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CDS401-Mathematics-I/formulas/O1 Formelsammlung.md
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2025-04-17 13:17:21 +02:00

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Formelsammlung
(Inhalt geordnet nach den vorgegebenen Themenbereichen Analysis, Lineare Algebra und Stochastik. Bei Python nur die wichtigsten Ansätze für numerische Berechnung/Visualisierung – keine vollständigen Programme.)

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1. Analysis

1.1 Mengenlehre und mathematische Notation

  • Menge: A={x∣x besitzt eine bestimmte Eigenschaft}A = {x \mid x \text{ besitzt eine bestimmte Eigenschaft}}
  • Vereinigung: A∪B={x∣x∈A oder x∈B}A \cup B = {x \mid x \in A \text{ oder } x \in B}
  • Schnitt: A∩B={x∣x∈A und x∈B}A \cap B = {x \mid x \in A \text{ und } x \in B}
  • Differenz: A∖B={x∣x∈A und x∉B}A \setminus B = {x \mid x \in A \text{ und } x \notin B}
  • Komplement (in Grundmenge GG): Ac=G∖AA^c = G \setminus A
  • Teilmengen: A⊆B  ⟺  ∀x(x∈A⇒x∈B)A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B)

1.2 Funktionen

  • Allgemein: f:D→W,x↦f(x)f: D \to W, \quad x \mapsto f(x)
    • DD = Definitionsmenge, WW = Wertemenge
  • Wichtige Grundtypen:
    1. Lineare Funktion: f(x)=mx+bf(x) = mx + b
    2. Quadratische Funktion: f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
    3. Polynom: f(x)=anxn+⋯+a1x+a0f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0
    4. Exponentialfunktion: f(x)=axf(x) = a^x
    5. Logarithmusfunktion: f(x)=log⁡a(x)f(x) = \log_a(x)
    6. Trigonometrische Funktionen: sin⁡x,cos⁡x,tan⁡x\sin x, \cos x, \tan x etc.

1.3 Folgen und Reihen

  • Folgenglied: (an)(a_n), mit ana_n als nn-tes Glied
  • Grenzwert einer Folge: lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L
  • Reihe: ∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} a_k; Grenzwert bei n→∞n \to \infty = ∑k=1∞ak\sum_{k=1}^{\infty} a_k
  • Wichtige Reihen:
    • Geometrische Reihe: ∑k=0∞ark=a1−r\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r} für ∣r∣<1|r|<1

1.4 Grenzwerte (Funktionen)

  • Definition: lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L, falls für alle ε>0\varepsilon > 0 ein δ>0\delta > 0 existiert mit ∀x:0<∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε\forall x: 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon
  • Standardgrenzwerte:
    • lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
    • lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
    • lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
  • Stetigkeit: ff ist stetig in x0x_0, wenn lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).

1.5 Differentialrechnung

  • Ableitung (Definition): f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
  • Wichtige Ableitungsregeln:
    1. Konstante: (c)′=0(c)' = 0
    2. Potenzregel: (xn)′=nxn−1(x^n)' = n x^{n-1}
    3. Summenregel: (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'
    4. Produktregel: (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'
    5. Quotientenregel: (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
    6. Kettenregel: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
  • Ableitungen wichtiger Funktionen:
    • (sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x
    • (tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)' = \sec^2 x
    • (ex)′=ex(e^x)' = e^x
    • (ax)′=axln⁡(a)(a^x)' = a^x \ln(a)
    • (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}

1.6 Integralrechnung (Polynome)

  • Unbestimmtes Integral: ∫f(x) dx=F(x)+C \int f(x),dx = F(x) + C (wobei F′(x)=f(x)F'(x) = f(x))
  • Bestimmtes Integral: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a) \int_{a}^{b} f(x),dx = F(b) - F(a)
  • Grundintegrale:
    • ∫xn dx=xn+1n+1+C,n≠−1\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
    • ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| + C
    • ∫ex dx=ex+C\int e^x , dx = e^x + C
    • ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x , dx = -\cos x + C
    • ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x , dx = \sin x + C

