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Game Theory Basics
Nash Equilibrium Dominant Strategies Prisoner's Dilemma Zero-Sum Games Conservative Strategies Mixed Strategies Checkpoints Summary Group Decisions Collective Choice
Spieltheorie: Zusammenfassung
Nicht-kooperative Spiele sind in der Literatur und Anwendung weit verbreitet. Spielerinnen können keine Absprachen vor dem Spiel treffen und haben keinerlei Vereinbarungen über gemeinsame Aktionen, die optimal für die Gruppe sind. Eine Unterscheidung ist die zwischen simultanen Spielen, bei denen alle Spielerinnen ihre Wahl ein für alle Mal treffen (nur ein Zug), und sequentiellen Spielen.
Spielen in reinen Strategien: Eine dominante Strategie ist mindestens so gut wie eine andere Strategie für alle möglichen Aktionen der anderen Spielerinnen. Gilt die Ungleichung im strengen Sinn (>), spricht man von starker Dominanz. Ein Nash-Gleichgewicht liegt vor, wenn kein Spieler durch eine einseitige Abweichung eine höhere Auszahlung erzielen kann, d.h. wenn für alle a_i \in A_i und i \in N gilt. Das Gefangenendilemma illustriert dies: Die dominante Strategie beider Spielerinnen ist G. ABER: Das Gleichgewicht (G, G) ist ineffizient, da (L, L) eine bessere Auszahlung ergeben würde. Ein weiteres Beispiel ist das Falke-und-Taube-Spiel.
\begin{array}{c|cc}
& G & L \\
\hline
G & (6, 6) & (8, 0) \\
L & (0, 8) & (3, 3) \\
\end{array}
Zwei-Personen-Nullsummenspiele: Spielerinnen versuchen, den Gewinn zu maximieren (d.h. den Gewinn der anderen zu minimieren); der Verlust des einen ist der Gewinn des anderen (d.h. die Summe ist immer Null). Die Darstellung erfolgt üblicherweise in Normalform (oder Matrixform). Konservative Strategien wählen den besten Wert aus allen ungünstigsten Fällen. Die beste gegnerische Strategie führt zum eigenen schlechtesten Gewinn. Der Sattelpunkt (Schnittpunkt von Minimum und Maximum) zeigt die optimale Strategie. Keine Spielerin kann sich durch einen einseitigen Strategiewechsel verbessern.
\begin{array}{c|cc}
& S_{21} & S_{22} \\
\hline
S_{11} & (-1, 1) & (-5, 5) \\
S_{12} & (1, -1) & (3, -3) \\
\end{array}
Beispiel: Schlacht in der Bismarcksee. Falls die Amerikaner die richtige Route überprüfen, kann die Bombardierung sofort begonnen werden (andernfalls verbleiben zwei Tage für die andere Route). Auf der Nordroute muss die Bombardierung wegen schlechter Sicht einen Tag ausbleiben. Dies ergibt folgendes 2PNS-Spiel (Gewinn ≡ mögliche Tage für Bombardierung):
\begin{array}{c|cc}
& N & S \\
\hline
N & (2, -2) & (1, -1) \\
S & (0, 0) & (2, -2) \\
\end{array}
Spielen in gemischten Strategien: Reine Strategien sind vorhersehbar. Ein Sattelpunkt im 2PNS-Spiel wird durch Multiplikation mit Wahrscheinlichkeiten p und q und Lösung der zugehörigen Gleichung (oftmals durch lineare Programmierung) gefunden.
\begin{array}{c|cc}
& S_{21} & S_{22} \\
\hline
S_{11} & 3 & -1 \\
S_{12} & 1 & 5 \\
\end{array}
Checkpoints: Spiele in reinen Strategien, Darstellung in Normalform/Bimatrixform, dominante Strategie, Nash-Gleichgewicht, Zwei-Personen-Nullsummenspiele.
