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Clustered and Rewritten Text Document

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Game Theory Basics

Non-Cooperative Games Game Strategies Prisoner's Dilemma Zero-Sum Games Conservative Strategies Mixed Strategies Checkpoints Summary Group Decisions Collective Choice

Spieltheorie Zusammenfassung

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Non-cooperative games are widely used in literature and applications. Players cannot make agreements before the game, and they have no agreements on joint actions that are optimal for the group. A second distinction is between simultaneous games, where all players make their choice once and for all (only one choice).

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Spielen in reinen Strategien: A dominant strategy is defined as follows: For two strategies a_i, a_i^′ ∈ A_i, strategy a_i is weakly dominant over strategy a_i^′ if a_i is at least as good as a_i^′ for all possible actions of the other players a_j ∈ A_j≠i, i.e., for all a_j ∈ A_j≠i. If the inequality holds strictly (>), then we speak of strong dominance. A player can achieve a higher payoff by deviating from this, i.e., if it holds for all a_i ∈ A_i and i ∈ N. What does this mean for the prisoner's dilemma…?

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Spielen in reinen Strategien: Nash equilibrium: For action profile (G, G)

	S1	S2
G	(6, 6)	(0, 8)
L	(3, 3)	(8, 0)

The dominant strategy for both players is G. HOWEVER: The equilibrium (G, G) is inefficient, since (L, L) would yield a better payoff.

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Weiteres Beispiel: Falke-und-Taube-Spiel: Two competitors must decide between aggressive (Hawk) and non-aggressive (Dove) behavior.

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Zwei-Personen-Nullsummenspiele: Introduction: Players try to maximize their profit (i.e., minimize the profit of the other). The sum is always zero for all players. 2PNS games are usually represented in normal form (or matrix form).

	S21	S22
S11	(-1, 1)	(-5, 5)
S12	(1, -1)	(-3, 3)

Matrix form: u_2 or -u_1

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Zwei-Personen-Nullsummenspiele: Definition: Conservative Strategies. Observation: The best opponent strategy leads to one's own worst profit. Conservative strategy: Choose the best value from all unfavorable cases. Minimizer P1 (→ intersection of minimum and maximum). The idea remains the same: no player can improve themselves through a mutual change of strategy.

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Zwei-Personen-Nullsummenspiele: Example: Battle of the Bismarck Sea (continuation). If the Americans check the correct route, the bombing can begin immediately (otherwise two days remain for the other route). On the northern route, the bombing must also be omitted for one day due to poor visibility. This results in the following 2PNS game (profit ≡ possible days for bombing).

	N	S
N	(2, 2)	(1, 3)
S	(3, 1)	(0, 0)

i^* = N and U^- = 2; j^* = N and U^+ = 2; Saddle point at (N, N).

R.-P. Mundani, HS 2024

Spielen in gemischten Strategien: Preliminary remarks: Pure strategies: A player commits (a priori) to a strategy. Disadvantage: Predictability by fellow players.

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Spielen in gemischten Strategien: Finding the saddle point: Multiply the 2PNS game by probabilities p and q. Solving the corresponding equation (often by linear programming).

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

	S21	S22
S11	3	-1
S12	1	5

p = 0.5 and q = 0.25 (e.g., with gnuplot (http://www.gnuplot.info) via > f(x,y) = -8*x*y + 2*x + ...)

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Checkpoints: What terms should be clear…? Games in pure strategies; Representation in normal form/bimatrix form; Dominant strategy; Nash equilibrium; Two-person zero-sum games; Higher penalties (fines) equally reduce the probability with which the tax inspector checks and with which tax evasion becomes attractive for Zanoma 

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Gruppenentscheidungen: Decision: Preference P_A. Sought: Collective selection function K for the preference of the totality K: P_A = P_A × P_A × … × P_A → P_A. Essential (non-trivial) conditions: The selection function K must be total → for each possible combination of (personal) preferences from P_A there must be an overall preference (i.e., a result). The result itself must again be a relation in P_A.

