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251
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@ -0,0 +1,251 @@
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# Duden der wichtigsten Begriffe (mit Prüf-/Berechnungsmethoden)
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## Analysis & Integration
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- **Integral:**
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Ein Integral ist die orientierte Fläche unter einer Funktion und berechnet sich durch den Hauptsatz:
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$$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$
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mit $F' = f$.
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- **Bestimmtes Integral:**
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Integral mit Grenzen $a,b$, Ergebnis ist eine Zahl; geprüft durch Einsetzen in die Stammfunktion oder numerisch (z.B. Trapezformel).
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- **Unbestimmtes Integral / Stammfunktion:**
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Menge aller Funktionen $F$ mit
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$$ F'(x) = f(x) $$
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Nachweis durch Ableiten von $F$.
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- **Lineare Substitution:**
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Ersetzt $x$ durch $u = a x + b$ ($a \neq 0$), transformiert das Integral:
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$$ \int f(x) \, dx = \frac{1}{a} \int f\left(\frac{u - b}{a}\right) du $$
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Beweis durch Kettenregel.
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- **Substitution (allgemein):**
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Für $x = g(u)$ mit $dx = g'(u) du$ gilt:
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$$ \int f(x) dx = \int f(g(u)) g'(u) du $$
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Nachweis durch Kettenregel und Umkehrfunktion.
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- **Partielle Integration:**
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$$ \int u \, dv = u v - \int v \, du $$
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Herleitung aus Produktregel: $(u v)' = u' v + u v'$.
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- **Uneigentliches Integral:**
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Grenzwert
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$$ \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx $$
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Existenz wird mit Konvergenztests geprüft.
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- **Bogenlänge:**
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$$ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $$
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Herleitung über Grenzwert von Polygonzügen.
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- **Mantelfläche Rotationskörper:**
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$$ A = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $$
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- **Volumen Rotationskörper:**
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$$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx $$
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- **Flächeninhalt zwischen Funktion und Achsen:**
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$$ \text{Fläche} = \int_a^b |f(x)| dx $$
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- **Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen:**
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$$ \int_a^b |f(x) - g(x)| dx $$
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mit $a,b$ als Schnittpunkte, bestimmt durch $f(x) = g(x)$.
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- **Trapezformel (Numerische Integration):**
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$$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{b - a}{2} (f(a) + f(b)) $$
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- **Mehrfachintegral:**
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Iteriertes Integral z.B. in 2D:
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$$ \iint_D f(x,y) dA = \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) dx dy $$
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Reihenfolge vertauschbar nach Fubini.
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## Koordinatensysteme
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- **Polarkoordinaten:**
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$$ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi $$
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Jacobi-Determinante für Integration: $r$.
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- **Zylinderkoordinaten:**
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$$ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad z = z $$
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Jacobi-Determinante: $r$.
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## Lineare Algebra – Matrizen
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- **Matrix:**
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Rechteckige Anordnung von Zahlen, beschreibt lineare Abbildung.
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- **Symmetrische Matrix:**
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$$ A^T = A $$
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Eigenschaften: reelle Eigenwerte, orthogonale Eigenvektoren.
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- **Schiefsymmetrische Matrix:**
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$$ A^T = -A $$
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Diagonaleinträge sind $0$.
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- **Einheitsmatrix $I$:**
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$$ I_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases} $$
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Neutrales Element bei Multiplikation.
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- **Inverse Matrix:**
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$$ A^{-1} A = A A^{-1} = I $$
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Existenz wenn $\det A \neq 0$, berechnet mit Gauß-Jordan.
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- **Transposition:**
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$$ (A^T)_{ij} = A_{ji} $$
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- **Orthogonale Matrix:**
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$$ A^T A = I $$
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Spalten bilden orthonormale Basis.
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- **Drehmatrix (2D):**
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$$ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$
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Potenzen durch Addition der Winkel.
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- **Spiegelmatrix (2D):**
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Beispiel Spiegelung an x-Achse:
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$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
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- **Regulär / invertierbar:**
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$$ \det A \neq 0 $$
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- **Spur:**
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$$ \operatorname{tr} A = \sum_i A_{ii} $$
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Summe der Eigenwerte.