Gruppenentscheidungen: Gesucht ist eine kollektive Auswahlfunktion K für die Präferenz der Gesamtheit: K: PA = PA \times PA \times \dots \times PA \to PA. Eine Auswahlfunktion K muss total sein. Das Ergebnis muss eine Relation in PA sein. Rangaddition: Jede Individualpräferenz \rho_i legt eine Rangabbildung fest. Die kollektive Präferenz wird aus den Rangnummern der jeweiligen Individuen bestimmt. Die Summe der Rangnummern ist keine Rangabbildung, kann aber korrigiert werden. Das Verfahren hat keine offensichtlichen Nachteile. Kollektive Auswahlfunktionen PA \to PA werden auch von unerwünschten Verfahren erfüllt. Zwei Bedingungen für „gerechte“ Verfahren sind die Pareto-Bedingung und die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen.
Game Theory Basics
Two-Person Zero-Sum Games Bismarck Sea Battle Mixed Strategies Game Group Decisions Preference Relations Decision Procedures Arrow's Impossibility Theorem
Spieltheorie und Gruppenentscheidungen
Zwei-Personen-Nullsummenspiele (2PNS-Spiele) werden auch als MinMax-Spiele bezeichnet. In Matrixform wird Spieler 1 zur Minimiererin (auch Zeilenspielerin genannt) und Spieler 2 zur Maximiererin (auch Spaltenspielerin genannt). Aufgrund der speziellen Struktur von 2PNS-Spielen nehmen Nash-Gleichgewichte die Form von Sattelpunkten an (Schnittpunkt von Minimum und Maximum). Der Sattelpunkt existiert genau dann, wenn U^- = a_{i*j*} = U^+. Ein Beispiel hierfür ist die Schlacht in der Bismarcksee (2.-4. März 1943). Japanische Truppen sollten von Rabaul nach Lae verlegt werden, wobei zwei mögliche Routen zur Verfügung standen: eine regnerische Nordroute und eine sonnige Südroute. Die US Air Force musste entscheiden, welche Route sie bombardiert, da nicht genügend Flugzeuge für beide Routen verfügbar waren.
Möglichkeiten und Aktionen seien A_1 = \{X, Y\} und A_2 = \{X, Y\}. Die Aktionsprofile sind A = \{(X, X), (X, Y), (Y, X), (Y, Y)\}. Die Auszahlungsfunktion ist u_{1,2}: A \to (1, 0, 0, 1). Wie verändert sich das Spiel, wenn folgende Auszahlungsfunktionen gelten? Spieler 1: u_1: A \to (1, 0, 0, 0); Spieler 2: u_2: A \to (0, 0, 0, 1). Spiele in gemischten Strategien werden betrachtet, wenn keine dominante Strategie oder kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien existiert. Beispielsweise bei der Steuerhinterziehung mit s > 200 Millionen CHF.
Gruppenentscheidungen basieren auf der Beschreibung von Beziehungen (z.B. Rangfolgen, Präferenzen) zwischen Elementen. Dies wird als Relation R auf Paaren (x, y) von Elementen aus A dargestellt, formal geschrieben als (x, y) \in R oder abkürzend als xRy. Beispielsweise ist R mit '$<$' (kleiner) und xRy gleichbedeutend mit x < y. Präferenzrelationen werden durch Rangabbildungen definiert: x \rho y \iff r(x) < r(y). Die Relation \rho ist transitiv und asymmetrisch. Die Menge aller möglichen Relationen auf A ist definiert als P_A := \{\rho \subset A \times A: \rho \text{ erfüllt } x \rho y \iff r(x) < r(y) \text{ für eine Rangabbildung } r\}. Eine Erweiterung der Relation durch alle Paare mit gleichem Rang ist x \rho^* y \iff r(x) \le r(y). Die Relation \rho^* ist transitiv und reflexiv. Es gilt \rho \subset \rho^*. Analog lässt sich P_A^* := \{\rho^* \subset A \times A: \rho^* \text{ erfüllt } x \rho^* y \iff r(x) \le r(y) \text{ für eine Rangabbildung } r\} definieren. Beispiel: A = \{x, y, z\}, r(x) = 1, r(y) = r(z) = 2. Zwischen beiden Relationen gilt: x \rho y \iff \neg(y \rho^* x).
