schuetoliver/CDS402-Mathematics-II

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2025-06-30 08:43:04 +02:00

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Uneigentliches Integral

Grenzwert bilden. Basically R anstatt \infty schreiben.
Integral in Teile, bis zu den Polstellen. (Falls vorhanden.)
Ganz normal integrieren.
Grenzen einsetzen (ja, auch \infty). Wenn es abhaut nach \infty , dann divergiert es, und ist nicht lösbar. Oszilation ist auch nicht lösbar, z.B. \operatorname{sin(x)} von 0 bis \infty. Hat nämlich keinen Grenzwert.

WIP Konzept - Komplexe Zahlen

10. Diagonalisierung und Transformationsmatrix

9. Schwerpunkt

Gebiet \mathcal A festlegen
Wähle Integrationsgrenzen, z. B.


  x\in[a,b],\quad y\in\bigl[y_{\mathrm{unten}}(x),\,y_{\mathrm{oben}}(x)\bigr]

oder umgekehrt


  y\in[c,d],\quad x\in\bigl[x_{\mathrm{links}}(y),\,x_{\mathrm{rechts}}(y)\bigr].

Dichtefunktion \rho(x,y) angeben
- Allgemein beliebig.
- Regelfall homogen: \rho(x,y)\equiv 1.

Gesamtmasse M berechnen


M \;=\;\iint_{\mathcal A}\rho(x,y)\,dA
  \;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
           \rho(x,y)\,dy\,dx.

Erstes Moment zur (y)-Achse (x_S)


M_y
\;=\;\iint_{\mathcal A} x\,\rho(x,y)\,dA
\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
         x\,\rho(x,y)\,dy\,dx.

Erstes Moment zur (x)-Achse (y_S)


M_x
\;=\;\iint_{\mathcal A} y\,\rho(x,y)\,dA
\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
         y\,\rho(x,y)\,dy\,dx.

Schwerpunktkoordinaten


x_S \;=\;\frac{M_y}{M},
\qquad
y_S \;=\;\frac{M_x}{M}.

Beispiel für `\rho(x,y)\equiv1` und `0\le x\le2a,\;0\le y\le a+x`

Gebiet:
```
  x\in[0,2a],\quad y\in[0,\;a+x].
```

Gesamtmasse:


  M = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x}1\,dy\,dx = 4a^2.

Erste Momente:


  M_y = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x} x\,dy\,dx,
  \quad
  M_x = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x} y\,dy\,dx.

Schwerpunkt:


  x_S = \frac{M_y}{M} = \frac{7}{6}a,
  \quad
  y_S = \frac{M_x}{M} = \frac{13}{12}a.

8. Extrema - Mehrdimensional

Baustein	Was es ist / tut	Warum es wichtig ist
1. Funktion `f(x,y)`	Die „Höhenlandschaft“, die untersucht wird.	Ohne Funktion keine Analyse.
2. Gradient `\nabla f=(f_x,f_y)`	Erste partielle Ableitungen → zeigt stärksten Anstieg.	Setze `\nabla f = \mathbf 0`, um kritische Punkte zu finden.
3. Gleichungssystem `\;f_x=0,\;f_y=0\;`	Zwei Gleichungen.	Liefert die Koordinaten aller kritischen Punkte.
4. Hesse-Matrix `H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}`	Matrix der zweiten Ableitungen.	Enthält Krümmungs-Info der Fläche.
5. Determinante `D=\det H=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}`	Eine Zahl pro Punkt.	Entscheidet schnell über Punktart: • `D>0` ⇒ Extremum • `D<0` ⇒ Sattel • `D=0` ⇒ Test unentschieden
6. Vorzeichen von `f_{xx}`	Nur wenn `D>0`.	Unterscheidet Minimum (`f_{xx}>0`) vs. Maximum (`f_{xx}<0`).
7. Funktionswert `f(x_0,y_0)` (optional)	Höhe des Punktes.	Rein informativ, z. B. tiefstes Minimum.
8. Sonderfälle • Eigenwerte von $H$ • Lagrange-Multiplikatoren	Alternativen/Erweiterungen.	Eigenwerte geben gleiche Entscheidung; Lagrange bei Nebenbedingungen.

