## Woche 1 ### Thema 1: **Mengenlehre und Zahlenmengen** - Begriffe und Eigenschaften: Menge, Teilmenge, Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Grundmenge, Komplementärmenge - Zahlenmengen: natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale, irrationale und reelle Zahlen - Intervalltypen und deren Schreibweisen - Kartesisches Produkt und Darstellung in xy-Diagrammen - Anwendung: Venn-Diagramme zeichnen, Mengenoperationen durchführen ### Thema 2: **Zahlenoperationen und algebraische Gesetze** - Zahlenkörper, Brüche, Potenzen, Logarithmen: Begriffe und Rechenregeln - Potenzen mit natürlichen, ganzzahligen, rationalen und irrationalen Exponenten - Logarithmenregeln und Basisverschiebungssatz - Binomische Formeln und Anwendung - Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen ### Thema 3: **Numerik und Computer-Algebra-Systeme (CAS)** - Begriffe: Numerik, CAS, Python/Numpy, Python/Sympy - Numerische und analytische Berechnungen mit Python/Numpy und Python/Sympy - Terme auswerten, faktorisieren, vereinfachen und Gleichungen lösen - Dokumentation mehrstufiger numerischer Berechnungen --- ## Woche 2 ### Thema 1: **Funktionen und Abbildungen** - Begriffe und Eigenschaften: Abbildung, Funktion, Definitionsmenge, Wertebereich, Zielmenge, Bildmenge - Abbildungsvorschrift, unabhängige/abhängige Variablen, Argument, Bild, Urbild, Umkehrabbildung - Eigenschaften: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität - Anwendung: Funktionen mathematisch korrekt formulieren, Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität prüfen ### Thema 2: **Winkelmaße und Kreisberechnungen** - Begriffe: Kreiszahl, Gradmaß, Bogenmaß, nautische Meile - Zusammenhang zwischen Winkel (Bogenmaß), Radius und Bogenlänge - Anwendung: Umrechnungen zwischen Gradmaß und Bogenmaß, Berechnung von Bogenlängen ### Thema 3: **Kombinatorik und Binomialkoeffizienten** - Begriffe: Fakultät, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, Permutation, Kombination - Formeln: Permutationen von nnn Elementen, Kombinationen kkk-ter Ordnung - Anwendung: Berechnung von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Permutationen und Kombinationen --- ## Woche 3 ### Thema 1: **Zahlenfolgen und Grenzwerte** - Begriffe: Zahlenfolge, Folgeglied, arithmetische/geometrische Folge, untere/obere Schranke, beschränkt, (streng) monoton fallend/steigend, Divergenz, Konvergenz, Grenzwert - Zusammenhang: Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz/Divergenz - Anwendung: Folgen abschätzen, auf Eigenschaften untersuchen, Grenzwerte bestimmen (manuell und mit Python/Sympy) ### Thema 2: **Lineare Gleichungssysteme und Matrixverfahren** - Begriffe: lineares Gleichungssystem, Dimensionszahl, Äquivalenzumformung, Gauß-Schema, Gauß-Verfahren, Gauß-Jordan-Verfahren, Stufenform, reduzierte Stufenform, Pivotelement - Anwendung: Umwandlung in Gauß-Schema, Lösen mit Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren ### Thema 3: **Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen** - Begriffe: Kombination, Variation (mit und ohne Wiederholung) - Formeln: Permutationen von nn Elementen, Kombinationen und Variationen kk-ter Ordnung - Anwendung: Berechnung und Anwendung der Formeln auf konkrete Aufgaben --- ## Woche 4 ### Thema 1: **Summen und Reihen** - Begriffe: Summe, Summenzeichen, geometrische Summe, Reihe, geometrische Reihe - Anwendung: Darstellung mit Summenzeichen, geometrische Summenformel, Grenzwert einer geometrischen Reihe - Berechnungen: Summen manuell und mit Python/Sympy berechnen ### Thema 2: **Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter** - Begriffe: Stufenform, reduzierte Stufenform, Dimensionszahl, Rang, Defekt, Pivot-Variable, freier Parameter, Verträglichkeit - Anwendung: Rang und Defekt bestimmen, Verträglichkeit prüfen, Lösungsmenge anhand der Stufenform beurteilen - Verfahren: Lösungsmenge mit Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren bestimmen ### Thema 3: **Kombinatorik und spezielle Werteberechnung** - Begriffe: Fakultät, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, Permutation, Kombination, Variation - Anwendung: Berechnung und Interpretation von Fakultäten und Binomialkoeffizienten - Formeln: Permutationen, Kombinationen und Variationen mit und ohne Wiederholung berechnen --- ## Woche 5 ### Thema 1: **Funktionen und ihre Eigenschaften** - Begriffe: Betrag, Vorzeichen, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, hyperbolische Funktion - Trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens - Umkehrfunktionen: Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens, Arcuscotangens - Anwendung: Skizzieren der Graphen von Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen (auch mit Python/Numpy) ### Thema 2: **Trigonometrische und Arcuswerte** - Ausgezeichnete Funktionswerte der trigonometrischen und Arcusfunktionen - Anwendung: Werte bestimmen und Funktionsgraphen interpretieren ### Thema 3: **Wahrscheinlichkeit und Ereignisse** - Begriffe: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Ereignis, unmögliches/sicheres Ereignis - Laplace-Experiment und Laplace-Wahrscheinlichkeit - Absolute/relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeitsraum - Ereignisverknüpfungen und Anwendung der De-Morgan’schen Regeln --- ## Woche 6 ### Thema 1: **Funktionen: Parität, Lineare und Exponentialfunktionen** - Begriffe: Parität (gerade/ungerade Funktion), lineare Funktion, verallgemeinerte Exponentialfunktion - Bedeutung der Parameter einer verallgemeinerten Exponentialfunktion - Anwendung: Graphenverschiebung durch Änderung des Funktionsterms, Bestimmung des Funktionsterms einer linearen Funktion aus Punkten und Steigung ### Thema 2: **Trigonometrische Funktionen und Theoreme** - Begriffe: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Steigung, Additionstheorem, Multiplikationstheorem, trigonometrische Gleichung - Anwendung: Additionstheoreme und Multiplikationstheoreme auf trigonometrische Funktionen anwenden - Lösung trigonometrischer Gleichungen manuell und mit Python/Sympy ### Thema 3: **Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kolmogorov-Axiome** - Begriffe: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsraum - Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov und deren Anwendung - Absolute und relative Häufigkeit sowie Verknüpfung und Analyse von Ereignissen --- ## Woche 7 ### Thema 1: **Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung** - Begriffe: Steigung, Steigungswinkel, Differenzquotient, Ableitung, Aufleitung - Rechenregeln: Faktorregel, Summenregel - Geometrische Bedeutung: Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion - Anwendung: Berechnung der Ableitung einfacher Monome, Ableitungen und Aufleitungen von Polynomen ### Thema 2: **Vektoren und Vektorrechnung** - Begriffe: Vektor, Vektorgeometrie, Linearkombination, Einheitsvektor, Richtungsvektor, Betrag eines Vektors - Anwendung: Addition und Subtraktion von Vektoren, Linearkombinationen berechnen und grafisch darstellen - Zerlegung eines Vektors: Zerlegung in Betrag und Richtungsvektor oder Linearkombination anderer Vektoren ### Thema 3: **Ableitung mit Differenzquotient** - Definition der Ableitung über den Differenzquotienten - Anwendung: Bestimmung der Ableitung einfacher Funktionen direkt über den Differenzquotienten --- ## Woche 8 ### Thema 1: **Differenzialrechnung: Erweiterte Ableitungsregeln** - Begriffe: Produktregel, Kettenregel, Quadratregel, Reziprokenregel, Quotientenregel - Anwendung: Ableiten von Produkten, Quotienten und verschachtelten Funktionen - Spezialfall: Ableitung von Beträgen mithilfe passender Regeln ### Thema 2: **Vektorrechnung und Skalarprodukt** - Begriffe: Skalarprodukt, Länge und Winkelberechnung - Rechenregeln und Eigenschaften des Skalarprodukts - Anwendung: Berechnung von Längen und Winkeln in nn-dimensionalen Räumen sowie praktische Anwendungen in Alltag, Naturwissenschaft und Technik ### Thema 3: **Wahrscheinlichkeitsrechnung und bedingte Wahrscheinlichkeit** - Begriffe: Additionssatz, Multiplikationssatz, bedingte Wahrscheinlichkeit, totale Wahrscheinlichkeit, abhängige/unabhängige Ereignisse, Ereignisbaum, Satz