**Menge der Matrizen**:
- $\mathbb{M}(m, n, \mathbb{R}) = \mathbb{R}^{m\times n}$

> **Anwendungen**:  
> - Beschreibung linearer Gleichungssysteme  
> - Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen   
> - Transformationen in der Geometrie (z. B. Drehungen, Spiegelungen, Skalierungen)  
> - Darstellung von Netzwerken oder Graphen  
> - Datenrepräsentation in maschinellem Lernen und Statistik

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## Zeilen, Spaltenvektoren

- Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ besteht aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten.  
- Zeilenvektoren: $A_{i*} \in \mathbb{R}^{1 \times n}$  
- Spaltenvektoren: $A_{*j} \in \mathbb{R}^{m \times 1}$  
- Jeder Eintrag $a_{ij}$ steht an der Kreuzung von Zeile $i$ und Spalte $j$.

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## Transponieren

- Zeilen- und Spaltenindex vertauschen:

$$ A \longrightarrow A^T $$
$$(A^T)^T = A$$

- Eigenschaften:  
  - $(A + B)^T = A^T + B^T$  
  - $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ für $\lambda \in \mathbb{R}$  
  - $(AB)^T = B^T A^T$

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## Matrizenmultiplikation

- Definition: $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$  
- Voraussetzung: Spaltenanzahl von $A$ muss gleich der Zeilenanzahl von $B$ sein
    
$$(A \in \mathbb{R}^{m \times n},\ B \in \mathbb{R}^{n \times p}) \Rightarrow AB \in \mathbb{R}^{m \times p}$$

- **Shape des Outputs**: $m_A \times n_B$

- **Eigenschaften**:  
  - Assoziativ: $A(BC) = (AB)C$
 


  - Distributiv: $A(B + C) = AB + AC$  
  - Im Allgemeinen **nicht kommutativ**: $AB \neq BA$