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Game Theory Basics

Nash Equilibrium & Dominance Zero-Sum Games Mixed Strategies Collective Decision Making

Spieltheorie: Zusammenfassung

Nicht-kooperative Spiele sind in der Literatur und in Anwendungen weit verbreitet. Spieler können keine Absprachen vor dem Spiel treffen und haben keinerlei Vereinbarungen über gemeinsame Aktionen, die optimal für die Gruppe sind. Eine Unterscheidung ist die zwischen simultanen Spielen, bei denen alle Spieler ihre Wahl ein für alle Mal treffen (nur ein Zug), und sequentiellen Spielen.

Spielen in reinen Strategien: Eine dominante Strategie ist eine Strategie a_i, die mindestens so gut ist wie eine andere Strategie a_i' \in A_i für alle möglichen Aktionen der anderen Spieler a_j \in A_j \neq i (a_i \ge a_i'). Gilt die Ungleichung im strengen Sinn (a_i > a_i'), spricht man von starker Dominanz. Ein Nash-Gleichgewicht liegt vor, wenn kein Spieler durch eine einseitige Abweichung davon eine höhere Auszahlung erzielen kann, d.h. für alle a_i \in A_i und i \in N. Das Gefangenendilemma illustriert dies: Die dominante Strategie beider Spieler ist G, ABER: das Gleichgewicht (G, G) ist ineffizient, da (L, L) eine bessere Auszahlung ergeben würde. Ein weiteres Beispiel ist das Falke-und-Taube-Spiel.

Zwei-Personen-Nullsummenspiele: Hier versuchen Spieler ihren Gewinn zu maximieren (und den Verlust des anderen zu minimieren); die Summe der Auszahlungen ist immer Null. Sie werden üblicherweise in Normalform (oder Matrixform) dargestellt. Konservative Strategien wählen den besten Wert aus allen ungünstigsten Fällen. Der Sattelpunkt (Schnittpunkt von Minimum und Maximum) repräsentiert die beste Strategie für beide Spieler. Kein Spieler kann sich durch einen einseitigen Strategiewechsel verbessern. Ein Beispiel ist die Schlacht in der Bismarcksee. Falls die Amerikaner die richtige Route überprüfen, kann die Bombardierung sofort begonnen werden (andernfalls verbleiben zwei Tage für die andere Route). Auf der Nordroute muss wegen schlechter Sicht die Bombardierung einen Tag ausbleiben. Dies ergibt folgendes 2PNS-Spiel (Gewinn ≡ mögliche Tage für Bombardierung):

SN12N32S
Japan (min)U.S. Air Force (max)

\implies i^* = N und U^- = 2 \implies j^* = N und U^+ = 2 \implies Sattelpunkt bei (N, N).

Spielen in gemischten Strategien: Im Gegensatz zu reinen Strategien, bei denen sich ein Spieler a priori auf eine Strategie festlegt, werden hier Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Strategien verwendet. Dies reduziert die Vorhersehbarkeit. Die Lösung findet man oft durch Multiplikation des 2PNS-Spiels mit Wahrscheinlichkeiten p und q und die Lösung der zugehörigen Gleichung (oftmals durch lineare Programmierung). Ein Beispiel:

1qq
S22S2131
S11p15
S121p
P1(min)P2(max)

\implies Sattelpunkt der Funktion (graphisch) bei p = 0.5 und q = 0.25.

Checkpoints: Wichtige Begriffe sind Spiele in reinen Strategien, Darstellung in Normalform/Bimatrixform, dominante Strategie, Nash-Gleichgewicht und Zwei-Personen-Nullsummenspiele.

Gruppenentscheidungen: Gesucht ist eine kollektive Auswahlfunktion K für die Präferenz der Gesamtheit: K: PA = PA \times PA \times \dots \times PA \to PA. Wesentliche Bedingungen sind, dass die Auswahlfunktion total sein muss (für jede Kombination von Präferenzen muss es ein Ergebnis geben) und dass das Ergebnis selbst eine Relation in PA sein muss. Ein einfaches Verfahren ist die Rangaddition. Jede Individualpräferenz \rho_i legt eine Rangabbildung fest. Die kollektive Präferenz wird aus den Rangnummern der Individuen bestimmt. Die Summe der Rangnummern ist keine Rangabbildung, kann aber korrigiert werden. Das Verfahren hat keine offensichtlichen Nachteile, aber kollektive Auswahlfunktionen PA \to PA werden auch von unerwünschten Verfahren erfüllt. Zwei Bedingungen für „gerechte“ Verfahren sind die Pareto-Bedingung und die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen.

