# Uneigentliches Integral
1. Grenzwert bilden. Basically $R$ anstatt $\infty$ schreiben.
2. Integral in Teile, bis zu den Polstellen. (Falls vorhanden.)
3. Ganz normal integrieren.
4. Grenzen einsetzen (ja, auch $\infty$). Wenn es abhaut nach $\infty$ , dann divergiert es, und ist nicht lösbar. Oszilation ist auch nicht lösbar, z.B. $\operatorname{sin(x)}$ von $0$ bis $\infty$. Hat nämlich keinen Grenzwert.
# WIP Konzept - Komplexe Zahlen
# 10. Diagonalisierung und Transformationsmatrix
# 9. Schwerpunkt
1. **Gebiet $\mathcal A$ festlegen**
Wähle Integrationsgrenzen, z. B.
$$
x\in[a,b],\quad y\in\bigl[y_{\mathrm{unten}}(x),\,y_{\mathrm{oben}}(x)\bigr]
$$
oder umgekehrt
$$
y\in[c,d],\quad x\in\bigl[x_{\mathrm{links}}(y),\,x_{\mathrm{rechts}}(y)\bigr].
$$
2. **Dichtefunktion $\rho(x,y)$ angeben**
- Allgemein beliebig.
- Regelfall homogen: $\rho(x,y)\equiv 1$.
3. **Gesamtmasse \(M\) berechnen**
$$
M \;=\;\iint_{\mathcal A}\rho(x,y)\,dA
\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
\rho(x,y)\,dy\,dx.
$$
4. **Erstes Moment zur \(y\)-Achse (\(x_S\))**
$$
M_y
\;=\;\iint_{\mathcal A} x\,\rho(x,y)\,dA
\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
x\,\rho(x,y)\,dy\,dx.
$$
5. **Erstes Moment zur \(x\)-Achse ($y_S$)**
$$
M_x
\;=\;\iint_{\mathcal A} y\,\rho(x,y)\,dA
\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
y\,\rho(x,y)\,dy\,dx.
$$
6. **Schwerpunktkoordinaten**
$$
x_S \;=\;\frac{M_y}{M},
\qquad
y_S \;=\;\frac{M_x}{M}.
$$
---
### Beispiel für $\rho(x,y)\equiv1$ und $0\le x\le2a,\;0\le y\le a+x$
- Gebiet:
$$
x\in[0,2a],\quad y\in[0,\;a+x].
$$
- Gesamtmasse:
$$
M = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x}1\,dy\,dx = 4a^2.
$$
- Erste Momente:
$$
M_y = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x} x\,dy\,dx,
\quad
M_x = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x} y\,dy\,dx.
$$
- Schwerpunkt:
$$
x_S = \frac{M_y}{M} = \frac{7}{6}a,
\quad
y_S = \frac{M_x}{M} = \frac{13}{12}a.
$$
# 8. Extrema - Mehrdimensional
| **Baustein** | **Was es ist / tut** | **Warum es wichtig ist** |
|--------------|----------------------|--------------------------|
| **1. Funktion** $f(x,y)$ | Die „Höhenlandschaft“, die untersucht wird. | Ohne Funktion keine Analyse. |
| **2. Gradient** $\nabla f=(f_x,f_y)$ | Erste partielle Ableitungen → zeigt stärksten Anstieg. | Setze $\nabla f = \mathbf 0$, um **kritische Punkte** zu finden. |
| **3. Gleichungssystem** $\;f_x=0,\;f_y=0\;$ | Zwei Gleichungen. | Liefert die Koordinaten aller kritischen Punkte. |
| **4. Hesse-Matrix** $$H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}$$ | Matrix der zweiten Ableitungen. | Enthält Krümmungs-Info der Fläche. |
| **5. Determinante** $$D=\det H=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}$$ | Eine Zahl pro Punkt. | Entscheidet schnell über Punktart:
• $D>0$ ⇒ Extremum
• $D<0$ ⇒ Sattel
• $D=0$ ⇒ Test unentschieden |
| **6. Vorzeichen von** $f_{xx}$ | Nur wenn $D>0$. | Unterscheidet Minimum ($f_{xx}>0$) vs. Maximum ($f_{xx}<0$). |
| **7. Funktionswert** $f(x_0,y_0)$ *(optional)* | Höhe des Punktes. | Rein informativ, z. B. tiefstes Minimum. |
| **8. Sonderfälle**
• Eigenwerte von $H$
• Lagrange-Multiplikatoren | Alternativen/Erweiterungen. | Eigenwerte geben gleiche Entscheidung; Lagrange bei Nebenbedingungen. |
---
## Ablauf in Kurzform
1. **Aufschreiben:** $f(x,y)$
2. **Gradient bilden:** $f_x,\;f_y$
3. **Kritische Punkte:** Löse $f_x=0,\;f_y=0$ → $\{P_i\}$
4. **Hesse-Matrix:** $f_{xx},f_{xy},f_{yy}$ in jedem $P_i$
5. **Klassifikation:**
* $D<0$ ⇒ Sattel
* $D>0$ & $f_{xx}>0$ ⇒ Minimum
* $D>0$ & $f_{xx}<0$ ⇒ Maximum
* $D=0$ ⇒ weiterer Test nötig
1. **(Optional) Funktionswerte** $f(P_i)$ einsetzen, um Höhen/Tiefen zu vergleichen.