1.7 Eigenschaften von Funktionen (Extrema, Wendepunkte)

  • Lokale Extrema:
    1. Notwendige Bedingung: f′(x0)=0f'(x_0) = 0
    2. Hinreichende Bedingung:
      • f′′(x0)<0  ⟹  f''(x_0) < 0 \implies lok. Maximum
      • f′′(x0)>0  ⟹  f''(x_0) > 0 \implies lok. Minimum
  • Wendepunkt: f′′(xW)=0f''(x_W) = 0 und f′′′(xW)≠0f'''(x_W) \neq 0 (i.d.R. Prüfbedingung)

1.8 Python – Grundlagen numerische Berechnung/Visualisierung

  • Variablen & Datentypen: x = 5, y = 3.14, text = "Hallo"

  • Funktionen:

    def f(x):
    return x**2 + 3*x - 1

  • Numerische Berechnungen (Beispiel):

    import numpy as np

x_values = np.linspace(-10, 10, 100)
y_values = f(x_values)  # mit obiger Definition

  • Plot:

    import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x_values, y_values)
plt.show()

2. Lineare Algebra

2.1 Lineare Gleichungssysteme: Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren

  • Matrixform: Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}
  • Gauß-Verfahren: Schrittweises Eliminieren von Unbekannten durch Zeilenoperationen, bis eine Dreiecksform entsteht.
  • Gauß-Jordan: Weitermachen bis zur Diagonalform (oder reduzierten Zeilenstufenform).
  • Rang: Anzahl linear unabhängiger Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix.
  • Defekt: Def(A)=Anzahl Unbekannte−Rang(A)\text{Def}(A) = \text{Anzahl Unbekannte} - \text{Rang}(A).
  • Lösungsmenge abhängig von Rang(A)\text{Rang}(A) vs. Rang([A∣b⃗])\text{Rang}([A|\vec{b}]):
    • Eindeutige Lösung: Rang(A)=Rang([A∣b⃗])=Anzahl Unbekannte\text{Rang}(A) = \text{Rang}([A|\vec{b}]) = \text{Anzahl Unbekannte}.
    • Unendlich viele Lösungen: Rang(A)=Rang([A∣b⃗])<Anzahl Unbekannte\text{Rang}(A) = \text{Rang}([A|\vec{b}]) < \text{Anzahl Unbekannte}.
    • Keine Lösung: Rang(A)<Rang([A∣b⃗])\text{Rang}(A) < \text{Rang}([A|\vec{b}]).

2.2 Grundoperationen auf Vektoren

  • Vektor in Rn\mathbb{R}^n: v⃗=(v1,v2,…,vn)\vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)
  • Addition: v⃗+w⃗=(v1+w1,…,vn+wn)\vec{v} + \vec{w} = (v_1 + w_1, \dots, v_n + w_n)
  • Skalarmultiplikation: αv⃗=(αv1,…,αvn)\alpha \vec{v} = (\alpha v_1, \dots, \alpha v_n)

2.3 Skalarprodukt (inneres Produkt)

  • Definition: v⃗⋅w⃗=∑i=1nviwi \vec{v} \cdot \vec{w} = \sum_{i=1}^{n} v_i w_i
  • Länge eines Vektors: ∥v⃗∥=v⃗⋅v⃗=v12+⋯+vn2|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}} = \sqrt{v_1^2 + \dots + v_n^2}
  • Winkel: v⃗⋅w⃗=∥v⃗∥ ∥w⃗∥cos⁡(α) \vec{v} \cdot \vec{w} = |\vec{v}|,|\vec{w}|\cos(\alpha)
  • Orthogonale Projektion von v⃗\vec{v} auf w⃗\vec{w}: projw⃗(v⃗)=(v⃗⋅w⃗∥w⃗∥2)w⃗ \text{proj}_{\vec{w}}(\vec{v}) = \left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{w}|^2}\right)\vec{w}

2.4 Vektorprodukt (R3\mathbb{R}^3)

  • Kreuzprodukt: v⃗×w⃗=∣ijkv1v2v3w1w2w3∣\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ v_1 & v_2 & v_3 \ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}
    • Ergebnis ist ein Vektor senkrecht auf v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w}.
  • Fläche des von v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} aufgespannten Parallelogramms: ∥v⃗×w⃗∥|\vec{v} \times \vec{w}|.
  • Volumen des von u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} aufgespannten Spats: ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) |.

