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## Mengen
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## Abbildungen
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### Injektiv
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- Ein y hat höchstens ein x
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- nicht injektiv, sind funktionen die lokale Extrema haben
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### Surjektiv
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Jedes Element der Zielmenge wird getroffen.
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- Jedes y hat mindestens ein x
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- Globales verhalten muss von -unendlich nach + unendlich, oder umgekehrt sein.
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- Also jedes Y muss belegt sein
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$$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{\textit{\textcolor{red}{Nullstellen des Nenners}}\} $$ $$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2,2\} $$
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### Abhängig / Unabhängig
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1. **Unabhängige Variable**: Die Variable, die du frei wählen kannst.
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2. **Abhängige Variable**: Die Variable, die von der unabhängigen Variable abhängt.
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Beispiel mit Mengen:
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- $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \leq 5\} = \{1,2,3,4,5\}$ → **Unabhängige Variable**
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- $B = \{y \mid y = x^2, x \in A\} = \{1,4,9,16,25\}$ → **Abhängige Variable**
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- Hier ist $x$ die **unabhängige Variable**, weil du sie frei aus $A$ wählen kannst. $y$ ist die **abhängige Variable**, weil ihr Wert durch $x$ bestimmt wird $(y = x^2)$.
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Kurz:
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- $x$ unabhängig
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- $y$ abhängig von $x$
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### Umkehrabbildung
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### Folgen und Reihen
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>Reihe = summe aus folge ( Liste )
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### Grenzwert berechnen
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### Funktionen
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### Steigungswinkel
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## Ableitung
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| **$f(x)$** | **$f'(x)$** | **$F(x)$** |
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| ------------------- | ---------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------- |
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| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
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| $c \cdot f(x)$ | $c \cdot f'(x)$ | $c \cdot \int f(x)\,dx + C$ |
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| $f(x) \cdot g(x)$ | $f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ | $\int f(x)g(x)\,dx + C$ |
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| $\frac{f(x)}{g(x)}$ | $\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$ | $\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx + C$ |
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| $f(g(x))$ | $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ | $\int f(g(x))\,dx + C$ |
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| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x \ln(x) - x + C$ |
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| $\ln(a \cdot x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x \ln(a x) - x + C$ |
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| $\ln(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | $x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx + C$ |
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| $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \cdot \ln(a)}$ | $\frac{x \ln(x) - x}{\ln(a)} + C$ |
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| $\log_b(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x) \cdot \ln(b)}$ | $\frac{x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx}{\ln(b)} + C$ |
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| $a^x$ | $a^x \cdot \ln(a)$ | $\frac{a^{x}}{\ln(a)} + C$ |
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| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\frac{2}{3} x^{3/2} + C$ |
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| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | $-\cos(x) + C$ |
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| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | $\sin(x) + C$ |
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| $\tan(x)$ | $\frac{1}{\cos^2(x)}$ | $-\ln ( \| \cos(x) \|) + C$ |
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| $\sinh(x)$ | $\cosh(x)$ | $\cosh(x) + C$ |
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| $\cosh(x)$ | $\sinh(x)$ | $\sinh(x) + C$ |
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| $\tanh(x)$ | $\frac{1}{\cosh^2(x)}$ | $\ln(\cosh(x)) + C$ |
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### Logarithmen
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### Kritische Punkte
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### Geometrische Krümmung
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## Bogenmaß - Gradmaß
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### Nautische Meile
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1 nautische Meile (NM) = 1,852 Kilometer (km) = 1/60 eines Breitengrads
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### Gauß Verfahren
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- **Freier Parameter:** Tritt auf, wenn ein LGS unendlich viele Lösungen hat. Variablen, die beliebig gewählt werden können.
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- **Verträglichkeit:** Ein LGS ist verträglich, wenn es mindestens eine Lösung gibt. Unverträglich, wenn ein Widerspruch wie 0=50 = 5 auftritt.
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### Sinus - Cosinus - Tangens
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### Vektoren
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# Stochastik
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# Python
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