# 7. e) Skalares Kurvenintegral
**Allgemeines Schema zur Berechnung eines skalaren Kurvenintegrals**
1. **Parameterdarstellung**
$$\gamma(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr),\quad t\in[a,b]$$
2. **Einsetzen in die skalare Feldfunktion**
$$f\bigl(\gamma(t)\bigr) = f\bigl(x(t),\,y(t)\bigr)$$
3. **Berechnung des Bogenelements**
- Ableitung:
$$\gamma'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr)$$
- Norm (Geschwindigkeit):
$$\|\gamma'(t)\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$$
4. **Formulierung des Kurvenintegrals**
$$
\int_{K} f\,\mathrm{d}s
= \int_{a}^{b} f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\|\gamma'(t)\|\,\mathrm{d}t
$$
5. **Auswertung des Integrals**
- Ggf. Substitution wählen, z. B. $u = g(t)$
- $\mathrm{d}u$ bestimmen und $t\,\mathrm{d}t$ umschreiben
- Grenzen anpassen:
$$t=a\mapsto u=u(a),\quad t=b\mapsto u=u(b)$$
- Stammfunktion finden und einsetzen
- Ergebnis vereinfachen
6. **Interpretation**
- Physikalisch: Gesamtmasse, Arbeit, Energie, …
- Mathematisch: Konvergenz prüfen (bei offenen Endpunkten)
## Richtungsableitung
1. **Gradient berechnen**
$$
\nabla f(x)
=
\begin{pmatrix}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x) \\[6pt]
\vdots \\[4pt]
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{n}}(x)
\end{pmatrix}.
$$
2. **Einheitsvektor bilden**
Sei $\vec v = (v_{1},\dots,v_{n})^\top\in\mathbb{R}^{n}$. Dann
$$
\|\vec v\| = \sqrt{v_{1}^{2} + \dots + v_{n}^{2}},
\qquad
\vec u = \frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
$$
3. **Richtungsableitung**
$$
D_{\vec v}f(P)
= \lim_{h\to 0}\frac{f\bigl(P + h\,\vec u\bigr) - f(P)}{h}
= \nabla f(P)\,\bullet\,\vec u
= \nabla f(P)\,\bullet\,\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
$$
**Kurzgefasst:**
$$
D_{\vec v}f(P)
= \nabla f(P)\,\bullet\,\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
$$
# 7. d) Integrationsreihenfolge ändern
| **Vorher** – Typ I | **Nachher** – Typ II | **Was wohin ?** |
|--------------------|----------------------|-----------------|
| $$\int_{x=a}^{b}\;\int_{y=l(x)}^{u(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$ | $$\int_{y=l(a)}^{u(b)}\;\int_{x=l^{-1}(y)}^{u^{-1}(y)} f(x,y)\,dx\,dy$$ | 1. äußere Variable wechselt $x\to y$
2. **äußere Grenzen** = tiefster / höchster $y$-Wert des Gebiets (hier $l(a),u(b)$)
3. **innere Grenzen** = Umkehrfunktionen der alten Kurven $l,u$ (links / rechts) |
| *(Spezialfall $l(x)=0$)* | | |
#### Idiotensicheres Beispiel
Gegeben
$$
\int_{x=a}^{b}\;\int_{y=0}^{x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx
$$
➜ Tauschen
$$
\int_{y=0}^{b^{2}}\;\int_{x=\sqrt{y}}^{b} f(x,y)\,dx\,dy
$$
* drag-and-drop-Mapping:
* $0$ bleibt $0$ (äußere unten)
* $x^{2}$ → Umkehr $\sqrt{y}$ (innere links)
* $a,b$ bleiben Konstanten, landen als innere/rechte Grenze ($x=b$) und sorgen für $y$-Max $=b^{2}$
### Matrixpotenz $A^{15}$ – idiotensicher
1. **Faktor ausrechnen**
$$A=\tfrac12\begin{pmatrix}\sqrt3&-1\\[2pt]1&\sqrt3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt3}{2}&-\tfrac12\\[4pt]\tfrac12&\tfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$$
2. **Erkennen: Rotationsmatrix**
Form $\bigl(\!\begin{smallmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{smallmatrix}\!\bigr)$
⇒ $\cos\theta=\sqrt3/2,\ \sin\theta=1/2 \;\Longrightarrow\; \theta=\pi/6$ (30°).