Ablauf in Kurzform

Aufschreiben: f(x,y)
Gradient bilden: f_x,\;f_y
Kritische Punkte: Löse f_x=0,\;f_y=0 → \{P_i\}
Hesse-Matrix: f_{xx},f_{xy},f_{yy} in jedem P_i
Klassifikation:
- D<0 ⇒ Sattel
- D>0 & f_{xx}>0 ⇒ Minimum
- D>0 & f_{xx}<0 ⇒ Maximum
- D=0 ⇒ weiterer Test nötig
(Optional) Funktionswerte f(P_i) einsetzen, um Höhen/Tiefen zu vergleichen.

7. e) Skalares Kurvenintegral

Allgemeines Schema zur Berechnung eines skalaren Kurvenintegrals

Parameterdarstellung
\gamma(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr),\quad t\in[a,b]
Einsetzen in die skalare Feldfunktion
f\bigl(\gamma(t)\bigr) = f\bigl(x(t),\,y(t)\bigr)
Berechnung des Bogenelements
- Ableitung: \gamma'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr)
- Norm (Geschwindigkeit): \|\gamma'(t)\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}

Formulierung des Kurvenintegrals


\int_{K} f\,\mathrm{d}s
= \int_{a}^{b} f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\|\gamma'(t)\|\,\mathrm{d}t

Auswertung des Integrals
- Ggf. Substitution wählen, z. B. u = g(t)
- \mathrm{d}u bestimmen und t\,\mathrm{d}t umschreiben
- Grenzen anpassen: t=a\mapsto u=u(a),\quad t=b\mapsto u=u(b)
- Stammfunktion finden und einsetzen
- Ergebnis vereinfachen
Interpretation
- Physikalisch: Gesamtmasse, Arbeit, Energie, …
- Mathematisch: Konvergenz prüfen (bei offenen Endpunkten)

Richtungsableitung

Gradient berechnen


\nabla f(x)
=
\begin{pmatrix}
  \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x) \\[6pt]
  \vdots \\[4pt]
  \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{n}}(x)
\end{pmatrix}.

Einheitsvektor bilden
Sei \vec v = (v_{1},\dots,v_{n})^\top\in\mathbb{R}^{n}. Dann


\|\vec v\| = \sqrt{v_{1}^{2} + \dots + v_{n}^{2}},
\qquad
\vec u = \frac{\vec v}{\|\vec v\|}.

Richtungsableitung


D_{\vec v}f(P)
= \lim_{h\to 0}\frac{f\bigl(P + h\,\vec u\bigr) - f(P)}{h}
= \nabla f(P)\,\bullet\,\vec u
= \nabla f(P)\,\bullet\,\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.

Kurzgefasst:


D_{\vec v}f(P)
= \nabla f(P)\,\bullet\,\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.

7. d) Integrationsreihenfolge ändern

Vorher – Typ I	Nachher – Typ II	Was wohin ?
`\int_{x=a}^{b}\;\int_{y=l(x)}^{u(x)} f(x,y)\,dy\,dx`	`\int_{y=l(a)}^{u(b)}\;\int_{x=l^{-1}(y)}^{u^{-1}(y)} f(x,y)\,dx\,dy`	1. äußere Variable wechselt `x\to y` 2. äußere Grenzen = tiefster / höchster $y$-Wert des Gebiets (hier `l(a),u(b)`) 3. innere Grenzen = Umkehrfunktionen der alten Kurven `l,u` (links / rechts)
(Spezialfall `l(x)=0`)

Idiotensicheres Beispiel

Gegeben


\int_{x=a}^{b}\;\int_{y=0}^{x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx

➜ Tauschen


\int_{y=0}^{b^{2}}\;\int_{x=\sqrt{y}}^{b} f(x,y)\,dx\,dy

drag-and-drop-Mapping:
- 0 bleibt 0 (äußere unten)
- x^{2} → Umkehr \sqrt{y} (innere links)
- a,b bleiben Konstanten, landen als innere/rechte Grenze (x=b) und sorgen für $y$-Max =b^{2}

Matrixpotenz `A^{15}` – idiotensicher

Faktor ausrechnen
$$A=\tfrac12\begin{pmatrix}\sqrt3&-1\[2pt]1&\sqrt3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt3}{2}&-\tfrac12\[4pt]\tfrac12&\tfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$$
Erkennen: Rotationsmatrix
Form \bigl(\!\begin{smallmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{smallmatrix}\!\bigr)
⇒ \cos\theta=\sqrt3/2,\ \sin\theta=1/2 \;\Longrightarrow\; \theta=\pi/6 (30°).
Potenzregel für Rotationsmatrizen
A^n=\begin{pmatrix}\cos(n\theta)&-\sin(n\theta)\\\sin(n\theta)&\cos(n\theta)\end{pmatrix}
Hier $n=15$
n\theta=15\cdot\frac{\pi}{6}= \frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}
(Rotation um 450^\circ ≙ 90^\circ).
Kosinus/Sinus auslesen
$$\cos!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\qquad \sin!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.$$
Ergebnis
\boxed{A^{15}= \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}