Game Theory Basics

Two-Person Zero-Sum Games Bismarck Sea Battle Mixed Strategies Game Group Decisions Preference Relations Decision Procedures Arrow's Impossibility Theorem

Spieltheorie: Eine Einführung

Zwei-Personen-Nullsummenspiele

Zwei-Personen-Nullsummenspiele (2PNS-Spiele) werden auch als MinMax-Spiele bezeichnet. In Matrixform wird Spieler 1 zur Minimiererin (auch Zeilenspielerin genannt) und Spieler 2 zur Maximiererin (auch Spaltenspielerin genannt). Aufgrund der speziellen Struktur von 2PNS-Spielen nehmen Nash-Gleichgewichte die Form von Sattelpunkten an (Schnittpunkt von Minimum und Maximum). Der Min-Max-Theorem besagt: Ein Sattelpunkt existiert genau dann, wenn U^- = a_{i*j*} = U^+. Ein Beispiel hierfür ist die Schlacht in der Bismarcksee (2.-4. März 1943). Die Japaner wollten Truppen und Material von Rabaul (Bismarck-Archipel) nach Lae (Papua-Neuguinea) verlegen. Es standen zwei mögliche Routen zur Verfügung: eine regnerische Nordroute und eine sonnige Südroute. Der japanische Konvoi war unabhängig von der gewählten Route drei Tage unterwegs. Die U.S. Air Force wurde über die Verlegung informiert und wollte den Konvoi bombardieren, hatte aber nicht genügend Flugzeuge, um beide Routen gleichzeitig zu überwachen. Die Amerikaner mussten also eine Entscheidung treffen. Wenn beispielsweise q in S_{22} sowie q in S_{11} oder S_{12} ist, ergibt sich U^- = 2 = U^+.

Möglichkeiten, Aktionen und Auszahlungsfunktionen

Möglichkeiten/Aktionen: A_1 = \{X, Y\} und A_2 = \{X, Y\}. Aktionsprofile: A = \{(X, X), (X, Y), (Y, X), (Y, Y)\}. Auszahlungsfunktion: u_{1,2}: A \to (1, 0, 0, 1). Wie verändert sich das Spiel, wenn folgende Auszahlungsfunktionen gelten? Spieler 1: u_1: A \to (1, 0, 0, 0); Spieler 2: u_2: A \to (0, 0, 0, 1).

Spielen in gemischten Strategien

Aufgabe: Steuerhinterziehung. Problem: Keine dominante Strategie/kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien. Wie ändert sich die Situation für den Fall s > 200 Mio. CHF?


\begin{array}{c|cc}
 & K & S \\
\hline
P & (200, 0) & (200 - s, 0.05 \cdot s - 10) \\
S & (0, 0) & (0, -10)
\end{array}

Gruppenentscheidungen: Relationen und Präferenzen

Idee: Beschreibung von Beziehungen (z.B. Rangfolgen, Präferenzen) zwischen Elementen. Darstellung als Relation R auf Paaren (x, y) von Elementen aus A. Formal geschrieben als (x, y) \in R oder abkürzend als xRy. Beispiel: Mit R ist ‘$<$’ (kleiner) und xRy folgt x < y. Rangabbildungen definieren eine Präferenzrelation: x \rho y \iff r(x) < r(y). Relation \rho ist transitiv und asymmetrisch. Die Menge aller (möglichen) darstellbaren Relationen auf A ist definiert als P_A := \{\rho \subset A \times A: \rho \text{ erfüllt } x \rho y \iff r(x) < r(y) \text{ für eine Rangabbildung } r\}. Erweiterung der Relation durch alle Paare mit gleichem Rang: x \rho^* y \iff r(x) \le r(y). Relation \rho^* ist transitiv und reflexiv. Es gilt offensichtlich \rho \subset \rho^*. Analog zur Menge P_A lässt sich damit definieren P_A^* := \{\rho^* \subset A \times A: \rho^* \text{ erfüllt } x \rho^* y \iff r(x) \le r(y) \text{ für eine Rangabbildung } r\}. Beispiel: A = \{x, y, z\}, r(x) = 1, r(y) = r(z) = 2. Zwischen beiden Relationen gilt folgende Beziehung: x \rho y \iff \neg(y \rho^* x). Rangabbildungen sind vor allem für…