3. **Potenzregel für Rotationsmatrizen**
$$A^n=\begin{pmatrix}\cos(n\theta)&-\sin(n\theta)\\\sin(n\theta)&\cos(n\theta)\end{pmatrix}$$
4. **Hier $n=15$**
$$n\theta=15\cdot\frac{\pi}{6}= \frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}$$
(Rotation um $450^\circ$ ≙ $90^\circ$).
5. **Kosinus/Sinus auslesen**
$$\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\qquad
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.$$
6. **Ergebnis**
$$\boxed{A^{15}= \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}$$
# 7. c Vertauschen Integrationsreihenfolge
$$\int_{x=a}^{b} \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx \Longrightarrow \int_{y=g_1(a)}^{g_2(b)} \int_{x=g^{-1}_2(y)}^{g^{-1}_1(y)}f(x,y)\,dy\,dx$$
1. Aussen grenzen in die Funktionen einsetzen z.B. $g_2(b)$.
2. Umkehrfunktion der inneren Grenzen bilden. z.B. $x^2 \rightarrow \sqrt y$
3. Innen unten und oben tauschen. (Nach dem Umkehrfunktion bilden.)
4. dx, dy vertauschen und x=, y= bei den grenzen aufpassen.
# 7. b) Matrix Potenz
Diagonalmatrix oder Drehmatrix.
# 7. a) Komplexe Zahl Polarform gleichung
$$
z^{\,n}=R\,e^{i\Phi},\qquad R>0,\;n\in\mathbb N
$$
| Schritt | Was tun? | Formel / Erläuterung |
|---------|-----------|----------------------|
| **1. Polar-/Exponentialform herstellen** | Schreibe die rechte Seite als $R\,e^{i\Phi}$ mit Betrag $R$ und (Haupt-)Argument $\Phi$.
Falls sie in kartesischer Form $a+ib$ vorliegt: $$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad \Phi=\operatorname{atan2}(b,a).$$ |
| **2. n-te-Wurzel-Formel anwenden** | Für $$z^{n}=R\,e^{i\Phi}$$ lauten alle Lösungen $$z_k=\sqrt[n]{R}\,e^{\,i(\Phi+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.$$ |
| **3. Winkel berechnen** | Definiere $$\theta_k=\frac{\Phi+2k\pi}{n}.$$ Diese $n$ Winkel liegen äquidistant auf dem Kreis (Abstand $2\pi/n$). |
| **4. Arithmetische (kartesische) Form** | Nutze Euler $e^{i\theta_k}=\cos\theta_k+i\sin\theta_k$:
$$z_k=\sqrt[n]{R}\,(\cos\theta_k+i\sin\theta_k).$$ |
| **5. (Optional) Prüfen** | Einsetzen zeigt $$z_k^{\,n}=R\,e^{i\Phi}.$$ |
#### Kurzform der Lösungsmengen-Formel
$$
\boxed{\,z_k=\sqrt[n]{R}\,e^{\,i(\Phi+2k\pi)/n},\;k=0,\dots,n-1\,}
$$
**Merke**
1. Betrag der Wurzeln: $\sqrt[n]{R}$.
2. Winkel: $\theta_k=\dfrac{\Phi+2k\pi}{n}$.
3. $n$ Lösungen liegen gleichmäßig verteilt auf einem Kreis mit Radius $\sqrt[n]{R}$.
# Vektorfelder
Alle Felder/Funktionen seien hinreichend glatt ($C^1$ bzw.\ $C^2$) und auf $\mathbb R^3$ mit kartesischen Koordinaten definiert.
| Symbol | Name / Bedeutung | Formel | Rechen-/Beweis-Schritte |
| -------------------------- | ---------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | --------------------------------------------------------------------------------- |
| $\nabla f$ | **Gradient** eines Skalarfeldes $f$ | $\displaystyle \nabla f=\bigl(\partial_x f,\;\partial_y f,\;\partial_z f\bigr)$ | 1. Partiell nach $x,y,z$ ableiten.