Entscheidungsverfahren in Gruppen werden betrachtet. Extrembeispiel 1: externer Diktator. Das Ergebnis ist unabhängig von den individuellen Präferenzen. Extrembeispiel 2: interner Diktator. Die Präferenz eines Individuums bestimmt das Ergebnis. Rangaddition ist ein weiteres Verfahren. Beispiel: I = \{1, 2\}, A = \{x, y, z\}. Einstimmigkeit erfordert, dass alle Individuen dieselbe Präferenz teilen. Jedoch kann die Rangfolge zwischen zwei Wahlmöglichkeiten durch Präferenzänderungen der Individuen im Hinblick auf eine dritte Wahlmöglichkeit gekippt werden. Der Satz von Arrow besagt, dass mit diesen Forderungen kein annähernd demokratisches Verfahren mehr möglich ist. Bedingungen an Auswahlverfahren: die Rangfolge zwischen zwei Wahlmöglichkeiten soll keinen Einfluss auf das Ergebnis haben. Rangaddition ist somit als „gerechtes“ Verfahren ausgeschlossen. Condorcet-Verfahren und Einstimmigkeit liefern für |A| > 2 evtl. ungültige Ergebnisse. Nur ein interner Diktator erfüllt alle Bedingungen.
Game Theory Introduction
Einführung in die Spieltheorie (CDS-1012) HS 2024 Prof. Dr. rer. nat. habil. Ralf-Peter Mundani DAViS
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Einleitung: Überblick, Einführung in die Spieltheorie, Modellierung und Definitionen, Spiele in reinen Strategien, Nash-Gleichgewicht und dominante Strategien, Zwei-Personen-Nullsummenspiele, konservative Strategien, Spiele in gemischten Strategien, Berechnung von Sattelpunkten, Mehrheitsbeschlüsse / Gruppenentscheidungen (→ Teil 2).
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Motivation aus der Stochastik: Ziegenproblem (a.k.a. Monty-Hall-Dilemma). Spielshow: 3 Türen – zwei Nieten (Ziege) und ein Gewinn (Auto). SpielerIn wählt Tür, ShowmasterIn öffnet andere Tür (Ziege) Strategie: Wahl ändern…? Die anderen beiden Fälle (SpielerIn wählt Tür B oder C) sind symmetrisch. In drei Fällen (3/9) Verlust, in sechs Fällen (6/9) Gewinn Wahl ändern Quellen: depositphotos.com, jamara.com A B C A B C A B C ACB
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Einführung in die Spieltheorie: Grundlagen, Definition: Spieltheorie, Teilgebiet der Mathematik („Theorie des strategischen Denkens“), Modellierung von Entscheidungssituationen. Spieler treffen ihre Wahl ein für alle Mal (nur ein Durchlauf) und gleichzeitig. Es gibt eine übliche Darstellung in Normalform (z.B. Gefangenendilemma). Sequentielle Spiele: Es gibt eine spezifische Ordnung, welche(r) SpielerIn wann entscheiden darf. In jedem Schritt haben SpielerInnen, die entscheiden dürfen, vollständiges oder unvollständiges Wissen über den aktuellen Status (d.h. frühere Entscheidungen). Die übliche Darstellungsform ist extensiv oder als Baum.
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Spiele in reinen Strategien: Gefangenendilemma (das wohl bekannteste nicht-kooperative Spiel in reinen Strategien). Hintergrund: Zwei Gefangene werden beschuldigt, gemeinsam ein Verbrechen verübt zu haben. Beide Gefangenen werden getrennt vernommen und können nicht kommunizieren. Mangels konkreter Beweise kann beiden nur ein Teil der Tat nachgewiesen werden. Mögliche Aktionen: Leugnen (L): niedrige Strafe (2 Jahre). Gestehen (G): hohe Strafe (5 Jahre) oder Höchststrafe (8 Jahre Kronzeugenregel). Maximierung der Auszahlung. Funktion u_i modelliert den Gewinn an Freiheit (also Höchststrafe tatsächlicher Strafe).
