# WIP Konzept - Uneigentliches Integral
# WIP Konzept - Komplexe Zahlen

# 10. Diagonalisierung und Transformationsmatrix
# 9. Schwerpunkt
1. **Gebiet $\mathcal A$ festlegen**  
   Wähle Integrationsgrenzen, z. B.  
   $$
     x\in[a,b],\quad y\in\bigl[y_{\mathrm{unten}}(x),\,y_{\mathrm{oben}}(x)\bigr]
   $$
   oder umgekehrt  
   $$
     y\in[c,d],\quad x\in\bigl[x_{\mathrm{links}}(y),\,x_{\mathrm{rechts}}(y)\bigr].
   $$

2. **Dichtefunktion $\rho(x,y)$ angeben**  
   - Allgemein beliebig.  
   - Regelfall homogen: $\rho(x,y)\equiv 1$.

3. **Gesamtmasse \(M\) berechnen**  
   $$
   M \;=\;\iint_{\mathcal A}\rho(x,y)\,dA
     \;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
              \rho(x,y)\,dy\,dx.
   $$

4. **Erstes Moment zur \(y\)-Achse (\(x_S\))**  
   $$
   M_y
   \;=\;\iint_{\mathcal A} x\,\rho(x,y)\,dA
   \;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
            x\,\rho(x,y)\,dy\,dx.
   $$

5. **Erstes Moment zur \(x\)-Achse ($y_S$)**  
   $$
   M_x
   \;=\;\iint_{\mathcal A} y\,\rho(x,y)\,dA
   \;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
            y\,\rho(x,y)\,dy\,dx.
   $$

6. **Schwerpunktkoordinaten**  
   $$
   x_S \;=\;\frac{M_y}{M},
   \qquad
   y_S \;=\;\frac{M_x}{M}.
   $$

---

### Beispiel für $\rho(x,y)\equiv1$ und $0\le x\le2a,\;0\le y\le a+x$

- Gebiet:  
  $$
    x\in[0,2a],\quad y\in[0,\;a+x].
  $$
- Gesamtmasse:  
  $$
    M = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x}1\,dy\,dx = 4a^2.
  $$
- Erste Momente:  
  $$
    M_y = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x} x\,dy\,dx,
    \quad
    M_x = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x} y\,dy\,dx.
  $$
- Schwerpunkt:  
  $$
    x_S = \frac{M_y}{M} = \frac{7}{6}a,
    \quad
    y_S = \frac{M_x}{M} = \frac{13}{12}a.
  $$



# 8. Extrema - Mehrdimensional  

| **Baustein** | **Was es ist / tut** | **Warum es wichtig ist** |
|--------------|----------------------|--------------------------|
| **1. Funktion** $f(x,y)$ | Die „Höhenlandschaft“, die untersucht wird. | Ohne Funktion keine Analyse. |
| **2. Gradient** $\nabla f=(f_x,f_y)$ | Erste partielle Ableitungen → zeigt stärksten Anstieg. | Setze $\nabla f = \mathbf 0$, um **kritische Punkte** zu finden. |
| **3. Gleichungssystem** $\;f_x=0,\;f_y=0\;$ | Zwei Gleichungen. | Liefert die Koordinaten aller kritischen Punkte. |
| **4. Hesse-Matrix** $$H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}$$ | Matrix der zweiten Ableitungen. | Enthält Krümmungs-Info der Fläche. |
| **5. Determinante** $$D=\det H=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}$$ | Eine Zahl pro Punkt. | Entscheidet schnell über Punktart:<br>• $D>0$  ⇒ Extremum<br>• $D<0$  ⇒ Sattel<br>• $D=0$  ⇒ Test unentschieden |
| **6. Vorzeichen von** $f_{xx}$ | Nur wenn $D>0$. | Unterscheidet Minimum ($f_{xx}>0$) vs. Maximum ($f_{xx}<0$). |
| **7. Funktionswert** $f(x_0,y_0)$ *(optional)* | Höhe des Punktes. | Rein informativ, z. B. tiefstes Minimum. |
| **8. Sonderfälle**<br>• Eigenwerte von $H$<br>• Lagrange-Multiplikatoren | Alternativen/Erweiterungen. | Eigenwerte geben gleiche Entscheidung; Lagrange bei Nebenbedingungen. |