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Gruppenentscheidungen: Decision procedure (continuation): Rank addition. Each individual preference ρ_i defines a rank mapping. Idea: Determine the collective preference from the rank numbers of the respective individuals. Simplest method: Addition of rank numbers. For two elements x, y, K_A(ρ_1, …, ρ_n) is relation ρ with: The sum Σr_i is not a rank mapping (see following example), but can easily be “corrected” so that ρ ∈ P_A applies. The procedure has no obvious disadvantages.

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Gruppenentscheidungen: Collective selection functions P_A → P_A are also fulfilled by undesirable procedures. Two conditions that every “fair” procedure should fulfill: Pareto condition: The totality (of all individuals) can enforce any desired ranking for any choice options by unanimity tests. Independence of irrelevant alternatives: Ranking between two choice options is determined by preference ρ_d; the result is independent of the other ρ_i with i ≠ d. The result is also a mapping P_A → P_A, but neither “fair” nor “democratic”. Better procedures are needed that “reasonably” collectively combine individual preferences.

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Game Theory Basics

Two-Person Zero-Sum Games Bismarck Sea Battle Mixed Strategies Game Group Decisions Preference Relations Decision Procedures Arrow's Impossibility Theorem

Spieltheorie: Von Zwei-Personen-Nullsummenspielen zu Gruppenentscheidungen

Zwei-Personen-Nullsummenspiele (2PNS-Spiele) werden in Matrixform dargestellt, wobei Spieler 1 die Minimiererin (Zeilenspielerin) und Spieler 2 die Maximiererin (Spaltenspielerin) ist. Daher werden 2PNS-Spiele auch als MinMax-Spiele bezeichnet. Aufgrund ihrer speziellen Struktur nehmen Nash-Gleichgewichte die Form von Sattelpunkten an – dem Schnittpunkt von Minimum und Maximum. Der Min-Max-Theorem besagt, dass ein Sattelpunkt genau dann existiert, wenn U^- = a_{i*j*} = U^+. Ein Beispiel hierfür ist die Schlacht in der Bismarcksee (2.–4. März 1943), wo japanische Truppen von Rabaul nach Lae verlegt werden sollten, mit zwei möglichen Routen (regnerische Nordroute und sonnige Südroute), während die U.S. Air Force mit begrenzten Ressourcen entscheiden musste, welche Route zu bombardieren ist.

Möglichkeiten und Aktionen seien definiert als A_1 = \{X, Y\} und A_2 = \{X, Y\}. Die Aktionsprofile sind A = \{(X, X), (X, Y), (Y, X), (Y, Y)\}. Eine Auszahlungsfunktion u_{1,2}: A \to (1, 0, 0, 1) ist gegeben. Die Frage ist, wie sich das Spiel verändert, wenn die Auszahlungsfunktionen für Spieler 1: u_1: A \to (1, 0, 0, 0) und Spieler 2: u_2: A \to (0, 0, 0, 1) gelten. Im Kontext von Spielen in gemischten Strategien, beispielsweise bei der Steuerhinterziehung mit einer Schwelle von s > 200 Millionen CHF, kann es vorkommen, dass keine dominante Strategie oder kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien existiert. In einem Beispiel ergibt sich U^- = 2 = U^+ aus q in S_{11} oder S_{12} und p in S_{22}.

Gruppenentscheidungen beschäftigen sich mit Relationen, die Beziehungen zwischen Elementen beschreiben (z.B. Rangfolgen, Präferenzen). Eine Relation R auf Paaren (x, y) von Elementen aus A wird formal als (x, y) \in R oder xRy geschrieben. Präferenzen können durch Rangabbildungen definiert werden: x \rho y \iff r(x) < r(y). Die Relation \rho ist transitiv und asymmetrisch. Die Menge aller darstellbaren Relationen auf A ist P_A := \{\rho \subset A \times A: \rho \text{ erfüllt } x \rho y \iff r(x) < r(y) \text{ für eine Rangabbildung } r\}. Eine Erweiterung der Relation durch alle Paare mit gleichem Rang ist x \rho^* y \iff r(x) \le r(y). Die Relation \rho^* ist transitiv und reflexiv, und es gilt \rho \subset \rho^*. P_A^* := \{\rho^* \subset A \times A: \rho^* \text{ erfüllt } x \rho^* y \iff r(x) \le r(y) \text{ für eine Rangabbildung } r\}. Beispiel: A = \{x, y, z\}, r(x) = 1, r(y) = r(z) = 2. Es gilt x \rho y \iff \neg(y \rho^* x).