2. Ergebnisse als Vektor schreiben. |
| $\nabla\!\cdot\!\mathbf F$ | **Divergenz** eines Vektorfeldes $\mathbf F=(F_x,F_y,F_z)$ | $\displaystyle \nabla\!\cdot\!\mathbf F=\partial_xF_x+\partial_yF_y+\partial_zF_z$ | 1. Jede Komponente nach zugehöriger Koordinate ableiten.
2. Summieren. |
| $\nabla\times\mathbf F$ | **Rotation / Curl** | $$\nabla\times\mathbf F=\begin{pmatrix}\partial_yF_z-\partial_zF_y\\[4pt]\partial_zF_x-\partial_xF_z\\[4pt]\partial_xF_y-\partial_yF_x\end{pmatrix}$$ | 1. Determinanten-/Kreuzproduktformel anwenden.
2. Drei Komponenten ausrechnen. |
| $\Delta f$ | **Laplace-Operator** (Skalarfeld) | $$\Delta f=\nabla\!\cdot(\nabla f)=\partial_{xx}f+\partial_{yy}f+\partial_{zz}f$$ | 1. Zweimal partiell nach jeder Koordinate ableiten.
2. Summieren. |
| quellenfrei | $\nabla\!\cdot\!\mathbf F=0$ | 1. Divergenz berechnen.
2. Null? → quellenfrei. | |
| wirbelfrei | $\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0$ | 1. Rotation berechnen.
2. Nullvektor? → wirbelfrei. | |
| konservativ | siehe unten 🔽 | **Praktisches Kriterium:** In einem *einfach zusammenhängenden* Gebiet gilt $$\mathbf F\ \text{wirbelfrei}\;\Longleftrightarrow\;\mathbf F\ \text{konservativ}.$$ | |
---
### Konservative Felder & geschlossene Weg-Integrale
* **Definition**
Ein Vektorfeld $\mathbf F$ heißt **konservativ**, wenn ein Skalarpotential $\varphi$ existiert, so dass
$$\boxed{\ \mathbf F=\nabla\varphi\ }$$
* **Äquivalente Charakterisierung**
Für jedes stückweise glatte, *geschlossene* Kurvenstück $\gamma$ gilt
$$\boxed{\ \oint_\gamma \mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r = 0\ }$$
Dies folgt unmittelbar aus dem Fundamentalsatz der Vektoranalysis:
$$\int_\gamma \nabla\varphi\cdot \mathrm d\mathbf r = \varphi\bigl(\text{Endpunkt}\bigr)-\varphi\bigl(\text{Startpunkt}\bigr).$$
Bei einem geschlossenen Pfad sind Start- und Endpunkt identisch, also verschwindet das Integral.
* **Rezept zur Prüfung auf Konservativität**
1. **Rotation berechnen:** $\nabla\times\mathbf F$.
2. Falls $\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0$ *und* das Definitionsgebiet besitzt keine „Löcher“ (einfach zusammenhängend), ist $\mathbf F$ konservativ.
3. **Potential konstruieren** (falls benötigt):
- Gleichungen $\partial_x\varphi=F_x$, $\partial_y\varphi=F_y$, $\partial_z\varphi=F_z$ sukzessive integrieren.
- Beim Integrieren auftretende „Integrationsfunktionen“ durch Abgleich mit den anderen Komponenten bestimmen.
- Beliebige Konstante $C$ hinzufügen.
* **Merksatz**
$$\nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf 0 \quad\text{und}\quad \nabla\!\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0$$
(Rotor des Gradienten ist stets null, Divergenz des Rotors ebenso.)
