schuetoliver/CDS402-Mathematics-II
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251
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@ -0,0 +1,251 @@
# Duden der wichtigsten Begriffe (mit Prüf-/Berechnungsmethoden)
## Analysis & Integration
- **Integral:**
Ein Integral ist die orientierte Fläche unter einer Funktion und berechnet sich durch den Hauptsatz:
$$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$
mit $F' = f$.
- **Bestimmtes Integral:**
Integral mit Grenzen $a,b$, Ergebnis ist eine Zahl; geprüft durch Einsetzen in die Stammfunktion oder numerisch (z.B. Trapezformel).
- **Unbestimmtes Integral / Stammfunktion:**
Menge aller Funktionen $F$ mit
$$ F'(x) = f(x) $$
Nachweis durch Ableiten von $F$.
- **Lineare Substitution:**
Ersetzt $x$ durch $u = a x + b$ ($a \neq 0$), transformiert das Integral:
$$ \int f(x) \, dx = \frac{1}{a} \int f\left(\frac{u - b}{a}\right) du $$
Beweis durch Kettenregel.
- **Substitution (allgemein):**
Für $x = g(u)$ mit $dx = g'(u) du$ gilt:
$$ \int f(x) dx = \int f(g(u)) g'(u) du $$
Nachweis durch Kettenregel und Umkehrfunktion.
- **Partielle Integration:**
$$ \int u \, dv = u v - \int v \, du $$
Herleitung aus Produktregel: $(u v)' = u' v + u v'$.
- **Uneigentliches Integral:**
Grenzwert
$$ \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx $$
Existenz wird mit Konvergenztests geprüft.
- **Bogenlänge:**
$$ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $$
Herleitung über Grenzwert von Polygonzügen.
- **Mantelfläche Rotationskörper:**
$$ A = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $$
- **Volumen Rotationskörper:**
$$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx $$
- **Flächeninhalt zwischen Funktion und Achsen:**
$$ \text{Fläche} = \int_a^b |f(x)| dx $$
- **Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen:**
$$ \int_a^b |f(x) - g(x)| dx $$
mit $a,b$ als Schnittpunkte, bestimmt durch $f(x) = g(x)$.
- **Trapezformel (Numerische Integration):**
$$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{b - a}{2} (f(a) + f(b)) $$
- **Mehrfachintegral:**
Iteriertes Integral z.B. in 2D:
$$ \iint_D f(x,y) dA = \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) dx dy $$
Reihenfolge vertauschbar nach Fubini.
## Koordinatensysteme
- **Polarkoordinaten:**
$$ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi $$
Jacobi-Determinante für Integration: $r$.
- **Zylinderkoordinaten:**
$$ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad z = z $$
Jacobi-Determinante: $r$.
## Lineare Algebra – Matrizen
- **Matrix:**
Rechteckige Anordnung von Zahlen, beschreibt lineare Abbildung.
- **Symmetrische Matrix:**
$$ A^T = A $$
Eigenschaften: reelle Eigenwerte, orthogonale Eigenvektoren.
- **Schiefsymmetrische Matrix:**
$$ A^T = -A $$
Diagonaleinträge sind $0$.
- **Einheitsmatrix $I$:**
$$ I_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases} $$
Neutrales Element bei Multiplikation.
- **Inverse Matrix:**
$$ A^{-1} A = A A^{-1} = I $$
Existenz wenn $\det A \neq 0$, berechnet mit Gauß-Jordan.
- **Transposition:**
$$ (A^T)_{ij} = A_{ji} $$
- **Orthogonale Matrix:**
$$ A^T A = I $$
Spalten bilden orthonormale Basis.
- **Drehmatrix (2D):**
$$ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$
Potenzen durch Addition der Winkel.
- **Spiegelmatrix (2D):**
Beispiel Spiegelung an x-Achse:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
- **Regulär / invertierbar:**
$$ \det A \neq 0 $$
- **Spur:**
$$ \operatorname{tr} A = \sum_i A_{ii} $$
Summe der Eigenwerte.
