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2025-04-17 13:17:21 +02:00

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📚 Lernplan für Mathematik

Woche 1: Grundlagen der Folgen und Grenzwerte

Thema 1: Folgen und Grenzwerte

Wichtige Konzepte:

  • Folge: Eine geordnete Liste von Zahlen, meist dargestellt als (a_n).
    • Beispiel: 2, 5, 8, 11, \dots
  • Grenzwert einer Folge: Der Wert, dem die Folgenglieder immer näher kommen.
    • Beispiel: \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
  • Konvergent vs. Divergent:
    • Konvergent: Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt.
    • Divergent: Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt.

Konkrete Beispiele:

  • Arithmetische Folge:
    • a_1 = 2, d = 3: 2, 5, 8, 11, \dots
    • Grenzwert: Divergent, da a_n \to \infty.
  • Geometrische Folge:
    • a_1 = 1, q = \frac{1}{2}: 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots
    • Grenzwert: 0.
    • a_1 = 3, q = 2: 3, 6, 12, 24, \dots
    • Grenzwert: Divergent (a_n \to \infty).
  • Beschränkte Folge:
    • a_n = (-1)^n: -1, 1, -1, 1, \dots
    • Grenzwerte: Keine, da sie zwischen -1 und 1 oszilliert.

Übungsaufgaben:

  1. Arithmetische und geometrische Folgen:
    • Bestimme die ersten 5 Glieder der arithmetischen Folge mit a_1 = 4 und d = 3.
    • Bestimme den Grenzwert der geometrischen Folge a_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n.
  2. Monotonie und Beschränktheit:
    • Untersuche die Folge a_n = \frac{n}{n+1} auf Monotonie und Beschränktheit.
    • Bestimme, ob die Folge a_n = \sqrt{n} konvergent ist.
  3. Grenzwerte von Folgen:
    • Berechne den Grenzwert der Folge a_n = \frac{(-1)^n}{n}.
    • Bestimme den Grenzwert der Folge a_n = \frac{5n + 3}{2n - 1}.
    • Bestimme den Grenzwert der Folge a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst arithmetische und geometrische Folgen definieren und deren Glieder berechnen.
  • Du verstehst den Unterschied zwischen beschränkten und unbeschränkten Folgen sowie zwischen konvergenten und divergenten Folgen.
  • Du kannst Grenzwerte von Folgen sowohl manuell als auch mit Python/SymPy bestimmen.

Woche 2: Lineare Gleichungssysteme und Matrixverfahren

Thema 1: Lineares Gleichungssystem (LGS)

Wichtige Konzepte:

  • Lineares Gleichungssystem (LGS): Eine Sammlung von linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.
  • Dimensionszahl: Anzahl der Unbekannten in einem LGS.
  • Äquivalenzumformung: Transformation eines LGS in ein anderes, äquivalentes System durch Rechenoperationen.
  • Gauß-Schema: Darstellung eines LGS in erweiterter Matrixform.
  • Gauß-Verfahren: Verfahren zur Lösung eines LGS durch schrittweises Eliminieren von Variablen.
  • Gauß-Jordan-Verfahren: Weiterführung des Gauß-Verfahrens zur Reduzierung der Matrix auf die reduzierte Stufenform.
  • Stufenform: Eine Matrix, in der jede nachfolgende Zeile mit einer führenden Eins beginnt, die weiter rechts liegt als die führende Eins der vorherigen Zeile.
  • Reduzierte Stufenform: Zusätzlich zur Stufenform hat jede führende Eins nur Nullen in allen anderen Positionen der Spalte.
  • Pivotelement: Das erste nicht-null Element in einer Zeile während des Gauß-Verfahrens.

Konkrete Beispiele:

  • Lösen eines LGS mit Gauß-Verfahren: 
    
\begin{cases}
2x + 3y = 8 \\
5x - y = 2
\end{cases}
    Schritte:
    1. Erweiterte Matrix: 
      
\begin{pmatrix}
2 & 3 & | & 8 \\
5 & -1 & | & 2
\end{pmatrix}
    2. Eliminierung:
      • Multipliziere die erste Zeile mit \frac{5}{2} und subtrahiere die zweite Zeile, um x zu eliminieren.
    3. Rücksubstitution: Finde y und dann x.

Übungsaufgaben:

  1. Lösen eines einfachen LGS:
    • Löse das folgende Gleichungssystem mittels Gauß-Verfahren: 
      
\begin{cases}
x + y = 4 \\
2x + 3y = 9
\end{cases}
  2. Gauß-Jordan-Verfahren:
    • Wandle die erweiterte Matrix des folgenden LGS in die reduzierte Stufenform um: 
      
\begin{cases}
3x + 2y - z = 1 \\
2x - 2y + 4z = -2 \\
-x + \frac{1}{2}y - z = 0
\end{cases}
  3. Parameterlösung:
    • Finde die allgemeine Lösung des folgenden LGS: 
      
\begin{cases}
x + 2y - z = 3 \\
2x + 4y - 2z = 6 \\
3x + 6y - 3z = 9
\end{cases}
  4. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um das folgende Gleichungssystem zu lösen: 
      
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x + 2y + 5z = -4 \\
2x + 5y - z = 27
\end{cases}

      import sympy as sp
x, y, z = sp.symbols('x y z')
eq1 = sp.Eq(x + y + z, 6)
eq2 = sp.Eq(2*x + 2*y + 5*z, -4)
eq3 = sp.Eq(2*x + 5*y - z, 27)
solution = sp.solve((eq1, eq2, eq3), (x, y, z))
print(solution)
  5. Stufenform und Rang:
    • Bestimme die Stufenform und den Rang des folgenden Systems: 
      
\begin{cases}
x + 2y - z = 3 \\
2x + 4y - 2z = 6 \\
3x + 6y - 3z = 9
\end{cases}

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren lösen.
  • Du verstehst die Konzepte der Stufenform, reduzierten Stufenform und des Pivotelements.
  • Du kannst den Rang und Defekt eines Systems bestimmen und die Lösungsmenge analysieren.

Thema 2: Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen

Wichtige Konzepte:

  • Kombination: Auswahl von k Elementen aus n ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. 
    
C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
  • Variation ohne Wiederholung: Anordnung von k Elementen aus n ohne Wiederholung. 
    
V(n, k) = P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}
  • Variation mit Wiederholung: Anordnung von k Elementen aus n mit Wiederholung. 
    
V_w(n, k) = n^k
  • Permutation: Vollständige Anordnung aller n Elemente. 
    
P(n) = n!
  • Kombination mit Wiederholung: Auswahl von k Elementen aus n mit Wiederholung. 
    
C_w(n, k) = \binom{n + k - 1}{k}
  • Anwendungen der kombinatorischen Formeln auf konkrete Aufgaben.

Konkrete Beispiele:

  • Kombination:
    • Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Bücher aus 5 auszuwählen? 
      
C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = 10
  • Variation ohne Wiederholung:
    • Wie viele verschiedene Anordnungen von 2 Schülern aus einer Gruppe von 4 gibt es? 
      
V(4, 2) = \frac{4!}{2!} = 12
  • Variation mit Wiederholung:
    • Wie viele 3-stellige Zahlen können mit den Ziffern 1, 2 und 3 gebildet werden (Wiederholung erlaubt)? 
      
V_w(3, 3) = 3^3 = 27
  • Permutation:
    • Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben A, B und C in eine bestimmte Reihenfolge zu bringen? 
      
P(3) = 3! = 6
  • Kombination mit Wiederholung:
    • Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Kugeln aus 3 verschiedenen Farben (mit Wiederholung) zu wählen? 
      
C_w(3, 2) = \binom{3 + 2 - 1}{2} = \binom{4}{2} = 6

Übungsaufgaben:

  1. Kombination:
    • Bestimme die Anzahl der Kombinationen von 4 Elementen aus einer Menge von 10 Elementen.
    • Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Karten aus einem Standardkartenspiel von 52 Karten zu ziehen?
  2. Variation ohne Wiederholung:
    • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Medaillen in einem Wettbewerb mit 3 Teilnehmern zu vergeben?
    • Bestimme die Anzahl der Anordnungen von 3 aus 7 verschiedenen Stiften.
  3. Variation mit Wiederholung:
    • Wie viele mögliche Passwörter aus 4 Ziffern (0-9) gibt es, wenn Wiederholungen erlaubt sind?
    • Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Eissorten aus 5 verfügbaren zu wählen, wenn eine Sorte mehrfach gewählt werden kann.
  4. Permutation:
    • Wie viele verschiedene Wege gibt es, die Buchstaben des Wortes "MATHEMATIK" anzuordnen (unter Berücksichtigung von Wiederholungen)?
  5. Kombination mit Wiederholung:
    • Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 identische Kugeln in 2 verschiedene Schachteln zu legen?
  6. Pascalsches Dreieck:
    • Verwende das Pascalsche Dreieck, um \binom{7}{4} zu bestimmen.
    • Finde eine Beziehung zwischen dem Pascalschen Dreieck und Binomialkoeffizienten.