7. c Vertauschen Integrationsreihenfolge

\int_{x=a}^{b} \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx \Longrightarrow \int_{y=g_1(a)}^{g_2(b)} \int_{x=g^{-1}_2(y)}^{g^{-1}_1(y)}f(x,y)\,dy\,dx

Aussen grenzen in die Funktionen einsetzen z.B. g_2(b).
Umkehrfunktion der inneren Grenzen bilden. z.B. x^2 \rightarrow \sqrt y
Innen unten und oben tauschen. (Nach dem Umkehrfunktion bilden.)
dx, dy vertauschen und x=, y= bei den grenzen aufpassen.

7. b) Matrix Potenz

Diagonalmatrix oder Drehmatrix.

7. a) Komplexe Zahl Polarform gleichung


z^{\,n}=R\,e^{i\Phi},\qquad R>0,\;n\in\mathbb N

Schritt	Was tun?	Formel / Erläuterung
1. Polar-/Exponentialform herstellen	Schreibe die rechte Seite als `R\,e^{i\Phi}` mit Betrag `R` und (Haupt-)Argument `\Phi`. Falls sie in kartesischer Form `a+ib` vorliegt: `R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad \Phi=\operatorname{atan2}(b,a).`
2. n-te-Wurzel-Formel anwenden	Für `z^{n}=R\,e^{i\Phi}` lauten alle Lösungen `z_k=\sqrt[n]{R}\,e^{\,i(\Phi+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.`
3. Winkel berechnen	Definiere `\theta_k=\frac{\Phi+2k\pi}{n}.` Diese `n` Winkel liegen äquidistant auf dem Kreis (Abstand `2\pi/n`).
4. Arithmetische (kartesische) Form	Nutze Euler `e^{i\theta_k}=\cos\theta_k+i\sin\theta_k`: `z_k=\sqrt[n]{R}\,(\cos\theta_k+i\sin\theta_k).`
5. (Optional) Prüfen	Einsetzen zeigt `z_k^{\,n}=R\,e^{i\Phi}.`

Kurzform der Lösungsmengen-Formel


\boxed{\,z_k=\sqrt[n]{R}\,e^{\,i(\Phi+2k\pi)/n},\;k=0,\dots,n-1\,}

Merke

Betrag der Wurzeln: \sqrt[n]{R}.
Winkel: \theta_k=\dfrac{\Phi+2k\pi}{n}.
n Lösungen liegen gleichmäßig verteilt auf einem Kreis mit Radius \sqrt[n]{R}.

Vektorfelder

Alle Felder/Funktionen seien hinreichend glatt (C^1 bzw.\ C^2) und auf \mathbb R^3 mit kartesischen Koordinaten definiert.

Symbol	Name / Bedeutung	Formel	Rechen-/Beweis-Schritte
`\nabla f`	Gradient eines Skalarfeldes `f`	`\displaystyle \nabla f=\bigl(\partial_x f,\;\partial_y f,\;\partial_z f\bigr)`	1. Partiell nach `x,y,z` ableiten. 2. Ergebnisse als Vektor schreiben.
`\nabla\!\cdot\!\mathbf F`	Divergenz eines Vektorfeldes `\mathbf F=(F_x,F_y,F_z)`	`\displaystyle \nabla\!\cdot\!\mathbf F=\partial_xF_x+\partial_yF_y+\partial_zF_z`	1. Jede Komponente nach zugehöriger Koordinate ableiten. 2. Summieren.
`\nabla\times\mathbf F`	Rotation / Curl	`\nabla\times\mathbf F=\begin{pmatrix}\partial_yF_z-\partial_zF_y\\[4pt]\partial_zF_x-\partial_xF_z\\[4pt]\partial_xF_y-\partial_yF_x\end{pmatrix}`	1. Determinanten-/Kreuzproduktformel anwenden. 2. Drei Komponenten ausrechnen.
`\Delta f`	Laplace-Operator (Skalarfeld)	`\Delta f=\nabla\!\cdot(\nabla f)=\partial_{xx}f+\partial_{yy}f+\partial_{zz}f`	1. Zweimal partiell nach jeder Koordinate ableiten. 2. Summieren.
quellenfrei	`\nabla\!\cdot\!\mathbf F=0`	1. Divergenz berechnen. 2. Null? → quellenfrei.
wirbelfrei	`\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0`	1. Rotation berechnen. 2. Nullvektor? → wirbelfrei.
konservativ	siehe unten 🔽	Praktisches Kriterium: In einem einfach zusammenhängenden Gebiet gilt `\mathbf F\ \text{wirbelfrei}\;\Longleftrightarrow\;\mathbf F\ \text{konservativ}.`