- **Determinante:**
Skalar, gibt Volumensskalierung an; berechenbar mit Sarrus, Laplace oder Gauß.
- **Rang:**
Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten; via Gauß.
- **Lineare Abbildung:**
Erfüllt
$$ f(u+v) = f(u) + f(v), \quad f(\alpha v) = \alpha f(v) $$
- **Bild (Image):**
$$ \operatorname{im} A = \{Ax \mid x \in \mathbb{R}^n \} $$
- **Kern (Nullraum):**
$$ \ker A = \{ x \mid Ax = 0 \} $$
- **Charakteristisches Polynom:**
$$ p_A(\lambda) = \det (A - \lambda I) $$
- **Eigenwert/-vektor:**
$$ A v = \lambda v, \quad v \neq 0 $$
- **Algebraische vs. geometrische Vielfachheit:**
Algebraisch = Vielfachheit Nullstelle $p_A$; geometrisch = Dimension Eigenraum.
- **Diagonalisierbarkeit:**
Möglich wenn Summe geometrischer Vielfachheiten = Dimension.
## Vektor- & Skalarfelder
- **Skalarfeld:**
Funktion $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$.
- **Vektorfeld:**
Funktion $v : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$.
- **Gradient:**
$$ \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix} $$
Richtungsvektor des größten Anstiegs.
- **Totales Differential:**
$$ df = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i $$
- **Partielle Ableitung:**
Ableitung nach einer Variablen, andere konstant.
- **Tangentialebene:**
$$ z = f(a,b) + \nabla f(a,b) \cdot \begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} $$
- **Richtungsableitung:**
$$ D_v f = \nabla f \cdot \hat{v} $$
mit normiertem Richtungsvektor $\hat{v}$.
- **Hesse-Matrix:**
$$ H_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{pmatrix} $$
- **Lokales Extremum:**
$\nabla f = 0$ und $H_f$ positiv (Minimum) oder negativ definit (Maximum).
- **Sattelpunkt:**
$\nabla f = 0$ und $H_f$ indefinit.
- **Lagrange-Multiplikator:**
$$ \nabla f = \lambda \nabla g $$
für Extrema mit Nebenbedingung $g=0$.
- **Kurve / Spur:**
Bild einer Parametrisierung $r(t)$.
- **Tangentenvektor:**
$$ \dot{r}(t) $$
- **Bogenlänge:**
$$ L = \int_a^b |\dot{r}(t)| dt $$
- **Linienintegral (skalar):**
$$ \int_\gamma f(\mathbf{r}) ds $$
- **Divergenz:**
$$ \nabla \cdot v = \sum_i \frac{\partial v_i}{\partial x_i} $$
- **Rotation (Curl):**
$$ \nabla \times v = \text{Vektor aus partiellen Ableitungen} $$
- **Laplace-Operator:**
$$ \Delta f = \nabla \cdot \nabla f = \sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} $$
- **Konservatives Feld:**
$$ \nabla \times v = 0 \Rightarrow \exists \Phi : v = \nabla \Phi $$
## Komplexe Zahlen
- **Komplexe Zahl:**
$$ z = a + bi, \quad a,b \in \mathbb{R} $$
- **Real-/Imaginärteil:**
$$ \operatorname{Re}(z) = a, \quad \operatorname{Im}(z) = b $$
- **Betrag:**
$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$
- **Komplex Konjugiert:**
$$ \bar{z} = a - bi $$
mit $$ z \bar{z} = |z|^2 $$
- **Trigonometrische Form:**
$$ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) $$
- **Exponentialform:**
$$ z = r e^{i \varphi} $$
mit Euler: $$ e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi $$
- **Arg-Funktion:**
$$ \varphi = \arg z = \arctan2(b,a) $$
- **Potenzgleichung:**
Lösungen von $$ z^n = c $$ sind
$$ z_k = |c|^{1/n} e^{i \frac{\arg c + 2 \pi k}{n}}, \quad k=0, \dots, n-1 $$
## Vektorräume
- **Vektorraum:**
Menge $V$ mit Addition und Skalarmultiplikation, erfüllt Axiome (Assoziativität, Distributivität etc.).