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Spiele in reinen Strategien: Gefangenendilemma (Fortsetzung). Darstellung in Normalform (bei zwei SpielerInnen auch Bimatrixform genannt). Frage: Wie finden beide SpielerInnen die für sich beste Strategie…?
\begin{array}{c|cc}
& G & L \\
\hline
G & (6, 6) & (8, 0) \\
L & (0, 8) & (3, 3) \\
\end{array}
A_2A_1(u_1,u_2)
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Spiele in reinen Strategien: Ein bisschen Mathematik . Nash-Gleichgewicht: Ein Aktionsprofil ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn kein Spieler durch einseitige Änderung seiner Strategie seinen Nutzen verbessern kann. Wenn eine Strategie a_i für alle Strategien a_i eines Spielers einen höheren Nutzen liefert, dann wird von starker Dominanz gesprochen, d.h. Strategie a_i ist stark dominant über Strategie a_i. Profile dominanter Strategien führen zu Nash-Gleichgewichten (Umkehrung nicht gültig). Nochmals Frage: Was bedeutet das für das Gefangenendilemma…?
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Spiele in reinen Strategien: Ein bisschen Mathematik (Fortsetzung). Stark dominante Strategie beider SpielerInnen ist G.
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Spiele in reinen Strategien: Übung: Steuerhinterziehung (Forts.). Kreative Buchführung 200M CHF nicht versteuert. Wird Zanoma durch privaten Steuerprüfer die Steuerhinterziehung nachgewiesen, so muss das Unternehmen eine Nachzahlung von s Millionen CHF (Steuer plus Busse) leisten. Steuerprüfer bekommt im Erfolgsfall 5% der Nachzahlung als Prämie. Steuerprüfer hat Strategien Prüfung (P; Kosten: 10M CHF) und keine Prüfung (KP; Kosten: 0). Zanoma hat Strategien Steuerhinterziehung (S) und keine Steuerhinterziehung (KS). Fragen: a) Wie sieht die dargestellte Situation als Spiel in Bimatrixform aus…? b) Gibt es für $s<200$M CHF dominante Strategien und Nash-Gleichgewichte…? Jede Ähnlichkeit mit real existierenden Unternehmen ist rein zufällig.
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Spiele in reinen Strategien: Konservative Strategien. In ungünstigsten Fällen: MinimiererIn P1: U^- = \min_i \max_j a_{ij}. Für jede Strategie i: Maximiere über alle Spalten j ( größtmöglicher Verlust). Wähle Minimum aller Spaltenmaxima konservative Strategie i* (Obergrenze U^-). MaximiererIn P2: U^+ = \max_j \min_i a_{ij}. Für jede Strategie j: Minimiere über alle Zeilen i ( kleinstmöglicher Gewinn). Wähle Maximum aller Zeilenminima konservative Strategie j* (Untergrenze U^+). Minimieren des maximal möglichen Verlustes und Maximieren des minimal möglichen Gewinnes. Zwei-Personen-Nullsummenspiele haben immer einen Sattelpunkt.
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Spiele in gemischten Strategien: Einführung von Wahrscheinlichkeiten. SpielerIn P1: Spielt mit Wahrscheinlichkeit p Strategie S_{11} und mit 1-p Strategie S_{12}. SpielerIn P2: Spielt mit Wahrscheinlichkeit q Strategie S_{21} und mit 1-q Strategie S_{22}. Für den Fall n>2 Strategien: Wahrscheinlichkeiten p_1, p_2, \dots, p_n je Strategie mit \sum_{i=1}^n p_i = 1. Bestimmung des Sattelpunkts. Multiplizieren des 2PNS-Spiels mit p und q.
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Spiele in gemischten Strategien: Nochmal Aufgabe: Steuerhinterziehung (Fortsetzung). Aus Sicht von Zanoma: (200-s) \cdot q + 200 \cdot (1-q) = 0 \cdot q + 0 \cdot (1-q) \iff q = 200/s. Aus Sicht des Steuerprüfers: (0.05 \cdot s - 10) \cdot p - 10 \cdot (1-p) = 0 \cdot p + 0 \cdot (1-p) \iff p = 200/s. D.h. Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien somit für p=q, d.h. für (200/s, 200/s). In anderen Worten: Höhere Nachzahlungen (Bussen) senken die Wahrscheinlichkeit, dass der Steuerprüfer eine Prüfung durchführt und die Wahrscheinlichkeit, dass Zanoma eine Steuerhinterziehung begeht.