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst Permutationen, Kombinationen und Variationen klar definieren und voneinander unterscheiden.
  • Du kannst die entsprechenden Formeln korrekt anwenden, um kombinatorische Probleme zu lösen.
  • Du verstehst die Anwendung der kombinativen Konzepte in praktischen und theoretischen Aufgaben.

Woche 3: Summen, Reihen und erweiterte Gleichungssysteme

Thema 1: Summen und Reihen

Wichtige Konzepte:

  • Summe (\Sigma): Addition einer Reihe von Zahlen oder Ausdrücken. 
    
\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n
  • Geometrische Summe: Summe einer geometrischen Folge. 
    
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{für } q \neq 1
    • Unendliche geometrische Reihe: Konvergent, wenn |q| < 1. 
      
S = \frac{a_1}{1 - q}
  • Reihe: Eine unendliche Summe von Gliedern einer Folge.
  • Grenzwert einer Reihe: Der Wert, dem die Summe der ersten n Glieder gegen unendlich strebt, wenn die Reihe konvergent ist.

Konkrete Beispiele:

  • Geometrische Summe:
    • Berechne S_4 = 1 + 2 + 4 + 8. 
      
S_4 = 1 \cdot \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 1 \cdot \frac{1 - 16}{-1} = 15
  • Unendliche geometrische Reihe:
    • Berechne S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots. 
      
S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2
  • Summe einer arithmetischen Reihe:
    • S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
    • Beispiel: 3 + 5 + 7 + 9 
      
n = 4, \, a_1 = 3, \, a_4 = 9 \Rightarrow S_4 = \frac{4}{2}(3 + 9) = 2 \cdot 12 = 24

Übungsaufgaben:

  1. Summe mit Summenzeichen:
    • Schreibe die Summe der ersten 5 natürlichen Zahlen mit dem Summenzeichen.
    • Berechne \sum_{i=1}^{4} (2i).
  2. Geometrische Summe:
    • Berechne die geometrische Summe S_6 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96.
    • Finde den Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^i.
  3. Reihe und Grenzwert:
    • Bestimme, ob die Reihe \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} konvergent oder divergent ist.
    • Berechne den Grenzwert der Folge a_n = \frac{2n + 1}{3n - 2}.
  4. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um die Summe \sum_{i=1}^{10} i^2 zu berechnen.
    • Bestimme den Grenzwert der Folge a_n = \frac{5n - 3}{2n + 4} mit SymPy.

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst Summenzeichen korrekt verwenden, um endliche und unendliche Summen darzustellen.
  • Du verstehst den Unterschied zwischen arithmetischen und geometrischen Reihen und kannst deren Summen berechnen.
  • Du kannst den Grenzwert einer konvergenten Reihe bestimmen und erkennst, wann eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Thema 2: Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter

Wichtige Konzepte:

  • Rang: Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten) in einer Matrix.
  • Defekt: \text{Defekt} = \text{Anzahl der Unbekannten} - \text{Rang}.
  • Pivot-Variable: Variable, die in der Stufenform eine führende Eins hat.
  • Freier Parameter: Variable, die nicht als Pivot-Variable erscheint und frei gewählt werden kann.
  • Verträglichkeit: Ein LGS ist verträglich, wenn es mindestens eine Lösung gibt.
  • Lösungsmenge:
    • Eindeutig: Eine einzige Lösung.
    • Unendlich viele Lösungen: Parameterabhängige Lösungen.
    • Keine Lösung: Inkonstistentes System.

Konkrete Beispiele:

  • Rang und Defekt:
    • Gegeben das LGS: 
      
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x + 2y + 5z = -4 \\
2x + 5y - z = 27
\end{cases}
      • Matrix: 
        
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
2 & 2 & 5 & | & -4 \\
2 & 5 & -1 & | & 27
\end{pmatrix}
      • Rang: 3 (alle drei Zeilen sind linear unabhängig)
      • Defekt: 3 - 3 = 0
      • Lösung: Eindeutig, wie in Woche 3 Thema 2 gezeigt.
  • Parameter und unendlich viele Lösungen:
    • Gegeben das LGS: 
      
\begin{cases}
x + y + z = 3 \\
2x + 2y + 2z = 6 \\
3x + 3y + 3z = 9
\end{cases}
      • Matrix: 
        
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
2 & 2 & 2 & | & 6 \\
3 & 3 & 3 & | & 9
\end{pmatrix}
      • Rang: 1
      • Defekt: 3 - 1 = 2
      • Lösung: Unendlich viele Lösungen, z.B., x = 3 - y - z, wobei y und z freie Parameter sind.

Übungsaufgaben:

  1. Rang und Defekt:
    • Bestimme Rang und Defekt des folgenden LGS: 
      
\begin{cases}
x + 2y - z = 1 \\
2x + 4y - 2z = 2 \\
3x + 6y - 3z = 3
\end{cases}
  2. Lösungsmenge:
    • Bestimme die Lösungsmenge des folgenden LGS: 
      
\begin{cases}
x + y = 2 \\
x - y = 0
\end{cases}
    • Bestimme die Lösungsmenge des folgenden LGS: 
      
\begin{cases}
x + y + z = 4 \\
2x + 2y + 2z = 8 \\
x + y + z = 5
\end{cases}
  3. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um den Rang und die Lösungsmenge des folgenden LGS zu bestimmen: 
      
\begin{cases}
x + 2y + 3z = 9 \\
2x + 4y + 6z = 18 \\
3x + 6y + 9z = 27
\end{cases}
  4. Anwendung:
    • Formuliere ein LGS für die folgenden Bedingungen und bestimme die Lösungsmenge:
      • Eine Firma stellt Produkte A, B und C her. Insgesamt werden 100 Produkte hergestellt, die Einnahmen betragen 5000 Euro. Produkt A kostet 20 Euro, Produkt B 30 Euro und Produkt C 50 Euro.
  5. Stufenform:
    • Wandle das folgende LGS in die Stufenform um und bestimme den Rang: 
      
\begin{cases}
2x + 4y - z = 1 \\
4x + 8y - 2z = 2 \\
6x + 12y - 3z = 3
\end{cases}

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst den Rang und den Defekt eines linearen Gleichungssystems bestimmen.
  • Du verstehst die unterschiedlichen Lösungsarten (eindeutig, unendlich viele, keine Lösung) und kannst die Lösungsmenge entsprechend beschreiben.
  • Du kannst die Konzepte von Pivot- und freien Variablen in der Stufenform anwenden und verstehen.

Thema 3: Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen

Wichtige Konzepte:

  • Vertiefung der Permutationen, Kombinationen und Variationen.
  • Permutationen von n Elementen: Anordnung aller n Elemente. 
    
P(n) = n!
  • **Kombinationen $ k -ter Ordnung:** Auswahl von k Elementen aus n $ ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. 
    
C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
  • **Variationen $ k -ter Ordnung:** Anordnung von k Elementen aus n $ mit oder ohne Wiederholung.
    • Ohne Wiederholung: V(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}
    • Mit Wiederholung: V_w(n, k) = n^k

Konkrete Beispiele:

  • Permutationen:
    • Anzahl der Permutationen von 4 Elementen: P(4) = 4! = 24
  • Kombinationen:
    • Anzahl der Kombinationen von 3 Elementen aus 5: C(5, 3) = 10
  • Variationen:
    • Anzahl der Variationen ohne Wiederholung von 2 aus 4: V(4, 2) = 12
    • Anzahl der Variationen mit Wiederholung von 2 aus 3: V_w(3, 2) = 9

Übungsaufgaben:

  1. Permutationen:
    • Bestimme die Anzahl der Permutationen der Buchstaben in "MATHE".
    • Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es für 5 verschiedene Bücher auf einem Regal?
  2. Kombinationen:
    • Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Teams aus 8 Schülern zu bilden?
    • Bestimme die Anzahl der möglichen Auswahl von 4 aus 10 verschiedenen Gerichten in einem Restaurant.
  3. Variationen:
    • Bestimme die Anzahl der 3-stelligen Codes, die mit den Ziffern 0-9 ohne Wiederholung gebildet werden können.
    • Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 verschiedene Farben aus 4 verfügbaren Farben auszuwählen und anzuordnen?
  4. Komplexere kombinatorische Probleme:
    • Ein Passwort besteht aus 4 Buchstaben (A-Z) gefolgt von 2 Zahlen (0-9). Wie viele verschiedene Passwörter sind möglich?
    • In einem Kartenspiel sollen 5 Karten gezogen werden. Wie viele verschiedene Hände gibt es?
  5. Anwendung von Binomialkoeffizienten:
    • Verwende den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der möglichen Kombinationen bei der Wahl eines Komitees von 3 aus 7 Personen zu bestimmen.

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst Permutationen, Kombinationen und Variationen klar definieren und voneinander unterscheiden.
  • Du kannst die entsprechenden Formeln korrekt anwenden, um verschiedene kombinatorische Probleme zu lösen.
  • Du verstehst die praktischen Anwendungen der kombinativen Konzepte in realen und theoretischen Kontexten.