---

## Ablauf in Kurzform

1. **Aufschreiben:** $f(x,y)$  
2. **Gradient bilden:** $f_x,\;f_y$  
3. **Kritische Punkte:** Löse $f_x=0,\;f_y=0$ → $\{P_i\}$  
4. **Hesse-Matrix:** $f_{xx},f_{xy},f_{yy}$ in jedem $P_i$  
5. **Klassifikation:**  
   * $D<0$ ⇒ Sattel  
   * $D>0$ & $f_{xx}>0$ ⇒ Minimum  
   * $D>0$ & $f_{xx}<0$ ⇒ Maximum  
   * $D=0$ ⇒ weiterer Test nötig  
1. **(Optional) Funktionswerte** $f(P_i)$ einsetzen, um Höhen/Tiefen zu vergleichen.


# 7. e) Skalares Kurvenintegral
**Allgemeines Schema zur Berechnung eines skalaren Kurvenintegrals**

1. **Parameterdarstellung**  
   $$\gamma(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr),\quad t\in[a,b]$$

2. **Einsetzen in die skalare Feldfunktion**  
   $$f\bigl(\gamma(t)\bigr) = f\bigl(x(t),\,y(t)\bigr)$$

3. **Berechnung des Bogenelements**  
   - Ableitung:  
     $$\gamma'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr)$$  
   - Norm (Geschwindigkeit):  
     $$\|\gamma'(t)\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$$

4. **Formulierung des Kurvenintegrals**  
   $$
   \int_{K} f\,\mathrm{d}s
   = \int_{a}^{b} f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\|\gamma'(t)\|\,\mathrm{d}t
   $$

5. **Auswertung des Integrals**  
   - Ggf. Substitution wählen, z. B. $u = g(t)$  
   - $\mathrm{d}u$ bestimmen und $t\,\mathrm{d}t$ umschreiben  
   - Grenzen anpassen:  
     $$t=a\mapsto u=u(a),\quad t=b\mapsto u=u(b)$$  
   - Stammfunktion finden und einsetzen  
   - Ergebnis vereinfachen

6. **Interpretation**  
   - Physikalisch: Gesamtmasse, Arbeit, Energie, …  
   - Mathematisch: Konvergenz prüfen (bei offenen Endpunkten)  

## Richtungsableitung

1. **Gradient berechnen**  
   $$
   \nabla f(x)
   =
   \begin{pmatrix}
     \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x) \\[6pt]
     \vdots \\[4pt]
     \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{n}}(x)
   \end{pmatrix}.
   $$

2. **Einheitsvektor bilden**  
   Sei $\vec v = (v_{1},\dots,v_{n})^\top\in\mathbb{R}^{n}$. Dann
   $$
   \|\vec v\| = \sqrt{v_{1}^{2} + \dots + v_{n}^{2}},
   \qquad
   \vec u = \frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
   $$

3. **Richtungsableitung**  
   $$
   D_{\vec v}f(P)
   = \lim_{h\to 0}\frac{f\bigl(P + h\,\vec u\bigr) - f(P)}{h}
   = \nabla f(P)\,\bullet\,\vec u
   = \nabla f(P)\,\bullet\,\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
   $$

**Kurzgefasst:**  
$$
D_{\vec v}f(P)
= \nabla f(P)\,\bullet\,\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
$$


# 7. d) Integrationsreihenfolge ändern

| **Vorher** – Typ I | **Nachher** – Typ II | **Was wohin ?** |
|--------------------|----------------------|-----------------|
| $$\int_{x=a}^{b}\;\int_{y=l(x)}^{u(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$ | $$\int_{y=l(a)}^{u(b)}\;\int_{x=l^{-1}(y)}^{u^{-1}(y)} f(x,y)\,dx\,dy$$ | 1. äußere Variable wechselt $x\to y$  <br> 2. **äußere Grenzen** = tiefster / höchster $y$-Wert des Gebiets (hier $l(a),u(b)$)  <br> 3. **innere Grenzen** = Umkehrfunktionen der alten Kurven $l,u$ (links / rechts) |
| *(Spezialfall $l(x)=0$)* | | |