R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Gruppenentscheidungen: Satz von Arrow. Mit |A| > 2 sei eine Menge von Auswahlmöglichkeiten. K: P^A \to P^A sei kollektive Auswahlfunktion, die Pareto-Bedingung und Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen erfüllt. Dann existiert immer ein Diktator: Es gibt ein d \in I: Für alle (\rho_1, \dots, \rho_n) \in P^A: Für alle (x, y) \in A \times A: x \rho_d y \implies x \rho y. ABER: Diktator ist „großzügiger“ gegenüber anderen Gruppenmitgliedern.
Game Theory Basics
Nicht-kooperative Spiele zeichnen sich dadurch aus, dass alle Spieler ihre Auszahlung maximieren, indem sie ihre beste Strategie wählen – basierend auf ihrem Wissen oder ihren Erwartungen bezüglich der Strategien der anderen Spieler. Vereinbarungen zwischen den SpielerInnen bestehen nicht. Im Gegensatz dazu stehen kooperative Spiele, bei denen alle SpielerInnen nach gemeinsamen Aktionen suchen, die optimal für die Gruppe sind. Vor dem Spiel können Absprachen zwischen den SpielerInnen getroffen werden. Die Unterscheidung zwischen diesen beiden Spieltypen liegt also in der Möglichkeit und dem Vorhandensein von Absprachen und der Zielsetzung der SpielerInnen: individuelle Nutzenmaximierung versus kollektive Optimierung.
Game Theory Strategies
Mixed Strategies Games
Group Decision Making
Ranking Preferences
Preference Relations
Collective Choice
Condorcet Voting
Decision Procedure Conditions
Spieltheorie und Gruppenentscheidungen
Vorhersehbarkeit durch Mitspieler*innen ist ein wichtiger Aspekt. Ein Beispiel: Schere (100%), Stein (0%), Papier (0%). Gemischte Strategien, bei denen eine Spielerin zufällig zwischen Strategien entscheidet, werden hingegen durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion über reinen Strategien charakterisiert. Beispiel: Schere (25%), Stein (50%), Papier (25%). Reine Strategien führen jedoch häufig nicht zu Nash-Gleichgewichten. Nicht jedes Zwei-Personen-Nullsummenspiel (2PNS-Spiel) in reinen Strategien hat einen Sattelpunkt. Betrachten wir das Beispiel:
\begin{array}{c|cc}
& S_{21} & S_{22} \\
\hline
S_{11} & 3 & -1 \\
S_{12} & -1 & 5 \\
\end{array}
\min_i \max_j \to i^* = S_{11} und U^- = 3, \max_j \min_i \to j^* = S_{22} und U^+ = 1. Zwei-Personen-Nullsummenspiele in gemischten Strategien haben immer einen Sattelpunkt. Das Min-Max-Theorem wird erneut betrachtet.
Situationen mit unerwünschten Ergebnissen sind in der Regel nicht vermeidbar, dies gilt sowohl für die Wahl der Strategien und der Entscheidungsverfahren selbst.
Rangabbildungen werden verwendet, um Präferenzen zu repräsentieren. Die Situation: eine endliche Menge A von Möglichkeiten (z.B. Kandidatinnen, Sängerinnen, Pläne, …). Präferenzen entstehen durch die Vergabe von Rangnummern r(x) mit x \in A. Für zwei Möglichkeiten x, y \in A bedeutet r(x) < r(y), dass x gegenüber y bevorzugt wird. Zwei (oder mehr) Möglichkeiten können dieselbe Rangnummer erhalten. Eine Rangabbildung r: A \to P ist eine surjektive Abbildung der Menge der Möglichkeiten A auf eine Menge von Präferenzen P = \{1, \dots, k\} \subset \mathbb{N}. Beispiel:
A = \{x, y, z\}, P = \{1, 2\}; r(x) = 1, r(y) = r(z) = 2. Surjektivität: Jedes Element der Bildmenge hat (mindestens) ein zugehöriges Element in der Urbildmenge.