Entscheidungsverfahren für Gruppenentscheidungen umfassen Extrembeispiele wie den externen oder internen Diktator. Rangaddition ist ein weiteres Verfahren, aber es kann zu ungültigen Ergebnissen führen, wie z.B. x \rho y, y \rho z, und z \rho x, was aufgrund der Transitivität zu x \rho x führt, was ungültig ist. Einstimmigkeit erfordert, dass alle Individuen dieselbe Präferenz teilen. Das Condorcet-Verfahren und Einstimmigkeit liefern für $|A| > 2 möglicherweise ungültige Ergebnisse. Nur ein interner Diktator erfüllt alle Bedingungen. Ein Verfahren sollte die Unabhängigkeit irrelevanter Alternativen erfüllen: die Rangfolge zwischen zwei Wahlmöglichkeiten sollte nicht durch Präferenzänderungen der Individuen bezüglich einer dritten Wahlmöglichkeit beeinflusst werden. Der Satz von Arrow zeigt, dass mit diesen Forderungen kein annähernd demokratisches Verfahren möglich ist.

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Game Theory Introduction

Introduction to Computational Science (CDS-1012) HS 2024 Prof. Dr. rer. nat. habil. Ralf-Peter Mundani DAViS

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024

Introduction to Game Theory

• Overview
• Modeling and Definitions
• Games in Pure Strategies
• Nash Equilibrium and Dominant Strategies
• Two-Person Zero-Sum Games
• Conservative Strategies
• Games in Mixed Strategies
• Calculation of Saddle Points
• Majority Decisions / Group Decisions (→ Part 2)

Motivation from Stochastics: The Goat Problem (a.k.a. Monty-Hall Dilemma)

• Game show: 3 doors – two goats and one car
• Player chooses a door, the showmaster opens another door (goat)  Strategy: Change choice…?
• The other two cases (player chooses door B or C) are symmetrical
• In three cases (3/9) loss, in six cases (6/9) win  Change choice 

Fundamentals

• Definition: Game theory
• Subfield of mathematics ("Theory of strategic thinking")
• Modeling of decision situations

Games in Pure Strategies

• Prisoner's Dilemma (the best-known non-cooperative game in pure strategies)
• Background: Two prisoners are accused of having committed a crime together. Both prisoners are interrogated separately and cannot communicate. Due to a lack of concrete evidence, only part of the crime can be proven against both.
• Possible actions: Deny (L): low penalty (2 years); Confess (G): high penalty (5 years) or maximum penalty (8 years → witness protection program)
• Maximizing the payoff: Function u_i models the gain in freedom (i.e., maximum penalty – actual penalty)

Prisoner's Dilemma (continuation)

• Representation in normal form (also called bimatrix form for two players)
• Question: How do both players find the best strategy for themselves…?

$ \begin{array}{c|cc} & G & L \ \hline G & (6, 6) & (8, 0) \ L & (0, 8) & (3, 3) \ \end{array} $ A_2 A_1 (u_1, u_2)

A Little Bit of Math 

• Nash Equilibrium
• An action profile is a Nash equilibrium if no player can improve their payoff by unilaterally changing their action.
• If strategy a_i is better than strategy a_i in all cases, then strong dominance is spoken of, i.e., strategy a_i is strongly dominant over strategy a_i.
• Profiles of dominant strategies lead to Nash equilibria (converse not valid).
• Again the question: What does this mean for the prisoner's dilemma…?

Strong Dominant Strategy

• The strongly dominant strategy for both players is G.

