# Duden der wichtigsten Begriffe (mit Prüf-/Berechnungsmethoden)

## Analysis & Integration

- **Integral:**  
  Ein Integral ist die orientierte Fläche unter einer Funktion und berechnet sich durch den Hauptsatz:  
  $$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$  
  mit $F' = f$.

- **Bestimmtes Integral:**  
  Integral mit Grenzen $a,b$, Ergebnis ist eine Zahl; geprüft durch Einsetzen in die Stammfunktion oder numerisch (z.B. Trapezformel).

- **Unbestimmtes Integral / Stammfunktion:**  
  Menge aller Funktionen $F$ mit  
  $$ F'(x) = f(x) $$  
  Nachweis durch Ableiten von $F$.

- **Lineare Substitution:**  
  Ersetzt $x$ durch $u = a x + b$ ($a \neq 0$), transformiert das Integral:  
  $$ \int f(x) \, dx = \frac{1}{a} \int f\left(\frac{u - b}{a}\right) du $$  
  Beweis durch Kettenregel.

- **Substitution (allgemein):**  
  Für $x = g(u)$ mit $dx = g'(u) du$ gilt:  
  $$ \int f(x) dx = \int f(g(u)) g'(u) du $$  
  Nachweis durch Kettenregel und Umkehrfunktion.

- **Partielle Integration:**  
  $$ \int u \, dv = u v - \int v \, du $$  
  Herleitung aus Produktregel: $(u v)' = u' v + u v'$.

- **Uneigentliches Integral:**  
  Grenzwert  
  $$ \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx $$  
  Existenz wird mit Konvergenztests geprüft.

- **Bogenlänge:**  
  $$ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $$  
  Herleitung über Grenzwert von Polygonzügen.

- **Mantelfläche Rotationskörper:**  
  $$ A = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $$

- **Volumen Rotationskörper:**  
  $$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx $$

- **Flächeninhalt zwischen Funktion und Achsen:**  
  $$ \text{Fläche} = \int_a^b |f(x)| dx $$

- **Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen:**  
  $$ \int_a^b |f(x) - g(x)| dx $$  
  mit $a,b$ als Schnittpunkte, bestimmt durch $f(x) = g(x)$.

- **Trapezformel (Numerische Integration):**  
  $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{b - a}{2} (f(a) + f(b)) $$

- **Mehrfachintegral:**  
  Iteriertes Integral z.B. in 2D:  
  $$ \iint_D f(x,y) dA = \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) dx dy $$  
  Reihenfolge vertauschbar nach Fubini.

## Koordinatensysteme

- **Polarkoordinaten:**  
  $$ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi $$  
  Jacobi-Determinante für Integration: $r$.

- **Zylinderkoordinaten:**  
  $$ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad z = z $$  
  Jacobi-Determinante: $r$.

## Lineare Algebra – Matrizen

- **Matrix:**  
  Rechteckige Anordnung von Zahlen, beschreibt lineare Abbildung.

- **Symmetrische Matrix:**  
  $$ A^T = A $$  
  Eigenschaften: reelle Eigenwerte, orthogonale Eigenvektoren.

- **Schiefsymmetrische Matrix:**  
  $$ A^T = -A $$  
  Diagonaleinträge sind $0$.

- **Einheitsmatrix $I$:**  
  $$ I_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases} $$  
  Neutrales Element bei Multiplikation.

- **Inverse Matrix:**  
  $$ A^{-1} A = A A^{-1} = I $$  
  Existenz wenn $\det A \neq 0$, berechnet mit Gauß-Jordan.

- **Transposition:**  
  $$ (A^T)_{ij} = A_{ji} $$

- **Orthogonale Matrix:**  
  $$ A^T A = I $$  
  Spalten bilden orthonormale Basis.

- **Drehmatrix (2D):**  
  $$ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$  
  Potenzen durch Addition der Winkel.

- **Spiegelmatrix (2D):**  
  Beispiel Spiegelung an x-Achse:  
  $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

- **Regulär / invertierbar:**  
  $$ \det A \neq 0 $$

- **Spur:**  
  $$ \operatorname{tr} A = \sum_i A_{ii} $$  
  Summe der Eigenwerte.

- **Determinante:**  
  Skalar, gibt Volumensskalierung an; berechenbar mit Sarrus, Laplace oder Gauß.

- **Rang:**  
  Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten; via Gauß.

