# Fixpunktiteration

## Fixpunkt
Ein punkt ist ein Fixpunkt wenn, $f(x) = x$

in anderen Worten der X Wert ist gleich die das Ergebnis der Funktion

Beispiel: $f(x) = x^2$ 

$f(0) = 0$ 
$f(1)=1$


Wird ein Interval I auf sich selbst abgebildet. So existiert ein Fixpunkt i.e. ein Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden, in der Bounding box bzw. Kartesischen Produkts von I


## Rekursiv definierte Folgen
Funktion die 

Ein Stabilisator einer folge ist der Fixpunkt der Folge.
Also am besten auch eine Abbruchbedingung.

$$a = \lim_{n\rightarrow \infty}{a_{n+1}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{a_{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{f(a_n)} = f(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n)$$

### Kontraktion
|                              X                            |

-> 

|.               X.           |

-> 

|.    X.    |