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src/analysis_3.typ

@@ -52,7 +52,54 @@ fill: (x, y) => if y == 0 {gray.lighten(40%)},
 )
 
 === Visualisierung
-Richtungsvektorfeld: \
+#grid(columns: (0.7fr, 1fr), gutter: 10pt, [
+==== Richtungsvektorfeld: \
 #box(stroke: 1pt + red, inset: (x: 1em, y: 1em), [$accent(v, hat)(x;y) :eq frac(1, root(,1 + f^2(x;y))) dot mat(delim: "[", 1; f(x;y))$])
+#line(length: 90%)
+*Stabilitätseigenschaften*
+- Gobaler Attraktor: $arrow$ stabil
+- Gobaler Repellor: $arrow$ labil
+- Gobaler Seminator: $arrow$ labil
+*Stabilitätseigenschaften*
+], [
+==== Stabilitätseigenschaften
+#image("../img/analysis_3/Stabilitätseigenschaften.png", width: 100%)
+])
+
+=== Separation
+==== Statische lösung
+Möchte man z.b. für $y^' eq 3x^2y plus x^2$ die Statische Lösung so muss man $y^'$ mit 0 ersetzen so das gilt:
+#grid(columns: (1fr, 1fr), gutter: 10pt, [
+  $ 0 eq 3x^2y plus x^2 $
+  $ 0 eq x^2 dot (3y plus 1) $
+  $ 0 eq 3y plus 1 $
+  $ -1 eq 3y $
+  $ minus frac(1, 3) eq y $
+  $ y(x) eq minus frac(1, 3) $
+], [
+Da $x^2$ einen belibigen Wert haben kann kann es ausgeschlossen werden da logischerweise der rest also $0 eq 3y plus 1$ sein muss.
+])
+
+
+==== Nicht Statische lösung
+#grid(columns: (1fr, 1fr), gutter: 10pt, [
+  $ y^' eq x^2 dot y $
+  $ frac(1, y) dot y^' eq x^2 $
+  $ integral frac(1, y) dot y^' dot "dx" eq integral x^2 dot "dx"  $
+  $ integral frac(1, y) dot "dy" eq integral x^2 dot "dx"  $
+  $ ln(abs(y)) eq frac(1, 3) dot x^3 + c $
+  $ abs(y) eq e^(frac(1, 3) dot x^3 + c) eq e^c dot e^(frac(1, 3) dot x^3) $
+  $ y(x) eq plus.minus e^c dot e^(frac(1, 3) dot x^3) eq C dot e^(frac(1, 3) dot x^3) "mit" C in RR \\ {0} $
+], [
+- $y^' eq frac("dy", "dx")$
+- $integral frac(1, y) dot "dy" eq ln(abs(y))$
+
+])
+
+#table(columns: (0.5fr, 1fr),
+[$C_1$, $C_2$], [Entsthun beim Integrieren],
+[$c$], [$c eq C_2 - C_1$],
+[$C$], [$C eq -c$],
+)