# Komplexe Zahlen
*(Notation: $z=x+iy,\;x,y\in\mathbb R,\;i^{2}=-1$; $\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$.)*
---
## 1 Grundbegriffe
| Symbol / Begriff | Formel / Bedeutung |
|------------------|--------------------|
| **Algebraische Form** | $z = x + iy$ |
| **Reeller / Imaginärer Teil** | $\operatorname{Re}(z)=x,\quad \operatorname{Im}(z)=y$ |
| **Konjugiertes** | $z^{*}=x-iy$ |
| **Betrag (Modul)** | $\lvert z\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ |
| **Argument** (Hauptwert) | $\arg(z)\in(-\pi,\pi],\;$ $\tan\arg(z)=\dfrac{y}{x}$ |
---
## 2 Polar-/Trigonometrische-/Exponentialform
$$
z \;=\; r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)
\;=\; r\,\operatorname{cis}\theta
\;=\; r\,e^{i\theta},
\qquad
r=\lvert z\rvert,\;
\theta=\arg(z)+2k\pi,\;k\in\mathbb Z
$$
### In Polarform umrechnen
1. **Betrag $r$ bestimmen**
$$ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$
2. **Winkel $\varphi$ ermitteln**
$$ \varphi = \operatorname{atan2}(y,\,x) $$
3. **In Polar-/Eulerform ausdrücken**
$$ z = r\bigl(\cos\varphi + i\sin\varphi\bigr) = re^{i\varphi} $$
---
## 3 Rechenregeln
| Operation | Algebraische Form | Polar-/Exponentialform | Rechenweg (polar) |
| ------------------- | ------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| **Addition** | $(x_1+x_2)+(x_2+iy_2)$
$=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$ | — | (keine einfache Polarregel) |
| **Multiplikation** | ${(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}$ Binomische Formel | $z_1 z_2 = r_1 r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ | $$\begin{aligned} z_1 z_2 &= r_1e^{i\theta_1}\,r_2e^{i\theta_2} \\ &= r_1r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)} \\ &= r_1r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)\end{aligned}$$ |
| **Division** | $\frac{(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}$ Muss erweitert werden. | $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ | $$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} \\ &= \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \\ &= \frac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)\end{aligned}$$ |
| **Konjugation** | $(x+iy)^{*}=x-iy$ | $(re^{i\theta})^{*}=re^{-i\theta}$ | $$\begin{aligned}(z_1z_2)^{*} &= (r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)})^{*} \\ &= r_1r_2e^{-i(\theta_1+\theta_2)} \\ &= z_1^{*}\,z_2^{*}\end{aligned}$$ |
| **Betrags-Quadrat** | $\lvert z\rvert^{2}=z\,z^{*}$ | $\lvert re^{i\theta}\rvert = r$ | — |
---
## 4 Potenzen und Wurzeln (De Moivre)
### Potenzen
$$
z^{\,n}=r^{\,n}\,e^{in\theta}, \qquad n\in\mathbb Z
$$
### $n$-te Wurzeln
$$
\sqrt[n]{z}=r^{1/n}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}},\qquad k=0,\dots,n-1
$$
---
## 5 Wichtige Identitäten
| Name | Formel |
|------|--------|
| **Euler** | $e^{i\theta}= \cos\theta+i\sin\theta$ |
| **De Moivre** | $(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}= \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ |
| **Dreiecksungleichung** | $\lvert z_1+z_2\rvert\le \lvert z_1\rvert+\lvert z_2\rvert$ |
| **Betragsprodukt** | $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\,\lvert z_2\rvert$ |
| **Argumente** | $\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}$ |
---
## 6 Komplexe Exponential- & Logarithmusfunktion
$$
e^{x+iy}=e^{x}\bigl(\cos y+i\sin y\bigr)
$$
$$
\ln z = \ln\lvert z\rvert + i\bigl(\arg z + 2k\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb Z
$$
---
## 7 Komplexe trigonometrische & hyperbolische Funktionen
$$
\begin{aligned}
\sin z &=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, &
\cos z &=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, &
\tan z &=\frac{\sin z}{\cos z},\\[4pt]
\sinh z &=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, &
\cosh z &=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}, &
\tanh z &=\frac{\sinh z}{\cosh z}.
\end{aligned}
$$
---
## 8 Analytische Bedingung (Cauchy-Riemann)
$$
\boxed{\;
\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y},
\qquad
\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}
\;}
$$
für $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ differenzierbar im Punkt $(x,y)$.
---
## 9 Geometrische Interpretation
* **Multiplikation** mit $r e^{i\theta}$: Skalierung um $r$ und Drehung um $\theta$.
* **Konjugation**: Spiegelung an der reellen Achse.
* **Betrag**: Abstand des Punktes $(x,y)$ vom Ursprung.
---
## 10 Nützliche Kurzformeln
* **Kartesisch → Polar**
$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad
\theta=\operatorname{atan2}(y,\,x)$$
* **Einheitskreis**
$$\lvert z\rvert=1 \;\Longleftrightarrow\; z=e^{i\theta}.$$
# Matrizen
## Bild (*img*)
>Menge aller **Möglichen** Vektoren die aus $A\cdot \chi$ entstehen.
$dim(img(A))$ ist welchen Raum die Menge aufspannt. Sind alle auf einer Linie? -> 1D Sind sie alle auf einer Ebene? -> 2D etc.
## Kern (*ker*)
>Menge aller Vektoren die mit A multipliziert, den Nullvektor ergeben, also *genullt* werden.