Konservative Felder & geschlossene Weg-Integrale

Definition
Ein Vektorfeld \mathbf F heißt konservativ, wenn ein Skalarpotential \varphi existiert, so dass
\boxed{\ \mathbf F=\nabla\varphi\ }
Äquivalente Charakterisierung
Für jedes stückweise glatte, geschlossene Kurvenstück \gamma gilt
\boxed{\ \oint_\gamma \mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r = 0\ }
Dies folgt unmittelbar aus dem Fundamentalsatz der Vektoranalysis:
\int_\gamma \nabla\varphi\cdot \mathrm d\mathbf r = \varphi\bigl(\text{Endpunkt}\bigr)-\varphi\bigl(\text{Startpunkt}\bigr).
Bei einem geschlossenen Pfad sind Start- und Endpunkt identisch, also verschwindet das Integral.
Rezept zur Prüfung auf Konservativität
1. Rotation berechnen: \nabla\times\mathbf F.
2. Falls \nabla\times\mathbf F=\mathbf 0 und das Definitionsgebiet besitzt keine „Löcher“ (einfach zusammenhängend), ist \mathbf F konservativ.
3. Potential konstruieren (falls benötigt):
  - Gleichungen \partial_x\varphi=F_x, \partial_y\varphi=F_y, \partial_z\varphi=F_z sukzessive integrieren.
  - Beim Integrieren auftretende „Integrationsfunktionen“ durch Abgleich mit den anderen Komponenten bestimmen.
  - Beliebige Konstante C hinzufügen.
Merksatz
\nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf 0 \quad\text{und}\quad \nabla\!\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0
(Rotor des Gradienten ist stets null, Divergenz des Rotors ebenso.)

Komplexe Zahlen

(Notation: z=x+iy,\;x,y\in\mathbb R,\;i^{2}=-1; \operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta.)

1 Grundbegriffe

Symbol / Begriff	Formel / Bedeutung
Algebraische Form	`z = x + iy`
Reeller / Imaginärer Teil	`\operatorname{Re}(z)=x,\quad \operatorname{Im}(z)=y`
Konjugiertes	`z^{*}=x-iy`
Betrag (Modul)	`\lvert z\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}`
Argument (Hauptwert)	`\arg(z)\in(-\pi,\pi],\;` `\tan\arg(z)=\dfrac{y}{x}`

2 Polar-/Trigonometrische-/Exponentialform


z \;=\; r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)
\;=\; r\,\operatorname{cis}\theta
\;=\; r\,e^{i\theta},
\qquad
r=\lvert z\rvert,\;
\theta=\arg(z)+2k\pi,\;k\in\mathbb Z

In Polarform umrechnen

Betrag r bestimmen
r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}
Winkel \varphi ermitteln
\varphi = \operatorname{atan2}(y,\,x)
In Polar-/Eulerform ausdrücken
z = r\bigl(\cos\varphi + i\sin\varphi\bigr) = re^{i\varphi}

3 Rechenregeln

Operation	Algebraische Form	Polar-/Exponentialform	Rechenweg (polar)
Addition	$(x_1+x_2)+(x_2+iy_2)$ `=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)`	—	(keine einfache Polarregel)
Multiplikation	`{(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}` Binomische Formel	`z_1 z_2 = r_1 r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}`	`\begin{aligned} z_1 z_2 &= r_1e^{i\theta_1}\,r_2e^{i\theta_2} \\ &= r_1r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)} \\ &= r_1r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)\end{aligned}`
Division	`\frac{(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}` Muss erweitert werden.	`\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)}`	`\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} \\ &= \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \\ &= \frac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)\end{aligned}`
Konjugation	`(x+iy)^{*}=x-iy`	`(re^{i\theta})^{*}=re^{-i\theta}`	`\begin{aligned}(z_1z_2)^{} &= (r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)})^{} \\ &= r_1r_2e^{-i(\theta_1+\theta_2)} \\ &= z_1^{}\,z_2^{}\end{aligned}`
Betrags-Quadrat	`\lvert z\rvert^{2}=z\,z^{*}`	`\lvert re^{i\theta}\rvert = r`	—