#### Idiotensicheres Beispiel  
Gegeben  
$$
\int_{x=a}^{b}\;\int_{y=0}^{x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx
$$

➜ Tauschen  

$$
\int_{y=0}^{b^{2}}\;\int_{x=\sqrt{y}}^{b} f(x,y)\,dx\,dy
$$

* drag-and-drop-Mapping:  
  * $0$ bleibt $0$ (äußere unten)  
  * $x^{2}$ → Umkehr $\sqrt{y}$ (innere links)  
  * $a,b$ bleiben Konstanten, landen als innere/rechte Grenze ($x=b$) und sorgen für $y$-Max $=b^{2}$

### Matrixpotenz $A^{15}$ – idiotensicher

1. **Faktor ausrechnen**  
   $$A=\tfrac12\begin{pmatrix}\sqrt3&-1\\[2pt]1&\sqrt3\end{pmatrix}
      =\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt3}{2}&-\tfrac12\\[4pt]\tfrac12&\tfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$$

2. **Erkennen: Rotationsmatrix**  
   Form $\bigl(\!\begin{smallmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{smallmatrix}\!\bigr)$  
   ⇒ $\cos\theta=\sqrt3/2,\ \sin\theta=1/2 \;\Longrightarrow\; \theta=\pi/6$ (30°).

3. **Potenzregel für Rotationsmatrizen**  
   $$A^n=\begin{pmatrix}\cos(n\theta)&-\sin(n\theta)\\\sin(n\theta)&\cos(n\theta)\end{pmatrix}$$

4. **Hier $n=15$**  
   $$n\theta=15\cdot\frac{\pi}{6}= \frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}$$  
   (Rotation um $450^\circ$ ≙ $90^\circ$).

5. **Kosinus/Sinus auslesen**  
   $$\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\qquad
     \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.$$

6. **Ergebnis**  
   $$\boxed{A^{15}= \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}$$


# WIP 7. c Vertauschen Integrationsreihenfolge
# WIP 7. b) Matrix Potenz
Diagonalmatrix oder Drehmatrix.

# 7. a) Komplexe Zahl Polarform gleichung
$$
z^{\,n}=R\,e^{i\Phi},\qquad R>0,\;n\in\mathbb N
$$

| Schritt | Was tun? | Formel / Erläuterung |
|---------|-----------|----------------------|
| **1. Polar-/Exponentialform herstellen** | Schreibe die rechte Seite als $R\,e^{i\Phi}$ mit Betrag $R$ und (Haupt-)Argument $\Phi$.<br>Falls sie in kartesischer Form $a+ib$ vorliegt: $$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad \Phi=\operatorname{atan2}(b,a).$$ |
| **2. n-te-Wurzel-Formel anwenden** | Für $$z^{n}=R\,e^{i\Phi}$$ lauten alle Lösungen $$z_k=\sqrt[n]{R}\,e^{\,i(\Phi+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.$$ |
| **3. Winkel berechnen** | Definiere $$\theta_k=\frac{\Phi+2k\pi}{n}.$$ Diese $n$ Winkel liegen äquidistant auf dem Kreis (Abstand $2\pi/n$). |
| **4. Arithmetische (kartesische) Form** | Nutze Euler $e^{i\theta_k}=\cos\theta_k+i\sin\theta_k$:<br> $$z_k=\sqrt[n]{R}\,(\cos\theta_k+i\sin\theta_k).$$ |
| **5. (Optional) Prüfen** | Einsetzen zeigt $$z_k^{\,n}=R\,e^{i\Phi}.$$ |

#### Kurzform der Lösungsmengen-Formel
$$
\boxed{\,z_k=\sqrt[n]{R}\,e^{\,i(\Phi+2k\pi)/n},\;k=0,\dots,n-1\,}
$$

**Merke**  
1. Betrag der Wurzeln: $\sqrt[n]{R}$.  
2. Winkel: $\theta_k=\dfrac{\Phi+2k\pi}{n}$.  
3. $n$ Lösungen liegen gleichmäßig verteilt auf einem Kreis mit Radius $\sqrt[n]{R}$.

