#import "@preview/cetz:0.4.1"

== Schwingungen und Wellen
Periodendauer $T [s]$ \
Frequenz $f eq frac(1, T)$ #h(20pt) $[f] eq "Hz"$


=== Ort-Zeit Funktion
$x(t) eq A dot cos(omega t plus delta)$ \
// Phase $omega t dot delta$ \
// Phasenwinkel $delta$ Wert von $delta$ bei $t eq 0$ \
// Kreisfrequenz $omega$ \
// $x(t) eq x(t plus T)$ wir setzen $delta eq 0$ \
// $A cos(omega t) &eq A dot cos(omega (t plus T)) \
// &eq A dot cos(omega t plus omega T)$ \
// da $cos 2 pi$ periodisch $omega T eq 2 pi$

// $omega eq frac(2 pi, T) eq frac(2 pi, frac(1, f)) eq 2 pi f$ \
// $[omega] eq frac(1, s)$
$omega eq frac(2 pi, T) eq  2 pi f$ #h(20pt) $[omega] eq frac(1, s)$

Geschwindigkeit: \
// $V_x &eq frac(d x (t), d t) \
// &eq - A omega sin(omega t plus delta)$
$V_x eq - A omega sin(omega t plus delta)$

Beschleunigung: \
// $a_x &eq frac(d v_x, d t) eq frac(d^2 x(t), d t^2) \
// &eq - A omega^2 cos(omega t plus delta) \
// &eq minus omega^2 dot x(t)$
$a_x &eq - A omega^2 cos(omega t plus delta) \
a_x &eq minus omega^2 dot x(t) \
a_"max" &eq omega^2 dot accent(x, hat)$

// Amplitude von:\
// $v_x : A omega$ \
// $a_x : A omega^2$ \



=== Newtonssches Gesetz (Bewegungsgleichung)
// $m dot a eq sum F$ \
// $m dot a_x eq minus k dot x arrow a_x eq minus frac(k, m) dot x$ \
// oder \
// $m dot a_x eq minus omega^2 dot x dot m$ \
// gleichsetzen der gleichungen: \
// $minus k dot x eq minus m dot omega^2 dot x$ \
// $k eq m dot omega^2$ \
// $omega eq sqrt(frac(k, m))$ \
// mit: \
// $omega eq frac(s pi, T)$ $arrow$ $T eq 2 pi sqrt(frac(m,k))$ \
$omega eq sqrt(frac(k, m))$ \

Dehnung der Feder: \
$k dot Delta l eq m dot g$

=== Gleichgewichtslage
$E_"pot" (x) eq 0$ Bei Gleichgewichtslage \

=== Energie
$E_"pot" eq frac(1, 2) k y^2$ \
$E_"ges" eq frac(1, 2) k accent(y, hat)^2$ ($accent(y, hat) arrow $ Maximalwert von der Amplitude)


=== Fadenpendel
#grid(columns: (100pt, 1fr), gutter: 10pt, [
$ T eq 2 pi dot root(, frac(l, g)) $
], [
#cetz.canvas({
  import cetz.draw: *
  line((0, 0), (6, 0), stroke: (thickness: 3pt))
  line((3, 0), (1, -2))
  circle((1, -2), radius: 0.5, fill: gray)
  content((2.5, -1), [$l$])
  content((4.5, -0.5), anchor: "north-west", [
- $l$ Lënge des Pendels
- $g$ Erdbeschleunigung $(9.81m\/s^2)$
])
})
])

=== Physikalisches Pendel
#grid(columns: (100pt, 1fr), gutter: 10pt, [
$ T eq 2 pi dot root(, frac(I, m dot g dot d)) $
], [
#cetz.canvas({
  import cetz.draw: *
  circle((0, 0), radius: 2, fill: gray)
  circle((0, 1), radius: 0.2, fill: white)
  circle((0, 0), radius: 0.1, fill: black)

  line((0, 0), (0, 1), mark: (symbol: ">"), fill: blue, stroke: blue)
  line((0, 0), (2, 0), mark: (symbol: ">"), fill: blue, stroke: blue)
  line((2.4, 1.85), (0.2, 1.2), mark: (end: ">"), fill: blue, stroke: blue)

  content((-0.3, 0.4), [$d$])
  content((1, 0.4), [$r$])
  content((0, -1), [$m$])

  content((2.5, 2), anchor: "north-west", [Drehpunkt])
  content((2.5, 1), anchor: "north-west", [
    - d Abstand vom Drehpunkt zum Massemittelpunkt
    - r Radius vom Kreis
    - m Masse vom Pendel
    - I Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse
  ])
})
])


=== Drehpendel (Torsionspendel)
#grid(columns: (200pt, 1fr), gutter: 10pt, [
$ T eq 2 pi dot root(, frac(I, D*)) $
- $D∗$ Direktionsmoment (Torsionskonstante des Drahtes)
- $I$ Trägheitsmoment des Körpers
], [
  #image("../img/schwingungen_und_wellen/Drehpendel.png")
])

=== Satz von Steiner
$ I eq I_S plus m dot d^2 $
#table(columns: (1fr, 1fr),
[Kreis], [$ I_S eq frac(1, 2) dot m dot r^2 $]
)