4 Potenzen und Wurzeln (De Moivre)

Potenzen


z^{\,n}=r^{\,n}\,e^{in\theta}, \qquad n\in\mathbb Z

$n$-te Wurzeln


\sqrt[n]{z}=r^{1/n}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}},\qquad k=0,\dots,n-1

5 Wichtige Identitäten

Name	Formel
Euler	`e^{i\theta}= \cos\theta+i\sin\theta`
De Moivre	`(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}= \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)`
Dreiecksungleichung	`\lvert z_1+z_2\rvert\le \lvert z_1\rvert+\lvert z_2\rvert`
Betragsprodukt	`\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\,\lvert z_2\rvert`
Argumente	`\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}`

6 Komplexe Exponential- & Logarithmusfunktion


e^{x+iy}=e^{x}\bigl(\cos y+i\sin y\bigr)


\ln z = \ln\lvert z\rvert + i\bigl(\arg z + 2k\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb Z

7 Komplexe trigonometrische & hyperbolische Funktionen


\begin{aligned}
\sin z &=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, &
\cos z &=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, &
\tan z &=\frac{\sin z}{\cos z},\\[4pt]
\sinh z &=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, &
\cosh z &=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}, &
\tanh z &=\frac{\sinh z}{\cosh z}.
\end{aligned}

8 Analytische Bedingung (Cauchy-Riemann)


\boxed{\;
\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y},
\qquad
\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}
\;}

für f(z)=u(x,y)+iv(x,y) differenzierbar im Punkt (x,y).

9 Geometrische Interpretation

Multiplikation mit r e^{i\theta}: Skalierung um r und Drehung um \theta.
Konjugation: Spiegelung an der reellen Achse.
Betrag: Abstand des Punktes (x,y) vom Ursprung.

10 Nützliche Kurzformeln

Kartesisch → Polar
$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,,x)$$
Einheitskreis \lvert z\rvert=1 \;\Longleftrightarrow\; z=e^{i\theta}.

Matrizen

Bild (img)

Menge aller Möglichen Vektoren die aus A\cdot \chi entstehen.

dim(img(A)) ist welchen Raum die Menge aufspannt. Sind alle auf einer Linie? -> 1D Sind sie alle auf einer Ebene? -> 2D etc.

Kern (ker)

Menge aller Vektoren die mit A multipliziert, den Nullvektor ergeben, also genullt werden.
A\cdot \chi_i = 0_V

Dim

Zum schnellen beweisen, von z.B. multiple Choice:

\operatorname{dim}(\operatorname{img}A) + \operatorname{dim}(\operatorname{ker}A) = \text{Anzahl Spalten von A}

Dimension vom Bild

\operatorname{dim}(\operatorname{img}A)= \text{Anzahl Pivot Elemente von Gauss}

z.B. hier ist dim=2

\left\lvert\,\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\,\right\rvert

Dimension vom Kern

\operatorname{dim}(\operatorname{ker}A) = \text{Anzahl freier Parameter für den Nullraum}

A \cdot \chi Aufschreiben.
Gauss Matrix machen mit rechts = 0. (Kann auch vom Bild recycled werden)
System lösen. Anzahl Freier Parameter ist dann die Dimension.

Singular vs. Regulär

Check: Deteminante berechnen

Singular ⇔ \det A=0 → nicht invertierbar.
Regulär ⇔ \det A\neq0 → Inverse A^{-1} existiert.

Diagonalmatrix

Matrix


D=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&-2&0\\0&0&7\end{pmatrix}

Eigenschaften

Besteht typischerweise aus den Eigenwerten einer Matrix entlang der Hauptdiagonalen, wenn man A=PDP^{-1} diagonalisiert.
Kommutiert mit jeder anderen Diagonalmatrix
Leicht zu potenzieren/invertieren:
D^k=\operatorname{diag}(4^k,-2^k,7^k),
D^{-1}=\operatorname{diag}\!\bigl(\tfrac14,-\tfrac12,\tfrac17\bigr)
Orthogonal genau dann, wenn |d_i|=1 (dann DD^\top=I)

Orthogonale Matrix

Matrix


Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}

Eigenschaften

$Q^\top Q=I$, also Q^{-1}=Q^\top
Determinante = ±1, erhält Länge & Winkel

Rotationsmatrix (Ebene)

Matrix


R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

Eigenschaften

Orthogonal mit $\det=1$
Potenzregel: R(\theta)^n=R(n\theta)