Exercise: Tax Evasion

• Zanoma, a company, has not paid taxes on 200M CHF.
• If Zanoma is proven to have evaded taxes by a private tax auditor, the company must pay s million CHF (tax plus fines).
• The tax auditor receives 5% of the repayment as a bonus in case of success.
• The tax auditor has strategies audit (P; costs: 10M CHF) and no audit (KP; costs: 0).
• Zanoma has strategies tax evasion (S) and no tax evasion (KS).
• Questions: a) What does the depicted situation look like as a game in bimatrix form…? b) Are there dominant strategies and Nash equilibria for $s < 200$M CHF…?

Games in Pure Strategies

• Sequential games
• There is a specific order in which player(s) are allowed to decide.
• In each step, players who are allowed to decide have complete or incomplete knowledge of the current status (i.e., previous decisions).
• The usual form of representation is extensive or as a tree.

Conservative Strategies

• Players choose strategies to minimize losses in the worst-case scenario.
• Minimizer P1: U^- = \text{minimax}_{j} a_{ij}
• For each strategy i: maximize over all columns j (⇒ largest possible loss)
• Choose the minimum of all column maxima → conservative strategy i^* (upper bound U^-)
• Maximizer P2: U^+ = \text{max}_j \text{min}_i a_{ij}
• For each strategy j: minimize over all rows i (⇒ smallest possible gain)
• Choose the maximum of all row minima → conservative strategy j^* (lower bound U^+)
• Mixed strategy games always have a saddle point.

Games in Mixed Strategies

• Introduction of probabilities
• Player P1: plays strategy S_{11} with probability p and strategy S_{12} with 1 - p.
• Player P2: plays strategy S_{21} with probability q and strategy S_{22} with 1 - q.
• For the case n > 2 strategies: probabilities p_1, p_2, \dots, p_n for each strategy.
• Determining the saddle point
• Multiplying the 2PNS game

$ \begin{array}{cc} p & 1-p \ q & 1-q \end{array} $

Tax Evasion (continuation)

• From Zanoma's perspective: (200 - s) \cdot q + 200 \cdot (1 - q) = 0 \cdot q + 0 \cdot (1 - q) \iff q = 200/s
• From the tax auditor's perspective: (0.05 \cdot s - 10) \cdot p - 10 \cdot (1 - p) = 0 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) \iff p = 200/s
• i.e., Nash equilibrium in mixed strategies, thus for p = q, i.e., for (200/s, 200/s)
• In other words: higher repayments (fines) reduce the probability of an audit.

Group Decisions

• Arrow's theorem
• Let A with |A| > 2 be a set of choices.
• K: P^A \to P^A is a collective choice function that satisfies the Pareto condition and independence of irrelevant alternatives.
• Then there is always a dictator, there is a d \in I: for all (\rho_1, \dots, \rho_n) \in P^A: for all (x, y) \in A \times A: x \rho_d y \implies x \rho y.
• BUT: The dictator is "generous" towards other groups.

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Game Theory Basics

Kooperative Spiele zeichnen sich dadurch aus, dass alle Spielerinnen und Spieler nach gemeinsamen Aktionen suchen, die optimal für die Gruppe sind. Spielerinnen und Spieler können vor dem Spiel Absprachen treffen. Im Gegensatz dazu stehen nicht-kooperative Spiele, bei denen jede Spielerin und jeder Spieler seine Auszahlung maximiert, indem er seine beste Strategie wählt – basierend auf seinem Wissen über die Strategien der anderen. Vereinbarungen zwischen den Spielerinnen und Spielern gibt es in nicht-kooperativen Spielen nicht.

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Game Theory Strategies

Mixed Strategies

Group Decisions Ranking

Group Decision Preferences

Group Decision Methods

Gruppenentscheidungen: Präferenzen und Entscheidungsverfahren

In Spielen können reine Strategien (z.B. Schere (100%), Stein (0%), Papier (0%)) zu vorhersehbaren Ergebnissen führen. Gemischte Strategien, bei denen ein Spieler zufällig zwischen Strategien entscheidet (z.B. Schere (25%), Stein (50%), Papier (25%)), werden durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion über reinen Strategien charakterisiert. Allerdings führen reine Strategien oft nicht zu Nash-Gleichgewichten. Das Min-Max-Theorem besagt, dass Zwei-Personen-Nullsummen-Spiele (2PNS-Spiele) in gemischten Strategien immer einen Sattelpunkt haben, im Gegensatz zu Spielen in reinen Strategien, die keinen Sattelpunkt besitzen (Beispiel: siehe Spielmatrix).

