear unabhängig) + - **Defekt:** $ 3 - 3 = 0 $ + - **Lösung:** Eindeutig, wie in Woche 3 Thema 2 gezeigt. +- **Parameter und unendlich viele Lösungen:** + - Gegeben das LGS: + $$ + \begin{cases} + x + y + z = 3 \\ + 2x + 2y + 2z = 6 \\ + 3x + 3y + 3z = 9 + \end{cases} + $$ + - **Matrix:** + $$ + \begin{pmatrix} + 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ + 2 & 2 & 2 & | & 6 \\ + 3 & 3 & 3 & | & 9 + \end{pmatrix} + $$ + - **Rang:** 1 + - **Defekt:** $ 3 - 1 = 2 $ + - **Lösung:** Unendlich viele Lösungen, z.B., $ x = 3 - y - z $, wobei $ y $ und $ z $ freie Parameter sind. + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Rang und Defekt:** + - Bestimme Rang und Defekt des folgenden LGS: + $$ + \begin{cases} + x + 2y - z = 1 \\ + 2x + 4y - 2z = 2 \\ + 3x + 6y - 3z = 3 + \end{cases} + $$ +2. **Lösungsmenge:** + - Bestimme die Lösungsmenge des folgenden LGS: + $$ + \begin{cases} + x + y = 2 \\ + x - y = 0 + \end{cases} + $$ + - Bestimme die Lösungsmenge des folgenden LGS: + $$ + \begin{cases} + x + y + z = 4 \\ + 2x + 2y + 2z = 8 \\ + x + y + z = 5 + \end{cases} + $$ +3. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um den Rang und die Lösungsmenge des folgenden LGS zu bestimmen: + $$ + \begin{cases} + x + 2y + 3z = 9 \\ + 2x + 4y + 6z = 18 \\ + 3x + 6y + 9z = 27 + \end{cases} + $$ + ```python + import sympy as sp + x, y, z = sp.symbols('x y z') + eq1 = sp.Eq(x + y + z, 6) + eq2 = sp.Eq(2*x + 2*y + 5*z, -4) + eq3 = sp.Eq(2*x + 5*y - z, 27) + solution = sp.solve((eq1, eq2, eq3), (x, y, z)) + print(solution) + ``` +4. **Anwendung:** + - Formuliere ein LGS für die folgenden Bedingungen und bestimme die Lösungsmenge: + - Eine Firma stellt Produkte A, B und C her. Insgesamt werden 100 Produkte hergestellt, die Einnahmen betragen 5000 Euro. Produkt A kostet 20 Euro, Produkt B 30 Euro und Produkt C 50 Euro. +5. **Stufenform:** + - Wandle das folgende LGS in die Stufenform um und bestimme den Rang: + $$ + \begin{cases} + 2x + 4y - z = 1 \\ + 4x + 8y - 2z = 2 \\ + 6x + 12y - 3z = 3 + \end{cases} + $$ + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst den Rang und den Defekt eines linearen Gleichungssystems bestimmen. +- Du verstehst die unterschiedlichen Lösungsarten (eindeutig, unendlich viele, keine Lösung) und kannst die Lösungsmenge entsprechend beschreiben. +- Du kannst die Konzepte von Pivot- und freien Variablen in der Stufenform anwenden und verstehen. + +--- + +## **Woche 5: Funktionen, Trigonometrie und Wahrscheinlichkeiten** + +### **Thema 1: Funktionen und ihre Eigenschaften** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Betragsfunktion ($ |x| $):** Gibt den absoluten Wert von $ x $ an. +- **Vorzeichenfunktion:** Bestimmt das Vorzeichen eines Wertes. +- **Potenzfunktion:** $ f(x) = x^n $, wobei $ n $ eine natürliche Zahl ist. +- **Exponentialfunktion:** $ f(x) = a^x $, wobei $ a > 0 $ und $ a \neq 1 $. +- **Logarithmusfunktion:** $ f(x) = \log_a(x) $, wobei $ a > 0 $ und $ a \neq 1 $. +- **Hyperbolische Funktion:** $ \sinh(x) $, $ \cosh(x) $, $ \tanh(x) $ usw. +- **Trigonometrische Funktionen:** Sinus ($ \sin(x) $), Cosinus ($ \cos(x) $), Tangens ($ \tan(x) $), Cotangens ($ \cot(x) $). +- **Umkehrfunktionen:** Arcussinus ($ \arcsin(x) $), Arcuscosinus ($ \arccos(x) $), Arcustangens ($ \arctan(x) $), Arcuscotangens ($ \arccot(x) $). + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Potenzfunktion:** + - $ f(x) = x^3 $ ist eine ungerade Funktion (symmetrisch zum Ursprung). + - $ f(x) = x^2 $ ist eine gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse). +- **Exponentialfunktion:** + - $ f(x) = 2^x $ wächst exponentiell. + - $ f(x) = e^x $ (mit $ e \approx 2,718 $) ist die natürliche Exponentialfunktion. +- **Logarithmusfunktion:** + - $ f(x) = \log_2(x) $, der Inversen der Exponentialfunktion $ 2^x $. + - $ f(x) = \ln(x) $ ist der natürliche Logarithmus. +- **Trigonometrische Funktionen:** + - $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $ + - $ \cos(\pi) = -1 $ + - $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $ +- **Graphen:** + - Skizziere den Graphen von $ f(x) = |x| $, $ f(x) = e^x $, $ f(x) = \ln(x) $, $ f(x) = \sin(x) $. + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Graphen skizzieren:** + - Skizziere den Graphen der Funktion $ f(x) = |x| $. + - Skizziere den Graphen der Funktion $ f(x) = e^x $. +2. **Eigenschaften identifizieren:** + - Bestimme die Symmetrie der Funktion $ f(x) = x^4 - 3x^2 $. + - Überprüfe, ob die Funktion $ f(x) = \ln(x) $ injektiv ist. +3. **Umkehrfunktionen:** + - Finde die Umkehrfunktion der Funktion $ f(x) = 3x - 4 $. + - Erkläre, warum die Funktion $ f(x) = x^2 $ keine Umkehrfunktion auf $ \mathbb{R} $ besitzt, aber auf $ [0, \infty) $. +4. **Python/Numpy:** + - Verwende NumPy, um die Werte der Funktion $ f(x) = \sin(x) $ für $ x $ von $ 0 $ bis $ 2\pi $ in Schritten von $ \frac{\pi}{6} $ zu berechnen und darzustellen. +5. **Hyperbolische Funktionen:** + - Bestimme den Wert von $ \cosh(0) $ und $ \sinh(1) $. + - Skizziere den Graphen von $ f(x) = \sinh(x) $. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst verschiedene Funktionstypen definieren und deren Eigenschaften (Symmetrie, Definitions- und Wertebereich) bestimmen. +- Du kannst die Graphen von Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen skizzieren. +- Du verstehst die Umkehrfunktionen und kannst erklären, wann eine Umkehrfunktion existiert. + +--- + +### **Thema 2: Trigonometrische und Arcuswerte** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Trigonometrische Werte:** + - Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens für Standardwinkel ($ 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ $). +- **Arcusfunktionen:** + - Arcussinus ($ \arcsin(x) $), Arcuscosinus ($ \arccos(x) $), Arcustangens ($ \arctan(x) $). +- **Rechtwinklige Dreiecke:** + - Definition von Sinus, Cosinus und Tangens in Bezug auf die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. +- **Einheitskreis:** + - Darstellung trigonometrischer Funktionen im Einheitskreis. +- **Rechnen mit Winkeln:** + - Addition und Subtraktion von Winkeln. + - Nutzung der trigonometrischen Werte in verschiedenen Kontexten. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Trigonometrische Werte:** + - $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $ + - $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ + - $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $ + - $ \cot(45^\circ) = 1 $ +- **Arcusfunktionen:** + - $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ $ + - $ \arccos\left(-1\right) = 180^\circ $ + - $ \arctan(1) = 45^\circ $ +- **Rechtwinklige Dreiecke:** + - In einem Dreieck mit $ \theta = 30^\circ $, Hypotenuse $ 2 $, ist die gegenüberliegende Seite $ 1 $ und die anliegende Seite $ \sqrt{3} $. + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Trigonometrische Werte:** + - Bestimme $ \sin(45^\circ) $, $ \cos(60^\circ) $ und $ \tan(30^\circ) $. + - Berechne $ \cot(60^\circ) $. +2. **Arcusfunktionen:** + - Finde den Winkel $ \theta $, sodass $ \arcsin\left(\theta\right) = 30^\circ $. + - Berechne $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. +3. **Rechtwinklige Dreiecke:** + - In einem rechtwinkligen Dreieck ist die anliegende Seite $ 4 $ und der Winkel $ \theta = 45^\circ $. Bestimme die gegenüberliegende Seite und die Hypotenuse. +4. **Einheitskreis:** + - Zeichne den Einheitskreis und markiere die Punkte für $ 0^\circ $, $ 90^\circ $, $ 180^\circ $ und $ 270^\circ $. + - Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis bei $ 60^\circ $. +5. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um den Wert von $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $ zu berechnen. + - Berechne die Umkehrfunktionen $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $ und $ \arctan(1) $ mit SymPy. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst die trigonometrischen Funktionen für Standardwinkel korrekt berechnen und interpretieren. +- Du verstehst die Anwendung von Arcusfunktionen und kannst sie zur Bestimmung von Winkeln verwenden. +- Du kannst trigonometrische Werte in rechtwinkligen Dreiecken und im Einheitskreis anwenden und interpretieren. + +--- + +## **Woche 6: Differenzialrechnung und Vektoren** + +### **Thema 1: Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Steigung:** Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an. +- **Steigungswinkel:** Winkel zwischen der Tangente und der positiven x-Achse. +- **Differenzquotient:** + $$ + f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + $$ +- **Ableitung:** Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt die Änderungsrate der Funktion. +- **Aufleitung (Integral):** Umkehrung der Ableitung, bestimmt die Stammfunktion. +- **Ableitungsregeln:** + - **Faktorregel:** $ \frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x) $ + - **Summenregel:** $ \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) $ + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Ableitung einfacher Monome:** + - $ f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 $ + - $ f(x) = 5x \Rightarrow f'(x) = 5 $ +- **Ableitung von Polynomen:** + - $ f(x) = 2x^4 - 3x^2 + x - 7 \Rightarrow f'(x) = 8x^3 - 6x + 1 $ +- **Geometrische Bedeutung:** + - Bestimme die Steigung der Tangente an den Punkt $ x = 2 $ der Funktion $ f(x) = x^2 $. + $$ + f'(x) = 2x \Rightarrow f'(2) = 4 + $$ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Ableitungen berechnen:** + - Bestimme die Ableitung der Funktion $ f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 5 $. + - Berechne die Ableitung von $ f(x) = 7x^5 + 3x^2 - 4x + 6 $. +2. **Geometrische Bedeutung:** + - Finde die Steigung der Tangente an den Graphen von $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ bei $ x = 1 $. +3. **Aufleitung:** + - Bestimme die Stammfunktion der Funktion $ f(x) = 6x^2 - 4x + 2 $. + - Berechne das unbestimmte Integral von $ f(x) = 3x^4 $. +4. **Anwendung der Ableitungsregeln:** + - Verwende die Faktor- und Summenregel, um die Ableitung von $ f(x) = 5x + 3x^2 - 2x^3 $ zu bestimmen. +5. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um die Ableitung der Funktion $ f(x) = \sin(x) + \cos(x) $ zu berechnen. + - Berechne die Aufleitung der Funktion $ f(x) = 4x^3 - 3x $ mit SymPy. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du verstehst die Definition der Ableitung und den Differenzquotienten. +- Du kannst Ableitungen einfacher und komplexerer Funktionen berechnen. +- Du verstehst die geometrische Bedeutung der Ableitung als Steigung der Tangente und kannst die Ableitung zur Lösung praktischer Probleme verwenden. +- Du kannst die Konzepte von Ableitung und Aufleitung in Python/SymPy anwenden. + +--- + +### **Thema 2: Vektoren und Vektorrechnung** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Vektor:** Ein gerichtetes Objekt mit Betrag und Richtung, dargestellt als Pfeil oder geordnete Zahlenpaare/-tripel. + - In 2D: $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} $ + - In 3D: $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} $ +- **Vektorgeometrie:** Geometrische Interpretation und Anwendungen von Vektoren. +- **Linearkombination:** Kombination von Vektoren durch Multiplikation mit Skalaren und Addition. + $$ + \mathbf{w} = a\mathbf{v} + b\mathbf{u} + $$ +- **Einheitsvektor:** Ein Vektor mit Betrag 1 in eine bestimmte Richtung. + $$ + \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} + $$ +- **Richtungsvektor:** Ein Vektor, der die Richtung einer Geraden oder Ebene angibt. +- **Betrag eines Vektors:** Länge des Vektors. + $$ + |\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} + $$ +- **Vektoroperationen:** + - **Addition:** $ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_x + v_x \\ u_y + v_y \end{pmatrix} $ + - **Subtraktion:** $ \mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_x - v_x \\ u_y - v_y \end{pmatrix} $ + - **Skalare Multiplikation:** $ c\mathbf{v} = \begin{pmatrix} cv_x \\ cv_y \end{pmatrix} $ + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Addition von Vektoren:** + $$ + \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + $$ + $$ + \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} + $$ +- **Linearkombination:** + $$ + \mathbf{w} = 2\mathbf{u} - 3\mathbf{v} = 2\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 6 - 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \end{pmatrix} + $$ +- **Einheitsvektor:** + $$ + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, |\mathbf{v}| = 5 + $$ + $$ + \hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{pmatrix} + $$ +- **Betrag eines Vektors:** + $$ + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}, |\mathbf{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} + $$ +- **Grafische Darstellung:** + - Zeichne die Vektoren $ \mathbf{u} $ und $ \mathbf{v} $ im Koordinatensystem und deren Summe $ \mathbf{u} + \mathbf{v} $. + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Vektoren addieren und subtrahieren:** + - Gegeben $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} $. Berechne $ \mathbf{u} + \mathbf{v} $ und $ \mathbf{u} - \mathbf{v} $. +2. **Linearkombination:** + - Bestimme eine Linearkombination von $ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $, die den Vektor $ \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} $ ergibt. +3. **Einheitsvektor:** + - Berechne den Einheitsvektor von $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} $. +4. **Betrag eines Vektors:** + - Bestimme den Betrag des Vektors $ \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix} $. +5. **Grafische Darstellung:** + - Zeichne die Vektoren $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $, $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} $ und deren Summe $ \mathbf{u} + \mathbf{v} $ im Koordinatensystem. +6. **Python/Numpy:** + - Verwende NumPy, um die Summe und Differenz von zwei Vektoren zu berechnen. + ```python + import numpy as np + + u = np.array([3, -1]) + v = np.array([-2, 4]) + + sum_uv = u + v + diff_uv = u - v + + print("Summe:", sum_uv) # [1, 3] + print("Differenz:", diff_uv) # [5, -5] + ``` + - Berechne den Betrag eines Vektors $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix} $ mit NumPy. + ```python + v = np.array([5, 12]) + magnitude = np.linalg.norm(v) + print("Betrag:", magnitude) # 13.0 + ``` + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst Vektoren definieren, addieren, subtrahieren und skalare Multiplikationen durchführen. +- Du verstehst das Konzept der Linearkombination und kannst es auf gegebene Vektoren anwenden. +- Du kannst Einheitsvektoren und die Beträge von Vektoren korrekt berechnen. +- Du kannst Vektoren grafisch darstellen und deren Operationen visualisieren. + +--- + +### **Thema 3: Summen, Reihen und erweiterte Gleichungssysteme** + +*Hinweis: Dieses Thema scheint in Woche 3 bereits behandelt zu sein. Um Redundanzen zu vermeiden, wird dies hier übersprungen.* + +--- + +## **Woche 7: Differenzialrechnung und Vektoren** + +### **Thema 1: Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Steigung:** Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an. +- **Steigungswinkel:** Winkel zwischen der Tangente und der positiven x-Achse. +- **Differenzquotient:** + $$ + f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + $$ +- **Ableitung:** Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt die Änderungsrate der Funktion. +- **Aufleitung (Integral):** Umkehrung der Ableitung, bestimmt die Stammfunktion. +- **Ableitungsregeln:** + - **Faktorregel:** $ \frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x) $ + - **Summenregel:** $ \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) $ + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Ableitung einfacher Monome:** + - $ f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 $ + - $ f(x) = 5x \Rightarrow f'(x) = 5 $ +- **Ableitung von Polynomen:** + - $ f(x) = 2x^4 - 3x^2 + x - 7 \Rightarrow f'(x) = 8x^3 - 6x + 1 $ +- **Geometrische Bedeutung:** + - Bestimme die Steigung der Tangente an den Punkt $ x = 2 $ der Funktion $ f(x) = x^2 $. + $$ + f'(x) = 2x \Rightarrow f'(2) = 4 + $$ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Ableitungen berechnen:** + - Bestimme die Ableitung der Funktion $ f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 5 $. + - Berechne die Ableitung von $ f(x) = 7x^5 + 3x^2 - 4x + 6 $. +2. **Geometrische Bedeutung:** + - Finde die Steigung der Tangente an den Graphen von $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ bei $ x = 1 $. +3. **Aufleitung:** + - Bestimme die Stammfunktion der Funktion $ f(x) = 6x^2 - 4x + 2 $. + - Berechne das unbestimmte Integral von $ f(x) = 3x^4 $. +4. **Anwendung der Ableitungsregeln:** + - Verwende die Faktor- und Summenregel, um die Ableitung von $ f(x) = 5x + 3x^2 - 2x^3 $ zu bestimmen. +5. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um die Ableitung der Funktion $ f(x) = \sin(x) + \cos(x) $ zu berechnen. + - Berechne die Aufleitung der Funktion $ f(x) = 4x^3 - 3x $ mit SymPy. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du verstehst die Definition der Ableitung und den Differenzquotienten. +- Du kannst Ableitungen einfacher und komplexerer Funktionen berechnen. +- Du verstehst die geometrische Bedeutung der Ableitung als Steigung der Tangente und kannst die Ableitung zur Lösung praktischer Probleme verwenden. +- Du kannst die Konzepte von Ableitung und Aufleitung in Python/SymPy anwenden. + +--- + +### **Thema 2: Vektoren und Vektorrechnung** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Vektor:** Ein gerichtetes Objekt mit Betrag und Richtung, dargestellt als Pfeil oder geordnete Zahlenpaare/-tripel. + - In 2D: $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} $ + - In 3D: $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} $ +- **Vektorgeometrie:** Geometrische Interpretation und Anwendungen von Vektoren. +- **Linearkombination:** Kombination von Vektoren durch Multiplikation mit Skalaren und Addition. + $$ + \mathbf{w} = a\mathbf{v} + b\mathbf{u} + $$ +- **Einheitsvektor:** Ein Vektor mit Betrag 1 in eine bestimmte Richtung. + $$ + \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} + $$ +- **Richtungsvektor:** Ein Vektor, der die Richtung einer Geraden oder Ebene angibt. +- **Betrag eines Vektors:** Länge des Vektors. + $$ + |\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} + $$ +- **Vektoroperationen:** + - **Addition:** $ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_x + v_x \\ u_y + v_y \end{pmatrix} $ + - **Subtraktion:** $ \mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_x - v_x \\ u_y - v_y \end{pmatrix} $ + - **Skalare Multiplikation:** $ c\mathbf{v} = \begin{pmatrix} cv_x \\ cv_y \end{pmatrix} $ + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Addition von Vektoren:** + $$ + \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + $$ + $$ + \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} + $$ +- **Linearkombination:** + $$ + \mathbf{w} = 2\mathbf{u} - 3\mathbf{v} = 2\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 6 - 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \end{pmatrix} + $$ +- **Einheitsvektor:** + $$ + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, |\mathbf{v}| = 5 + $$ + $$ + \hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{pmatrix} + $$ +- **Betrag eines Vektors:** + $$ + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}, |\mathbf{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} + $$ +- **Grafische Darstellung:** + - Zeichne die Vektoren $ \mathbf{u} $ und $ \mathbf{v} $ im Koordinatensystem und deren Summe $ \mathbf{u} + \mathbf{v} $. + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Vektoren addieren und subtrahieren:** + - Gegeben $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} $. Berechne $ \mathbf{u} + \mathbf{v} $ und $ \mathbf{u} - \mathbf{v} $. +2. **Linearkombination:** + - Bestimme eine Linearkombination von $ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $, die den Vektor $ \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} $ ergibt. +3. **Einheitsvektor:** + - Berechne den Einheitsvektor von $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} $. +4. **Betrag eines Vektors:** + - Bestimme den Betrag des Vektors $ \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix} $. +5. **Grafische Darstellung:** + - Zeichne die Vektoren $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $, $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} $ und deren Summe $ \mathbf{u} + \mathbf{v} $ im Koordinatensystem. +6. **Python/Numpy:** + - Verwende NumPy, um die Summe und Differenz von zwei Vektoren zu berechnen. + ```python + import numpy as np + + u = np.array([3, -1]) + v = np.array([-2, 4]) + + sum_uv = u + v + diff_uv = u - v + + print("Summe:", sum_uv) # [1, 3] + print("Differenz:", diff_uv) # [5, -5] + ``` + - Berechne den Betrag eines Vektors $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix} $ mit NumPy. + ```python + v = np.array([5, 12]) + magnitude = np.linalg.norm(v) + print("Betrag:", magnitude) # 13.0 + ``` + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst Vektoren definieren, addieren, subtrahieren und skalare Multiplikationen durchführen. +- Du verstehst das Konzept der Linearkombination und kannst es auf gegebene Vektoren anwenden. +- Du kannst Einheitsvektoren und die Beträge von Vektoren korrekt berechnen. +- Du kannst Vektoren grafisch darstellen und deren Operationen visualisieren. + +--- + +### **Thema 3: Summen, Reihen und erweiterte Gleichungssysteme** + +*Hinweis: Dieses Thema scheint in Woche 3 bereits behandelt zu sein. Um Redundanzen zu vermeiden, wird dies hier übersprungen.* + +--- + +## **Woche 8: Erweiterte Differenzialrechnung und Vektorrechnung** + +### **Thema 1: Differenzialrechnung: Erweiterte Ableitungsregeln** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Produktregel:** + $$ + (fg)' = f'g + fg' + $$ +- **Kettenregel:** + $$ + \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) + $$ +- **Quotientenregel:** + $$ + \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} + $$ +- **Ableitung von Betragsfunktionen:** + - $ f(x) = |x| \Rightarrow f'(x) = \frac{x}{|x|} $ für $ x \neq 0 $ +- **Spezialfälle und Ableitungen verschachtelter Funktionen.** + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Produktregel:** + - $ f(x) = (x^2)(\sin(x)) \Rightarrow f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) $ +- **Kettenregel:** + - $ f(x) = \sin(x^2) \Rightarrow f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x $ +- **Quotientenregel:** + - $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} $ +- **Ableitung von Betragsfunktionen:** + - $ f(x) = |x| \Rightarrow f'(x) = 1 $ für $ x > 0 $, $ f'(x) = -1 $ für $ x < 0 $ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Produktregel:** + - Bestimme die Ableitung der Funktion $ f(x) = x^3 \cdot e^x $. +2. **Kettenregel:** + - Berechne die Ableitung von $ f(x) = \cos(3x + 2) $. + - Bestimme die Ableitung von $ f(x) = \sqrt{5x^2 + 2x + 1} $. +3. **Quotientenregel:** + - Finde die Ableitung der Funktion $ f(x) = \frac{2x^3 - x + 4}{x^2 + 1} $. +4. **Ableitung von Betragsfunktionen:** + - Berechne die Ableitung von $ f(x) = |3x - 2| $ für $ x \neq \frac{2}{3} $. +5. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um die Ableitung von $ f(x) = \frac{\sin(x)}{x} $ zu berechnen. + - Bestimme die Ableitung von $ f(x) = (x^2 + 1)^5 $ mithilfe der Kettenregel in SymPy. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst die Produktregel, Kettenregel und Quotientenregel korrekt anwenden. +- Du verstehst, wie man die Ableitung von verschachtelten Funktionen berechnet. +- Du kannst Ableitungen von Betragsfunktionen bestimmen und deren Spezialfälle erkennen. + +--- + +### **Thema 2: Vektor- und Spatprodukt** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Skalarprodukt (Dot Product):** + $$ + \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z + $$ +- **Länge eines Vektors:** + $$ + |\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} + $$ +- **Winkel zwischen zwei Vektoren:** + $$ + \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|} + $$ +- **Eigenschaften des Skalarprodukts:** + - Kommutativ: $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} $ + - Distributiv: $ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} $ + - Bilinear: $ (a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = a(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) + b(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) $ + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Skalarprodukt:** + $$ + \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} + $$ + $$ + \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12 + $$ +- **Länge eines Vektors:** + $$ + |\mathbf{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} + $$ +- **Winkel zwischen Vektoren:** + $$ + \cos(\theta) = \frac{12}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{12}{\sqrt{1078}} \approx 0.365 + $$ + $$ + \theta \approx 68.0^\circ + $$ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Skalarprodukt berechnen:** + - Berechne das Skalarprodukt von $ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $. +2. **Länge eines Vektors:** + - Bestimme die Länge des Vektors $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} $. +3. **Winkel zwischen Vektoren:** + - Bestimme den Winkel zwischen den Vektoren $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $. + - Berechne den Winkel zwischen $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $. +4. **Eigenschaften des Skalarprodukts:** + - Zeige, dass das Skalarprodukt distributiv ist, indem du $ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} $ für $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $, $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $, und $ \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} $ zeigst. +5. **Python/Numpy:** + - Verwende NumPy, um das Skalarprodukt und den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen. + ```python + import numpy as np + + u = np.array([1, 2, 3]) + v = np.array([4, -5, 6]) + + dot_product = np.dot(u, v) # 12 + magnitude_u = np.linalg.norm(u) # sqrt(14) + magnitude_v = np.linalg.norm(v) # sqrt(77) + cosine_theta = dot_product / (magnitude_u * magnitude_v) + theta = np.arccos(cosine_theta) * (180 / np.pi) # in Grad + + print("Skalarprodukt:", dot_product) + print("Winkel (Grad):", theta) # ca. 68.0 Grad + ``` + - Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren $ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $ mit Python. + ```python + import numpy as np + + a = np.array([1, 0, 0]) + b = np.array([0, 1, 0]) + + dot_product = np.dot(a, b) # 0 + magnitude_a = np.linalg.norm(a) # 1 + magnitude_b = np.linalg.norm(b) # 1 + cosine_theta = dot_product / (magnitude_a * magnitude_b) + theta = np.arccos(cosine_theta) * (180 / np.pi) # 90 Grad + + print("Skalarprodukt:", dot_product) + print("Winkel (Grad):", theta) # 90 Grad + ``` + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen und dessen Bedeutung verstehen. +- Du verstehst die Konzepte der Vektorlänge und des Winkels zwischen Vektoren und kannst diese berechnen. +- Du kannst die Eigenschaften des Skalarprodukts anwenden, um Probleme in der Vektorrechnung zu lösen. + +--- + +### **Thema 3: Differenzquotient und Ableitung** + +*Hinweis: Dieses Thema wurde bereits in Woche 7 behandelt. Um Redundanzen zu vermeiden, wird dies hier übersprungen.