Nullmatrix

Matrix


O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

Eigenschaften

Additives Neutrum: A+O=A
Rang = 0, Spur = 0

Einheits-/Identitätsmatrix

Matrix


I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

Eigenschaften

Multiplikatives Neutrum: AI_2=I_2A=A
Eigenwerte alle 1, I_2^\top=I_2^{-1}=I_2

Skalarmatrix

Matrix


2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}

Eigenschaften

Spezialfall Diagonalmatrix, alle Eigenwerte = 2
Orthogonal/unitär ⇔ |2|=1 (hier also nicht orthogonal)

Symmetrische Matrix ( +Transformationsmatrix)

Matrix


S=\begin{pmatrix}2&3&-1\\3&5&0\\-1&0&4\end{pmatrix}

Eigenschaften

S^\top=S
Reelle Eigenwerte, orthogonal diagonalisierbar: S = Q\,D\,Q^\top
Transformationsmatrix Q: Q=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}, wobei v_i die normierten Eigenvektoren von S sind (Spalten von Q).

Schiefsymmetrische Matrix

Matrix


K=\begin{pmatrix}0&-2&1\\2&0&4\\-1&-4&0\end{pmatrix}

Eigenschaften

K^\top=-K, Diagonale = 0
Spur = 0, Eigenwerte rein imaginär oder 0

Projektionsmatrix (idempotent)

Matrix


P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

Eigenschaften

$P^2=P$, projiziert auf $x$-Achse
Eigenwerte 0 oder 1

Involutorische Matrix

Matrix


J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

Eigenschaften

$J^2=I$, also J^{-1}=J
Eigenwerte ±1 (tauscht Koordinatenachsen)

Nilpotente Matrix

Matrix


N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
\quad\text{mit}\quad N^2=O_2

Eigenschaften

Alle Eigenwerte = 0, Spur = 0
N^k=O für k\ge2

Reflexionsmatrix (Householder-Typ)

Matrix (Spiegelung an $x$-Achse)


H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

Eigenschaften

Orthogonal, $H^2=I$, \det=-1
Spiegelt y\to -y

Obere Dreiecksmatrix

Matrix


U=\begin{pmatrix}3&-2&1\\0&5&4\\0&0&-1\end{pmatrix}

Eigenschaften

\det=\prod Diagonal = $3\cdot5\cdot(-1)=-15$
Eigenwerte = Diagonalelemente (hier 3, 5, −1)

Positiv definite Matrix

Matrix


A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}

Eigenschaften

x^\top A x>0 für alle $x\neq0$
Alle Eigenwerte positiv (hier 1 und 3)
Cholesky-Zerlegung existiert: A=LL^\top

Formeln - Ableitung - Integration

Potenz- und Wurzelfunktionen

Funktion `f(x)`	Stammfunktion `F(x)`
`0`	`0`
`k \quad (k \in \mathbb{R})`	`kx`
`x^n`	`F(x)=\begin{cases} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & , \text{if}\quad \,n \neq -1,\\ \ln\lvert x\rvert, & ,\text{if}\quad n = -1. \end{cases}`
`nx^{n-1}`	`x^n`
`x`	`\tfrac12 x^2`
`2x`	`x^2`
`x^2`	`\tfrac13 x^3`
`3x^2`	`x^3`
`\sqrt{x}`	`\tfrac23 x^{\tfrac32}`
`\sqrt[n]{x}`	`\displaystyle \frac{n}{n+1},\bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)^{n+1}\quad(n\neq -1)`
`\frac1{\sqrt{x}}`	`2\sqrt{x}`
`\frac{1}{n,(\sqrt[n]{x^{,n-1}})}`	`\sqrt[n]{x}`
`-\frac{2}{x^3}`	`\frac{1}{x^2}`
`-\frac{1}{x^2}`	`\frac{1}{x}`

