# Analysis # Formelsammlung ## Grundlagen: Mengen - **Menge**: Sammlung unterschiedlicher Objekte. - **Teilmenge**: $A \subseteq B$ bedeutet, jedes Element von $A$ liegt in $B$. - **Vereinigungsmenge**: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}$. - **Schnittmenge**: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}$. - **Grundmenge** (Universalmenge): $\Omega$, umfasst alle relevanten Elemente. - **Komplementärmenge**: $A^c = \Omega \setminus A$. - **Zahlenmengen**: - $\mathbb{N}$: natürliche Zahlen - $\mathbb{Z}$: ganze Zahlen - $\mathbb{Q}$: rationale Zahlen - $\mathbb{R}$: reelle Zahlen - $\mathbb{C}$: komplexe Zahlen --- ## Kartesisches Produkt $$ A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\} $$ --- ## Abbildung/Funktion - **Abbildung**: Zuordnungsvorschrift von einer **Definitionsmenge** (Domain) in eine **Zielmenge** (Codomain). - **Funktion**: Spezielle Abbildung, z.B. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. - **Definitionsmenge (D)**: $D_f$ - **Zielmenge (Z)**: Codomain - **Bildmenge (Wertebereich)**: $\mathrm{Im}(f)$ (alle tatsächlich angenommenen Werte). - **Abbildungsvorschrift**: Vorschrift, wie $x \mapsto f(x)$. - **abhängige/unabhängige Variable**: $y=f(x)$, $x$ ist unabhängig, $y$ abhängig. - **Argument**: Wert, der in die Funktion eingesetzt wird ($x$). --- ## Eigenschaften von Abbildungen - **Injektiv** (eineindeutig): $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. - Ein y hat höchstens ein x - nicht injektiv, sind funktionen die lokale Extrema haben - **Surjektiv** (auf): Jedes Element der Zielmenge wird getroffen. - Jedes y hat mindestens ein x - Globales verhalten muss von -unendlich nach + unendlich, oder umgekehrt sein. - Also jedes Y muss belegt sein - **Bijektiv**: Injektiv und surjektiv. - **Bild** eines Teilbereichs $A$: $f(A)$. - **Urbild** eines Bereichs $B$: $f^{-1}(B)$. - **Umkehrabbildung** (Inverse): $f^{-1}$, existiert nur bei Bijektion. --- ## Folgen - **Folge** $(a_n)$: Geordnete Liste von Werten. - **Folgeglied**: $a_n$. - **arithmetische Folge**: $a_{n+1} = a_n + d$. - **geometrische Folge**: $a_{n+1} = a_n \cdot q$. - **untere/obere Schranke**: Kleinster/größter Wert, der die Folge begrenzt. - **beschränkt**: Folge hat obere und/oder untere Schranke. - **(streng) monoton steigend/fallend**: $a_{n+1} \ge a_n$ bzw. $a_{n+1} > a_n$ (oder umgekehrt fallend). - **Konvergenz**: Folge nähert sich einem Grenzwert. - **Divergenz**: Kein endlicher Grenzwert. - **Grenzwert** $L$: $\lim_{n \to \infty} a_n = L$. --- ## Summen und Reihen - **Summe**: $\sum_{k=1}^{n} a_k$. - **Summenzeichen**: $\sum$. - **geometrische Summe**: $S_n = a\,\frac{1-r^n}{1-r}$ (für $r \neq 1$). - **Reihe**: Unendliche Summe: $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$. - **geometrische Reihe**: $\sum_{k=0}^{\infty} ar^k$. --- ## Betrag und Vorzeichen - **Betrag**: $|x|$. - **Vorzeichenfunktion**: $\mathrm{sgn}(x)$. --- ## Wichtige Funktionen - **Potenzfunktion**: $f(x) = x^n$. - **Exponentialfunktion** (eigentliche): $f(x) = e^x$. - **Logarithmusfunktion**: $f(x) = \log_a(x)$. - **hyperbolische Funktionen**: $\sinh x, \cosh x, \ldots$ - **Parität**: $f(-x) = f(x)$ (gerade), $f(-x) = -f(x)$ (ungerade). - **lineare Funktion**: $f(x) = m x + b$. - **verallgemeinerte Exponentialfunktion**: $a^x = e^{x \ln a}$. --- ## Steigung und Differenzquotient - **Steigung** $m$ einer Geraden: $m = \tan(\alpha)$ (Steigungswinkel $\alpha$). - **Differenzquotient**: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. --- ## Ableitung $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ ### Ableitungsregeln - **Faktorregel**: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. - **Summenregel**: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$. - **Produktregel**: $(f \cdot g)' = f' g + f g'$. - **Kettenregel**: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. - **Quadratregel**: $(x^2)' = 2x$. - **Reziprokenregel**: $\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)' = -\tfrac{1}{x^2}$. - **Quotientenregel**: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. --- ## Exponential- und Logarithmusableitungen - **Eulersche Zahl**: $e \approx 2{.