2.5 Geraden & Ebenen (in R3\mathbb{R}^3)

  • Gerade in Parameterform: g:r⃗=p⃗+λd⃗,λ∈R g: \vec{r} = \vec{p} + \lambda \vec{d}, \quad \lambda \in \mathbb{R} (p⃗\vec{p} = Stützvektor, d⃗\vec{d} = Richtungsvektor)
  • Ebene in Parameterform: E:r⃗=p⃗+λu⃗+μv⃗,λ,μ∈R E: \vec{r} = \vec{p} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R} (p⃗\vec{p} = Stützvektor, u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} = Spannvektoren)
  • Normalenform (Ebene): (r⃗−p⃗)⋅n⃗=0(n⃗≠0⃗) (\vec{r} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0 \quad (\vec{n} \neq \vec{0})
  • Koordinatenform (Ebene): ax+by+cz=d,wobei n⃗=(a,b,c) ax + by + cz = d, \quad \text{wobei } \vec{n} = (a,b,c)

2.6 Python – Numerische Lineare Algebra

  • Matrix und Vektoren (NumPy):

    import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([5, 6])
x = np.linalg.solve(A, b)  # Löst das LGS A*x = b

  • Skalarprodukt:

    v = np.array([1,2,3])
w = np.array([4,5,6])
dot = np.dot(v, w)

  • Kreuzprodukt:

    cross = np.cross(v, w)

3. Stochastik

3.1 Kombinatorik

  • Fakultät: n!=n⋅(n−1)⋅⋯⋅1n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1
  • Binomialkoeffizient: (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
  • Permutationen:
    • Verschiedene Objekte (alle nutzen): P(n)=n!P(n) = n!
    • Mit Wiederholungen: n!n1! n2! …\frac{n!}{n_1! , n_2! ,\dots}
  • Variationen (ohne Wiederholung): V(n,k)=n!(n−k)!V(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}
  • Kombinationen (ohne Wiederholung): C(n,k)=(nk)C(n,k) = \binom{n}{k}

3.2 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten

  • Zufallsexperiment: Ergebnis nicht vorhersehbar, aber Wahrscheinlichkeiten bekannt.
  • Ereignis: Teilmenge der Ergebnismenge Ω\Omega.
  • Wahrscheinlichkeit: P:P(Ω)→[0,1]P: \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1] mit:
    1. P(Ω)=1P(\Omega) = 1
    2. P(A)≥0P(A) \ge 0
    3. Additivität: A∩B=∅  ⟹  P(A∪B)=P(A)+P(B)A \cap B = \emptyset \implies P(A \cup B) = P(A) + P(B)

3.3 Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung

  • Laplace-Experiment (alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich): P(E)=Anzahl der fu¨r E gu¨nstigen ErgebnisseAnzahl aller mo¨glichen Ergebnisse P(E) = \frac{\text{Anzahl der für } E \text{ günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}
  • Additionsregel: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  • Produktregel (unabhängige Ereignisse AA und BB): P(A∩B)=P(A)⋅P(B) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0 P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B)>0
  • Satz von Bayes: P(A∣B)=P(B∣A) P(A)P(B) P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A),P(A)}{P(B)}

Fertig. Damit hast du eine umfassende Formelsammlung zu Analysis (inkl. Mengen, Folgen/Reihen, Differenzial- und Integralrechnung, Kurzdarstellung Python), Lineare Algebra (Gauß-Verfahren, Vektoralgebra) und Stochastik (Kombinatorik, Wahrscheinlichkeiten, Wahrscheinlichkeitsregeln).