- **Linearkombination:**
$$ \sum_i \alpha_i v_i $$
- **Lineare Unabhängigkeit:**
$$ \sum_i \alpha_i v_i = 0 \Rightarrow \alpha_i = 0 \quad \forall i $$
- **Basis:**
Lineare unabhängige Erzeugendmenge.
- **Dimension:**
Anzahl Elemente der Basis.
---

218
formulas/Schemas.md
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@ -1,6 +1,12 @@
# WIP Konzept - Uneigentliches Integral # Uneigentliches Integral
1. Grenzwert bilden. Basically $R$ anstatt $\infty$ schreiben.
2. Integral in Teile, bis zu den Polstellen. (Falls vorhanden.)
3. Ganz normal integrieren.
4. Grenzen einsetzen (ja, auch $\infty$). Wenn es abhaut nach $\infty$ , dann divergiert es, und ist nicht lösbar. Oszilation ist auch nicht lösbar, z.B. $\operatorname{sin(x)}$ von $0$ bis $\infty$. Hat nämlich keinen Grenzwert.
# WIP Konzept - Komplexe Zahlen # WIP Konzept - Komplexe Zahlen
# 10. Diagonalisierung und Transformationsmatrix # 10. Diagonalisierung und Transformationsmatrix
# 9. Schwerpunkt # 9. Schwerpunkt
1. **Gebiet $\mathcal A$ festlegen** 1. **Gebiet $\mathcal A$ festlegen**
@ -221,8 +227,13 @@ $$
$$\boxed{A^{15}= \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}$$ $$\boxed{A^{15}= \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}$$
# WIP 7. c Vertauschen Integrationsreihenfolge # 7. c Vertauschen Integrationsreihenfolge
# WIP 7. b) Matrix Potenz $$\int_{x=a}^{b} \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx \Longrightarrow \int_{y=g_1(a)}^{g_2(b)} \int_{x=g^{-1}_2(y)}^{g^{-1}_1(y)}f(x,y)\,dy\,dx$$
1. Aussen grenzen in die Funktionen einsetzen z.B. $g_2(b)$.
2. Umkehrfunktion der inneren Grenzen bilden. z.B. $x^2 \rightarrow \sqrt y$
3. Innen unten und oben tauschen. (Nach dem Umkehrfunktion bilden.)
4. dx, dy vertauschen und x=, y= bei den grenzen aufpassen.
# 7. b) Matrix Potenz
Diagonalmatrix oder Drehmatrix. Diagonalmatrix oder Drehmatrix.
# 7. a) Komplexe Zahl Polarform gleichung # 7. a) Komplexe Zahl Polarform gleichung
@ -250,10 +261,206 @@ $$
# Vektorfelder # Vektorfelder
Alle Felder/Funktionen seien hinreichend glatt ($C^1$ bzw.\ $C^2$) und auf $\mathbb R^3$ mit kartesischen Koordinaten definiert.