>$$A\cdot \chi_i = 0_V$$
## Dim
Zum schnellen beweisen, von z.B. multiple Choice:
$$\operatorname{dim}(\operatorname{img}A) + \operatorname{dim}(\operatorname{ker}A) = \text{Anzahl Spalten von A}$$
#### Dimension vom Bild
$$\operatorname{dim}(\operatorname{img}A)= \text{Anzahl Pivot Elemente von Gauss}$$
z.B. hier ist $dim=2$
$$\left\lvert\,\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\,\right\rvert$$
#### Dimension vom Kern
$$\operatorname{dim}(\operatorname{ker}A) = \text{Anzahl freier Parameter für den Nullraum}$$
1. $A \cdot \chi$ Aufschreiben.
2. Gauss Matrix machen mit rechts = $0$. (Kann auch vom Bild recycled werden)
3. System lösen. Anzahl Freier Parameter ist dann die Dimension.
---
## Singular vs. Regulär
>Check: Deteminante berechnen
- **Singular** ⇔ $\det A=0$ → nicht invertierbar.
- **Regulär** ⇔ $\det A\neq0$ → Inverse $A^{-1}$ existiert.
---
## Diagonalmatrix
Matrix
$$
D=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&-2&0\\0&0&7\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- **Besteht typischerweise aus den Eigenwerten** einer Matrix entlang der Hauptdiagonalen, wenn man $A=PDP^{-1}$ diagonalisiert.
- Kommutiert mit jeder anderen Diagonalmatrix
- **Leicht zu potenzieren/invertieren**:
$D^k=\operatorname{diag}(4^k,-2^k,7^k)$,
$D^{-1}=\operatorname{diag}\!\bigl(\tfrac14,-\tfrac12,\tfrac17\bigr)$
- **Orthogonal** genau dann, wenn $|d_i|=1$ (dann $DD^\top=I$)
---
## Orthogonale Matrix
Matrix
$$
Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- **$Q^\top Q=I$**, also $Q^{-1}=Q^\top$
- **Determinante = ±1**, erhält Länge & Winkel
---
## Rotationsmatrix (Ebene)
Matrix
$$
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- Orthogonal mit **$\det=1$**
- **Potenzregel**: $R(\theta)^n=R(n\theta)$
---
## Nullmatrix
Matrix
$$
O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- **Additives Neutrum**: $A+O=A$
- **Rang = 0**, **Spur = 0**
---
## Einheits-/Identitätsmatrix
Matrix
$$
I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- **Multiplikatives Neutrum**: $AI_2=I_2A=A$
- **Eigenwerte alle 1**, $I_2^\top=I_2^{-1}=I_2$
---
## Skalarmatrix
Matrix
$$
2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- Spezialfall Diagonalmatrix, **alle Eigenwerte = 2**
- Orthogonal/unitär ⇔ $|2|=1$ (hier also **nicht** orthogonal)
---
## Symmetrische Matrix ( +Transformationsmatrix)
Matrix
$$
S=\begin{pmatrix}2&3&-1\\3&5&0\\-1&0&4\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- $S^\top=S$
- **Reelle Eigenwerte**, **orthogonal diagonalisierbar**:
$$S = Q\,D\,Q^\top$$
- **Transformationsmatrix** $Q$:
$$Q=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix},$$
wobei $v_i$ die normierten Eigenvektoren von $S$ sind (Spalten von $Q$).
---
## Schiefsymmetrische Matrix
Matrix
$$
K=\begin{pmatrix}0&-2&1\\2&0&4\\-1&-4&0\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- $K^\top=-K$, **Diagonale = 0**
- **Spur = 0**, Eigenwerte rein imaginär oder 0
---
## Projektionsmatrix (idempotent)
Matrix
$$
P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- **$P^2=P$**, projiziert auf $x$-Achse
- Eigenwerte **0 oder 1**
---
## Involutorische Matrix
Matrix
$$
J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- **$J^2=I$**, also $J^{-1}=J$
- Eigenwerte **±1** (tauscht Koordinatenachsen)
---
## Nilpotente Matrix
Matrix
$$
N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
\quad\text{mit}\quad N^2=O_2
$$
Eigenschaften
- **Alle Eigenwerte = 0**, Spur = 0
- $N^k=O$ für $k\ge2$
---
## Reflexionsmatrix (Householder-Typ)
Matrix (Spiegelung an $x$-Achse)
$$
H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- Orthogonal, **$H^2=I$**, $\det=-1$
- Spiegelt $y\to -y$
---
## Obere Dreiecksmatrix
Matrix
$$
U=\begin{pmatrix}3&-2&1\\0&5&4\\0&0&-1\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- **$\det=\prod$ Diagonal = $3\cdot5\cdot(-1)=-15$**