}71828$. - **natürliche Exponentialfunktion**: $(e^x)' = e^x$. - **natürlicher Logarithmus**: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. - **Allgemeines**: $(a^x)' = a^x \ln(a)$, $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln(a)}$. --- ## Ableitungen trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen - **Trigonometrisch**: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \sec^2 x$, … - **Hyperbolisch**: $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$, $(\tanh x)' = \mathrm{sech}^2 x$, … - **Arkusfunktionen**: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, … - **Areafunktionen**: $(\mathrm{arsinh}\,x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, … --- ## Aufleitung und Integration - **Aufleitung / Stammfunktion**: $F'(x) = f(x)$. - **unbestimmtes Integral**: $\int f(x)\,dx = F(x) + C$. - **bestimmtes Integral**: $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. - **Integrand**: $f(x)$. - **Integrationsgrenzen**: $[a,b]$. --- ## Differenzialrechnung: kritische Stellen und Extrempunkte - **kritische Stelle**: $x_0$, bei dem $f'(x_0)=0$ oder $f'(x_0)$ undefiniert. - **kritischer Punkt**: $(x_0, f(x_0))$. - **lokales/globales Extremum**: Minimum oder Maximum (lokal/global). - **Hoch-/Tief-/Sattelpunkt**: Punkt mit $f'(x_0)=0$; Klassifizierung via $f''(x_0)$. --- ## Krümmung und Wendepunkt - **analytische/geometrische Krümmung**: Vorzeichen von $f''(x)$ oder spezielle Krümmungsformeln. - **Wendepunkt**: Stelle, an der $f''(x)$ Vorzeichen wechselt (Krümmungswechsel). # Stochastik # Formelsammlung ## Binomialkoeffizient $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} $$ --- ## Pascalsches Dreieck Dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten: Zeile $n$ enthält $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$. --- ## Fakultät $$ n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 $$ --- ## Kombination (ohne Wiederholung) $$ \binom{n}{k} $$ --- ## Variation - Ohne Wiederholung: $$ \frac{n!}{(n-k)!} $$ - Mit Wiederholung: $$ n^k $$ --- ## Permutation $$ n! $$ --- ## Kombinationsmöglichkeiten – Entscheidungsbaum 1. **Wird die Reihenfolge beachtet?** - **Ja → Variation** (evtl. Permutation, wenn alle Elemente benutzt werden) - **Nein → Kombination** 2. **Mit oder ohne Wiederholung?** - **Ohne → \binom{n}{k} oder \frac{n!}{(n-k)!}** - **Mit → n^k** --- ## Zufallsexperiment Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber nicht vorhergesagt werden können. --- ## Elementarereignis Einzelnes, unzerlegbares Ereignis (genau ein Ergebnis). --- ## Ereignisse Mengen von Elementarereignissen. --- ## Ergebnisse Die möglichen Resultate eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse). --- ## Wahrscheinlichkeitsraum $$(\Omega, \mathcal{A}, P)$$ - $\Omega$: Ergebnismenge - $\mathcal{A}$: Ereignissystem - $P$: Wahrscheinlichkeitsfunktion --- ## Laplace-Experiment Gleichwahrscheinliche Elementarereignisse: $$ P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger}}{\text{Anzahl aller}} $$ --- ## Laplace-Wahrscheinlichkeit $$ P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} $$ --- ## Absolute/Relative Häufigkeit - **Absolute Häufigkeit**: Anzahl der Auftretensfälle eines Ergebnisses. - **Relative Häufigkeit**: $$ \frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}} $$ --- ## Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov) 1. $P(E) \ge 0$ 2. $P(\Omega) = 1$ 3. $$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$$ --- ## Additionssatz $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$ --- ## Multiplikationssatz $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) $$ Bei Unabhängigkeit: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$ --- ## Bedingte Wahrscheinlichkeit $$ P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$ --- ## Totale Wahrscheinlichkeit $$ P(B) = \sum_i \bigl[P(B \mid A_i)\cdot P(A_i)\bigr] $$ wenn $\{A_i\}$ vollständige Zerlegung von $\Omega$ ist. --- ## Abhängige/Unabhängige Ereignisse - **Unabhängig**: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$ - **Abhängig**: Obige Gleichung gilt nicht. --- ## Ereignisbaum Grafische Darstellung von Ereignissen, deren Abzweigungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriftet sind. --- ## Satz von Bayes $$ P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)} $$ --- ## Zufallsvariable Funktion $X: \Omega \to \mathbb{R}$, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet. --- ## Verteilungsfunktion $$ F_X(x) = P(X \le x) $$ --- ## Wahrscheinlichkeitsverteilung Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsvariable. --- ## Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Zufallsvariable) $$ p_X(x) = P(X = x) $$ --- ## Stabdiagramm Grafische Darstellung $x$ gegen $p_X(x)$ (diskrete Verteilung). --- ## Erwartungswert (diskret) $$ E(X) = \sum_x \bigl[x \cdot