Woche 4: Summen, Reihen und erweiterte Gleichungssysteme

Thema 1: Summen und Reihen

Wichtige Konzepte:

  • Summe (\Sigma): Addition einer Reihe von Zahlen oder Ausdrücken. 
    
\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n
  • Geometrische Summe: Summe einer geometrischen Folge. 
    
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{für } q \neq 1
    • Unendliche geometrische Reihe: Konvergent, wenn |q| < 1. 
      
S = \frac{a_1}{1 - q}
  • Reihe: Eine unendliche Summe von Gliedern einer Folge.
  • Grenzwert einer Reihe: Der Wert, dem die Summe der ersten n Glieder gegen unendlich strebt, wenn die Reihe konvergent ist.

Konkrete Beispiele:

  • Geometrische Summe:
    • Berechne S_4 = 1 + 2 + 4 + 8. 
      
S_4 = 1 \cdot \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 1 \cdot \frac{1 - 16}{-1} = 15
  • Unendliche geometrische Reihe:
    • Berechne S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots. 
      
S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2
  • Summe einer arithmetischen Reihe:
    • S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
    • Beispiel: 3 + 5 + 7 + 9 
      
n = 4, \, a_1 = 3, \, a_4 = 9 \Rightarrow S_4 = \frac{4}{2}(3 + 9) = 2 \cdot 12 = 24

Übungsaufgaben:

  1. Summe mit Summenzeichen:
    • Schreibe die Summe der ersten 5 natürlichen Zahlen mit dem Summenzeichen.
    • Berechne \sum_{i=1}^{4} (2i).
  2. Geometrische Summe:
    • Berechne die geometrische Summe S_6 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96.
    • Finde den Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^i.
  3. Reihe und Grenzwert:
    • Bestimme, ob die Reihe \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} konvergent oder divergent ist.
    • Berechne den Grenzwert der Folge a_n = \frac{2n + 1}{3n - 2}.
  4. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um die Summe \sum_{i=1}^{10} i^2 zu berechnen.
    • Bestimme den Grenzwert der Folge a_n = \frac{5n - 3}{2n + 4} mit SymPy.

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst Summenzeichen korrekt verwenden, um endliche und unendliche Summen darzustellen.
  • Du verstehst den Unterschied zwischen arithmetischen und geometrischen Reihen und kannst deren Summen berechnen.
  • Du kannst den Grenzwert einer konvergenten Reihe bestimmen und erkennst, wann eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Thema 2: Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter

Wichtige Konzepte:

  • Rang: Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten) in einer Matrix.
  • Defekt: \text{Defekt} = \text{Anzahl der Unbekannten} - \text{Rang}.
  • Pivot-Variable: Variable, die in der Stufenform eine führende Eins hat.
  • Freier Parameter: Variable, die nicht als Pivot-Variable erscheint und frei gewählt werden kann.
  • Verträglichkeit: Ein LGS ist verträglich, wenn es mindestens eine Lösung gibt.
  • Lösungsmenge:
    • Eindeutig: Eine einzige Lösung.
    • Unendlich viele Lösungen: Parameterabhängige Lösungen.
    • Keine Lösung: Inkonstistentes System.

Konkrete Beispiele:

  • Rang und Defekt:
    • Gegeben das LGS: 
      
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x + 2y + 5z = -4 \\
2x + 5y - z = 27
\end{cases}
      • Matrix: 
        
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
2 & 2 & 5 & | & -4 \\
2 & 5 & -1 & | & 27
\end{pmatrix}
      • Rang: 3 (alle drei Zeilen sind linear unabhängig)
      • Defekt: 3 - 3 = 0
      • Lösung: Eindeutig, wie in Woche 3 Thema 2 gezeigt.
  • Parameter und unendlich viele Lösungen:
    • Gegeben das LGS: 
      
\begin{cases}
x + y + z = 3 \\
2x + 2y + 2z = 6 \\
3x + 3y + 3z = 9
\end{cases}
      • Matrix: 
        
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
2 & 2 & 2 & | & 6 \\
3 & 3 & 3 & | & 9
\end{pmatrix}
      • Rang: 1
      • Defekt: 3 - 1 = 2
      • Lösung: Unendlich viele Lösungen, z.B., x = 3 - y - z, wobei y und z freie Parameter sind.

Übungsaufgaben:

  1. Rang und Defekt:
    • Bestimme Rang und Defekt des folgenden LGS: 
      
\begin{cases}
x + 2y - z = 1 \\
2x + 4y - 2z = 2 \\
3x + 6y - 3z = 3
\end{cases}
  2. Lösungsmenge:
    • Bestimme die Lösungsmenge des folgenden LGS: 
      
\begin{cases}
x + y = 2 \\
x - y = 0
\end{cases}
    • Bestimme die Lösungsmenge des folgenden LGS: 
      
\begin{cases}
x + y + z = 4 \\
2x + 2y + 2z = 8 \\
x + y + z = 5
\end{cases}
  3. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um den Rang und die Lösungsmenge des folgenden LGS zu bestimmen: 
      
\begin{cases}
x + 2y + 3z = 9 \\
2x + 4y + 6z = 18 \\
3x + 6y + 9z = 27
\end{cases}

      import sympy as sp
x, y, z = sp.symbols('x y z')
eq1 = sp.Eq(x + y + z, 6)
eq2 = sp.Eq(2*x + 2*y + 5*z, -4)
eq3 = sp.Eq(2*x + 5*y - z, 27)
solution = sp.solve((eq1, eq2, eq3), (x, y, z))
print(solution)
  4. Anwendung:
    • Formuliere ein LGS für die folgenden Bedingungen und bestimme die Lösungsmenge:
      • Eine Firma stellt Produkte A, B und C her. Insgesamt werden 100 Produkte hergestellt, die Einnahmen betragen 5000 Euro. Produkt A kostet 20 Euro, Produkt B 30 Euro und Produkt C 50 Euro.
  5. Stufenform:
    • Wandle das folgende LGS in die Stufenform um und bestimme den Rang: 
      
\begin{cases}
2x + 4y - z = 1 \\
4x + 8y - 2z = 2 \\
6x + 12y - 3z = 3
\end{cases}

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst den Rang und den Defekt eines linearen Gleichungssystems bestimmen.
  • Du verstehst die unterschiedlichen Lösungsarten (eindeutig, unendlich viele, keine Lösung) und kannst die Lösungsmenge entsprechend beschreiben.
  • Du kannst die Konzepte von Pivot- und freien Variablen in der Stufenform anwenden und verstehen.

Woche 5: Funktionen, Trigonometrie und Wahrscheinlichkeiten

Thema 1: Funktionen und ihre Eigenschaften

Wichtige Konzepte:

  • Betragsfunktion (|x|): Gibt den absoluten Wert von x an.
  • Vorzeichenfunktion: Bestimmt das Vorzeichen eines Wertes.
  • Potenzfunktion: f(x) = x^n, wobei n eine natürliche Zahl ist.
  • Exponentialfunktion: f(x) = a^x, wobei a > 0 und a \neq 1.
  • Logarithmusfunktion: f(x) = \log_a(x), wobei a > 0 und a \neq 1.
  • Hyperbolische Funktion: \sinh(x), \cosh(x), \tanh(x) usw.
  • Trigonometrische Funktionen: Sinus (\sin(x)), Cosinus (\cos(x)), Tangens (\tan(x)), Cotangens (\cot(x)).
  • Umkehrfunktionen: Arcussinus (\arcsin(x)), Arcuscosinus (\arccos(x)), Arcustangens (\arctan(x)), Arcuscotangens (\arccot(x)).

Konkrete Beispiele:

  • Potenzfunktion:
    • f(x) = x^3 ist eine ungerade Funktion (symmetrisch zum Ursprung).
    • f(x) = x^2 ist eine gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse).
  • Exponentialfunktion:
    • f(x) = 2^x wächst exponentiell.
    • f(x) = e^x (mit e \approx 2,718) ist die natürliche Exponentialfunktion.
  • Logarithmusfunktion:
    • f(x) = \log_2(x), der Inversen der Exponentialfunktion 2^x.
    • f(x) = \ln(x) ist der natürliche Logarithmus.
  • Trigonometrische Funktionen:
    • \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
    • \cos(\pi) = -1
    • \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
  • Graphen:
    • Skizziere den Graphen von f(x) = |x|, f(x) = e^x, f(x) = \ln(x), f(x) = \sin(x).

