**Menge der Vektorfelder**  
Für eine offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb{R}^n$ bezeichnet  
$$
  \mathfrak{X}(U) = \{\,F : U \to \mathbb{R}^n \mid F \text{ ist (stetig) differenzierbar}\}.
$$

> **Anwendungen**  
> - Beschreibung von Strömungsfeldern in Fluiddynamik  
> - Elektromagnetische Felder (Maxwell-Gleichungen)  
> - Kraftfelder in der Mechanik  
> - Computergrafik: Beleuchtung und Verformung  
> - Kontinuumsmechanik und Materialwissenschaften  

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## Definition und Notation

Ein Vektorfeld $F\in\mathfrak{X}(U)$ schreibt man komponentenweise:  
$$
  F(x) = \bigl(F_1(x),\,F_2(x),\,\dots,\,F_n(x)\bigr),\quad x\in U.
$$  
Jeder $F_i$ ist eine skalare Funktion $F_i:U\to\mathbb{R}$.  
Für $n=3$ oft:  
$$
  F = F_x\,\mathbf{i} + F_y\,\mathbf{j} + F_z\,\mathbf{k}.
$$

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## Lineare Operationen

- **Addition**:  
  $$
    (F + G)(x) = F(x) + G(x).
  $$
- **Skalarmultiplikation** ($\lambda\in\mathbb{R}$):  
  $$
    (\lambda F)(x) = \lambda\,F(x).
  $$  
$\mathfrak{X}(U)$ ist damit ein Vektorraum.

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## Differentialoperatoren

- **Gradient** (für Skalarfeld $\phi:U\to\mathbb{R}$):  
  $$
    \nabla\phi = \bigl(\tfrac{\partial\phi}{\partial x_1},\dots,\tfrac{\partial\phi}{\partial x_n}\bigr).
  $$
- **Divergenz** (für $F\in\mathfrak{X}(U)$):  
  $$
    \mathrm{div}\,F = \nabla\cdot F
    = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F_i}{\partial x_i}.
  $$
- **Rotation** / **Wirbel** ($\mathbb{R}^3$):  
  $$
    \nabla\times F
    = \bigl(\tfrac{\partial F_z}{\partial y}-\tfrac{\partial F_y}{\partial z},\;
          \tfrac{\partial F_x}{\partial z}-\tfrac{\partial F_z}{\partial x},\;
          \tfrac{\partial F_y}{\partial x}-\tfrac{\partial F_x}{\partial y}\bigr).
  $$
- **Laplacian** (auf Skalarfeld $\phi$):  
  $$
    \Delta \phi = \nabla\cdot(\nabla\phi)
    = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i^2}.
  $$

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## Integrale und klassische Sätze

- **Linien­integral** entlang einer Kurve $C$ mit Parametrisierung $\gamma(t)$:  
  $$
    \int_C F\cdot \mathrm{d}r
    = \int_a^b F\bigl(\gamma(t)\bigr)\cdot \gamma'(t)\,\mathrm{d}t.
  $$
- **Fluss** durch eine Fläche $S$:  
  $$
    \Phi = \iint_S F\cdot \mathrm{d}S
    = \iint_D F\bigl(\mathbf{r}(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
  $$
- **Green’scher Satz** ($\mathbb{R}^2$):  
  $$
    \oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y
    = \iint_D \bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x} - \tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,\mathrm{d}A.
  $$
- **Divergenzsatz** (Gauß):  
  $$
    \iint_{\partial V} F\cdot \mathrm{d}S
    = \iiint_V \mathrm{div}\,F\,\mathrm{d}V.
  $$
- **Stokes’ Theorem** ($\mathbb{R}^3$):  
  $$
    \oint_{\partial S} F\cdot \mathrm{d}r
    = \iint_S (\nabla\times F)\cdot \mathrm{d}S.
  $$

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## Spezielle Feldtypen

- **Konservatives Feld**: $\exists\,\phi$ mit $F=\nabla\phi$  
  $\Longrightarrow$ curl $F=0$ und Linienintegral nur von Endpunkten abhängig.  
- **Solenoidales Feld**: $\mathrm{div}\,F=0$  
  $\Longrightarrow$ kein Netto-Fluss durch geschlossene Oberfläche.  
- **Potentialfeld**: Synonym zu konservativem Feld in Mechanik/Elektrostatik.  
- **Wirbelfreies Feld**: curl $F=0$.