p_X(x)\bigr] $$ --- ## Mittelwert (Stichprobe) $$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i $$ --- ## Varianz $$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - [E(X)]^2 $$ --- ## Standardabweichung $$ \sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} $$ --- ## Gleichverteilung Alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, z.B. $$ p(x) = \frac{1}{n} \quad \text{für } x \in \{1,\dots,n\} $$ --- ## Bernoulli-Verteilung $$ P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p $$ --- ## Binomialverteilung $$ P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k} $$ # Lineare Algebra # Formelsammlung ## Binomialkoeffizient $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} $$ --- ## Pascalsches Dreieck Dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten: Zeile $n$ enthält $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$. --- ## Fakultät $$ n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 $$ --- ## Kombination (ohne Wiederholung) $$ \binom{n}{k} $$ --- ## Variation - Ohne Wiederholung: $$ \frac{n!}{(n-k)!} $$ - Mit Wiederholung: $$ n^k $$ --- ## Permutation $$ n! $$ --- ## Kombinationsmöglichkeiten – Entscheidungsbaum 1. **Wird die Reihenfolge beachtet?** - **Ja → Variation** (evtl. Permutation, wenn alle Elemente benutzt werden) - **Nein → Kombination** 2. **Mit oder ohne Wiederholung?** - **Ohne → \binom{n}{k} oder \frac{n!}{(n-k)!}** - **Mit → n^k** --- ## Zufallsexperiment Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber nicht vorhergesagt werden können. --- ## Elementarereignis Einzelnes, unzerlegbares Ereignis (genau ein Ergebnis). --- ## Ereignisse Mengen von Elementarereignissen. --- ## Ergebnisse Die möglichen Resultate eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse). --- ## Wahrscheinlichkeitsraum $$(\Omega, \mathcal{A}, P)$$ - $\Omega$: Ergebnismenge - $\mathcal{A}$: Ereignissystem - $P$: Wahrscheinlichkeitsfunktion --- ## Laplace-Experiment Gleichwahrscheinliche Elementarereignisse: $$ P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger}}{\text{Anzahl aller}} $$ --- ## Laplace-Wahrscheinlichkeit $$ P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} $$ --- ## Absolute/Relative Häufigkeit - **Absolute Häufigkeit**: Anzahl der Auftretensfälle eines Ergebnisses. - **Relative Häufigkeit**: $$ \frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}} $$ --- ## Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov) 1. $P(E) \ge 0$ 2. $P(\Omega) = 1$ 3. $$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$$ --- ## Additionssatz $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$ --- ## Multiplikationssatz $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) $$ Bei Unabhängigkeit: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$ --- ## Bedingte Wahrscheinlichkeit $$ P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$ --- ## Totale Wahrscheinlichkeit $$ P(B) = \sum_i \bigl[P(B \mid A_i)\cdot P(A_i)\bigr] $$ wenn $\{A_i\}$ vollständige Zerlegung von $\Omega$ ist. --- ## Abhängige/Unabhängige Ereignisse - **Unabhängig**: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$ - **Abhängig**: Obige Gleichung gilt nicht. --- ## Ereignisbaum Grafische Darstellung von Ereignissen, deren Abzweigungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriftet sind. --- ## Satz von Bayes $$ P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)} $$ --- ## Zufallsvariable Funktion $X: \Omega \to \mathbb{R}$, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet. --- ## Verteilungsfunktion $$ F_X(x) = P(X \le x) $$ --- ## Wahrscheinlichkeitsverteilung Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsvariable. --- ## Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Zufallsvariable) $$ p_X(x) = P(X = x) $$ --- ## Stabdiagramm Grafische Darstellung $x$ gegen $p_X(x)$ (diskrete Verteilung). --- ## Erwartungswert (diskret) $$ E(X) = \sum_x \bigl[x \cdot p_X(x)\bigr] $$ --- ## Mittelwert (Stichprobe) $$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i $$ --- ## Varianz $$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - [E(X)]^2 $$ --- ## Standardabweichung $$ \sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} $$ --- ## Gleichverteilung Alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, z.B. $$ p(x) = \frac{1}{n} \quad \text{für } x \in \{1,\dots,n\} $$ --- ## Bernoulli-Verteilung $$ P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p $$ --- ## Binomialverteilung $$ P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k} $$