Eigenschaften von Relationen: transitiv: mit xRy und yRz folgt auch xRz (z.B. aus 2 < 3 und 3 < 4 folgt 2 < 4). Reflexiv: xRx gilt für alle x \in A (z.B. 2 \le 2). Asymmetrisch: xRy und yRx gelten niemals gleichzeitig (z.B. 2 < 3, aber nicht 3 < 2). Transitive und reflexive Relationen werden auch Quasiordnungen genannt. Rangabbildungen eignen sich vor allem für Visualisierungen (z.B. Fußballtabellen).
x \rho y \iff \neg(y \rho^* x).
Gruppenentscheidungen erfordern die Berücksichtigung der Präferenzen aller Wählerinnen. Die Menge der Wählerinnen I = \{1, \dots, n\} besteht aus Individuen, die von 1 bis n durchnummeriert sind. Jede/r Wähler*in hat eine persönliche Präferenz P_A. Gesucht ist eine kollektive Auswahlfunktion.
Mehrheitsentscheidung (Condorcet-Verfahren): Im direkten Vergleich zweier Elemente x, y \in A gibt es Individuen \{i \in I: x \rho_i y\}, die x bevorzugen, Individuen \{i \in I: y \rho_i x\}, die y bevorzugen, und Individuen, die bezüglich x und y indifferent sind. Das Condorcet-Verfahren zählt, wer mehr Vergleiche gewinnt. Für zwei Elemente x, y gilt: K(ρ_1, \dots, ρ_n) ist eine Relation ρ. Das Verfahren ist für beliebige ρ durchführbar, aber die Relation ρ ist im Fall von mehr als zwei Möglichkeiten nicht immer transitiv, d.h. ρ ist keine zulässige Präferenzrelation aus P_A.
Beispiel: I = \{1, 2, 3\}, A = \{x, y, z\}. Es folgt x \rho y, y \rho z und z \rho x. Aus der Transitivität würde man erwarten x \rho z, was aber nicht der Fall ist. Ein einziges Individuum, das y mindestens so schätzt wie x (y \le x), führt zu Problemen. In der Praxis liefert das Verfahren keine echten Präferenzen (außerdem: für |A| > 2, ρ \notin P_A). Beispiel: i = 1: x < y < z und i = 2: y < z < x \implies ρ enthält genau ein Paar y \rho z \to ρ \notin P_A.
Bedingungen an Auswahlverfahren: Pareto-Bedingung (Einstimmigkeit): Kollektive Auswahlfunktion K: P_A \to P_A erfüllt die Pareto-Bedingung, wenn für alle ρ_i \in P_A gilt: für alle x, y \in A, wenn x \rho_i y für alle i, dann x \rho y. Somit scheidet der externe Diktator aus, alle anderen Verfahren erfüllen die Bedingung. Beispiel: Beide Individuen sehen x, y vor z.
Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen: Die Platzierung einer dritten Möglichkeit z soll keinen Einfluss auf die relative Platzierung von x und y haben. Eine Präferenzänderung bei einem Individuum kann die kollektive Präferenz beeinflussen, auch wenn die relative Ordnung zwischen x und y unverändert bleibt.
Game Theory Basics
Einführung in die Spieltheorie
Die Spieltheorie modelliert Entscheidungssituationen, oft im sozialen Konflikt. Der Erfolg hängt dabei nicht nur von den eigenen, sondern auch von den Entscheidungen anderer ab. Anwendungsgebiete finden sich vor allem in den Wirtschaftswissenschaften und der Ökonomie. Bekannte Vertreter sind John von Neumann und John Forbes Nash. Man unterscheidet zwischen kooperativen und nicht-kooperativen Spielen sowie simultanen und sequentiellen Spielen.