# Vektorfelder



# Matrizen Eigenschaften  


---
## Singular vs. Regulär  
>Check: Deteminante berechnen
- **Singular** ⇔ $\det A=0$ → nicht invertierbar.
- **Regulär** ⇔ $\det A\neq0$ → Inverse $A^{-1}$ existiert.

---
## Diagonalmatrix  
Matrix  
$$
D=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&-2&0\\0&0&7\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- **Besteht typischerweise aus den Eigenwerten** einer Matrix entlang der Hauptdiagonalen, wenn man $A=PDP^{-1}$ diagonalisiert.  
- Kommutiert mit jeder anderen Diagonalmatrix  
- **Leicht zu potenzieren/invertieren**:  
  $D^k=\operatorname{diag}(4^k,-2^k,7^k)$,  
  $D^{-1}=\operatorname{diag}\!\bigl(\tfrac14,-\tfrac12,\tfrac17\bigr)$  
- **Orthogonal** genau dann, wenn $|d_i|=1$ (dann $DD^\top=I$)
---
## Orthogonale Matrix  
Matrix  
$$
Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- **$Q^\top Q=I$**, also $Q^{-1}=Q^\top$  
- **Determinante = ±1**, erhält Länge & Winkel



---
## Rotationsmatrix (Ebene)  
Matrix  
$$
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- Orthogonal mit **$\det=1$**  
- **Potenzregel**: $R(\theta)^n=R(n\theta)$
---
## Nullmatrix  
Matrix  
$$
O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
$$  
Eigenschaften  
- **Additives Neutrum**: $A+O=A$  
- **Rang = 0**, **Spur = 0**

---

## Einheits-/Identitätsmatrix  
Matrix  
$$
I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- **Multiplikatives Neutrum**: $AI_2=I_2A=A$  
- **Eigenwerte alle 1**, $I_2^\top=I_2^{-1}=I_2$

---

## Skalarmatrix  
Matrix  
$$
2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- Spezialfall Diagonalmatrix, **alle Eigenwerte = 2**  
- Orthogonal/unitär ⇔ $|2|=1$ (hier also **nicht** orthogonal)

---
## Symmetrische Matrix ( +Transformationsmatrix)  
Matrix  
$$
S=\begin{pmatrix}2&3&-1\\3&5&0\\-1&0&4\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- $S^\top=S$  
- **Reelle Eigenwerte**, **orthogonal diagonal­isierbar**:  
  $$S = Q\,D\,Q^\top$$  
- **Transformationsmatrix** $Q$:  
  $$Q=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix},$$  
  wobei $v_i$ die normierten Eigenvektoren von $S$ sind (Spalten von $Q$).  


---

## Schiefsymmetrische Matrix  
Matrix  
$$
K=\begin{pmatrix}0&-2&1\\2&0&4\\-1&-4&0\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- $K^\top=-K$, **Diagonale = 0**  
- **Spur = 0**, Eigenwerte rein imaginär oder 0


---

## Projektionsmatrix (idempotent)  
Matrix  
$$
P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- **$P^2=P$**, projiziert auf $x$-Achse  
- Eigenwerte **0 oder 1**

---

## Involutorische Matrix  
Matrix  
$$
J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- **$J^2=I$**, also $J^{-1}=J$  
- Eigenwerte **±1** (tauscht Koordinaten­achsen)

---

## Nilpotente Matrix  
Matrix  
$$
N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
\quad\text{mit}\quad N^2=O_2
$$  