| Symbol | Name / Bedeutung | Formel | Rechen-/Beweis-Schritte |
| -------------------------- | ---------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | --------------------------------------------------------------------------------- |
| $\nabla f$ | **Gradient** eines Skalarfeldes $f$ | $\displaystyle \nabla f=\bigl(\partial_x f,\;\partial_y f,\;\partial_z f\bigr)$ | 1. Partiell nach $x,y,z$ ableiten.<br>2. Ergebnisse als Vektor schreiben. |
| $\nabla\!\cdot\!\mathbf F$ | **Divergenz** eines Vektorfeldes $\mathbf F=(F_x,F_y,F_z)$ | $\displaystyle \nabla\!\cdot\!\mathbf F=\partial_xF_x+\partial_yF_y+\partial_zF_z$ | 1. Jede Komponente nach zugehöriger Koordinate ableiten.<br>2. Summieren. |
| $\nabla\times\mathbf F$ | **Rotation / Curl** | $$\nabla\times\mathbf F=\begin{pmatrix}\partial_yF_z-\partial_zF_y\\[4pt]\partial_zF_x-\partial_xF_z\\[4pt]\partial_xF_y-\partial_yF_x\end{pmatrix}$$ | 1. Determinanten-/Kreuzproduktformel anwenden.<br>2. Drei Komponenten ausrechnen. |
| $\Delta f$ | **Laplace-Operator** (Skalarfeld) | $$\Delta f=\nabla\!\cdot(\nabla f)=\partial_{xx}f+\partial_{yy}f+\partial_{zz}f$$ | 1. Zweimal partiell nach jeder Koordinate ableiten.<br>2. Summieren. |
| quellenfrei | $\nabla\!\cdot\!\mathbf F=0$ | 1. Divergenz berechnen. <br>2. Null? → quellenfrei. | |
| wirbelfrei | $\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0$ | 1. Rotation berechnen. <br>2. Nullvektor? → wirbelfrei. | |
| konservativ | siehe unten&nbsp;🔽 | **Praktisches Kriterium:** In einem *einfach zusammenhängenden* Gebiet gilt $$\mathbf F\ \text{wirbelfrei}\;\Longleftrightarrow\;\mathbf F\ \text{konservativ}.$$ | |
---
### Konservative Felder & geschlossene Weg-Integrale
* **Definition**
Ein Vektorfeld $\mathbf F$ heißt **konservativ**, wenn ein Skalarpotential $\varphi$ existiert, so dass
$$\boxed{\ \mathbf F=\nabla\varphi\ }$$
* **Äquivalente Charakterisierung**
Für jedes stückweise glatte, *geschlossene* Kurvenstück $\gamma$ gilt
$$\boxed{\ \oint_\gamma \mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r = 0\ }$$
Dies folgt unmittelbar aus dem Fundamentalsatz der Vektoranalysis:
$$\int_\gamma \nabla\varphi\cdot \mathrm d\mathbf r = \varphi\bigl(\text{Endpunkt}\bigr)-\varphi\bigl(\text{Startpunkt}\bigr).$$
Bei einem geschlossenen Pfad sind Start- und Endpunkt identisch, also verschwindet das Integral.
* **Rezept zur Prüfung auf Konservativität**
1. **Rotation berechnen:** $\nabla\times\mathbf F$.
2. Falls $\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0$ *und* das Definitionsgebiet besitzt keine „Löcher“ (einfach zusammenhängend), ist $\mathbf F$ konservativ.
3. **Potential konstruieren** (falls benötigt):
- Gleichungen $\partial_x\varphi=F_x$, $\partial_y\varphi=F_y$, $\partial_z\varphi=F_z$ sukzessive integrieren.
- Beim Integrieren auftretende „Integrationsfunktionen“ durch Abgleich mit den anderen Komponenten bestimmen.
- Beliebige Konstante $C$ hinzufügen.
* **Merksatz**
$$\nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf 0 \quad\text{und}\quad \nabla\!\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0$$
(Rotor des Gradienten ist stets null, Divergenz des Rotors ebenso.)