* + +--- + +## **Woche 9: Exponentialfunktionen, Vektor- und Spatprodukte sowie Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen** + +### **Thema 1: Exponential- und Logarithmusfunktionen** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Eulersche Zahl ($ e $):** Natürliche Basis der Exponentialfunktionen ($ e \approx 2,718 $). +- **Natürliche Exponentialfunktion:** $ f(x) = e^x $. +- **Natürlicher Logarithmus:** $ f(x) = \ln(x) $, der Inversen der natürlichen Exponentialfunktion. +- **Ableitungs- und Vereinfachungsregeln:** + - $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $ + - $ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} $ +- **Kettenregel:** Anwendung bei zusammengesetzten Funktionen. +- **Exponentielle Gleichungen:** Gleichungen, die Exponentialfunktionen enthalten. +- **Logarithmische Gleichungen:** Gleichungen, die Logarithmusfunktionen enthalten. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Ableitung:** + - $ f(x) = e^{2x} \Rightarrow f'(x) = 2e^{2x} $ + - $ f(x) = \ln(3x) \Rightarrow f'(x) = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x} $ +- **Vereinfachung:** + - $ \ln(e^{5x}) = 5x $ + - $ e^{\ln(x)} = x $ +- **Lösen von Gleichungen:** + - $ e^x = 7 \Rightarrow x = \ln(7) $ + - $ \ln(x) = 3 \Rightarrow x = e^3 $ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Ableitungen:** + - Bestimme die Ableitung der Funktion $ f(x) = e^{3x + 2} $. + - Berechne die Ableitung von $ f(x) = \ln(5x^2) $. +2. **Vereinfachung:** + - Vereinfache $ \ln(e^{4x}) $. + - Vereinfache $ e^{\ln(x) + \ln(y)} $. +3. **Lösen von Gleichungen:** + - Löse die Gleichung $ e^{2x} = 20 $. + - Löse die Gleichung $ \ln(x^3) = 6 $. +4. **Kettenregel:** + - Verwende die Kettenregel, um die Ableitung von $ f(x) = e^{\sin(x)} $ zu berechnen. + - Bestimme die Ableitung von $ f(x) = \ln(\cos(x)) $ mithilfe der Kettenregel. +5. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um die Ableitung von $ f(x) = e^{x^2} $ zu berechnen. + - Bestimme mit SymPy die Lösung der Gleichung $ e^{x} = 10 $. + ```python + import sympy as sp + x = sp.symbols('x') + equation = sp.Eq(sp.exp(x), 10) + solution = sp.solve(equation, x) + print(solution) # [log(10)] + ``` + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus definieren und deren Eigenschaften verstehen. +- Du kannst die Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen korrekt berechnen. +- Du kannst Exponential- und Logarithmische Gleichungen lösen und ihre Anwendungen verstehen. + +--- + +### **Thema 2: Vektor- und Spatprodukt** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Vektorprodukt (Kreuzprodukt):** + $$ + \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} + \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ + u_x & u_y & u_z \\ + v_x & v_y & v_z + \end{vmatrix} + $$ +- **Spatprodukt (Scalar Triple Product):** + $$ + \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) + $$ +- **Länge eines Vektors:** + $$ + |\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} + $$ +- **Winkel zwischen zwei Vektoren:** + $$ + \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|} + $$ +- **Eigenschaften des Vektorprodukts:** + - Antikommutativ: $ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u}) $ + - Distributiv über Addition: $ \mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w} $ + - Assoziativität mit Skalaren: $ c(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (c\mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (c\mathbf{v}) $ + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Vektorprodukt:** + $$ + \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + $$ + $$ + \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + $$ +- **Spatprodukt:** + $$ + \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}, \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} + $$ + $$ + \mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{pmatrix} (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) \\ (6 \cdot 7 - 4 \cdot 9) \\ (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} + $$ + $$ + \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 \quad \text{(Volumen = 0, Vektoren liegen in einer Ebene)} + $$ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Vektorprodukt:** + - Berechne das Vektorprodukt von $ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} $. +2. **Spatprodukt:** + - Bestimme das Spatprodukt von $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $, $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} $. +3. **Flächenberechnung:** + - Berechne die Fläche eines Parallelogramms, das von den Vektoren $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} $ aufgespannt wird. +4. **Volumenberechnung:** + - Bestimme das Volumen des von den Vektoren $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $, $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ aufgespannten Parallelepiped. +5. **Eigenschaften des Skalarprodukts:** + - Zeige, dass $ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) $ invariant unter Permutationen der Vektoren ist. +6. **Python/Numpy:** + - Verwende NumPy, um das Vektorprodukt und das Spatprodukt von drei Vektoren zu berechnen. + ```python + import numpy as np + + u = np.array([1, 2, 3]) + v = np.array([4, 5, 6]) + w = np.array([7, 8, 9]) + + cross_product = np.cross(v, w) # [-3, 6, -3] + scalar_triple_product = np.dot(u, cross_product) # 0 + + print("Vektorprodukt (v x w):", cross_product) + print("Spatprodukt (u · (v x w)):", scalar_triple_product) + ``` + - Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren $ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $ mit Python. + ```python + import numpy as np + + a = np.array([1, 0, 0]) + b = np.array([0, 1, 0]) + + dot_product = np.dot(a, b) # 0 + magnitude_a = np.linalg.norm(a) # 1 + magnitude_b = np.linalg.norm(b) # 1 + cosine_theta = dot_product / (magnitude_a * magnitude_b) + theta = np.arccos(cosine_theta) * (180 / np.pi) # 90 Grad + + print("Skalarprodukt:", dot_product) + print("Winkel (Grad):", theta) # 90 Grad + ``` + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen und dessen Bedeutung verstehen. +- Du verstehst die Konzepte der Vektorlänge und des Winkels zwischen Vektoren und kannst diese berechnen. +- Du kannst die Eigenschaften des Skalarprodukts anwenden, um Probleme in der Vektorrechnung zu lösen. + +--- + +### **Thema 3: Differenzquotient und Ableitung** + +*Hinweis: Dieses Thema wurde bereits in Woche 7 behandelt. Um Redundanzen zu vermeiden, wird dies hier übersprungen.* + +--- + +## **Woche 10: Erweiterte Ableitungen, Geraden und Projektionen** + +### **Thema 1: Ableitungen spezieller Funktionen** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Trigonometrische Funktionen:** Ableitungen von $ \sin(x) $, $ \cos(x) $, $ \tan(x) $, etc. + $$ + \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) + $$ + $$ + \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) + $$ + $$ + \frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x) + $$ +- **Hyperbolische Funktionen:** Ableitungen von $ \sinh(x) $, $ \cosh(x) $, $ \tanh(x) $, etc. + $$ + \frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x) + $$ + $$ + \frac{d}{dx} \cosh(x) = \sinh(x) + $$ +- **Arkusfunktionen:** Ableitungen von $ \arcsin(x) $, $ \arccos(x) $, $ \arctan(x) $, etc. + $$ + \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + $$ + $$ + \frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + $$ + $$ + \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2} + $$ +- **Areafunktionen:** Funktionen, die die Fläche eines bestimmten Bereichs beschreiben, deren Ableitung die Änderungsrate der Fläche ist. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Ableitung einer trigonometrischen Funktion:** + $$ + f(x) = \sin(x) + \cos(x) \Rightarrow f'(x) = \cos(x) - \sin(x) + $$ +- **Ableitung einer hyperbolischen Funktion:** + $$ + f(x) = \sinh(x) - \cosh(x) \Rightarrow f'(x) = \cosh(x) - \sinh(x) + $$ +- **Ableitung einer Arkusfunktion:** + $$ + f(x) = \arctan(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} + $$ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Ableitungen trigonometrischer Funktionen:** + - Bestimme die Ableitung der Funktion $ f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) $. + - Berechne die Ableitung von $ f(x) = \tan(x) $. +2. **Ableitungen hyperbolischer Funktionen:** + - Bestimme die Ableitung der Funktion $ f(x) = \sinh(x) + \cosh(x) $. + - Berechne die Ableitung von $ f(x) = \tanh(x) $. +3. **Ableitungen Arkusfunktionen:** + - Finde die Ableitung der Funktion $ f(x) = \arcsin(x) $. + - Berechne die Ableitung von $ f(x) = \arccos(x) $. +4. **Graphische Interpretation:** + - Skizziere den Graphen von $ f(x) = \arctan(x) $ und $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $. +5. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um die Ableitung von $ f(x) = \arcsin(x) $ zu berechnen. + - Berechne die Ableitung von $ f(x) = \tanh(x) $ mit SymPy. + ```python + import sympy as sp + x = sp.symbols('x') + f = sp.asin(x) + derivative = sp.diff(f, x) + print(derivative) # 1/sqrt(1 - x**2) + + f = sp.tanh(x) + derivative = sp.diff(f, x) + print(derivative) # 1/cosh(x)**2 + ``` + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst die Ableitungen von trigonometrischen, hyperbolischen und Arkusfunktionen korrekt berechnen. +- Du verstehst die Anwendung der Kettenregel und anderer erweiterten Ableitungsregeln auf spezielle Funktionen. +- Du kannst die graphische Interpretation der Ableitungen verstehen und anwenden. + +--- + +### **Thema 2: Geraden in 2D und 3D** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Gerade in 2D:** + - **Normalform:** $ ax + by + c = 0 $, wobei $ (a, b) $ ein Normalenvektor ist. + - **Steigungsform:** $ y = mx + b $, wobei $ m $ die Steigung und $ b $ der y-Achsenabschnitt ist. +- **Gerade in 3D:** + - **Parameterdarstellung:** + $$ + \mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b} + $$ + wobei $ \mathbf{a} $ ein Punkt auf der Geraden und $ \mathbf{b} $ der Richtungsvektor ist. + - **Hessesche Normalform:** Darstellung der Geraden mittels Normalenvektor und Abstand vom Ursprung. +- **Abstand eines Punktes von einer Geraden:** + - In 2D: + $$ + d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} + $$ +- **Lagebeziehungen von Geraden in 3D:** + - **Parallel:** Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander. + - **Windschief:** Geraden sind weder parallel noch schneiden sie sich. + - **Schneidend:** Es gibt einen Schnittpunkt zwischen den Geraden. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Gerade in 2D:** + - Steigungsform: $ y = 2x + 3 $ + - Normalform: $ 2x - y + 3 = 0 $ +- **Gerade in 3D:** + - Parameterdarstellung: $ \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} $ +- **Abstand eines Punktes:** + - Bestimme den Abstand des Punktes $ (3, 4) $ von der Geraden $ 2x - y + 1 = 0 $: + $$ + d = \frac{|2 \cdot 3 - 4 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 4 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1,34 + $$ +- **Lagebeziehungen in 3D:** + - Gegeben zwei Geraden $ \mathbf{r_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{r_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $: + - Richtungsvektoren sind gleich: $ \mathbf{b_1} = \mathbf{b_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ + - Parallel, aber unterschiedlich positioniert. + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Gerade in 2D:** + - Schreibe die Gerade, die durch den Punkt $ (2, 3) $ geht und eine Steigung von $ m = -1 $ hat, in der Normalform. + - Bestimme den Abstand des Punktes $ (4, -2) $ von der Geraden $ y = \frac{1}{2}x + 1 $. +2. **Gerade in 3D:** + - Formuliere die Parameterdarstellung der Geraden, die durch $ (1, 1, 1) $ verläuft und den Richtungsvektor $ (2, 0, -1) $ hat. + - Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $ \mathbf{r_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{r_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $, falls vorhanden. +3. **Hessesche Normalform:** + - Wandle die Steigungsform $ y = 3x + 2 $ in die Hessesche Normalform um. +4. **Lagebeziehungen:** + - Bestimme die Lagebeziehung zwischen den Geraden $ \mathbf{r_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ und $ \mathbf{r_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $. +5. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um die Parameterdarstellung einer Geraden in 3D zu definieren und den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen. + - Implementiere ein Python-Skript, das den Abstand eines Punktes von einer Geraden in 2D berechnet. + ```python + import sympy as sp + t = sp.symbols('t') + # Gerade: r = (1, 0, 0) + t*(0, 1, 1) + x = 1 + y = t + z = t + # Ebene: x + y + z = 2 + equation = sp.Eq(x + y + z, 2) + solution = sp.solve(equation, t) + t_value = solution[t] + intersection_point = (x, y.subs(t, t_value), z.subs(t, t_value)) + print("Schnittpunkt:", intersection_point) # (1, 0.5, 0.5) + ``` + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst die Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen in 3D korrekt bestimmen. +- Du verstehst, wie man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene berechnet. +- Du kannst die Konzepte der Parallelität, Enthaltenheit und Schneidung anwenden und interpretieren. +- Du kannst diese Konzepte mithilfe von Python/SymPy anwenden und lösen. + +--- + +## **Woche 11: Integralrechnung und Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen** + +### **Thema 1: Integralrechnung** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Stammfunktion:** Eine Funktion $ F(x) $, deren Ableitung $ F'(x) = f(x) $. +- **Unbestimmtes Integral:** + $$ + \int f(x) \, dx = F(x) + C + $$ + wobei $ C $ die Integrationskonstante ist. +- **Bestimmtes Integral:** + $$ + \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) + $$ +- **Grundlegende Integrationsregeln:** + - **Lineare Regel:** $ \int [af(x) + bg(x)] \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx $ + - **Potenzregel:** $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ für $ n \neq -1 $ + - **Exponentialregel:** $ \int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C $ +- **Anwendung auf Polynome und Exponentialfunktionen.** + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Unbestimmtes Integral:** + $$ + \int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C + $$ +- **Bestimmtes Integral:** + $$ + \int_{1}^{3} (2x + 1) \, dx = \left[ x^2 + x \right]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10 + $$ +- **Exponentialfunktion:** + $$ + \int 4e^{2x} \, dx = 2e^{2x} + C + $$ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Unbestimmtes Integral:** + - Bestimme $ \int (5x^4 - 3x^2 + 2x - 7) \, dx $. + - Berechne $ \int (e^x + 2x) \, dx $. +2. **Bestimmtes Integral:** + - Berechne $ \int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx $. + - Bestimme das bestimmte Integral $ \int_{1}^{4} e^{x} \, dx $. +3. **Anwendung der Grundregeln:** + - Verwende die Potenzregel, um $ \int x^5 \, dx $ zu berechnen. + - Berechne $ \int 7e^{3x} \, dx $ mithilfe der Exponentialregel. +4. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um das unbestimmte Integral von $ f(x) = 6x^3 - 4x + 2 $ zu berechnen. + ```python + import sympy as sp + x = sp.symbols('x') + f = 6*x**3 - 4*x + 2 + integral = sp.integrate(f, x) + print(integral) # 6*x**4/4 - 4*x**2/2 + 2*x = 1.5*x**4 - 2*x**2 + 2*x + ``` + - Berechne mit SymPy das bestimmte Integral $ \int_{2}^{5} x^2 \, dx $. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst unbestimmte und bestimmte Integrale grundlegender Funktionen berechnen. +- Du verstehst die Bedeutung der Stammfunktion und die grundlegenden Integrationsregeln. +- Du kannst Integrale von Polynomen und Exponentialfunktionen korrekt berechnen, sowohl manuell als auch mit Python/SymPy. + +--- + +### **Thema 2: Extremstellen, Ebenen und Lagebeziehungen** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Kritische Stelle:** Ein Punkt $ x $, an dem die Ableitung $ f'(x) = 0 $ oder nicht definiert ist. +- **Lokales Extremum:** Ein Punkt, an dem die Funktion ein lokales Maximum oder Minimum hat. +- **Globales Extremum:** Ein Punkt, an dem die Funktion ein globales Maximum oder Minimum hat. +- **Hochpunkt:** Ein lokales Maximum. +- **Tiefpunkt:** Ein lokales Minimum. +- **Sattelpunkt:** Ein Punkt, an dem die Funktion ihre Krümmung ändert, aber kein Extremum ist. +- **Kriterien zur Bestimmung:** + - **Erste Ableitung:** $ f'(x) = 0 $ für kritische Stellen. + - **Zweite Ableitung:** Bestimmt die Krümmung und hilft bei der Klassifizierung der Extremstellen. + - $ f''(x) > 0 $: Lokales Minimum + - $ f''(x) < 0 $: Lokales Maximum + - $ f''(x) = 0 $: Weitere Untersuchung (z.B. dritte Ableitung) + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Funktion mit Hoch- und Tiefpunkten:** + $$ + f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 + $$ + - $ f'(x) = 3x^2 - 6x $ + - $ f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 $ oder $ x = 2 $ + - $ f''(x) = 6x - 6 $ + - $ f''(0) = -6 < 0 \Rightarrow $ Lokales Maximum bei $ x = 0 $ + - $ f''(2) = 6 > 0 \Rightarrow $ Lokales Minimum bei $ x = 2 $ +- **Funktion mit Sattelpunkt:** + $$ + f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 + $$ + - $ f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 $ + - $ f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2 $ + - $ f''(x) = 6x - 12 $ + - $ f''(2) = 0 $ + - $ f'''(x) = 6 \neq 0 \Rightarrow $ Echter Wendepunkt bei $ x = 2 $ + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Wendepunkte finden:** + - Bestimme die Wendepunkte der Funktion $ f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 $. + - Finde die Wendepunkte der Funktion $ f(x) = \ln(x) $. +2. **Krümmungsverhalten:** + - Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion $ f(x) = x^3 - 3x $. + - Analysiere das Krümmungsverhalten der Funktion $ f(x) = e^x - x^2 $. +3. **Verwendung der dritten Ableitung:** + - Bestimme, ob der Punkt $ x = 1 $ ein echter Wendepunkt für $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 $ ist. +4. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um die Wendepunkte der Funktion $ f(x) = x^5 - 5x^3 + 4x $ zu bestimmen. + ```python + import sympy as sp + x = sp.symbols('x') + f = x**5 - 5*x**3 + 4*x + f_prime = sp.diff(f, x) + f_double_prime = sp.diff(f_prime, x) + f_triple_prime = sp.diff(f_double_prime, x) + critical_points = sp.solve(f_double_prime, x) + for cp in critical_points: + concavity = f_triple_prime.subs(x, cp) + if concavity != 0: + print(f"x = {cp}: Echter Wendepunkt") + else: + print(f"x = {cp}: Sattelpunkt oder nicht klassifiziert") + ``` +5. **Graphische Interpretation:** + - Skizziere die Funktion $ f(x) = x^3 - 3x $ und markiere die Wendepunkte. + - Zeichne den Graphen von $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 $ und identifiziere die Wendepunkte. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst kritische Stellen einer Funktion identifizieren und deren Art bestimmen. +- Du verstehst den Zusammenhang zwischen der ersten und zweiten Ableitung bei der Klassifizierung von Extremstellen. +- Du kannst Sattelpunkte erkennen und verstehen ihre Bedeutung in der Kurvendiskussion. +- Du kannst diese Konzepte mithilfe von Python/SymPy anwenden und graphisch interpretieren. + +--- + +### **Thema 3: Kurvendiskussion und praktische Anwendungen** + +#### **Wichtige Konzepte:** +- **Kurvendiskussion:** Eine umfassende Analyse einer Funktion, einschließlich: + - **Definitionsbereich:** Alle $ x $-Werte, für die die Funktion definiert ist. + - **Symmetrie:** Gerade oder ungerade Symmetrie der Funktion. + - **Grenzwerte:** Verhalten der Funktion gegen $ \pm \infty $ oder an den Randpunkten des Definitionsbereichs. + - **Nullstellen:** Punkte, an denen $ f(x) = 0 $. + - **Extrema:** Lokale und globale Maxima und Minima. + - **Wendepunkte:** Punkte, an denen sich die Krümmung ändert. + - **Krümmungsverhalten:** Konvexität und Konkavität der Funktion. +- **Anwendungen:** Anwendungen in Alltag, Naturwissenschaft und Technik, z.B. Optimierungsprobleme, physikalische Modelle. + +#### **Konkrete Beispiele:** +- **Kurvendiskussion von $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $:** + - **Definitionsbereich:** $ \mathbb{R} $ + - **Symmetrie:** Keine + - **Grenzwerte:** $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $, $ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $ + - **Nullstellen:** Setze $ f(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x^2 - 2x - 2) = 0 \Rightarrow x = 1, x = 1 \pm \sqrt{3} $ + - **Extrema:** Lokales Maximum bei $ x = 0 $, Lokales Minimum bei $ x = 2 $ + - **Wendepunkte:** Sattelpunkt bei $ x = 1 $ + - **Krümmungsverhalten:** Wechsel von konkav nach konvex bei $ x = 1 $ +- **Anwendung:** Bestimmen des optimalen Produktionsniveaus zur Maximierung des Gewinns bei gegebenen Kosten- und Erlösfunktionen. + +#### **Übungsaufgaben:** +1. **Kurvendiskussion:** + - Führe eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion $ f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 $ durch. + - Analysiere die Funktion $ f(x) = \ln(x) $ hinsichtlich ihrer Eigenschaften und Extremstellen. +2. **Anwendung auf Optimierungsprobleme:** + - Ein Unternehmen produziert ein Produkt mit den Kosten $ K(x) = 100 + 20x $ und dem Erlös $ E(x) = 50x - x^2 $. Bestimme den Produktionsumfang $ x $, der den Gewinn maximiert. +3. **Grafische Interpretation:** + - Skizziere den Graphen der Funktion $ f(x) = e^x - x^2 $ und identifiziere alle Extremstellen und Wendepunkte. +4. **Python/SymPy:** + - Verwende SymPy, um eine vollständige Kurvendiskussion für $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 $ durchzuführen. + ```python + import sympy as sp + x = sp.symbols('x') + f = x**3 - 6*x**2 + 12*x - 8 + f_prime = sp.diff(f, x) + f_double_prime = sp.diff(f_prime, x) + critical_points = sp.solve(f_prime, x) + inflection_points = sp.solve(f_double_prime, x) + + for cp in critical_points: + concavity = f_double_prime.subs(x, cp) + if concavity > 0: + print(f"x = {cp}: Lokales Minimum") + elif concavity < 0: + print(f"x = {cp}: Lokales Maximum") + else: + print(f"x = {cp}: Sattelpunkt oder nicht klassifiziert") + + for ip in inflection_points: + print(f"Wendepunkt bei x = {ip}") + ``` + - Implementiere ein Python-Skript, das automatisch den Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte und das Krümmungsverhalten einer gegebenen Funktion analysiert. +5. **Praktische Anwendungen:** + - Formuliere ein reales Problem (z.B. in Physik oder Wirtschaft) als mathematische Funktion und führe eine Kurvendiskussion durch, um wichtige Eigenschaften und optimale Punkte zu bestimmen. + +#### **Verständnis-Kriterien:** +- Du kannst eine vollständige Kurvendiskussion einer Funktion durchführen, inklusive aller relevanten Eigenschaften. +- Du verstehst, wie man die unterschiedlichen Aspekte einer Funktion (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Krümmung) identifiziert und interpretiert. +- Du kannst Kurvendiskussionen auf praktische Anwendungen übertragen und daraus relevante Schlüsse ziehen. +- Du kannst diese Konzepte sowohl manuell als auch mithilfe von Python/SymPy anwenden und interpretieren. + +--- + +## **Allgemeine Empfehlungen für den Lernprozess** + +1. **Zeitmanagement:** + - Plane täglich feste Lernzeiten ein (z.B. 1-2 Stunden pro Tag). + - Teile die Wochenziele in tägliche Unterziele auf, um den Fortschritt zu überwachen. + +2. **Theorie und Praxis kombinieren:** + - Verstehe die theoretischen Grundlagen, bevor du zu den Übungen übergehst. + - Nutze Computer-Algebra-Systeme wie Python/Numpy und SymPy zur Unterstützung und Vertiefung. + +3. **Übungen und Wiederholung:** + - Bearbeite regelmäßig Übungsaufgaben zu jedem Thema. + - Wiederhole vergangene Themen kurz, um das Wissen zu festigen. + +4. **Lernressourcen:** + - Nutze Lehrbücher, Online-Kurse und Video-Tutorials zur Vertiefung. + - Arbeite mit Lernpartnern oder in Gruppen, um schwierige Konzepte zu diskutieren. + +5. **Selbstüberprüfung:** + - Teste dein Verständnis mit Selbsttests und Übungsprüfungen. + - Stelle sicher, dass du die **Verständnis-Kriterien** für jedes Thema erfüllst, bevor du weitergehst. + +6. **Fragestellungen und Anwendung:** + - Suche nach realen Anwendungsfällen für die gelernten Konzepte. + - Formuliere eigene Beispiele und Probleme, um die Anwendung zu üben. + +--- + +## **Wann gilt ein Thema als verstanden?** + +- **Theoretisches Verständnis:** Du kannst alle relevanten Definitionen und Theoreme korrekt wiedergeben und erklären. +- **Anwendungsfähigkeit:** Du kannst verschiedene Typen von Aufgaben und Problemen zu dem Thema selbstständig und fehlerfrei lösen. +- **Verbindung zu anderen Themen:** Du verstehst, wie das Thema mit anderen mathematischen Bereichen verknüpft ist und kannst diese Verbindungen nutzen. +- **Selbstsicherheit:** Du fühlst dich sicher im Umgang mit den Konzepten und kannst sie auch unter Prüfungsbedingungen anwenden. + +--- + +Durch die konsequente Befolgung dieses detaillierten Lernplans und die aktive Auseinandersetzung mit den Themen wirst du die mathematischen Grundlagen effizient und nachhaltig meistern. Jede Woche baut auf den vorherigen auf, sodass du ein tiefes und vernetztes Verständnis entwickelst. + +**Viel Erfolg beim Lernen!** diff --git a/formulas/Vorgehen laut O1.md b/formulas/Vorgehen laut O1.md new file mode 100644 index 0000000..29f1530 --- /dev/null +++ b/formulas/Vorgehen laut O1.md @@ -0,0 +1,410 @@ +**Woche 1** + +1. **Mengenlehre und Zahlenmengen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Mengenschreibweise (z.B. {1,2,3}\{1,2,3\}) + - Teilmengen (A⊆BA \subseteq B), Vereinigung (A∪BA \cup B), Schnittmenge (A∩BA \cap B), Komplement + - Zahlenmengen (N,Z,Q,R\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}) mit Beispielen: + - N={1,2,3,… }\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, Z={…,−2,−1,0,1,2,… }\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} + - Intervalle (z.B. [a,b][a,b], (−∞,5)(-\infty,5)) + - **Übung**: + 1. Zeichne ein Venn-Diagramm für drei Mengen A,B,CA, B, C mit mindestens zwei Überschneidungen. Bestimme A∪BA \cup B, A∩CA \cap C, (A∪B)c(A \cup B)^c. + 2. Benenne jeweils Beispiele für N,Z,Q\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} und R\mathbb{R}. Welche Zahlen sind rational, welche irrational? + - **Verstanden, wenn**: Du kannst selbstständig Venn-Diagramme zeichnen und alle Mengenoperationen durchführen. Du kennst die Eigenschaften der Zahlenmengen und kannst jede Zahl einer Menge korrekt zuordnen. +2. **Zahlenoperationen und algebraische Gesetze** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Brüche (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) + - Potenzen (mit natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Exponenten) + - Logarithmen (Log-Gesetze: log⁡(ab)=log⁡(a)+log⁡(b)\log(ab)=\log(a)+\log(b), log⁡(ak)=klog⁡(a)\log(a^k)=k\log(a)) + - Binomische Formeln (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a−b)2(a-b)^2 etc. + - Lineare und quadratische Gleichungen (Formeln wie Mitternachtsformel) + - **Übung**: + 1. Rechne (34)2\left(\frac{3}{4}\right)^2 und 2⋅8\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}. + 2. Logarithmus-Beispiel: log⁡2(16)\log_2(16), log⁡3(81)\log_3(81), ln⁡(e3)\ln(e^3). + 3. Löse: x+3=10x + 3 = 10 und x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6=0. + - **Verstanden, wenn**: Du kommst schnell von einer allgemeinen Logarithmus- oder Potenzaufgabe zur richtigen Lösung und kannst lineare/quadratische Gleichungen sicher lösen. +3. **Numerik und Computer-Algebra-Systeme (CAS)** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Numerische vs. symbolische Berechnung + - Python/Numpy: numerische Summen, Produktberechnungen, Approximieren von Wurzeln usw. + - Python/Sympy: Terme vereinfachen, faktorisieren, Gleichungen symbolisch lösen + - **Übung** (kleine Beispiele): + 1. Nutze Sympy, um x2+2x+1x^2+2x+1 zu faktorisieren (sollte (x+1)2(x+1)^2 ergeben). + 2. Nutze Numpy, um eine Liste von Zahlen [1,2,3][1,2,3] zu addieren oder eine Summe ∑k=1nk\sum_{k=1}^{n} k zu berechnen. + - **Verstanden, wenn**: Du hast kleine Skripte geschrieben, mit denen du Terme vereinfacht und Gleichungen gelöst hast, ohne dich zu verzetteln. + +--- + +**Woche 2** + +1. **Funktionen und Abbildungen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Definition: f:D→Wf: D \rightarrow W, mit DD = Definitionsmenge, WW = Wertebereich + - Injektiv (f(x1)=f(x2)  ⟹  x1=x2f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2), Surjektiv (jedes Element der Zielmenge hat ein Urbild) + - **Übung**: + 1. Definiere f(x)=x2f(x)=x^2 mit D=RD=\mathbb{R}. Ist ff injektiv? Ist es surjektiv auf R\mathbb{R}? Auf R≥0\mathbb{R}_{\ge 0}? + - **Verstanden, wenn**: Du erkennst rasch, ob eine Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist, und kannst Argumente/Bilder benennen. +2. **Winkelmaße und Kreisberechnungen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Gradmaß vs. Bogenmaß (z.B. 180∘=π180^\circ = \pi Bogenmaß) + - Bogenlänge s=r⋅φs = r \cdot \varphi (wenn φ\varphi im Bogenmaß) + - **Übung**: + 1. Wandle 30∘30^\circ in Bogenmaß um (π6\frac{\pi}{6}). + 2. Bei Radius r=5r=5 cm und Winkel 60∘60^\circ: Bogenlänge s=?s=? + - **Verstanden, wenn**: Du rechnest Grad in Bogenmaß sicher um und verwendest korrekt s=rφs=r\varphi. +3. **Kombinatorik und Binomialkoeffizienten** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - n!n!, (nk)\binom{n}{k}, Permutation, Kombination + - **Übung**: + 1. (52)\binom{5}{2} berechnen (=10=10). + 2. Wie viele Möglichkeiten, 4 Bücher in ein Regal zu stellen (Permutation)? + - **Verstanden, wenn**: Du kannst die passende Formel direkt auswählen und sicher rechnen, ohne zu raten. + +--- + +**Woche 3** + +1. **Zahlenfolgen und Grenzwerte** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Beispiele arithmetische Folge (an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d), geometrische Folge (an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}) + - Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz (z.B. 1n→0\frac{1}{n}\rightarrow 0) + - **Übung**: + 1. Bestimme die ersten fünf Glieder von an=2⋅3n−1a_n=2\cdot3^{n-1}. Ist sie wachsend oder fallend? + 2. Zeige, dass an=1na_n=\frac{1}{n} gegen 0 konvergiert. + - **Verstanden, wenn**: Du kannst klar angeben, ob eine Folge konvergiert oder divergiert und den Grenzwert berechnen. +2. **Lineare Gleichungssysteme und Matrixverfahren** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Gauß-Verfahren, Stufenform, Pivotelement, Lösungsmenge + - **Übung**: + 1. Löse das System: {x+2y=52x+3y=8\begin{cases} x + 2y = 5\\ 2x + 3y = 8 \end{cases} + 2. Bringe ein 3x3-System in Stufenform und gib die Lösung an. + - **Verstanden, wenn**: Du arbeitest dich strukturiert durchs Gauß-Schema und erkennst schnell, ob eine eindeutige Lösung existiert. +3. **Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Variation (Reihenfolge relevant, z.B. Sitzordnung), Kombination (Reihenfolge egal) + - **Übung**: + 1. Wieviele 5-stellige Codes kann man aus Ziffern 0–9 bilden (Variation mit Wiederholung)? + 2. Wieviele 2er-Teams lassen sich aus 6 Personen bilden (Kombination ohne Wiederholung)? + - **Verstanden, wenn**: Du ordnest jede typische Kombinatorik-Aufgabe zügig dem richtigen Modell zu. + +--- + +**Woche 4** + +1. **Summen und Reihen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Summenzeichen (∑\sum), geometrische Reihe (Sn=a⋅1−qn1−qS_n = a\cdot\frac{1-q^n}{1-q}) + - Konvergenz einer unendlichen geometrischen Reihe (∣q∣<1|q|<1) + - **Übung**: + 1. Bestimme ∑k=14(2k)\sum_{k=1}^{4} (2k). + 2. Zeige, dass ∑k=0∞(12)k=2\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = 2. + - **Verstanden, wenn**: Du baust Summen selbstständig auf und erkennst sofort, wann eine geometrische Reihe konvergiert. +2. **Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Rang = Anzahl linear unabhängiger Zeilen, Defekt = Dimension des Lösungsraums + - **Übung**: + 1. Gib für das System {x+y+z=22x+2y+2z=4x−y+0z=1\begin{cases} x + y + z = 2\\ 2x + 2y + 2z = 4\\ x - y + 0z = 1 \end{cases} Rang, Defekt und die Lösungsmenge an. + - **Verstanden, wenn**: Du erkennst sofort mehrfach gleiche Zeilen (linear abhängig) und kannst Parameter benennen. +3. **Kombinatorik und spezielle Werteberechnung** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Wiederholung der Fakulät, Binomialkoeffizienten, Permutationen, Kombinationen etc. + - **Übung**: + 1. Vergleiche (53)\binom{5}{3} mit (52)\binom{5}{2}. + - **Verstanden, wenn**: Du wählst korrekt zwischen Permutation, Kombination und Variation in jeder Aufgabenstellung. + +--- + +**Woche 5** + +1. **Funktionen und ihre Eigenschaften** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Potenzfunktion (xnx^n), Exponentialfunktion (exe^x), Logarithmusfunktion (ln⁡x\ln x), hyperbolische Funktionen (sinh⁡x,cosh⁡x\sinh x, \cosh x) + - **Übung**: + 1. Skizziere f(x)=exf(x)=e^x. Berechne f(0)f(0), f′(0)f'(0). + 2. Skizziere g(x)=ln⁡(x)g(x)=\ln(x). Was passiert für x→0+x \rightarrow 0^+? + - **Verstanden, wenn**: Du kannst die Grundformen zeichnen und weißt, wie sie sich für große ∣x∣|x| verhalten. +2. **Trigonometrische und Arcuswerte** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Sin, Cos, Tan, Arcsin, Arccos, Arctan + - **Übung**: + 1. sin⁡(π6)\sin(\frac{\pi}{6}), cos⁡(π3)\cos(\frac{\pi}{3}), tan⁡(π4)\tan(\frac{\pi}{4}). + 2. Löse sin⁡(x)=12\sin(x)=\frac{1}{2}. + - **Verstanden, wenn**: Du kennst Standardwerte (30°, 45°, 60°) und kannst Umkehrfunktionen sicher verwenden. +3. **Wahrscheinlichkeit und Ereignisse** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Laplace-Experiment, Ereignisverknüpfungen (und, oder, Komplement), De-Morgan’sche Regeln + - **Übung**: + 1. Beim Würfeln: Ereignis A={Wurf gerade}A=\{\text{Wurf gerade}\}, B={Wurf ≤3}B=\{\text{Wurf }\le 3\}. Bestimme A∩BA\cap B und A∪BA\cup B. + - **Verstanden, wenn**: Du arbeitest sicher mit Ereignissen und Verknüpfungen, egal ob im Würfelexperiment oder allgemeinen Fällen. + +--- + +**Woche 6** + +1. **Funktionen: Parität, Lineare und Exponentialfunktionen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Gerade Funktion (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)), ungerade Funktion (f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)) + - Lineare Funktion (f(x)=mx+bf(x)=mx+b) aus Punkt+Steigung bestimmen + - **Übung**: + 1. Teste, ob f(x)=x2f(x)=x^2 gerade/ungerade ist. + 2. Bestimme die lineare Funktion, die durch (1,2)(1,2) mit Steigung 3 verläuft. + - **Verstanden, wenn**: Du erkennst Symmetrien und schreibst sofort den korrekten Funktionsterm. +2. **Trigonometrische Funktionen und Theoreme** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Additionstheorem: sin⁡(a+b)=sin⁡(a)cos⁡(b)+cos⁡(a)sin⁡(b)\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b) + - Lösung trigonometrischer Gleichungen + - **Übung**: + 1. Zeige sin⁡(π/3+π/6)\sin(\pi/3 + \pi/6) mithilfe des Additionstheorems. + 2. Löse sin⁡(x)=2/2\sin(x)=\sqrt{2}/2. + - **Verstanden, wenn**: Du setzt die Additionstheoreme automatisch ein und findest die allgemeinen Lösungen. +3. **Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kolmogorov-Axiome** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Kolmogorov-Axiome, Unabhängigkeit + - **Übung**: + 1. Zeige, dass P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). + 2. Prüfe in einem Beispiel, ob zwei Ereignisse unabhängig sind. + - **Verstanden, wenn**: Du kannst alle Wahrscheinlichkeitsformeln ohne Zögern herleiten/anwenden. + +--- + +**Woche 7** + +1. **Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Differenzquotient f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + - Ableitung einfacher Monome (ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=n x^{n-1}) + - Aufleitung = „Umgekehrte Ableitung“ + - **Übung**: + 1. ddx(x3)\frac{d}{dx} (x^3) berechnen. + 2. ∫x2 dx\int x^2 \, dx. + - **Verstanden, wenn**: Du weißt, dass die Ableitung die Steigung ist und du einfache Polynomfunktionen ab- und aufleiten kannst. +2. **Vektoren und Vektorrechnung** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Definition eines Vektors in Rn\mathbb{R}^n, Betrag, Linearkombination + - **Übung**: + 1. (2,1)+(1,4)=(3,5)(2,1)+(1,4)=(3,5), (2,1)−(1,4)=(1,−3)(2,1)-(1,4)=(1,-3). + 2. λ(2,1)\lambda(2,1) + μ(0,3)\mu(0,3) = beliebiger Vektor in der Ebene. + - **Verstanden, wenn**: Du addierst, subtrahierst und skalierst Vektoren flüssig und erkennst geometrische Zusammenhänge. +3. **Ableitung mit Differenzquotient** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Definition lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + - **Übung**: + 1. Zeige direkt via Grenzwert, dass ddxx2=2x\frac{d}{dx} x^2 = 2x. + - **Verstanden, wenn**: Du kannst den Grenzwert sicher ausrechnen und weißt, wieso das die Steigung ist. + +--- + +**Woche 8** + +1. **Differenzialrechnung: Erweiterte Ableitungsregeln** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Produktregel: (fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg' + - Kettenregel: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x) + - Quotientenregel + - **Übung**: + 1. Leite f(x)=x2⋅exf(x)=x^2 \cdot e^x ab. + 2. Leite g(x)=sin⁡xxg(x)=\frac{\sin x}{x} ab. + - **Verstanden, wenn**: Du sicher bist im Jonglieren mit Produkt-, Ketten- und Quotientenregel. +2. **Vektorrechnung und Skalarprodukt** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - (a⃗,b⃗)=∥a⃗∥∥b⃗∥cos⁡(α)(\vec{a},\vec{b})=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos(\alpha) + - Winkel- und Längenberechnung + - **Übung**: + 1. Berechne das Skalarprodukt von a⃗=(1,2)\vec{a}=(1,2) und b⃗=(2,1)\vec{b}=(2,1). + 2. Finde den Winkel zwischen a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b}. + - **Verstanden, wenn**: Du zückst sofort α=arccos⁡(a⃗⋅b⃗∥a⃗∥∥b⃗∥)\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\right) und bekommst den richtigen Wert. +3. **Wahrscheinlichkeitsrechnung und bedingte Wahrscheinlichkeit** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} + - Satz von Bayes + - **Übung**: + 1. In einer Urne sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Was ist P(rot∣erste Kugel war rot)P(\text{rot}|\text{erste Kugel war rot})? + 2. Typische Diagnosefragen (falsch-positiv, falsch-negativ) mit Bayes-Satz durchrechnen. + - **Verstanden, wenn**: Du kannst Aufgaben zu (Un)abhängigkeit lösen und Bayes-Satz korrekt anwenden. + +--- + +**Woche 9** + +1. **Exponential- und Logarithmusfunktionen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Eulersche Zahl ee, natürliche Exponentialfunktion exe^x, natürlicher Logarithmus ln⁡x\ln x + - Ableitungen: ddxex=ex\frac{d}{dx}e^x=e^x, ddxln⁡(x)=1x\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x} + - **Übung**: + 1. ∫ex dx=ex+C\int e^x \,dx = e^x + C. + 2. Leite f(x)=e2xf(x)=e^{2x} mithilfe der Kettenregel ab. + - **Verstanden, wenn**: Du arbeitest mit ln⁡\ln und exe^x (inkl. Ableitungen) absolut sicher. +2. **Vektor- und Spatprodukt** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Kreuzprodukt a⃗×b⃗\vec{a}\times \vec{b}: Betrag = Fläche des Parallelogramms + - Spatprodukt (a⃗×b⃗)⋅c⃗(\vec{a}\times \vec{b})\cdot\vec{c}: Volumen + - **Übung**: + 1. Berechne (1,0,0)×(0,1,0)(1,0,0)\times(0,1,0). + 2. Finde das Volumen des Spats aufgespannt von a⃗=(1,2,3)\vec{a}=(1,2,3), b⃗=(0,1,1)\vec{b}=(0,1,1), c⃗=(2,0,1)\vec{c}=(2,0,1). + - **Verstanden, wenn**: Du kannst Flächen/Volumen in 3D-Aufgaben schnell bestimmen. +3. **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Zufallsvariable XX, Wahrscheinlichkeitsfunktion pX(k)=P(X=k)p_X(k)=P(X=k) + - Verteilungsfunktion FX(k)=P(X≤k)F_X(k)=P(X\le k) + - **Übung**: + 1. Ein Würfel: XX=Augenzahl, erstelle ein Stabdiagramm für pXp_X. + - **Verstanden, wenn**: Du kannst Wahrscheinlichkeitsfunktionen definieren und interpretieren. + +--- + +**Woche 10** + +1. **Ableitungen spezieller Funktionen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - ddxsin⁡x=cos⁡x\frac{d}{dx}\sin x=\cos x, ddxcos⁡x=−sin⁡x\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x, ddxtan⁡x=sec⁡2x\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x + - Hyperbolische: ddxsinh⁡x=cosh⁡x\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x usw. + - **Übung**: + 1. Leite f(x)=sin⁡(3x)f(x)=\sin(3x) ab (Kettenregel). + 2. Leite g(x)=sinh⁡(2x)g(x)=\sinh(2x) ab. + - **Verstanden, wenn**: Du kennst diese Standardableitungen auswendig und wendest sie gezielt an. +2. **Geraden in 2D und 3D** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Parameterdarstellung r⃗=p⃗+td⃗\vec{r} = \vec{p} + t\vec{d} + - Normalenvektor in 2D, Hessesche Normalform xcos⁡α+ysin⁡α−p1=0\frac{x\cos\alpha + y\sin\alpha - p}{1}=0 + - **Übung**: + 1. Finde die Parameterdarstellung einer Geraden durch Punkte P(1,2)P(1,2) und Q(2,5)Q(2,5). + 2. In 3D: Gerade durch P(0,1,2)P(0,1,2) mit Richtungsvektor d⃗=(1,0,3)\vec{d}=(1,0,3). + - **Verstanden, wenn**: Du schreibst jede Gerade sofort in Parameterform und findest den Normalenvektor in 2D. +3. **Vektorrechnung und Projektionen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Orthogonalprojektion einer Größe u⃗\vec{u} auf v⃗\vec{v} + - **Übung**: + 1. Projektion von u⃗=(2,3)\vec{u}=(2,3) auf v⃗=(1,0)\vec{v}=(1,0). + - **Verstanden, wenn**: Du beherrschst die Formel projv⃗(u⃗)=(u⃗⋅v⃗v⃗⋅v⃗)v⃗\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \left(\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}\right)\vec{v}. + +--- + +**Woche 11** + +1. **Integralrechnung** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Bestimmtes Integral ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx als Flächeninhalt + - Grundaufgaben: ∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, ∫exdx=ex+C\int e^x dx=e^x + C + - **Übung**: + 1. ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx. + 2. ∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x}\,dx. + - **Verstanden, wenn**: Du setzt die Stammfunktionen korrekt ein und verstehst, warum das bestimmte Integral eine Fläche darstellt. +2. **Geraden in 2D und 3D** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Normal- und Parameterform, Abstandsbestimmung Punkt-Gerade + - **Übung**: + 1. Finde den Abstand des Punkts (3,4)(3,4) von der Geraden x+2y=5x+2y=5. + 2. In 3D: Prüfe, ob zwei Geraden parallel, windschief oder sich schneidend sind. + - **Verstanden, wenn**: Du beherrschst die Abstandsformel und Lagebeziehungen in 3D. +3. **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Gleichverteilung, Bernoulli, Binomialverteilung (nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} + - **Übung**: + 1. Bernoulli-Experiment (Treffer/kein Treffer): P(X=1)=pP(X=1)=p. + 2. Binomialverteilung: n=5n=5, p=0.4p=0.4. Berechne P(X=2)P(X=2). + - **Verstanden, wenn**: Du kannst die passende Verteilung heraussuchen und berechnen. + +--- + +**Woche 12** + +1. **Extremstellen und Sattelpunkte von Funktionen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Kritische Stelle: f′(x0)=0f'(x_0)=0 + - 2. Ableitungstest: f′′(x0)>0f''(x_0)>0 (Tiefpunkt), <0<0 (Hochpunkt), =0=0 (möglicher Sattel) + - **Übung**: + 1. Finde Extrema von f(x)=x3−3xf(x)=x^3 - 3x. + - **Verstanden, wenn**: Du findest Hoch-, Tief- und Sattelpunkte inkl. Koordinaten korrekt. +2. **Ebenen in 3D** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Parameterform (r⃗=p⃗+su⃗+tv⃗\vec{r}=\vec{p} + s\vec{u}+ t\vec{v}) + - Normalenform (n⃗⋅(r⃗−p⃗)=0\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{p})=0) + - Abstand Punkt-Ebene + - **Übung**: + 1. Ebene durch Punkte A,B,CA,B,C angeben. + 2. Abstand von P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0) zur Ebene berechnen. + - **Verstanden, wenn**: Du schreibst direkt die Parameter-/Normalenform hin und rechnest den Abstand sauber aus. +3. **Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Schnittpunkt berechnen (Gerade in die Ebenengleichung einsetzen) + - Parallelität (Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor?) + - Enthaltensein (alle Punkte der Geraden liegen in der Ebene?) + - **Übung**: + 1. Zeige, dass die Gerade r⃗=(1,2,3)+t(1,1,1)\vec{r}=(1,2,3)+t(1,1,1) in der Ebene r⃗=(1,2,3)+s(1,0,1)+u(0,1,2)\vec{r}=(1,2,3)+s(1,0,1)+u(0,1,2) liegt. + - **Verstanden, wenn**: Du unterscheidest rasch zwischen schneidend, parallel und enthalten. + +--- + +**Woche 13** + +1. **Krümmung und Wendepunkte** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Zweite Ableitung (f′′(x)f''(x)) und Vorzeichenwechsel -> Wendepunkt + - **Übung**: + 1. Finde alle Wendepunkte bei f(x)=x3f(x)=x^3. + - **Verstanden, wenn**: Du prüfst d2dx2\frac{d^2}{dx^2} sorgfältig und erkennst das Krümmungsverhalten. +2. **Wendepunktbestimmung** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - d2dx2(x3)=6x\frac{d^2}{dx^2}(x^3)=6x, d3dx3(x3)=6\frac{d^3}{dx^3}(x^3)=6 (3. Ableitung zur Absicherung) + - **Übung**: + 1. Bei f(x)=x4f(x)=x^4: Zeige, warum x=0x=0 zwar d2dx2=0\frac{d^2}{dx^2}=0 ergibt, aber kein Wendepunkt ist. + - **Verstanden, wenn**: Du kennst den Unterschied: d2dx2=0\frac{d^2}{dx^2}=0 ist nur ein **Kandidat** und kein sicherer Wendepunkt ohne Vorzeichenwechsel. +3. **Kurvendiskussion und praktische Anwendungen** + + - **Wichtigste Konzepte**: + - Kompletter Ablauf: Definitionsbereich, Grenzwerte, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Graphzeichnung + - **Übung**: + 1. Vollständige Kurvendiskussion von f(x)=x2−1x+1f(x)=\frac{x^2 - 1}{x+1}. Bestimme Polstellen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte. + - **Verstanden, wenn**: Du kannst eine Kurvendiskussion in einem Rutsch durchziehen und deine Ergebnisse grafisch/argumentativ stützen. + +--- + +### **So gehst du vor** + +1. **Inhalt sichten**: Lies kurz die wichtigsten Konzepte der Woche. +2. **Minibeispiele rechnen**: Pro Punkt 1–2 kleine Aufgaben wie oben, direkt auf Papier/CAS. +3. **Check**: Vergleiche mit den „Verstanden, wenn“-Kriterien. +4. **Vertiefen** (falls Lücken): Wiederhole Theorie, löse zusätzliche Übungsaufgaben. +5. **Zusammenfassen**: Mach dir ein Kurzskript, wo du Formeln und Beispiele notierst. + +So lernst du die Themen am effizientesten durch. + +