- **Eigenwerte = Diagonalelemente** (hier 3, 5, −1)
---
## Positiv definite Matrix
Matrix
$$
A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}
$$
Eigenschaften
- **$x^\top A x>0$ für alle $x\neq0$**
- Alle Eigenwerte positiv (hier 1 und 3)
- **Cholesky-Zerlegung** existiert: $A=LL^\top$
# Formeln - Ableitung - Integration
### Potenz- und Wurzelfunktionen
| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ | | | |
| :--------------------------------: | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------: | --- | --- | --- |
| $0$ | $0$ | | | |
| $k \quad (k \in \mathbb{R})$ | $kx$ | | | |
| $$x^n$$ | $$F(x)=\begin{cases} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & , \text{if}\quad \,n \neq -1,\\ \ln\lvert x\rvert, & ,\text{if}\quad n = -1. \end{cases}$$ | | | |
| $nx^{n-1}$ | $x^n$ | | | |
| $x$ | $\tfrac12 x^2$ | | | |
| $2x$ | $x^2$ | | | |
| $x^2$ | $\tfrac13 x^3$ | | | |
| $3x^2$ | $x^3$ | | | |
| $\sqrt{x}$ | $\tfrac23 x^{\tfrac32}$ | | | |
| $\sqrt[n]{x}$ | $\displaystyle \frac{n}{n+1},\bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)^{n+1}\quad(n\neq -1)$ | | | |
| $\frac1{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | | | |
| $\frac{1}{n,(\sqrt[n]{x^{,n-1}})}$ | $\sqrt[n]{x}$ | | | |
| $-\frac{2}{x^3}$ | $\frac{1}{x^2}$ | | | |
| $-\frac{1}{x^2}$ | $\frac{1}{x}$ | | | |
---
### Exponential- und Logarithmusfunktionen
| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ |
| :-----------------------------------------------------: | :----------------------------------------------------------------: |
| $\mathrm e^x$ | $\mathrm e^x$ |
| $\mathrm e^{kx}$ | $\displaystyle \frac{1}{k},\mathrm e^{kx}$ |
| $a^x\ln a \quad (a>0)$ | $a^x$ |
| $a^x$ | $\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}$ |
| $x^x,(1+\ln x)$ | $x^x \quad (x>0)$ |
| $\mathrm e^{x\ln\lvert x\rvert},(\ln\lvert x\rvert +1)$ | $\lvert x\rvert^x = \mathrm e^{x\ln\lvert x\rvert}\quad (x\neq0)$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln\lvert x\rvert$ Sonderfall von $x^n$ für $n=-1$, siehe oben |
| $\ln x$ | $x\ln x - x$ |
| $x^n\ln x$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}\Bigl(\ln x - \frac{1}{n+1}\Bigr)\quad(n\ge0)$ |
| $u'(x),\ln u(x)$ | $u(x)\ln u(x) - u(x)$ |
| $\displaystyle \frac{1}{x},\ln^{n}x\quad(n\neq -1)$ | $\displaystyle \frac{1}{n+1},\ln^{n+1}x$ |
| $\displaystyle \frac{1}{x},\ln x^n\quad(n\neq 0)$ | $\displaystyle \frac{1}{2n},\ln^2 x^n = \frac{n}{2}\ln^2 x$ |
| $\frac{1}{x}\,\frac{1}{\ln a}$ | $\log_a x$ |
| $\frac{1}{x\ln x}$ | $\displaystyle \ln\lvert\ln x\rvert\quad(x>0, \,x\neq1)$ |
| $\log_a x$ | $\displaystyle \frac{1}{\ln a}\,(x\ln x - x)$ |
---
## Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
### Trigonometrische Funktionen
| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ | | |
| :-------------------------------------: | :---------------------------------------------------------------------------------------: | --- | --- |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | | |
| $\cos x$ | $\sin x$ | | |
| $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ | $\ln\bigl[\sec x\bigr]$ | | |
| $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ | $-\ln\bigl[\csc x\bigr]$ | | |
| $\sec x = \frac1{\cos x}$ | $\operatorname{artanh}[\sin x]$ | | |
| $\csc x = \frac1{\sin x}$ | $-\operatorname{artanh}[\cos x]$ | | |
| $\sec^2 x = 1+\tan^2 x$ | $\tan x$ | | |
| $-\csc^2 x = -\bigl(1+\cot^2 x\bigr)$ | $\cot x$ | | |
| $\sin^2 x$ | $\frac{1}{2}[x−sinx\,cosx]=\frac{1}{2}x− \frac{1}{4} sin(2x)$ | | |
| $\cos^2 x$ | $\frac{1}{2}[x+sinx\,cosx]=\frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} sin(2x)$ | | |
| $\sin(kx)\cos(kx)$ | $-\displaystyle \frac{1}{4k}\cos(2kx)$ | | |
| $\sin(kx)\cos(kx)$ | $\displaystyle \frac{1}{2k}\sin^2(kx)$ | | |