Übungsaufgaben:

  1. Graphen skizzieren:
    • Skizziere den Graphen der Funktion f(x) = |x|.
    • Skizziere den Graphen der Funktion f(x) = e^x.
  2. Eigenschaften identifizieren:
    • Bestimme die Symmetrie der Funktion f(x) = x^4 - 3x^2.
    • Überprüfe, ob die Funktion f(x) = \ln(x) injektiv ist.
  3. Umkehrfunktionen:
    • Finde die Umkehrfunktion der Funktion f(x) = 3x - 4.
    • Erkläre, warum die Funktion f(x) = x^2 keine Umkehrfunktion auf \mathbb{R} besitzt, aber auf [0, \infty).
  4. Python/Numpy:
    • Verwende NumPy, um die Werte der Funktion f(x) = \sin(x) für x von 0 bis 2\pi in Schritten von \frac{\pi}{6} zu berechnen und darzustellen.
  5. Hyperbolische Funktionen:
    • Bestimme den Wert von \cosh(0) und \sinh(1).
    • Skizziere den Graphen von f(x) = \sinh(x).

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst verschiedene Funktionstypen definieren und deren Eigenschaften (Symmetrie, Definitions- und Wertebereich) bestimmen.
  • Du kannst die Graphen von Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen skizzieren.
  • Du verstehst die Umkehrfunktionen und kannst erklären, wann eine Umkehrfunktion existiert.

Thema 2: Trigonometrische und Arcuswerte

Wichtige Konzepte:

  • Trigonometrische Werte:
    • Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens für Standardwinkel (0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ).
  • Arcusfunktionen:
    • Arcussinus (\arcsin(x)), Arcuscosinus (\arccos(x)), Arcustangens (\arctan(x)).
  • Rechtwinklige Dreiecke:
    • Definition von Sinus, Cosinus und Tangens in Bezug auf die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.
  • Einheitskreis:
    • Darstellung trigonometrischer Funktionen im Einheitskreis.
  • Rechnen mit Winkeln:
    • Addition und Subtraktion von Winkeln.
    • Nutzung der trigonometrischen Werte in verschiedenen Kontexten.

Konkrete Beispiele:

  • Trigonometrische Werte:
    • \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
    • \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
    • \tan(60^\circ) = \sqrt{3}
    • \cot(45^\circ) = 1
  • Arcusfunktionen:
    • \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ
    • \arccos\left(-1\right) = 180^\circ
    • \arctan(1) = 45^\circ
  • Rechtwinklige Dreiecke:
    • In einem Dreieck mit \theta = 30^\circ, Hypotenuse 2, ist die gegenüberliegende Seite 1 und die anliegende Seite \sqrt{3}.

Übungsaufgaben:

  1. Trigonometrische Werte:
    • Bestimme \sin(45^\circ), \cos(60^\circ) und \tan(30^\circ).
    • Berechne \cot(60^\circ).
  2. Arcusfunktionen:
    • Finde den Winkel \theta, sodass \arcsin\left(\theta\right) = 30^\circ.
    • Berechne \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
  3. Rechtwinklige Dreiecke:
    • In einem rechtwinkligen Dreieck ist die anliegende Seite 4 und der Winkel \theta = 45^\circ. Bestimme die gegenüberliegende Seite und die Hypotenuse.
  4. Einheitskreis:
    • Zeichne den Einheitskreis und markiere die Punkte für 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ und 270^\circ.
    • Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis bei 60^\circ.
  5. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um den Wert von \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) zu berechnen.
    • Berechne die Umkehrfunktionen \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) und \arctan(1) mit SymPy.

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst die trigonometrischen Funktionen für Standardwinkel korrekt berechnen und interpretieren.
  • Du verstehst die Anwendung von Arcusfunktionen und kannst sie zur Bestimmung von Winkeln verwenden.
  • Du kannst trigonometrische Werte in rechtwinkligen Dreiecken und im Einheitskreis anwenden und interpretieren.

Woche 6: Differenzialrechnung und Vektoren

Thema 1: Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung

Wichtige Konzepte:

  • Steigung: Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an.
  • Steigungswinkel: Winkel zwischen der Tangente und der positiven x-Achse.
  • Differenzquotient: 
    
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
  • Ableitung: Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt die Änderungsrate der Funktion.
  • Aufleitung (Integral): Umkehrung der Ableitung, bestimmt die Stammfunktion.
  • Ableitungsregeln:
    • Faktorregel: \frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)
    • Summenregel: \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)

Konkrete Beispiele:

  • Ableitung einfacher Monome:
    • f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2
    • f(x) = 5x \Rightarrow f'(x) = 5
  • Ableitung von Polynomen:
    • f(x) = 2x^4 - 3x^2 + x - 7 \Rightarrow f'(x) = 8x^3 - 6x + 1
  • Geometrische Bedeutung:
    • Bestimme die Steigung der Tangente an den Punkt x = 2 der Funktion f(x) = x^2. 
      
f'(x) = 2x \Rightarrow f'(2) = 4

Übungsaufgaben:

  1. Ableitungen berechnen:
    • Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 5.
    • Berechne die Ableitung von f(x) = 7x^5 + 3x^2 - 4x + 6.
  2. Geometrische Bedeutung:
    • Finde die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) = x^2 - 4x + 3 bei x = 1.
  3. Aufleitung:
    • Bestimme die Stammfunktion der Funktion f(x) = 6x^2 - 4x + 2.
    • Berechne das unbestimmte Integral von f(x) = 3x^4.
  4. Anwendung der Ableitungsregeln:
    • Verwende die Faktor- und Summenregel, um die Ableitung von f(x) = 5x + 3x^2 - 2x^3 zu bestimmen.
  5. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um die Ableitung der Funktion f(x) = \sin(x) + \cos(x) zu berechnen.
    • Berechne die Aufleitung der Funktion f(x) = 4x^3 - 3x mit SymPy.

Verständnis-Kriterien:

  • Du verstehst die Definition der Ableitung und den Differenzquotienten.
  • Du kannst Ableitungen einfacher und komplexerer Funktionen berechnen.
  • Du verstehst die geometrische Bedeutung der Ableitung als Steigung der Tangente und kannst die Ableitung zur Lösung praktischer Probleme verwenden.
  • Du kannst die Konzepte von Ableitung und Aufleitung in Python/SymPy anwenden.

Thema 2: Vektoren und Vektorrechnung

Wichtige Konzepte:

  • Vektor: Ein gerichtetes Objekt mit Betrag und Richtung, dargestellt als Pfeil oder geordnete Zahlenpaare/-tripel.
    • In 2D: \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}
    • In 3D: \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}
  • Vektorgeometrie: Geometrische Interpretation und Anwendungen von Vektoren.
  • Linearkombination: Kombination von Vektoren durch Multiplikation mit Skalaren und Addition. 
    
\mathbf{w} = a\mathbf{v} + b\mathbf{u}
  • Einheitsvektor: Ein Vektor mit Betrag 1 in eine bestimmte Richtung. 
    
\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}
  • Richtungsvektor: Ein Vektor, der die Richtung einer Geraden oder Ebene angibt.
  • Betrag eines Vektors: Länge des Vektors. 
    
|\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
  • Vektoroperationen:
    • Addition: \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_x + v_x \\ u_y + v_y \end{pmatrix}
    • Subtraktion: \mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_x - v_x \\ u_y - v_y \end{pmatrix}
    • Skalare Multiplikation: c\mathbf{v} = \begin{pmatrix} cv_x \\ cv_y \end{pmatrix}

Konkrete Beispiele:

  • Addition von Vektoren: 
    
\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}

    
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}
  • Linearkombination: 
    
\mathbf{w} = 2\mathbf{u} - 3\mathbf{v} = 2\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 6 - 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \end{pmatrix}
  • Einheitsvektor: 
    
\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, |\mathbf{v}| = 5

    
\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{pmatrix}
  • Betrag eines Vektors: 
    
\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}, |\mathbf{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}
  • Grafische Darstellung:
    • Zeichne die Vektoren \mathbf{u} und \mathbf{v} im Koordinatensystem und deren Summe \mathbf{u} + \mathbf{v}.

Übungsaufgaben:

  1. Vektoren addieren und subtrahieren:
    • Gegeben \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} und \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}. Berechne \mathbf{u} + \mathbf{v} und \mathbf{u} - \mathbf{v}.
  2. Linearkombination:
    • Bestimme eine Linearkombination von \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} und \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, die den Vektor \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} ergibt.
  3. Einheitsvektor:
    • Berechne den Einheitsvektor von \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}.
  4. Betrag eines Vektors:
    • Bestimme den Betrag des Vektors \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}.
  5. Grafische Darstellung:
    • Zeichne die Vektoren \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} und deren Summe \mathbf{u} + \mathbf{v} im Koordinatensystem.
  6. Python/Numpy:
    • Verwende NumPy, um die Summe und Differenz von zwei Vektoren zu berechnen. 
      import numpy as np

u = np.array([3, -1])
v = np.array([-2, 4])

sum_uv = u + v
diff_uv = u - v

print("Summe:", sum_uv)      # [1, 3]
print("Differenz:", diff_uv)  # [5, -5]
    • Berechne den Betrag eines Vektors \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix} mit NumPy. 
      v = np.array([5, 12])
magnitude = np.linalg.norm(v)
print("Betrag:", magnitude)  # 13.0

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst Vektoren definieren, addieren, subtrahieren und skalare Multiplikationen durchführen.
  • Du verstehst das Konzept der Linearkombination und kannst es auf gegebene Vektoren anwenden.
  • Du kannst Einheitsvektoren und die Beträge von Vektoren korrekt berechnen.
  • Du kannst Vektoren grafisch darstellen und deren Operationen visualisieren.