\begin{array}{c|cc}
 & S_{21} & S_{22} \\
\hline
S_{11} & 3 & -1 \\
S_{12} & -1 & 5
\end{array}

\min_i \max_j \to i^* = S_{11} \text{ und } U^+ = 3; \max_j \min_i \to j^* = S_{22} \text{ und } U^- = 1

Rangabbildungen bieten eine Möglichkeit, Präferenzen zu visualisieren. Eine endliche Menge A von Möglichkeiten (z.B. Kandidaten, Pläne) wird durch die Vergabe von Rangnummern r(x) mit x \in A bewertet. r(x) < r(y) bedeutet, dass x gegenüber y bevorzugt wird. Zwei oder mehr Möglichkeiten können dieselbe Rangnummer erhalten. Eine Rangabbildung r: A \to P ist eine surjektive Abbildung der Menge der Möglichkeiten A auf eine Menge von Präferenzen P = \{1, \dots, k\} \subset \mathbb{N}. Beispiel: A = \{x, y, z\}, r(x) = 1, r(y) = r(z) = 2. Rangabbildungen eignen sich besonders für Visualisierungen (z.B. Fussballtabellen).

Präferenzen können durch Relationen beschrieben werden. Eine Relation R auf einer Menge A ist eine Teilmenge von A \times A. xRy bedeutet, dass x in Relation zu y steht. Eigenschaften von Relationen: transitiv (xRy \land yRz \implies xRz), reflexiv (xRx für alle x \in A), asymmetrisch (xRy \land yRx gilt niemals gleichzeitig). Transitive und reflexive Relationen werden auch Quasiordnungen genannt. Eine strenge Präferenzrelation \rho ist irreflexiv (x \rho x gilt niemals) und asymmetrisch (x \rho y \iff \neg(y \rho^* x)).

Entscheidungsverfahren benötigen die Menge der Wähler I = \{1, \dots, n\} und die persönlichen Präferenzen P_A jedes Wählers. Ziel ist die kollektive Auswahlfunktion. Das Condorcet-Verfahren zählt im direkten Vergleich zweier Elemente x, y \in A, welche Präferenz häufiger auftritt. Für zwei Elemente x, y gilt: K(ρ_1, \dots, ρ_n) ist eine Relation ρ. Das Verfahren ist für beliebige ρ durchführbar, aber die Relation ρ ist im Fall von mehr als zwei Möglichkeiten nicht immer transitiv, d.h. ρ ist keine zulässige Präferenzrelation aus P_A.

Bedingungen an Auswahlverfahren: Die Pareto-Bedingung (Einstimmigkeit) besagt, dass die kollektive Auswahlfunktion K: P_A \to P_A die Pareto-Bedingung erfüllt, wenn für alle ρ_i \in P_A gilt: Wenn alle Individuen x vor y bevorzugen, dann muss die kollektive Entscheidung auch x vor y bevorzugen. Die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen fordert, dass die Platzierung einer dritten Möglichkeit den Vergleich zweier anderer Möglichkeiten nicht beeinflussen darf. Präferenzänderungen bei Individuen können zu unterschiedlichen kollektiven Entscheidungen führen. Beispiel: Zwei Individuen mit unterschiedlichen Präferenzen (i=1: x < y < z; i=2: y < z < x) führen zu unterschiedlichen Ergebnissen.

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Game Theory Basics

Einführung in die Spieltheorie

Grundlagen (Fortsetzung): Entscheidungen können getroffen werden unter:

• Gewissheit: Alle Aktionen/Konsequenzen sind bekannt.
• Risiko: (Bestimmte) Wahrscheinlichkeiten von Aktionen/Konsequenzen sind bekannt.
• Unsicherheit: Keine Aktionen/Konsequenzen sind bekannt.