# Matrizen Eigenschaften # Komplexe Zahlen
*(Notation: $z=x+iy,\;x,y\in\mathbb R,\;i^{2}=-1$; $\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$.)*
---
## 1 Grundbegriffe
| Symbol / Begriff | Formel / Bedeutung |
|------------------|--------------------|
| **Algebraische Form** | $z = x + iy$ |
| **Reeller / Imaginärer Teil** | $\operatorname{Re}(z)=x,\quad \operatorname{Im}(z)=y$ |
| **Konjugiertes** | $z^{*}=x-iy$ |
| **Betrag (Modul)** | $\lvert z\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ |
| **Argument** (Hauptwert) | $\arg(z)\in(-\pi,\pi],\;$ $\tan\arg(z)=\dfrac{y}{x}$ |
---
## 2 Polar-/Trigonometrische-/Exponentialform
$$
z \;=\; r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)
\;=\; r\,\operatorname{cis}\theta
\;=\; r\,e^{i\theta},
\qquad
r=\lvert z\rvert,\;
\theta=\arg(z)+2k\pi,\;k\in\mathbb Z
$$
### In Polarform umrechnen
1. **Betrag $r$ bestimmen**
$$ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$
2. **Winkel $\varphi$ ermitteln**
$$ \varphi = \operatorname{atan2}(y,\,x) $$
3. **In Polar-/Eulerform ausdrücken**
$$ z = r\bigl(\cos\varphi + i\sin\varphi\bigr) = re^{i\varphi} $$
---
## 3 Rechenregeln
| Operation | Algebraische Form | Polar-/Exponentialform | Rechenweg (polar) |
| ------------------- | ------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| **Addition** | $(x_1+x_2)+(x_2+iy_2)$<br>$=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$ | — | (keine einfache Polarregel) |
| **Multiplikation** | ${(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}$ Binomische Formel | $z_1 z_2 = r_1 r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ | $$\begin{aligned} z_1 z_2 &= r_1e^{i\theta_1}\,r_2e^{i\theta_2} \\ &= r_1r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)} \\ &= r_1r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)\end{aligned}$$ |
| **Division** | $\frac{(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}$ Muss erweitert werden. | $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ | $$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} \\ &= \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \\ &= \frac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)\end{aligned}$$ |
| **Konjugation** | $(x+iy)^{*}=x-iy$ | $(re^{i\theta})^{*}=re^{-i\theta}$ | $$\begin{aligned}(z_1z_2)^{*} &= (r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)})^{*} \\ &= r_1r_2e^{-i(\theta_1+\theta_2)} \\ &= z_1^{*}\,z_2^{*}\end{aligned}$$ |
| **Betrags-Quadrat** | $\lvert z\rvert^{2}=z\,z^{*}$ | $\lvert re^{i\theta}\rvert = r$ | — |
---
## 4 Potenzen und Wurzeln (De Moivre)
### Potenzen
$$
z^{\,n}=r^{\,n}\,e^{in\theta}, \qquad n\in\mathbb Z
$$
### $n$-te Wurzeln
$$
\sqrt[n]{z}=r^{1/n}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}},\qquad k=0,\dots,n-1
$$
---
## 5 Wichtige Identitäten
| Name | Formel |
|------|--------|
| **Euler** | $e^{i\theta}= \cos\theta+i\sin\theta$ |
| **De Moivre** | $(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}= \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ |
| **Dreiecksungleichung** | $\lvert z_1+z_2\rvert\le \lvert z_1\rvert+\lvert z_2\rvert$ |
| **Betragsprodukt** | $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\,\lvert z_2\rvert$ |
| **Argumente** | $\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}$ |
---
## 6 Komplexe Exponential- & Logarithmusfunktion
$$
e^{x+iy}=e^{x}\bigl(\cos y+i\sin y\bigr)
$$
$$
\ln z = \ln\lvert z\rvert + i\bigl(\arg z + 2k\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb Z
$$
---
## 7 Komplexe trigonometrische & hyperbolische Funktionen
$$
\begin{aligned}
\sin z &=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, &
\cos z &=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, &
\tan z &=\frac{\sin z}{\cos z},\\[4pt]
\sinh z &=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, &
\cosh z &=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}, &
\tanh z &=\frac{\sinh z}{\cosh z}.