Thema 3: Summen, Reihen und erweiterte Gleichungssysteme

Hinweis: Dieses Thema scheint in Woche 3 bereits behandelt zu sein. Um Redundanzen zu vermeiden, wird dies hier übersprungen.

Woche 7: Differenzialrechnung und Vektoren

Thema 1: Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung

Wichtige Konzepte:

  • Steigung: Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an.
  • Steigungswinkel: Winkel zwischen der Tangente und der positiven x-Achse.
  • Differenzquotient: 
    
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
  • Ableitung: Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt die Änderungsrate der Funktion.
  • Aufleitung (Integral): Umkehrung der Ableitung, bestimmt die Stammfunktion.
  • Ableitungsregeln:
    • Faktorregel: \frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)
    • Summenregel: \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)

Konkrete Beispiele:

  • Ableitung einfacher Monome:
    • f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2
    • f(x) = 5x \Rightarrow f'(x) = 5
  • Ableitung von Polynomen:
    • f(x) = 2x^4 - 3x^2 + x - 7 \Rightarrow f'(x) = 8x^3 - 6x + 1
  • Geometrische Bedeutung:
    • Bestimme die Steigung der Tangente an den Punkt x = 2 der Funktion f(x) = x^2. 
      
f'(x) = 2x \Rightarrow f'(2) = 4

Übungsaufgaben:

  1. Ableitungen berechnen:
    • Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 5.
    • Berechne die Ableitung von f(x) = 7x^5 + 3x^2 - 4x + 6.
  2. Geometrische Bedeutung:
    • Finde die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) = x^2 - 4x + 3 bei x = 1.
  3. Aufleitung:
    • Bestimme die Stammfunktion der Funktion f(x) = 6x^2 - 4x + 2.
    • Berechne das unbestimmte Integral von f(x) = 3x^4.
  4. Anwendung der Ableitungsregeln:
    • Verwende die Faktor- und Summenregel, um die Ableitung von f(x) = 5x + 3x^2 - 2x^3 zu bestimmen.
  5. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um die Ableitung der Funktion f(x) = \sin(x) + \cos(x) zu berechnen.
    • Berechne die Aufleitung der Funktion f(x) = 4x^3 - 3x mit SymPy.

Verständnis-Kriterien:

  • Du verstehst die Definition der Ableitung und den Differenzquotienten.
  • Du kannst Ableitungen einfacher und komplexerer Funktionen berechnen.
  • Du verstehst die geometrische Bedeutung der Ableitung als Steigung der Tangente und kannst die Ableitung zur Lösung praktischer Probleme verwenden.
  • Du kannst die Konzepte von Ableitung und Aufleitung in Python/SymPy anwenden.

Thema 2: Vektoren und Vektorrechnung

Wichtige Konzepte:

  • Vektor: Ein gerichtetes Objekt mit Betrag und Richtung, dargestellt als Pfeil oder geordnete Zahlenpaare/-tripel.
    • In 2D: \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}
    • In 3D: \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}
  • Vektorgeometrie: Geometrische Interpretation und Anwendungen von Vektoren.
  • Linearkombination: Kombination von Vektoren durch Multiplikation mit Skalaren und Addition. 
    
\mathbf{w} = a\mathbf{v} + b\mathbf{u}
  • Einheitsvektor: Ein Vektor mit Betrag 1 in eine bestimmte Richtung. 
    
\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}
  • Richtungsvektor: Ein Vektor, der die Richtung einer Geraden oder Ebene angibt.
  • Betrag eines Vektors: Länge des Vektors. 
    
|\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
  • Vektoroperationen:
    • Addition: \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_x + v_x \\ u_y + v_y \end{pmatrix}
    • Subtraktion: \mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_x - v_x \\ u_y - v_y \end{pmatrix}
    • Skalare Multiplikation: c\mathbf{v} = \begin{pmatrix} cv_x \\ cv_y \end{pmatrix}

Konkrete Beispiele:

  • Addition von Vektoren: 
    
\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}

    
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}
  • Linearkombination: 
    
\mathbf{w} = 2\mathbf{u} - 3\mathbf{v} = 2\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 6 - 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \end{pmatrix}
  • Einheitsvektor: 
    
\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, |\mathbf{v}| = 5

    
\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{pmatrix}
  • Betrag eines Vektors: 
    
\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}, |\mathbf{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}
  • Grafische Darstellung:
    • Zeichne die Vektoren \mathbf{u} und \mathbf{v} im Koordinatensystem und deren Summe \mathbf{u} + \mathbf{v}.

Übungsaufgaben:

  1. Vektoren addieren und subtrahieren:
    • Gegeben \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} und \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}. Berechne \mathbf{u} + \mathbf{v} und \mathbf{u} - \mathbf{v}.
  2. Linearkombination:
    • Bestimme eine Linearkombination von \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} und \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, die den Vektor \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} ergibt.
  3. Einheitsvektor:
    • Berechne den Einheitsvektor von \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}.
  4. Betrag eines Vektors:
    • Bestimme den Betrag des Vektors \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}.
  5. Grafische Darstellung:
    • Zeichne die Vektoren \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} und deren Summe \mathbf{u} + \mathbf{v} im Koordinatensystem.
  6. Python/Numpy:
    • Verwende NumPy, um die Summe und Differenz von zwei Vektoren zu berechnen. 
      import numpy as np

u = np.array([3, -1])
v = np.array([-2, 4])

sum_uv = u + v
diff_uv = u - v

print("Summe:", sum_uv)      # [1, 3]
print("Differenz:", diff_uv)  # [5, -5]
    • Berechne den Betrag eines Vektors \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix} mit NumPy. 
      v = np.array([5, 12])
magnitude = np.linalg.norm(v)
print("Betrag:", magnitude)  # 13.0

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst Vektoren definieren, addieren, subtrahieren und skalare Multiplikationen durchführen.
  • Du verstehst das Konzept der Linearkombination und kannst es auf gegebene Vektoren anwenden.
  • Du kannst Einheitsvektoren und die Beträge von Vektoren korrekt berechnen.
  • Du kannst Vektoren grafisch darstellen und deren Operationen visualisieren.

Thema 3: Summen, Reihen und erweiterte Gleichungssysteme

Hinweis: Dieses Thema scheint in Woche 3 bereits behandelt zu sein. Um Redundanzen zu vermeiden, wird dies hier übersprungen.

Woche 8: Erweiterte Differenzialrechnung und Vektorrechnung

Thema 1: Differenzialrechnung: Erweiterte Ableitungsregeln

Wichtige Konzepte:

  • Produktregel: 
    
(fg)' = f'g + fg'
  • Kettenregel: 
    
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
  • Quotientenregel: 
    
\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
  • Ableitung von Betragsfunktionen:
    • f(x) = |x| \Rightarrow f'(x) = \frac{x}{|x|} für x \neq 0
  • Spezialfälle und Ableitungen verschachtelter Funktionen.

Konkrete Beispiele:

  • Produktregel:
    • f(x) = (x^2)(\sin(x)) \Rightarrow f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)
  • Kettenregel:
    • f(x) = \sin(x^2) \Rightarrow f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x
  • Quotientenregel:
    • f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}
  • Ableitung von Betragsfunktionen:
    • f(x) = |x| \Rightarrow f'(x) = 1 für x > 0, f'(x) = -1 für x < 0

Übungsaufgaben:

  1. Produktregel:
    • Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 \cdot e^x.
  2. Kettenregel:
    • Berechne die Ableitung von f(x) = \cos(3x + 2).
    • Bestimme die Ableitung von f(x) = \sqrt{5x^2 + 2x + 1}.
  3. Quotientenregel:
    • Finde die Ableitung der Funktion f(x) = \frac{2x^3 - x + 4}{x^2 + 1}.
  4. Ableitung von Betragsfunktionen:
    • Berechne die Ableitung von f(x) = |3x - 2| für x \neq \frac{2}{3}.
  5. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um die Ableitung von f(x) = \frac{\sin(x)}{x} zu berechnen.
    • Bestimme die Ableitung von f(x) = (x^2 + 1)^5 mithilfe der Kettenregel in SymPy.

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst die Produktregel, Kettenregel und Quotientenregel korrekt anwenden.
  • Du verstehst, wie man die Ableitung von verschachtelten Funktionen berechnet.
  • Du kannst Ableitungen von Betragsfunktionen bestimmen und deren Spezialfälle erkennen.