Modellierung:

• Menge von SpielerInnen N = \{1, 2, \dots, n\}
• Menge der Aktionen (auch als Strategie bezeichnet) A_i von SpielerIn i für alle i \in N
• Menge der Aktionsprofile (auch Strategieprofile) A = \{(a_i)_{i \in N}, a_i \in A_i \text{ für alle } i \in N\}
• Auszahlungsfunktion u_i: A \to \mathbb{R} für SpielerIn i

Beispiel: Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten. Aktionen: A_1 = \{X, Y\} und ...

Nash-Gleichgewicht: Ein Aktionsprofil bildet ein Nash-Gleichgewicht, wenn keine SpielerIn eine höhere Auszahlung erhalten kann, indem sie von ihrer Entscheidung (einseitig) abweicht, d.h. während alle anderen SpielerInnen auf ihren Entscheidungen beharren. Formal: Ein Aktionsprofil bildet genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn keine der SpielerInnen durch Abweichung davon eine höhere Auszahlung erhält.

Modellierung von Entscheidungssituationen (oftmals im sozialen Konflikt): Idee: Erfolg hängt nicht nur von eigener, sondern auch von Entscheidungen anderer ab. Anwendungsgebiete: vor allem Wirtschaftswissenschaften und Ökonomie. Bekannte Vertreter: John von Neumann, John Forbes Nash. Unterscheidung zwischen:

• kooperativen / nicht-kooperativen Spielen
• simultanen / sequentiellen Spielen

Spielen in reinen Strategien: Übung: Steuerhinterziehung. Unternehmen Zanoma hat durch kreative Buchführung 200M CHF nicht versteuert.

Spielen in reinen Strategien (Fortsetzung): Falls s < 200 folgt damit 200 - s > 0 \to S ist strikt dominante Strategie. Falls s < 200 folgt damit 0.05 * s - 10 < 0 \to KP ist strikt dominante Strategie.

\begin{array}{c|cc} & KP & S \ \hline K & (200, 0) & (200 - s, 0.05 * s - 10) \ S & (0, 0) & (0, -10) \ \end{array}

Zwei-Personen-Nullsummenspiele: Einführung. Idee: Gewinn einer SpielerIn ist Verlust der anderen (d.h. Summe ist immer 0). Alternative Berechnung (als reine Strategien) aus jeweiliger Sicht von SpielerIn P1 und P2.

f(x, y) = -8xy + 2x + 4y + 1

Spielen in gemischten Strategien: Sattelpunkt bei (0.5, 0.25); durch Einsetzen von p in S_{21} oder S_{22} sowie q in S_{11} oder S_{12} ergibt sich ...

\begin{array}{c|cc} & S_{11} & S_{12} \ \hline S_{21} & 1-q & q \ S_{22} & 3-1 & 1-p \ \end{array} P_1(\min) P_2(\max)

Zwei-Personen-Nullsummenspiele: Darstellung in Matrixform. Konservative Strategien (MinimiererIn / MaximiererIn). Spiele in gemischten Strategien. Gleichgewichtspunkte / Sattelpunkt.

Gruppenentscheidungen: Problemstellung. Situation: verschiedene Möglichkeiten (Entscheidungsvarianten: Wahlen, Wettbewerbe, ...). Ziel: gemeinsame Bestimmung einer Rangfolge der Möglichkeiten. Beispiel: WählerInnen \to KandidatInnen (Wahl), Publikum \to TeilnehmerInnen (Wettbewerb). ABER: nicht alle werden mit der Rangfolge einverstanden sein (Stichwort: Unzufriedenheit). Axiomatischer Ansatz. Aufstellung von Eigenschaften und Prüfung, welche Entscheidungsverfahren sie erfüllen. Modellierung individueller Präferenzen und der Entscheidungsverfahren selbst.

Gruppenentscheidungen (Fortsetzung): Bedingungen an Auswahlverfahren. Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen. Beispiel: I = \{1, 2\}, A = \{x, y, z\} mit Rangaddition KA als Auswahlverfahren. Als Gruppenentscheidung bzgl. x und y gilt y \rho' x, aber nicht x \rho y. Ergebnis ändert sich, obwohl kein Individuum die Präferenz im direkten Vergleich zwischen x und y ändert (i = 1 sieht x < y und i = 2 sieht y < x).