\end{aligned}
$$
---
## 8 Analytische Bedingung (Cauchy-Riemann)
$$
\boxed{\;
\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y},
\qquad
\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}
\;}
$$
für $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ differenzierbar im Punkt $(x,y)$.
---
## 9 Geometrische Interpretation
* **Multiplikation** mit $r e^{i\theta}$: Skalierung um $r$ und Drehung um $\theta$.
* **Konjugation**: Spiegelung an der reellen Achse.
* **Betrag**: Abstand des Punktes $(x,y)$ vom Ursprung.
---
## 10 Nützliche Kurzformeln
* **Kartesisch → Polar**
$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad
\theta=\operatorname{atan2}(y,\,x)$$
* **Einheitskreis**
$$\lvert z\rvert=1 \;\Longleftrightarrow\; z=e^{i\theta}.$$
# Matrizen
## Bild (*img*)
>Menge aller **Möglichen** Vektoren die aus $A\cdot \chi$ entstehen.
$dim(img(A))$ ist welchen Raum die Menge aufspannt. Sind alle auf einer Linie? -> 1D Sind sie alle auf einer Ebene? -> 2D etc.
## Kern (*ker*)
>Menge aller Vektoren die mit A multipliziert, den Nullvektor ergeben, also *genullt* werden.
>$$A\cdot \chi_i = 0_V$$
## Dim
Zum schnellen beweisen, von z.B. multiple Choice:
$$\operatorname{dim}(\operatorname{img}A) + \operatorname{dim}(\operatorname{ker}A) = \text{Anzahl Spalten von A}$$
#### Dimension vom Bild
$$\operatorname{dim}(\operatorname{img}A)= \text{Anzahl Pivot Elemente von Gauss}$$
z.B. hier ist $dim=2$
$$\left\lvert\,\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\,\right\rvert$$
#### Dimension vom Kern
$$\operatorname{dim}(\operatorname{ker}A) = \text{Anzahl freier Parameter für den Nullraum}$$
1. $A \cdot \chi$ Aufschreiben.
2. Gauss Matrix machen mit rechts = $0$. (Kann auch vom Bild recycled werden)
3. System lösen. Anzahl Freier Parameter ist dann die Dimension.
--- ---
## Singular vs. Regulär ## Singular vs. Regulär
@ -563,3 +770,6 @@ $$\int{\frac{1}{u'}u}\, du$$
> 1/Ableitung von u, muss sich mit dem Variablen Faktor vorne kürzen. Also es darf bei $du$ kein $x$ mehr übrig bleiben. > 1/Ableitung von u, muss sich mit dem Variablen Faktor vorne kürzen. Also es darf bei $du$ kein $x$ mehr übrig bleiben.
> Beispiel: > Beispiel:
> $$\int{\frac{1}{x}}2x\cdot u \, \, du \longrightarrow \int{2u} \,\,du$$ > $$\int{\frac{1}{x}}2x\cdot u \, \, du \longrightarrow \int{2u} \,\,du$$

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notes/Prompts.md
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@ -4,3 +4,4 @@
2. Bitte einmal das Schema allgemein Formuliert. Also für aufgaben in dem Format. 2. Bitte einmal das Schema allgemein Formuliert. Also für aufgaben in dem Format.
3. Kannst du mir den Hintergrund erklären, was wir hier berechnen und wie man sich das ganze Vorstellen kann? 3. Kannst du mir den Hintergrund erklären, was wir hier berechnen und wie man sich das ganze Vorstellen kann?
4. Ok, das Allgemeine Schema jetzt bitte als Markdown code, mit dollar als inline latex delimiter anstatt \( \) und zwei dollar für multiline/block anstatt \[ \] (Katex) 4. Ok, das Allgemeine Schema jetzt bitte als Markdown code, mit dollar als inline latex delimiter anstatt \( \) und zwei dollar für multiline/block anstatt \[ \] (Katex)