Thema 2: Vektor- und Spatprodukt

Wichtige Konzepte:

  • Skalarprodukt (Dot Product): 
    
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z
  • Länge eines Vektors: 
    
|\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
  • Winkel zwischen zwei Vektoren: 
    
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|}
  • Eigenschaften des Skalarprodukts:
    • Kommutativ: \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}
    • Distributiv: \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}
    • Bilinear: (a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = a(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) + b(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})

Konkrete Beispiele:

  • Skalarprodukt: 
    
\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix}

    
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12
  • Länge eines Vektors: 
    
|\mathbf{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}
  • Winkel zwischen Vektoren: 
    
\cos(\theta) = \frac{12}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{12}{\sqrt{1078}} \approx 0.365

    
\theta \approx 68.0^\circ

Übungsaufgaben:

  1. Skalarprodukt berechnen:
    • Berechne das Skalarprodukt von \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} und \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}.
  2. Länge eines Vektors:
    • Bestimme die Länge des Vektors \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}.
  3. Winkel zwischen Vektoren:
    • Bestimme den Winkel zwischen den Vektoren \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
    • Berechne den Winkel zwischen \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} und \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}.
  4. Eigenschaften des Skalarprodukts:
    • Zeige, dass das Skalarprodukt distributiv ist, indem du \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} für \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, und \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} zeigst.
  5. Python/Numpy:
    • Verwende NumPy, um das Skalarprodukt und den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen. 
      import numpy as np

u = np.array([1, 2, 3])
v = np.array([4, -5, 6])

dot_product = np.dot(u, v)  # 12
magnitude_u = np.linalg.norm(u)  # sqrt(14)
magnitude_v = np.linalg.norm(v)  # sqrt(77)
cosine_theta = dot_product / (magnitude_u * magnitude_v)
theta = np.arccos(cosine_theta) * (180 / np.pi)  # in Grad

print("Skalarprodukt:", dot_product)
print("Winkel (Grad):", theta)  # ca. 68.0 Grad
    • Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} mit Python. 
      import numpy as np

a = np.array([1, 0, 0])
b = np.array([0, 1, 0])

dot_product = np.dot(a, b)  # 0
magnitude_a = np.linalg.norm(a)  # 1
magnitude_b = np.linalg.norm(b)  # 1
cosine_theta = dot_product / (magnitude_a * magnitude_b)
theta = np.arccos(cosine_theta) * (180 / np.pi)  # 90 Grad

print("Skalarprodukt:", dot_product)
print("Winkel (Grad):", theta)  # 90 Grad

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen und dessen Bedeutung verstehen.
  • Du verstehst die Konzepte der Vektorlänge und des Winkels zwischen Vektoren und kannst diese berechnen.
  • Du kannst die Eigenschaften des Skalarprodukts anwenden, um Probleme in der Vektorrechnung zu lösen.

Thema 3: Differenzquotient und Ableitung

Hinweis: Dieses Thema wurde bereits in Woche 7 behandelt. Um Redundanzen zu vermeiden, wird dies hier übersprungen.

Woche 9: Exponentialfunktionen, Vektor- und Spatprodukte sowie Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Thema 1: Exponential- und Logarithmusfunktionen

Wichtige Konzepte:

  • Eulersche Zahl (e): Natürliche Basis der Exponentialfunktionen (e \approx 2,718).
  • Natürliche Exponentialfunktion: f(x) = e^x.
  • Natürlicher Logarithmus: f(x) = \ln(x), der Inversen der natürlichen Exponentialfunktion.
  • Ableitungs- und Vereinfachungsregeln:
    • \frac{d}{dx} e^x = e^x
    • \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}
  • Kettenregel: Anwendung bei zusammengesetzten Funktionen.
  • Exponentielle Gleichungen: Gleichungen, die Exponentialfunktionen enthalten.
  • Logarithmische Gleichungen: Gleichungen, die Logarithmusfunktionen enthalten.

Konkrete Beispiele:

  • Ableitung:
    • f(x) = e^{2x} \Rightarrow f'(x) = 2e^{2x}
    • f(x) = \ln(3x) \Rightarrow f'(x) = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}
  • Vereinfachung:
    • \ln(e^{5x}) = 5x
    • e^{\ln(x)} = x
  • Lösen von Gleichungen:
    • e^x = 7 \Rightarrow x = \ln(7)
    • \ln(x) = 3 \Rightarrow x = e^3

Übungsaufgaben:

  1. Ableitungen:
    • Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = e^{3x + 2}.
    • Berechne die Ableitung von f(x) = \ln(5x^2).
  2. Vereinfachung:
    • Vereinfache \ln(e^{4x}).
    • Vereinfache e^{\ln(x) + \ln(y)}.
  3. Lösen von Gleichungen:
    • Löse die Gleichung e^{2x} = 20.
    • Löse die Gleichung \ln(x^3) = 6.
  4. Kettenregel:
    • Verwende die Kettenregel, um die Ableitung von f(x) = e^{\sin(x)} zu berechnen.
    • Bestimme die Ableitung von f(x) = \ln(\cos(x)) mithilfe der Kettenregel.
  5. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um die Ableitung von f(x) = e^{x^2} zu berechnen.
    • Bestimme mit SymPy die Lösung der Gleichung e^{x} = 10. 
      import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
equation = sp.Eq(sp.exp(x), 10)
solution = sp.solve(equation, x)
print(solution)  # [log(10)]

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus definieren und deren Eigenschaften verstehen.
  • Du kannst die Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen korrekt berechnen.
  • Du kannst Exponential- und Logarithmische Gleichungen lösen und ihre Anwendungen verstehen.

Thema 2: Vektor- und Spatprodukt

Wichtige Konzepte:

  • Vektorprodukt (Kreuzprodukt): 
    
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
u_x & u_y & u_z \\
v_x & v_y & v_z
\end{vmatrix}
  • Spatprodukt (Scalar Triple Product): 
    
\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})
  • Länge eines Vektors: 
    
|\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
  • Winkel zwischen zwei Vektoren: 
    
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|}
  • Eigenschaften des Vektorprodukts:
    • Antikommutativ: \mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})
    • Distributiv über Addition: \mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}
    • Assoziativität mit Skalaren: c(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (c\mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (c\mathbf{v})

Konkrete Beispiele:

  • Vektorprodukt: 
    
\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

    
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
  • Spatprodukt: 
    
\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}, \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}

    
\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{pmatrix} (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) \\ (6 \cdot 7 - 4 \cdot 9) \\ (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}

    
\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 \quad \text{(Volumen = 0, Vektoren liegen in einer Ebene)}

Übungsaufgaben:

  1. Vektorprodukt:
    • Berechne das Vektorprodukt von \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} und \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}.
  2. Spatprodukt:
    • Bestimme das Spatprodukt von \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} und \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}.
  3. Flächenberechnung:
    • Berechne die Fläche eines Parallelogramms, das von den Vektoren \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} und \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} aufgespannt wird.
  4. Volumenberechnung:
    • Bestimme das Volumen des von den Vektoren \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} und \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} aufgespannten Parallelepiped.
  5. Eigenschaften des Skalarprodukts:
    • Zeige, dass \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) invariant unter Permutationen der Vektoren ist.
  6. Python/Numpy:
    • Verwende NumPy, um das Vektorprodukt und das Spatprodukt von drei Vektoren zu berechnen. 
      import numpy as np

u = np.array([1, 2, 3])
v = np.array([4, 5, 6])
w = np.array([7, 8, 9])

cross_product = np.cross(v, w)  # [-3, 6, -3]
scalar_triple_product = np.dot(u, cross_product)  # 0

print("Vektorprodukt (v x w):", cross_product)
print("Spatprodukt (u · (v x w)):", scalar_triple_product)
    • Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} mit Python. 
      import numpy as np

a = np.array([1, 0, 0])
b = np.array([0, 1, 0])

dot_product = np.dot(a, b)  # 0
magnitude_a = np.linalg.norm(a)  # 1
magnitude_b = np.linalg.norm(b)  # 1
cosine_theta = dot_product / (magnitude_a * magnitude_b)
theta = np.arccos(cosine_theta) * (180 / np.pi)  # 90 Grad

print("Skalarprodukt:", dot_product)
print("Winkel (Grad):", theta)  # 90 Grad

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen und dessen Bedeutung verstehen.
  • Du verstehst die Konzepte der Vektorlänge und des Winkels zwischen Vektoren und kannst diese berechnen.
  • Du kannst die Eigenschaften des Skalarprodukts anwenden, um Probleme in der Vektorrechnung zu lösen.

Thema 3: Differenzquotient und Ableitung

Hinweis: Dieses Thema wurde bereits in Woche 7 behandelt. Um Redundanzen zu vermeiden, wird dies hier übersprungen.

Woche 10: Erweiterte Ableitungen, Geraden und Projektionen

Thema 1: Ableitungen spezieller Funktionen

Wichtige Konzepte:

  • Trigonometrische Funktionen: Ableitungen von \sin(x), \cos(x), \tan(x), etc. 
    
\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)

    
\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)

    
\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x)
  • Hyperbolische Funktionen: Ableitungen von \sinh(x), \cosh(x), \tanh(x), etc. 
    
\frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x)

    
\frac{d}{dx} \cosh(x) = \sinh(x)
  • Arkusfunktionen: Ableitungen von \arcsin(x), \arccos(x), \arctan(x), etc. 
    
\frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

    
\frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

    
\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}
  • Areafunktionen: Funktionen, die die Fläche eines bestimmten Bereichs beschreiben, deren Ableitung die Änderungsrate der Fläche ist.

Konkrete Beispiele:

  • Ableitung einer trigonometrischen Funktion: 
    
f(x) = \sin(x) + \cos(x) \Rightarrow f'(x) = \cos(x) - \sin(x)
  • Ableitung einer hyperbolischen Funktion: 
    
f(x) = \sinh(x) - \cosh(x) \Rightarrow f'(x) = \cosh(x) - \sinh(x)
  • Ableitung einer Arkusfunktion: 
    
f(x) = \arctan(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}

Übungsaufgaben:

  1. Ableitungen trigonometrischer Funktionen:
    • Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x).
    • Berechne die Ableitung von f(x) = \tan(x).
  2. Ableitungen hyperbolischer Funktionen:
    • Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = \sinh(x) + \cosh(x).
    • Berechne die Ableitung von f(x) = \tanh(x).
  3. Ableitungen Arkusfunktionen:
    • Finde die Ableitung der Funktion f(x) = \arcsin(x).
    • Berechne die Ableitung von f(x) = \arccos(x).
  4. Graphische Interpretation:
    • Skizziere den Graphen von f(x) = \arctan(x) und f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}.
  5. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um die Ableitung von f(x) = \arcsin(x) zu berechnen.
    • Berechne die Ableitung von f(x) = \tanh(x) mit SymPy. 
      import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = sp.asin(x)
derivative = sp.diff(f, x)
print(derivative)  # 1/sqrt(1 - x**2)

f = sp.tanh(x)
derivative = sp.diff(f, x)
print(derivative)  # 1/cosh(x)**2

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst die Ableitungen von trigonometrischen, hyperbolischen und Arkusfunktionen korrekt berechnen.
  • Du verstehst die Anwendung der Kettenregel und anderer erweiterten Ableitungsregeln auf spezielle Funktionen.
  • Du kannst die graphische Interpretation der Ableitungen verstehen und anwenden.

Thema 2: Geraden in 2D und 3D

Wichtige Konzepte:

  • Gerade in 2D:
    • Normalform: ax + by + c = 0, wobei (a, b) ein Normalenvektor ist.
    • Steigungsform: y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
  • Gerade in 3D:
    • Parameterdarstellung: 
      
\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}
      wobei \mathbf{a} ein Punkt auf der Geraden und \mathbf{b} der Richtungsvektor ist.
    • Hessesche Normalform: Darstellung der Geraden mittels Normalenvektor und Abstand vom Ursprung.
  • Abstand eines Punktes von einer Geraden:
    • In 2D: 
      
d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
  • Lagebeziehungen von Geraden in 3D:
    • Parallel: Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander.
    • Windschief: Geraden sind weder parallel noch schneiden sie sich.
    • Schneidend: Es gibt einen Schnittpunkt zwischen den Geraden.

Konkrete Beispiele:

  • Gerade in 2D:
    • Steigungsform: y = 2x + 3
    • Normalform: 2x - y + 3 = 0
  • Gerade in 3D:
    • Parameterdarstellung: \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}
  • Abstand eines Punktes:
    • Bestimme den Abstand des Punktes (3, 4) von der Geraden 2x - y + 1 = 0: 
      
d = \frac{|2 \cdot 3 - 4 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 4 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1,34
  • Lagebeziehungen in 3D:
    • Gegeben zwei Geraden \mathbf{r_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} und \mathbf{r_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}:
      • Richtungsvektoren sind gleich: \mathbf{b_1} = \mathbf{b_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
      • Parallel, aber unterschiedlich positioniert.

Übungsaufgaben:

  1. Gerade in 2D:
    • Schreibe die Gerade, die durch den Punkt (2, 3) geht und eine Steigung von m = -1 hat, in der Normalform.
    • Bestimme den Abstand des Punktes (4, -2) von der Geraden y = \frac{1}{2}x + 1.
  2. Gerade in 3D:
    • Formuliere die Parameterdarstellung der Geraden, die durch (1, 1, 1) verläuft und den Richtungsvektor (2, 0, -1) hat.
    • Bestimme den Schnittpunkt der Geraden \mathbf{r_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} und \mathbf{r_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, falls vorhanden.
  3. Hessesche Normalform:
    • Wandle die Steigungsform y = 3x + 2 in die Hessesche Normalform um.
  4. Lagebeziehungen:
    • Bestimme die Lagebeziehung zwischen den Geraden \mathbf{r_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} und \mathbf{r_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.
  5. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um die Parameterdarstellung einer Geraden in 3D zu definieren und den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen.
    • Implementiere ein Python-Skript, das den Abstand eines Punktes von einer Geraden in 2D berechnet. 
      import sympy as sp
t = sp.symbols('t')
# Gerade: r = (1, 0, 0) + t*(0, 1, 1)
x = 1
y = t
z = t
# Ebene: x + y + z = 2
equation = sp.Eq(x + y + z, 2)
solution = sp.solve(equation, t)
t_value = solution[t]
intersection_point = (x, y.subs(t, t_value), z.subs(t, t_value))
print("Schnittpunkt:", intersection_point)  # (1, 0.5, 0.5)

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst die Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen in 3D korrekt bestimmen.
  • Du verstehst, wie man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene berechnet.
  • Du kannst die Konzepte der Parallelität, Enthaltenheit und Schneidung anwenden und interpretieren.
  • Du kannst diese Konzepte mithilfe von Python/SymPy anwenden und lösen.

Woche 11: Integralrechnung und Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Thema 1: Integralrechnung

Wichtige Konzepte:

  • Stammfunktion: Eine Funktion F(x), deren Ableitung F'(x) = f(x).
  • Unbestimmtes Integral: 
    
\int f(x) \, dx = F(x) + C
    wobei C die Integrationskonstante ist.
  • Bestimmtes Integral: 
    
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
  • Grundlegende Integrationsregeln:
    • Lineare Regel: \int [af(x) + bg(x)] \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx
    • Potenzregel: \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C für n \neq -1
    • Exponentialregel: \int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C
  • Anwendung auf Polynome und Exponentialfunktionen.

Konkrete Beispiele:

  • Unbestimmtes Integral: 
    
\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C
  • Bestimmtes Integral: 
    
\int_{1}^{3} (2x + 1) \, dx = \left[ x^2 + x \right]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10
  • Exponentialfunktion: 
    
\int 4e^{2x} \, dx = 2e^{2x} + C

Übungsaufgaben:

  1. Unbestimmtes Integral:
    • Bestimme \int (5x^4 - 3x^2 + 2x - 7) \, dx.
    • Berechne \int (e^x + 2x) \, dx.
  2. Bestimmtes Integral:
    • Berechne \int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx.
    • Bestimme das bestimmte Integral \int_{1}^{4} e^{x} \, dx.
  3. Anwendung der Grundregeln:
    • Verwende die Potenzregel, um \int x^5 \, dx zu berechnen.
    • Berechne \int 7e^{3x} \, dx mithilfe der Exponentialregel.
  4. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um das unbestimmte Integral von f(x) = 6x^3 - 4x + 2 zu berechnen. 
      import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = 6*x**3 - 4*x + 2
integral = sp.integrate(f, x)
print(integral)  # 6*x**4/4 - 4*x**2/2 + 2*x = 1.5*x**4 - 2*x**2 + 2*x
    • Berechne mit SymPy das bestimmte Integral \int_{2}^{5} x^2 \, dx.

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst unbestimmte und bestimmte Integrale grundlegender Funktionen berechnen.
  • Du verstehst die Bedeutung der Stammfunktion und die grundlegenden Integrationsregeln.
  • Du kannst Integrale von Polynomen und Exponentialfunktionen korrekt berechnen, sowohl manuell als auch mit Python/SymPy.