von Bayes - Anwendung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Satzes von Bayes und Ereignisbäumen --- ## Woche 9 ### Thema 1: **Exponential- und Logarithmusfunktionen** - Begriffe: Eulersche Zahl, natürliche Exponentialfunktion, natürlicher Logarithmus - Regeln: Exponentialregel und Logarithmusregel zur Ableitung und Vereinfachung von Funktionen - Anwendung: Kombinierte Anwendung der Ableitungsregeln auf komplexe Funktionen ### Thema 2: **Vektor- und Spatprodukt** - Begriffe: Vektorprodukt, Spatprodukt - Eigenschaften und Rechenregeln: Berechnung von Flächen (Vektorprodukt) und Volumen (Spatprodukt) in 3D - Anwendung: Bestimmung von Flächeninhalten und Volumen in geometrischen Aufgaben ### Thema 3: **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung** - Begriffe: Zufallsvariable (diskret), Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Stabdiagramm - Anwendung: Erstellung und Interpretation von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Verteilungsfunktionen (auch grafisch) --- ## Woche 10 ### Thema 1: **Ableitungen spezieller Funktionen** - Begriffe: Ableitungen der trigonometrischen, hyperbolischen, Arkus- und Areafunktionen - Anwendung: Ableitung zusammengesetzter und verschachtelter Funktionen mithilfe dieser Regeln ### Thema 2: **Geraden in 2D und 3D** - Begriffe: Gerade, Parameterdarstellung, Normalenvektor, Einheitsnormalenvektor, Hessesche Normalform - Anwendung: Darstellung von Geraden in 2D und 3D durch Parameterform und Hessesche Normalform ### Thema 3: **Vektorrechnung und Projektionen** - Begriff: Orthogonalprojektion - Anwendung: Berechnung und Darstellung von Projektionen von Punkten und Vektoren auf Geraden oder Ebenen --- ## Woche 11 ### Thema 1: **Integralrechnung** - Begriffe: Aufleitung, Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral, Integrand, Integrationsgrenzen - Anwendung: Berechnung bestimmter und unbestimmter Integrale von Polynomen und Exponentialfunktionen (manuell und mit Python/Sympy) ### Thema 2: **Geraden in 2D und 3D** - Begriffe: Normalform, Hessesche Normalform, Parameterdarstellung - Anwendung: Darstellung einer Geraden in 2D (Normal- und Hessesche Normalform) und in 3D (Parameterform) - Abstand eines Punktes von einer Geraden und Bestimmung der Lagebeziehung zweier Geraden in 3D (parallel, windschief, schneidend) ### Thema 3: **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen** - Begriffe: Gleichverteilung, Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung - Anwendung: Erkennen und Anwenden der passenden Wahrscheinlichkeitsverteilung auf konkrete Situationen --- ## Woche 12 ### Thema 1: **Extremstellen und Sattelpunkte von Funktionen** - Begriffe: kritische Stelle, kritischer Punkt, lokales/globales Extremum, Hoch-, Tief-, Sattelpunkt - Kriterien zur Bestimmung und Charakterisierung kritischer Stellen - Anwendung: Bestimmung lokaler/globale Extrema und Sattelpunkte einer Funktion ### Thema 2: **Ebenen in 3D** - Begriffe: Parameterform, Normalenform, Hessesche Normalform einer Ebene - Anwendung: Darstellung einer Ebene in verschiedenen Formen und Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene ### Thema 3: **Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene** - Begriffe: Lagebeziehung (parallel, enthalten, schneidend) - Anwendung: Bestimmung der Lage von Gerade und Ebene zueinander (Schnittpunkt bestimmen oder Nachweis der Parallelität) --- ## Woche 13 ### Thema 1: **Krümmung und Wendepunkte** - Begriffe: analytische und geometrische Krümmung, Wendepunkt - Eigenschaften: Verhalten einer Funktion an Wendepunkten, Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung ### Thema 2: **Wendepunktbestimmung** - Anwendung: Bestimmung der Wendepunkte durch zweite und dritte Ableitung einer Funktion ### Thema 3: **Kurvendiskussion und praktische Anwendungen** - Durchführung einer vollständigen Kurvendiskussion: - Definitionsbereich, Symmetrie, Grenzwerte - Nullstellen, Extrema, Wendepunkte - Krümmungsverhalten, Grapheninterpretation - Anwendung auf praktische Aufgaben in Alltag, Naturwissenschaft und Technik