- **Lineare Abbildung:**  
  Erfüllt  
  $$ f(u+v) = f(u) + f(v), \quad f(\alpha v) = \alpha f(v) $$

- **Bild (Image):**  
  $$ \operatorname{im} A = \{Ax \mid x \in \mathbb{R}^n \} $$

- **Kern (Nullraum):**  
  $$ \ker A = \{ x \mid Ax = 0 \} $$

- **Charakteristisches Polynom:**  
  $$ p_A(\lambda) = \det (A - \lambda I) $$

- **Eigenwert/-vektor:**  
  $$ A v = \lambda v, \quad v \neq 0 $$

- **Algebraische vs. geometrische Vielfachheit:**  
  Algebraisch = Vielfachheit Nullstelle $p_A$; geometrisch = Dimension Eigenraum.

- **Diagonalisierbarkeit:**  
  Möglich wenn Summe geometrischer Vielfachheiten = Dimension.

## Vektor- & Skalarfelder

- **Skalarfeld:**  
  Funktion $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$.

- **Vektorfeld:**  
  Funktion $v : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$.

- **Gradient:**  
  $$ \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix} $$  
  Richtungsvektor des größten Anstiegs.

- **Totales Differential:**  
  $$ df = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i $$

- **Partielle Ableitung:**  
  Ableitung nach einer Variablen, andere konstant.

- **Tangentialebene:**  
  $$ z = f(a,b) + \nabla f(a,b) \cdot \begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} $$

- **Richtungsableitung:**  
  $$ D_v f = \nabla f \cdot \hat{v} $$  
  mit normiertem Richtungsvektor $\hat{v}$.

- **Hesse-Matrix:**  
  $$ H_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{pmatrix} $$

- **Lokales Extremum:**  
  $\nabla f = 0$ und $H_f$ positiv (Minimum) oder negativ definit (Maximum).

- **Sattelpunkt:**  
  $\nabla f = 0$ und $H_f$ indefinit.

- **Lagrange-Multiplikator:**  
  $$ \nabla f = \lambda \nabla g $$  
  für Extrema mit Nebenbedingung $g=0$.

- **Kurve / Spur:**  
  Bild einer Parametrisierung $r(t)$.

- **Tangentenvektor:**  
  $$ \dot{r}(t) $$

- **Bogenlänge:**  
  $$ L = \int_a^b |\dot{r}(t)| dt $$

- **Linienintegral (skalar):**  
  $$ \int_\gamma f(\mathbf{r}) ds $$

- **Divergenz:**  
  $$ \nabla \cdot v = \sum_i \frac{\partial v_i}{\partial x_i} $$

- **Rotation (Curl):**  
  $$ \nabla \times v = \text{Vektor aus partiellen Ableitungen} $$

- **Laplace-Operator:**  
  $$ \Delta f = \nabla \cdot \nabla f = \sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} $$

- **Konservatives Feld:**  
  $$ \nabla \times v = 0 \Rightarrow \exists \Phi : v = \nabla \Phi $$

## Komplexe Zahlen

- **Komplexe Zahl:**  
  $$ z = a + bi, \quad a,b \in \mathbb{R} $$

- **Real-/Imaginärteil:**  
  $$ \operatorname{Re}(z) = a, \quad \operatorname{Im}(z) = b $$

- **Betrag:**  
  $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

- **Komplex Konjugiert:**  
  $$ \bar{z} = a - bi $$  
  mit $$ z \bar{z} = |z|^2 $$

- **Trigonometrische Form:**  
  $$ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) $$

- **Exponentialform:**  
  $$ z = r e^{i \varphi} $$  
  mit Euler: $$ e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi $$

- **Arg-Funktion:**  
  $$ \varphi = \arg z = \arctan2(b,a) $$

- **Potenzgleichung:**  
  Lösungen von $$ z^n = c $$ sind  
  $$ z_k = |c|^{1/n} e^{i \frac{\arg c + 2 \pi k}{n}}, \quad k=0, \dots, n-1 $$

## Vektorräume

- **Vektorraum:**  
  Menge $V$ mit Addition und Skalarmultiplikation, erfüllt Axiome (Assoziativität, Distributivität etc.).

- **Linearkombination:**  
  $$ \sum_i \alpha_i v_i $$

- **Lineare Unabhängigkeit:**  
  $$ \sum_i \alpha_i v_i = 0 \Rightarrow \alpha_i = 0 \quad \forall i $$

- **Basis:**  
  Lineare unabhängige Erzeugendmenge.

- **Dimension:**  
  Anzahl Elemente der Basis.

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