Eigenschaften  
- **Alle Eigenwerte = 0**, Spur = 0  
- $N^k=O$ für $k\ge2$


---

## Reflexionsmatrix (Householder-Typ)  
Matrix (Spiegelung an $x$-Achse)  
$$
H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- Orthogonal, **$H^2=I$**, $\det=-1$  
- Spiegelt $y\to -y$

---

## Obere Dreiecksmatrix  
Matrix  
$$
U=\begin{pmatrix}3&-2&1\\0&5&4\\0&0&-1\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- **$\det=\prod$ Diagonal = $3\cdot5\cdot(-1)=-15$**  
- **Eigenwerte = Diagonalelemente** (hier 3, 5, −1)

---

## Positiv definite Matrix  
Matrix  
$$
A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}
$$  

Eigenschaften  
- **$x^\top A x>0$ für alle $x\neq0$**  
- Alle Eigenwerte positiv (hier 1 und 3)  
- **Cholesky-Zerlegung** existiert: $A=LL^\top$



# Formeln - Ableitung - Integration

### Potenz- und Wurzelfunktionen

|          Funktion $f(x)$           |                                                          Stammfunktion $F(x)$                                                          |     |     |     |
| :--------------------------------: | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------: | --- | --- | --- |
|                $0$                 |                                                                  $0$                                                                   |     |     |     |
|    $k \quad (k \in \mathbb{R})$    |                                                                  $kx$                                                                  |     |     |     |
|              $$x^n$$               | $$F(x)=\begin{cases} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & , \text{if}\quad \,n \neq -1,\\ \ln\lvert x\rvert, & ,\text{if}\quad n = -1. \end{cases}$$ |     |     |     |
|             $nx^{n-1}$             |                                                                 $x^n$                                                                  |     |     |     |
|                $x$                 |                                                             $\tfrac12 x^2$                                                             |     |     |     |
|                $2x$                |                                                                 $x^2$                                                                  |     |     |     |
|               $x^2$                |                                                             $\tfrac13 x^3$                                                             |     |     |     |
|               $3x^2$               |                                                                 $x^3$                                                                  |     |     |     |
|             $\sqrt{x}$             |                                                        $\tfrac23 x^{\tfrac32}$                                                         |     |     |     |
|           $\sqrt[n]{x}$            |                               $\displaystyle \frac{n}{n+1},\bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)^{n+1}\quad(n\neq -1)$                               |     |     |     |
|         $\frac1{\sqrt{x}}$         |                                                              $2\sqrt{x}$                                                               |     |     |     |
| $\frac{1}{n,(\sqrt[n]{x^{,n-1}})}$ |                                                             $\sqrt[n]{x}$                                                              |     |     |     |
|          $-\frac{2}{x^3}$          |                                                            $\frac{1}{x^2}$                                                             |     |     |     |
|          $-\frac{1}{x^2}$          |                                                             $\frac{1}{x}$                                                              |     |     |     |

---

### Exponential- und Logarithmusfunktionen

|                     Funktion $f(x)$                     |                        Stammfunktion $F(x)$                        |
| :-----------------------------------------------------: | :----------------------------------------------------------------: |
|                      $\mathrm e^x$                      |                           $\mathrm e^x$                            |
|                    $\mathrm e^{kx}$                     |             $\displaystyle \frac{1}{k},\mathrm e^{kx}$             |
|                 $a^x\ln a \quad (a>0)$                  |                               $a^x$                                |
|                          $a^x$                          |                 $\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}$                  |
|                     $x^x,(1+\ln x)$                     |                         $x^x \quad (x>0)$                          |
| $\mathrm e^{x\ln\lvert x\rvert},(\ln\lvert x\rvert +1)$ | $\lvert x\rvert^x = \mathrm e^{x\ln\lvert x\rvert}\quad (x\neq0)$  |
|                      $\frac{1}{x}$                      |  $\ln\lvert x\rvert$ Sonderfall von $x^n$ für $n=-1$, siehe oben   |
|                         $\ln x$                         |                            $x\ln x - x$                            |
|                       $x^n\ln x$                        | $\frac{x^{n+1}}{n+1}\Bigl(\ln x - \frac{1}{n+1}\Bigr)\quad(n\ge0)$ |
|                    $u'(x),\ln u(x)$                     |                       $u(x)\ln u(x) - u(x)$                        |
|   $\displaystyle \frac{1}{x},\ln^{n}x\quad(n\neq -1)$   |              $\displaystyle \frac{1}{n+1},\ln^{n+1}x$              |
|    $\displaystyle \frac{1}{x},\ln x^n\quad(n\neq 0)$    |    $\displaystyle \frac{1}{2n},\ln^2 x^n = \frac{n}{2}\ln^2 x$     |
|             $\frac{1}{x}\,\frac{1}{\ln a}$              |                             $\log_a x$                             |
|                   $\frac{1}{x\ln x}$                    |      $\displaystyle \ln\lvert\ln x\rvert\quad(x>0, \,x\neq1)$      |
|                       $\log_a x$                        |           $\displaystyle \frac{1}{\ln a}\,(x\ln x - x)$            |