Entscheidungen können unter Gewissheit getroffen werden (alle Aktionen und Konsequenzen sind bekannt), unter Risiko (bestimmte Wahrscheinlichkeiten von Aktionen und Konsequenzen sind bekannt) oder unter Unsicherheit (keine Aktionen und Konsequenzen sind bekannt). Die Modellierung umfasst eine Menge von SpielerInnen N = \{1, 2, \dots, n\}, eine Menge der Aktionen (auch Strategien genannt) A_i von SpielerIn i für alle i \in N, und eine Menge der Aktionsprofile (auch Strategieprofile) A = \{(a_i)_{i \in N}, a_i \in A_i \text{ für alle } i \in N\}. Die Auszahlungsfunktion u_i: A \to \mathbb{R} beschreibt die Auszahlung für SpielerIn i. Ein Beispiel: Die Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten mit Aktionen A_1 = \{X, Y\} und ...
Ein Nash-Gleichgewicht liegt vor, wenn keine SpielerIn durch einseitige Abweichung von ihrer Entscheidung eine höhere Auszahlung erreichen kann, während alle anderen SpielerInnen bei ihren Entscheidungen bleiben. Formal: Ein Aktionsprofil bildet genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn keine der SpielerInnen durch Abweichung davon eine höhere Auszahlung erhält.
Zwei-Personen-Nullsummenspiele zeichnen sich dadurch aus, dass der Gewinn einer SpielerIn dem Verlust der anderen entspricht (die Summe ist immer null). Sie werden oft in Matrixform dargestellt. Konservative Strategien führen zu MinimiererInnen oder MaximiererInnen. Spiele in gemischten Strategien ermöglichen die Betrachtung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die reinen Strategien. Gleichgewichtspunkte oder Sattelpunkte sind dabei von Interesse. Ein Beispiel ist das Spiel "Chicken" (Hühner-Spiel), bei dem zwei SpielerInnen (z.B. mit Autos) auf einer Kollisionskurs aufeinander zufahren und durch (vorausschauendes) Verhalten entscheiden müssen. Die USA nutzten dieses Spiel für strategische Analysen während der Kuba-Krise. Das Spiel wird interessant, wenn die Kosten für den Kampf (C) die Kosten bzw. den Wert des Sieges (V) überschreiten, d.h. C > V > 0.
Eine Übung zur Steuerhinterziehung veranschaulicht dominante Strategien. Unternehmen Zanoma hat durch kreative Buchführung 200 Millionen CHF nicht versteuert. Falls s < 200, folgt 200 - s > 0, somit ist S eine strikt dominante Strategie. Falls s < 200, folgt 0.05 * s - 10 < 0, somit ist KP eine strikt dominante Strategie.
Spiele in gemischten Strategien können alternativ als reine Strategien aus der jeweiligen Sicht der SpielerInnen P1 und P2 berechnet werden. Ein Sattelpunkt kann beispielsweise bei (0.5, 0.25) liegen. Durch Einsetzen von p in S_{21} oder S_{22} sowie q in S_{11} oder S_{12} ergibt sich ... Eine alternative Darstellung über f(x,y) = -8*x*y + 2*x + 4*y + 1 und splot [0:1][0:1] f(x,y) ist möglich.
Gruppenentscheidungen befassen sich mit der gemeinsamen Bestimmung einer Rangfolge von Möglichkeiten (z.B. Wahlen, Wettbewerbe). Nicht alle werden mit der Rangfolge einverstanden sein. Ein axiomatischer Ansatz stellt Eigenschaften auf und prüft, welche Entscheidungsverfahren diese erfüllen. Die Modellierung individueller Präferenzen und der Entscheidungsverfahren selbst ist essentiell. Bedingungen an Auswahlverfahren beinhalten die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen. Ein Beispiel: I = \{1, 2\}, A = \{x, y, z\} mit Rangaddition KA als Auswahlverfahren. Als Gruppenentscheidung bzgl. x und y gilt y \rho' x, aber nicht x \rho y. Das Ergebnis ändert sich, obwohl kein Individuum die Präferenz im direkten Vergleich zwischen x und y ändert (i=1 sieht x < y und i=2 ...).