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Funktion `f(x)`	Stammfunktion `F(x)`
`\mathrm e^x`	`\mathrm e^x`
`\mathrm e^{kx}`	`\displaystyle \frac{1}{k},\mathrm e^{kx}`
`a^x\ln a \quad (a>0)`	`a^x`
`a^x`	`\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}`
`x^x,(1+\ln x)`	`x^x \quad (x>0)`
`\mathrm e^{x\ln\lvert x\rvert},(\ln\lvert x\rvert +1)`	`\lvert x\rvert^x = \mathrm e^{x\ln\lvert x\rvert}\quad (x\neq0)`
`\frac{1}{x}`	`\ln\lvert x\rvert` Sonderfall von `x^n` für `n=-1`, siehe oben
`\ln x`	`x\ln x - x`
`x^n\ln x`	`\frac{x^{n+1}}{n+1}\Bigl(\ln x - \frac{1}{n+1}\Bigr)\quad(n\ge0)`
`u'(x),\ln u(x)`	`u(x)\ln u(x) - u(x)`
`\displaystyle \frac{1}{x},\ln^{n}x\quad(n\neq -1)`	`\displaystyle \frac{1}{n+1},\ln^{n+1}x`
`\displaystyle \frac{1}{x},\ln x^n\quad(n\neq 0)`	`\displaystyle \frac{1}{2n},\ln^2 x^n = \frac{n}{2}\ln^2 x`
`\frac{1}{x}\,\frac{1}{\ln a}`	`\log_a x`
`\frac{1}{x\ln x}`	`\displaystyle \ln\lvert\ln x\rvert\quad(x>0, \,x\neq1)`
`\log_a x`	`\displaystyle \frac{1}{\ln a}\,(x\ln x - x)`

Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen

Trigonometrische Funktionen

Funktion `f(x)`	Stammfunktion `F(x)`
`\sin x`	`-\cos x`
`\cos x`	`\sin x`
`\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}`	`\ln\bigl[\sec x\bigr]`
`\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}`	`-\ln\bigl[\csc x\bigr]`
`\sec x = \frac1{\cos x}`	`\operatorname{artanh}[\sin x]`
`\csc x = \frac1{\sin x}`	`-\operatorname{artanh}[\cos x]`
`\sec^2 x = 1+\tan^2 x`	`\tan x`
`-\csc^2 x = -\bigl(1+\cot^2 x\bigr)`	`\cot x`
`\sin^2 x`	`\frac{1}{2}[x−sin⁡x\,cos⁡x]=\frac{1}{2}x− \frac{1}{4} sin⁡(2x)`
`\cos^2 x`	`\frac{1}{2}[x+sin⁡x\,cos⁡x]=\frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} sin⁡(2x)`
`\sin(kx)\cos(kx)`	`-\displaystyle \frac{1}{4k}\cos(2kx)`
`\sin(kx)\cos(kx)`	`\displaystyle \frac{1}{2k}\sin^2(kx)`
`\displaystyle \frac{\sin(ax)}{e^{bx}}`	`\displaystyle \frac{a\,e^{bx} - a\cos(ax) - b\sin(ax)}{(a^2+b^2)\,e^{bx}}`
`\displaystyle \frac{\cos(ax)}{e^{bx}}`	`\displaystyle \frac{a\sin(ax) - b\cos(ax) + b\,e^{bx}}{(a^2+b^2)\,e^{bx}}`
`\arcsin x`	`x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}`
`\arccos x`	`x\arccos x - \sqrt{1-x^2}`
`\arctan x`	`x\arctan x - \tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr)`
`\arccot x`	`x\arccot x + \tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr)`
`\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}`	`\arcsin x`
`\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}`	`\arccos x`
`\displaystyle \frac{1}{x^2+1}`	`\arctan x`
`\displaystyle -\frac{1}{x^2+1}`	`\arccot x`
`\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}`	`x - \arctan x`
`\displaystyle \frac{1}{(x^2+1)^2}`	`\displaystyle \tfrac12\Bigl(\frac{x}{x^2+1} + \arctan x\Bigr)`
`\sqrt{a^2 - x^2}`	`\displaystyle \frac{a^2}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2}`
`\displaystyle \frac{1}{ax^2+bx+c}`	`\frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\Bigr)`