Thema 2: Extremstellen, Ebenen und Lagebeziehungen

Wichtige Konzepte:

  • Kritische Stelle: Ein Punkt x, an dem die Ableitung f'(x) = 0 oder nicht definiert ist.
  • Lokales Extremum: Ein Punkt, an dem die Funktion ein lokales Maximum oder Minimum hat.
  • Globales Extremum: Ein Punkt, an dem die Funktion ein globales Maximum oder Minimum hat.
  • Hochpunkt: Ein lokales Maximum.
  • Tiefpunkt: Ein lokales Minimum.
  • Sattelpunkt: Ein Punkt, an dem die Funktion ihre Krümmung ändert, aber kein Extremum ist.
  • Kriterien zur Bestimmung:
    • Erste Ableitung: f'(x) = 0 für kritische Stellen.
    • Zweite Ableitung: Bestimmt die Krümmung und hilft bei der Klassifizierung der Extremstellen.
      • f''(x) > 0: Lokales Minimum
      • f''(x) < 0: Lokales Maximum
      • f''(x) = 0: Weitere Untersuchung (z.B. dritte Ableitung)

Konkrete Beispiele:

  • Funktion mit Hoch- und Tiefpunkten: 
    
f(x) = x^3 - 3x^2 + 2
    • f'(x) = 3x^2 - 6x
    • f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 oder x = 2
    • f''(x) = 6x - 6
      • f''(0) = -6 < 0 \Rightarrow Lokales Maximum bei x = 0
      • f''(2) = 6 > 0 \Rightarrow Lokales Minimum bei x = 2
  • Funktion mit Sattelpunkt: 
    
f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8
    • f'(x) = 3x^2 - 12x + 12
    • f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2
    • f''(x) = 6x - 12
      • f''(2) = 0
    • f'''(x) = 6 \neq 0 \Rightarrow Echter Wendepunkt bei x = 2

Übungsaufgaben:

  1. Wendepunkte finden:
    • Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2.
    • Finde die Wendepunkte der Funktion f(x) = \ln(x).
  2. Krümmungsverhalten:
    • Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = x^3 - 3x.
    • Analysiere das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = e^x - x^2.
  3. Verwendung der dritten Ableitung:
    • Bestimme, ob der Punkt x = 1 ein echter Wendepunkt für f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 ist.
  4. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um die Wendepunkte der Funktion f(x) = x^5 - 5x^3 + 4x zu bestimmen. 
      import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**5 - 5*x**3 + 4*x
f_prime = sp.diff(f, x)
f_double_prime = sp.diff(f_prime, x)
f_triple_prime = sp.diff(f_double_prime, x)
critical_points = sp.solve(f_double_prime, x)
for cp in critical_points:
    concavity = f_triple_prime.subs(x, cp)
    if concavity != 0:
        print(f"x = {cp}: Echter Wendepunkt")
    else:
        print(f"x = {cp}: Sattelpunkt oder nicht klassifiziert")
  5. Graphische Interpretation:
    • Skizziere die Funktion f(x) = x^3 - 3x und markiere die Wendepunkte.
    • Zeichne den Graphen von f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 und identifiziere die Wendepunkte.

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst kritische Stellen einer Funktion identifizieren und deren Art bestimmen.
  • Du verstehst den Zusammenhang zwischen der ersten und zweiten Ableitung bei der Klassifizierung von Extremstellen.
  • Du kannst Sattelpunkte erkennen und verstehen ihre Bedeutung in der Kurvendiskussion.
  • Du kannst diese Konzepte mithilfe von Python/SymPy anwenden und graphisch interpretieren.

Thema 3: Kurvendiskussion und praktische Anwendungen

Wichtige Konzepte:

  • Kurvendiskussion: Eine umfassende Analyse einer Funktion, einschließlich:
    • Definitionsbereich: Alle $ x $-Werte, für die die Funktion definiert ist.
    • Symmetrie: Gerade oder ungerade Symmetrie der Funktion.
    • Grenzwerte: Verhalten der Funktion gegen \pm \infty oder an den Randpunkten des Definitionsbereichs.
    • Nullstellen: Punkte, an denen f(x) = 0.
    • Extrema: Lokale und globale Maxima und Minima.
    • Wendepunkte: Punkte, an denen sich die Krümmung ändert.
    • Krümmungsverhalten: Konvexität und Konkavität der Funktion.
  • Anwendungen: Anwendungen in Alltag, Naturwissenschaft und Technik, z.B. Optimierungsprobleme, physikalische Modelle.

Konkrete Beispiele:

  • Kurvendiskussion von f(x) = x^3 - 3x^2 + 2:
    • Definitionsbereich: \mathbb{R}
    • Symmetrie: Keine
    • Grenzwerte: \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty
    • Nullstellen: Setze f(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x^2 - 2x - 2) = 0 \Rightarrow x = 1, x = 1 \pm \sqrt{3}
    • Extrema: Lokales Maximum bei x = 0, Lokales Minimum bei x = 2
    • Wendepunkte: Sattelpunkt bei x = 1
    • Krümmungsverhalten: Wechsel von konkav nach konvex bei x = 1
  • Anwendung: Bestimmen des optimalen Produktionsniveaus zur Maximierung des Gewinns bei gegebenen Kosten- und Erlösfunktionen.

Übungsaufgaben:

  1. Kurvendiskussion:
    • Führe eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 durch.
    • Analysiere die Funktion f(x) = \ln(x) hinsichtlich ihrer Eigenschaften und Extremstellen.
  2. Anwendung auf Optimierungsprobleme:
    • Ein Unternehmen produziert ein Produkt mit den Kosten K(x) = 100 + 20x und dem Erlös E(x) = 50x - x^2. Bestimme den Produktionsumfang x, der den Gewinn maximiert.
  3. Grafische Interpretation:
    • Skizziere den Graphen der Funktion f(x) = e^x - x^2 und identifiziere alle Extremstellen und Wendepunkte.
  4. Python/SymPy:
    • Verwende SymPy, um eine vollständige Kurvendiskussion für f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 durchzuführen. 
      import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 12*x - 8
f_prime = sp.diff(f, x)
f_double_prime = sp.diff(f_prime, x)
critical_points = sp.solve(f_prime, x)
inflection_points = sp.solve(f_double_prime, x)

for cp in critical_points:
    concavity = f_double_prime.subs(x, cp)
    if concavity > 0:
        print(f"x = {cp}: Lokales Minimum")
    elif concavity < 0:
        print(f"x = {cp}: Lokales Maximum")
    else:
        print(f"x = {cp}: Sattelpunkt oder nicht klassifiziert")

for ip in inflection_points:
    print(f"Wendepunkt bei x = {ip}")
    • Implementiere ein Python-Skript, das automatisch den Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte und das Krümmungsverhalten einer gegebenen Funktion analysiert.
  5. Praktische Anwendungen:
    • Formuliere ein reales Problem (z.B. in Physik oder Wirtschaft) als mathematische Funktion und führe eine Kurvendiskussion durch, um wichtige Eigenschaften und optimale Punkte zu bestimmen.

Verständnis-Kriterien:

  • Du kannst eine vollständige Kurvendiskussion einer Funktion durchführen, inklusive aller relevanten Eigenschaften.
  • Du verstehst, wie man die unterschiedlichen Aspekte einer Funktion (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Krümmung) identifiziert und interpretiert.
  • Du kannst Kurvendiskussionen auf praktische Anwendungen übertragen und daraus relevante Schlüsse ziehen.
  • Du kannst diese Konzepte sowohl manuell als auch mithilfe von Python/SymPy anwenden und interpretieren.

Allgemeine Empfehlungen für den Lernprozess

  1. Zeitmanagement:

    • Plane täglich feste Lernzeiten ein (z.B. 1-2 Stunden pro Tag).
    • Teile die Wochenziele in tägliche Unterziele auf, um den Fortschritt zu überwachen.

  2. Theorie und Praxis kombinieren:

    • Verstehe die theoretischen Grundlagen, bevor du zu den Übungen übergehst.
    • Nutze Computer-Algebra-Systeme wie Python/Numpy und SymPy zur Unterstützung und Vertiefung.

  3. Übungen und Wiederholung:

    • Bearbeite regelmäßig Übungsaufgaben zu jedem Thema.
    • Wiederhole vergangene Themen kurz, um das Wissen zu festigen.

  4. Lernressourcen:

    • Nutze Lehrbücher, Online-Kurse und Video-Tutorials zur Vertiefung.
    • Arbeite mit Lernpartnern oder in Gruppen, um schwierige Konzepte zu diskutieren.

  5. Selbstüberprüfung:

    • Teste dein Verständnis mit Selbsttests und Übungsprüfungen.
    • Stelle sicher, dass du die Verständnis-Kriterien für jedes Thema erfüllst, bevor du weitergehst.

  6. Fragestellungen und Anwendung:

    • Suche nach realen Anwendungsfällen für die gelernten Konzepte.
    • Formuliere eigene Beispiele und Probleme, um die Anwendung zu üben.

Wann gilt ein Thema als verstanden?

  • Theoretisches Verständnis: Du kannst alle relevanten Definitionen und Theoreme korrekt wiedergeben und erklären.
  • Anwendungsfähigkeit: Du kannst verschiedene Typen von Aufgaben und Problemen zu dem Thema selbstständig und fehlerfrei lösen.
  • Verbindung zu anderen Themen: Du verstehst, wie das Thema mit anderen mathematischen Bereichen verknüpft ist und kannst diese Verbindungen nutzen.
  • Selbstsicherheit: Du fühlst dich sicher im Umgang mit den Konzepten und kannst sie auch unter Prüfungsbedingungen anwenden.

Durch die konsequente Befolgung dieses detaillierten Lernplans und die aktive Auseinandersetzung mit den Themen wirst du die mathematischen Grundlagen effizient und nachhaltig meistern. Jede Woche baut auf den vorherigen auf, sodass du ein tiefes und vernetztes Verständnis entwickelst.

Viel Erfolg beim Lernen!