Gruppenentscheidungen: Entscheidungsverfahren

Entscheidungsverfahren (Fortsetzung): Extrembeispiel 1: externer Diktator. Für beliebiges \rho_E \in P_A gilt… Das Ergebnis ist offensichtlich eine Abbildung P_A \to P_A, aber unabhängig von den \rho_i. Das Verfahren kann kaum als „gerecht“ oder „demokratisch“ bezeichnet werden. Extrembeispiel 2: interner Diktator. Festlegung eines Individuums d \in I, dessen Präferenz \rho_d das Ergebnis bestimmt. Damit gilt… Rangaddition: Beispiel: I = \{1, 2\}, A = \{x, y, z\}. Es folgt x \rho y, y \rho z und z \rho x. Aus der Transitivität folgt schließlich x \rho x \to kein gültiges Ergebnis, d.h. \rho \notin P_A. Einstimmigkeit: Element x wird Element y vorgezogen \iff alle Individuen teilen diese Präferenz für alle. ABER: Ein einziges Individuum, das $y$… Die Rangfolge zwischen zwei Wahlmöglichkeiten kann nicht durch Präferenzänderungen der Individuen im Hinblick auf eine dritte Wahlmöglichkeit gekippt werden. Problem: Bereits mit diesen zwei Forderungen ist kein annähernd demokratisches Verfahren mehr möglich (Satz von Arrow). Quintessenz: Demokratie funktioniert nicht…? Bedingungen an Auswahlverfahren: Möglichkeit z soll keinen Einfluss auf das Ergebnis haben. Oder formal: Wenn kein Individuum Präferenz \rho_i, \rho_i' \in P_A bzgl. x und y ändert, soll gelten (für alle) \implies (). Rangaddition somit als „gerechtes“ Verfahren ausgeschlossen. Condorcet-Verfahren und Einstimmigkeit liefern für |A| > 2 evtl. ein ungültiges Ergebnis. Nur interner Diktator K_d erfüllt alle Bedingungen. Der Diktator ist „großzügiger“ gegenüber anderen Gruppenmitgliedern. Bei Indifferenz (es gilt weder x \rho_d y noch y \rho_d x) sind beliebige Rangfolgen von x, y zulässig. US-Wahlen haben nur zwei Kandidaten.

Game Theory Introduction

Einführung in die Spieltheorie (CDS-1012) HS 2024 Prof. Dr. rer. nat. habil. Ralf-Peter Mundani DAViS

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Einleitung

Überblick
Einführung in die Spieltheorie
Modellierung und Definitionen
Spiele in reinen Strategien
Nash-Gleichgewicht und dominante Strategien
Zwei-Personen-Nullsummenspiele
Konservative Strategien
Spiele in gemischten Strategien
Berechnung von Sattelpunkten
Mehrheitsbeschlüsse / Gruppenentscheidungen (→ Teil 2)

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Motivation aus der Stochastik: Ziegenproblem (a.k.a. Monty-Hall-Dilemma)

Spielshow: 3 Türen – zwei Nieten (Ziege) und ein Gewinn (Auto)
SpielerIn wählt Tür, ShowmasterIn öffnet andere Tür (Ziege) Strategie: Wahl ändern…?
Die anderen beiden Fälle (SpielerIn wählt Tür B oder C) sind symmetrisch
In drei Fällen (3/9) Verlust, in sechs Fällen (6/9) Gewinn Wahl ändern 
Quellen: depositphotos.com, jamara.com

R.-P. Mundani, ICS, HS 2024 Einführung in die Spieltheorie

Grundlagen
Definition: Spieltheorie
Teilgebiet der Mathematik („Theorie des strategischen Denkens“)
Modellierung von Entscheidungssituationen