Hyperbelfunktionen

Funktion `f(x)`	Stammfunktion `F(x)`
`\sinh x`	`\cosh x`
`\cosh x`	`\sinh x`
`\tanh x`	`\ln\bigl[\cosh x\bigr]`
`\coth x`	`\ln\lvert\sinh x\rvert`
`\operatorname{sech} x`	`\operatorname{gd} x = \arctan[\sinh x]`
`\operatorname{csch} x`	`-\operatorname{arcoth}[\cosh x]`
`\displaystyle \frac{1}{\cosh^2 x} = 1-\tanh^2 x`	`\tanh x`
`\displaystyle \frac{-1}{\sinh^2 x} = 1-\coth^2 x`	`\coth x`
`\operatorname{arsinh} x`	`x\,\operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^2+1}`
`\operatorname{arcosh} x`	`x\,\operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}`
`\operatorname{artanh} x`	`x\,\operatorname{artanh} x + \tfrac12\ln\bigl(1-x^2\bigr)`
`\operatorname{arcoth} x`	`x\,\operatorname{arcoth} x + \tfrac12\ln\bigl(x^2-1\bigr)`
`\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}`	`\operatorname{arsinh} x`
`\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\quad(x>1)`	`\operatorname{arcosh} x`
`\sqrt{a^2 + x^2}`	`\displaystyle \frac{a^2}{2}\,\operatorname{arsinh}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2}`
`\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}`	`\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\operatorname{arsinh}\Bigl(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\Bigr)`
`\displaystyle \frac{1}{1-x^2}\quad(\lvert x\rvert<1)`	`\operatorname{artanh} x`
`\displaystyle \frac{1}{1-x^2}\quad(\lvert x\rvert>1)`	`\operatorname{arcoth} x`

Regeln - Ableiten

Produktregel

u(x) \cdot v(x) \Longrightarrow u'v + u\,v'

Quotientenregel

\frac{u(x)}{v(x)} \Longrightarrow \frac{u'v + u\,v'}{v^2}

Kettenregel

Äußere Funktion abgeleitet, mal innere Funktion abgeleitet.

u[v(x)] \Longrightarrow u'[v(x)] \cdot v'(x)

Regeln - Integrieren

Partielle Integration

Idee: Ein Teil herausziehen, dass später etwas Integrierbares herauskommt. u wird abgeleitet. v wird integriert.


\int{u \, v} \Longrightarrow u\, V - \int{V\, u' \,dx}

U-Substitution

Substituieren:

\int{\frac{1}{u'}u}\, du

Wichtig: 1/Ableitung von u, muss sich mit dem Variablen Faktor vorne kürzen. Also es darf bei du kein x mehr übrig bleiben. Beispiel:
\int{\frac{1}{x}}2x\cdot u \, \, du \longrightarrow \int{2u} \,\,du

37 KiB Raw Blame History Unescape Escape

Uneigentliches Integral

WIP Konzept - Komplexe Zahlen

10. Diagonalisierung und Transformationsmatrix

9. Schwerpunkt

Beispiel für \rho(x,y)\equiv1 und 0\le x\le2a,\;0\le y\le a+x

8. Extrema - Mehrdimensional

Ablauf in Kurzform

7. e) Skalares Kurvenintegral

Richtungsableitung

7. d) Integrationsreihenfolge ändern

Idiotensicheres Beispiel

Matrixpotenz A^{15} – idiotensicher

7. c Vertauschen Integrationsreihenfolge

7. b) Matrix Potenz

7. a) Komplexe Zahl Polarform gleichung

Kurzform der Lösungsmengen-Formel

Vektorfelder

Konservative Felder & geschlossene Weg-Integrale

Komplexe Zahlen

1 Grundbegriffe

2 Polar-/Trigonometrische-/Exponentialform

In Polarform umrechnen

3 Rechenregeln

4 Potenzen und Wurzeln (De Moivre)

Potenzen

$n$-te Wurzeln

5 Wichtige Identitäten

6 Komplexe Exponential- & Logarithmusfunktion

7 Komplexe trigonometrische & hyperbolische Funktionen

8 Analytische Bedingung (Cauchy-Riemann)

9 Geometrische Interpretation

10 Nützliche Kurzformeln

Matrizen

Bild (img)

Kern (ker)

Dim

Dimension vom Bild

Dimension vom Kern

Singular vs. Regulär

Diagonalmatrix

Orthogonale Matrix

Rotationsmatrix (Ebene)

Nullmatrix

Einheits-/Identitätsmatrix

Skalarmatrix

Symmetrische Matrix ( +Transformationsmatrix)

Schiefsymmetrische Matrix

Projektionsmatrix (idempotent)

Involutorische Matrix

Nilpotente Matrix

Reflexionsmatrix (Householder-Typ)

Obere Dreiecksmatrix

Positiv definite Matrix

Formeln - Ableitung - Integration

Potenz- und Wurzelfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen

Trigonometrische Funktionen

Hyperbelfunktionen

Regeln - Ableiten

Produktregel

Quotientenregel

Kettenregel

Regeln - Integrieren

Partielle Integration

U-Substitution

37 KiB

Raw Blame History

Beispiel für `\rho(x,y)\equiv1` und `0\le x\le2a,\;0\le y\le a+x`

Matrixpotenz `A^{15}` – idiotensicher