---

## Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen

### Trigonometrische Funktionen

|             Funktion $f(x)$             |                                   Stammfunktion $F(x)$                                    |     |     |
| :-------------------------------------: | :---------------------------------------------------------------------------------------: | --- | --- |
|                $\sin x$                 |                                         $-\cos x$                                         |     |     |
|                $\cos x$                 |                                         $\sin x$                                          |     |     |
|    $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$     |                                  $\ln\bigl[\sec x\bigr]$                                  |     |     |
|    $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$     |                                 $-\ln\bigl[\csc x\bigr]$                                  |     |     |
|        $\sec x = \frac1{\cos x}$        |                              $\operatorname{artanh}[\sin x]$                              |     |     |
|        $\csc x = \frac1{\sin x}$        |                             $-\operatorname{artanh}[\cos x]$                              |     |     |
|         $\sec^2 x = 1+\tan^2 x$         |                                         $\tan x$                                          |     |     |
|  $-\csc^2 x = -\bigl(1+\cot^2 x\bigr)$  |                                         $\cot x$                                          |     |     |
|               $\sin^2 x$                |             $\frac{1}{2}[x−sin⁡x\,cos⁡x]=\frac{1}{2}x− \frac{1}{4} sin⁡(2x)$              |     |     |
|               $\cos^2 x$                |             $\frac{1}{2}[x+sin⁡x\,cos⁡x]=\frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} sin⁡(2x)$              |     |     |
|           $\sin(kx)\cos(kx)$            |                          $-\displaystyle \frac{1}{4k}\cos(2kx)$                           |     |     |
|           $\sin(kx)\cos(kx)$            |                          $\displaystyle \frac{1}{2k}\sin^2(kx)$                           |     |     |
| $\displaystyle \frac{\sin(ax)}{e^{bx}}$ |        $\displaystyle \frac{a\,e^{bx} - a\cos(ax) - b\sin(ax)}{(a^2+b^2)\,e^{bx}}$        |     |     |
| $\displaystyle \frac{\cos(ax)}{e^{bx}}$ |        $\displaystyle \frac{a\sin(ax) - b\cos(ax) + b\,e^{bx}}{(a^2+b^2)\,e^{bx}}$        |     |     |
|               $\arcsin x$               |                                $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}$                                |     |     |
|               $\arccos x$               |                                $x\arccos x - \sqrt{1-x^2}$                                |     |     |
|               $\arctan x$               |                        $x\arctan x - \tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr)$                        |     |     |
|               $\arccot x$               |                        $x\arccot x + \tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr)$                        |     |     |
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$  |                                        $\arcsin x$                                        |     |     |
| $\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ |                                        $\arccos x$                                        |     |     |
|     $\displaystyle \frac{1}{x^2+1}$     |                                        $\arctan x$                                        |     |     |
|    $\displaystyle -\frac{1}{x^2+1}$     |                                        $\arccot x$                                        |     |     |
|    $\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}$    |                                      $x - \arctan x$                                      |     |     |
|   $\displaystyle \frac{1}{(x^2+1)^2}$   |              $\displaystyle \tfrac12\Bigl(\frac{x}{x^2+1} + \arctan x\Bigr)$              |     |     |
|           $\sqrt{a^2 - x^2}$            | $\displaystyle \frac{a^2}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2}$ |     |     |
|   $\displaystyle \frac{1}{ax^2+bx+c}$   |    $\frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\Bigr)$    |     |     |

