# Komplexe Zahlen

## Eulersche Gleichung & Formel
Die Eulersche Gleichung lautet:
$$e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)$$

Daraus folgt die Darstellung einer komplexen Zahl in Exponentialform:
$$z = r \Bigl(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi)\Bigr) = r \cdot e^{i\varphi}$$

> **Exponentialform:**
> $$z = r \cdot e^{i(\varphi + 2\pi k)}$$

### Beispiel: Arithmetische in Exponentialform
Für die arithmetische Darstellung:
$$z = -2 + 2i$$

Berechnung des Betrags:
$$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8}$$

Berechnung des Winkels:
$$\varphi = \arctan\left(\frac{2}{-2}\right) + \pi = \frac{3\pi}{4}$$

Somit ergibt sich:
$$z = \sqrt{8} \cdot e^{i\frac{3\pi}{4}}$$

### Multiplikation
Gegeben:
$$z_1 = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}}$$
$$z_2 = 3 \cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}$$

Multiplikation:
$$z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right)} = 6 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}}$$

### Division
Gegeben:
$$z_1 = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}}$$
$$z_2 = 3 \cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}$$

Division:
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3} \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{3}\right)} = \frac{2}{3} \cdot e^{-i\frac{7\pi}{6}} = \frac{2}{3} \cdot e^{i\frac{5\pi}{6}}$$

#### Umwandeln in Arithmetische Form
$$\frac{2}{3} \cdot e^{i\frac{5\pi}{6}} = \frac{2}{3} \cdot \Bigl(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\Bigr)$$

**Bemerkungen:**
- $|e^{i\varphi}| =\sqrt{\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)} = 1$
- $e^{i \ 0} = 1 = e^{i 2k\pi}$
- $e^{i\pi} = -1$
- $\sinh(i x) = \sin x$
- $\cosh(i x) = \cos x$


### Potenzieren