| $\displaystyle \frac{\sin(ax)}{e^{bx}}$ | $\displaystyle \frac{a\,e^{bx} - a\cos(ax) - b\sin(ax)}{(a^2+b^2)\,e^{bx}}$ | | |
| $\displaystyle \frac{\cos(ax)}{e^{bx}}$ | $\displaystyle \frac{a\sin(ax) - b\cos(ax) + b\,e^{bx}}{(a^2+b^2)\,e^{bx}}$ | | |
| $\arcsin x$ | $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}$ | | |
| $\arccos x$ | $x\arccos x - \sqrt{1-x^2}$ | | |
| $\arctan x$ | $x\arctan x - \tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr)$ | | |
| $\arccot x$ | $x\arccot x + \tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr)$ | | |
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x$ | | |
| $\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arccos x$ | | |
| $\displaystyle \frac{1}{x^2+1}$ | $\arctan x$ | | |
| $\displaystyle -\frac{1}{x^2+1}$ | $\arccot x$ | | |
| $\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}$ | $x - \arctan x$ | | |
| $\displaystyle \frac{1}{(x^2+1)^2}$ | $\displaystyle \tfrac12\Bigl(\frac{x}{x^2+1} + \arctan x\Bigr)$ | | |
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $\displaystyle \frac{a^2}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2}$ | | |
| $\displaystyle \frac{1}{ax^2+bx+c}$ | $\frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\Bigr)$ | | |
### Hyperbelfunktionen
| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ |
| :----------------------------------------------------: | :-------------------------------------------------------------------------------------------------------: |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tanh x$ | $\ln\bigl[\cosh x\bigr]$ |
| $\coth x$ | $\ln\lvert\sinh x\rvert$ |
| $\operatorname{sech} x$ | $\operatorname{gd} x = \arctan[\sinh x]$ |
| $\operatorname{csch} x$ | $-\operatorname{arcoth}[\cosh x]$ |
| $\displaystyle \frac{1}{\cosh^2 x} = 1-\tanh^2 x$ | $\tanh x$ |
| $\displaystyle \frac{-1}{\sinh^2 x} = 1-\coth^2 x$ | $\coth x$ |
| $\operatorname{arsinh} x$ | $x\,\operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^2+1}$ |
| $\operatorname{arcosh} x$ | $x\,\operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}$ |
| $\operatorname{artanh} x$ | $x\,\operatorname{artanh} x + \tfrac12\ln\bigl(1-x^2\bigr)$ |
| $\operatorname{arcoth} x$ | $x\,\operatorname{arcoth} x + \tfrac12\ln\bigl(x^2-1\bigr)$ |
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ | $\operatorname{arsinh} x$ |
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\quad(x>1)$ | $\operatorname{arcosh} x$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $\displaystyle \frac{a^2}{2}\,\operatorname{arsinh}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2}$ |
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$ | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\operatorname{arsinh}\Bigl(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\Bigr)$ |
| $\displaystyle \frac{1}{1-x^2}\quad(\lvert x\rvert<1)$ | $\operatorname{artanh} x$ |
| $\displaystyle \frac{1}{1-x^2}\quad(\lvert x\rvert>1)$ | $\operatorname{arcoth} x$ |
# Regeln - Ableiten
### Produktregel
$$u(x) \cdot v(x) \Longrightarrow u'v + u\,v'$$
### Quotientenregel
$$\frac{u(x)}{v(x)} \Longrightarrow \frac{u'v + u\,v'}{v^2}$$
### Kettenregel
Äußere Funktion abgeleitet, mal innere Funktion abgeleitet.
$$u[v(x)] \Longrightarrow u'[v(x)] \cdot v'(x)$$
# Regeln - Integrieren
### Partielle Integration
>**Idee**:
>Ein Teil herausziehen, dass später etwas Integrierbares herauskommt. $u$ wird abgeleitet. $v$ wird integriert.
$$
\int{u \, v} \Longrightarrow u\, V - \int{V\, u' \,dx}
$$
### U-Substitution
Substituieren:
$$\int{\frac{1}{u'}u}\, du$$
> **Wichtig:**
> 1/Ableitung von u, muss sich mit dem Variablen Faktor vorne kürzen. Also es darf bei $du$ kein $x$ mehr übrig bleiben.
> Beispiel:
> $$\int{\frac{1}{x}}2x\cdot u \, \, du \longrightarrow \int{2u} \,\,du$$