### Hyperbelfunktionen

|                    Funktion $f(x)$                     |                                           Stammfunktion $F(x)$                                            |
| :----------------------------------------------------: | :-------------------------------------------------------------------------------------------------------: |
|                       $\sinh x$                        |                                                 $\cosh x$                                                 |
|                       $\cosh x$                        |                                                 $\sinh x$                                                 |
|                       $\tanh x$                        |                                         $\ln\bigl[\cosh x\bigr]$                                          |
|                       $\coth x$                        |                                         $\ln\lvert\sinh x\rvert$                                          |
|                $\operatorname{sech} x$                 |                                 $\operatorname{gd} x = \arctan[\sinh x]$                                  |
|                $\operatorname{csch} x$                 |                                     $-\operatorname{arcoth}[\cosh x]$                                     |
|   $\displaystyle \frac{1}{\cosh^2 x} = 1-\tanh^2 x$    |                                                 $\tanh x$                                                 |
|   $\displaystyle \frac{-1}{\sinh^2 x} = 1-\coth^2 x$   |                                                 $\coth x$                                                 |
|               $\operatorname{arsinh} x$                |                                $x\,\operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^2+1}$                                |
|               $\operatorname{arcosh} x$                |                                $x\,\operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}$                                |
|               $\operatorname{artanh} x$                |                        $x\,\operatorname{artanh} x + \tfrac12\ln\bigl(1-x^2\bigr)$                        |
|               $\operatorname{arcoth} x$                |                        $x\,\operatorname{arcoth} x + \tfrac12\ln\bigl(x^2-1\bigr)$                        |
|         $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$         |                                         $\operatorname{arsinh} x$                                         |
|    $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\quad(x>1)$    |                                         $\operatorname{arcosh} x$                                         |
|                   $\sqrt{a^2 + x^2}$                   | $\displaystyle \frac{a^2}{2}\,\operatorname{arsinh}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2}$ |
|       $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$       |    $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\operatorname{arsinh}\Bigl(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\Bigr)$    |
| $\displaystyle \frac{1}{1-x^2}\quad(\lvert x\rvert<1)$ |                                         $\operatorname{artanh} x$                                         |
| $\displaystyle \frac{1}{1-x^2}\quad(\lvert x\rvert>1)$ |                                         $\operatorname{arcoth} x$                                         |

# Regeln - Ableiten
### Produktregel
$$u(x) \cdot v(x) \Longrightarrow u'v + u\,v'$$
### Quotientenregel
$$\frac{u(x)}{v(x)} \Longrightarrow \frac{u'v + u\,v'}{v^2}$$
### Kettenregel
Äußere Funktion abgeleitet, mal innere Funktion abgeleitet.
$$u[v(x)] \Longrightarrow u'[v(x)] \cdot v'(x)$$


# Regeln - Integrieren
### Partielle Integration
>**Idee**: 
>Ein Teil herausziehen, dass später etwas Integrierbares herauskommt. $u$ wird abgeleitet. $v$ wird integriert.
$$
\int{u \, v} \Longrightarrow u\, V - \int{V\, u' \,dx}
$$
### U-Substitution
Substituieren:
$$\int{\frac{1}{u'}u}\, du$$
> **Wichtig:**
> 1/Ableitung von u, muss sich mit dem Variablen Faktor vorne kürzen. Also es darf bei $du$ kein $x$ mehr übrig bleiben.
> Beispiel:
> $$\int{\frac{1}{x}}2x\cdot u \, \, du \longrightarrow \int{2u} \,\,du$$