## Mengen

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## Abbildungen
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### Injektiv
- Ein y hat höchstens ein x
- nicht injektiv, sind funktionen die lokale Extrema haben
### Surjektiv
Jedes Element der Zielmenge wird getroffen.  
- Jedes y hat mindestens ein x
- Globales verhalten muss von -unendlich nach + unendlich, oder umgekehrt sein.
	- Also jedes Y muss belegt sein
$$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{\textit{\textcolor{red}{Nullstellen des Nenners}}\} $$ $$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2,2\} $$

### Abhängig / Unabhängig 
1. **Unabhängige Variable**: Die Variable, die du frei wählen kannst. 
2. **Abhängige Variable**: Die Variable, die von der unabhängigen Variable abhängt. 
Beispiel mit Mengen: 
- $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \leq 5\} = \{1,2,3,4,5\}$ → **Unabhängige Variable** 
- $B = \{y \mid y = x^2, x \in A\} = \{1,4,9,16,25\}$ → **Abhängige Variable** 

- Hier ist $x$ die **unabhängige Variable**, weil du sie frei aus $A$ wählen kannst. $y$ ist die **abhängige Variable**, weil ihr Wert durch $x$ bestimmt wird $(y = x^2)$. 

Kurz: 
- $x$ unabhängig 
- $y$ abhängig von $x$
### Umkehrabbildung
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### Folgen und Reihen

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>Reihe = summe aus folge ( Liste )

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### Grenzwert berechnen 


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### Funktionen 
![[Pasted image 20250129173849.png]]


### Steigungswinkel
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## Ableitung

| **$f(x)$**          | **$f'(x)$**                                          | **$F(x)$**                                                       |
| ------------------- | ---------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------- |
| $x^n$               | $n \cdot x^{n-1}$                                    | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$                                        |
| $c \cdot f(x)$      | $c \cdot f'(x)$                                      | $c \cdot \int f(x)\,dx + C$                                      |
| $f(x) \cdot g(x)$   | $f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$                | $\int f(x)g(x)\,dx + C$                                          |
| $\frac{f(x)}{g(x)}$ | $\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$ | $\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx + C$                                 |
| $f(g(x))$           | $f'(g(x)) \cdot g'(x)$                               | $\int f(g(x))\,dx + C$                                           |
| $\ln(x)$            | $\frac{1}{x}$                                        | $x \ln(x) - x + C$                                               |
| $\ln(a \cdot x)$    | $\frac{1}{x}$                                        | $x \ln(a x) - x + C$                                             |
| $\ln(g(x))$         | $\frac{g'(x)}{g(x)}$                                 | $x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx + C$                |
| $\log_a(x)$         | $\frac{1}{x \cdot \ln(a)}$                           | $\frac{x \ln(x) - x}{\ln(a)} + C$                                |
| $\log_b(g(x))$      | $\frac{g'(x)}{g(x) \cdot \ln(b)}$                    | $\frac{x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx}{\ln(b)} + C$ |
| $a^x$               | $a^x \cdot \ln(a)$                                   | $\frac{a^{x}}{\ln(a)} + C$                                       |
| $\sqrt{x}$          | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$                                | $\frac{2}{3} x^{3/2} + C$                                        |
| $\sin(x)$           | $\cos(x)$                                            | $-\cos(x) + C$                                                   |
| $\cos(x)$           | $-\sin(x)$                                           | $\sin(x) + C$                                                    |
| $\tan(x)$           | $\frac{1}{\cos^2(x)}$                                | $-\ln ( \| \cos(x) \|) + C$                                      |
| $\sinh(x)$          | $\cosh(x)$                                           | $\cosh(x) + C$                                                   |
| $\cosh(x)$          | $\sinh(x)$                                           | $\sinh(x) + C$                                                   |
| $\tanh(x)$          | $\frac{1}{\cosh^2(x)}$                               | $\ln(\cosh(x)) + C$                                              |
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![[Pasted image 20250129174619.png]]
![[Pasted image 20250129174749.png]]
![[Pasted image 20250129174834.png]]

### Logarithmen
![[Pasted image 20250129174006.png]]


![[Pasted image 20250129175643.png]]

![[Pasted image 20250129175759.png]]

### Kritische Punkte
![[Pasted image 20250129174711.png]]

### Geometrische Krümmung
![[Pasted image 20250129192856.png]]

## Bogenmaß - Gradmaß
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### Nautische Meile
1 nautische Meile (NM) = 1,852 Kilometer (km) = 1/60 eines Breitengrads

### Gauß Verfahren
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![[Pasted image 20250129181505.png]]

- **Freier Parameter:** Tritt auf, wenn ein LGS unendlich viele Lösungen hat. Variablen, die beliebig gewählt werden können.
    
- **Verträglichkeit:** Ein LGS ist verträglich, wenn es mindestens eine Lösung gibt. Unverträglich, wenn ein Widerspruch wie 0=50 = 5 auftritt.

### Sinus - Cosinus - Tangens
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### Vektoren
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# Stochastik
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![[Pasted image 20250129191208.png]]![[Pasted image 20250129191217.png]]
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# Python


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![[Pasted image 20250129194211.png]]![[Pasted image 20250129194227.png]]
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