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- **Determinante:**
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Skalar, gibt Volumensskalierung an; berechenbar mit Sarrus, Laplace oder Gauß.
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- **Rang:**
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Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten; via Gauß.
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- **Lineare Abbildung:**
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Erfüllt
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$$ f(u+v) = f(u) + f(v), \quad f(\alpha v) = \alpha f(v) $$
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- **Bild (Image):**
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$$ \operatorname{im} A = \{Ax \mid x \in \mathbb{R}^n \} $$
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- **Kern (Nullraum):**
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$$ \ker A = \{ x \mid Ax = 0 \} $$
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- **Charakteristisches Polynom:**
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$$ p_A(\lambda) = \det (A - \lambda I) $$
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- **Eigenwert/-vektor:**
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$$ A v = \lambda v, \quad v \neq 0 $$
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- **Algebraische vs. geometrische Vielfachheit:**
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Algebraisch = Vielfachheit Nullstelle $p_A$; geometrisch = Dimension Eigenraum.
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- **Diagonalisierbarkeit:**
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Möglich wenn Summe geometrischer Vielfachheiten = Dimension.
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## Vektor- & Skalarfelder
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- **Skalarfeld:**
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Funktion $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$.
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- **Vektorfeld:**
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Funktion $v : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$.
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- **Gradient:**
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$$ \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix} $$
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Richtungsvektor des größten Anstiegs.
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- **Totales Differential:**
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$$ df = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i $$
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- **Partielle Ableitung:**
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Ableitung nach einer Variablen, andere konstant.
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- **Tangentialebene:**
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$$ z = f(a,b) + \nabla f(a,b) \cdot \begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} $$
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- **Richtungsableitung:**
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$$ D_v f = \nabla f \cdot \hat{v} $$
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mit normiertem Richtungsvektor $\hat{v}$.
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- **Hesse-Matrix:**
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$$ H_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{pmatrix} $$
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- **Lokales Extremum:**
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$\nabla f = 0$ und $H_f$ positiv (Minimum) oder negativ definit (Maximum).
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- **Sattelpunkt:**
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$\nabla f = 0$ und $H_f$ indefinit.
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- **Lagrange-Multiplikator:**
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$$ \nabla f = \lambda \nabla g $$
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für Extrema mit Nebenbedingung $g=0$.
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- **Kurve / Spur:**
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Bild einer Parametrisierung $r(t)$.
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- **Tangentenvektor:**
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$$ \dot{r}(t) $$
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- **Bogenlänge:**
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$$ L = \int_a^b |\dot{r}(t)| dt $$
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- **Linienintegral (skalar):**
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$$ \int_\gamma f(\mathbf{r}) ds $$
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- **Divergenz:**
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$$ \nabla \cdot v = \sum_i \frac{\partial v_i}{\partial x_i} $$
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- **Rotation (Curl):**
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$$ \nabla \times v = \text{Vektor aus partiellen Ableitungen} $$
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- **Laplace-Operator:**
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$$ \Delta f = \nabla \cdot \nabla f = \sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} $$
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- **Konservatives Feld:**
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$$ \nabla \times v = 0 \Rightarrow \exists \Phi : v = \nabla \Phi $$
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## Komplexe Zahlen
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- **Komplexe Zahl:**
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$$ z = a + bi, \quad a,b \in \mathbb{R} $$
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- **Real-/Imaginärteil:**
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$$ \operatorname{Re}(z) = a, \quad \operatorname{Im}(z) = b $$
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- **Betrag:**
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$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$
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- **Komplex Konjugiert:**
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$$ \bar{z} = a - bi $$
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mit $$ z \bar{z} = |z|^2 $$
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- **Trigonometrische Form:**
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$$ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) $$
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- **Exponentialform:**
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$$ z = r e^{i \varphi} $$
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mit Euler: $$ e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi $$
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- **Arg-Funktion:**
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$$ \varphi = \arg z = \arctan2(b,a) $$
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- **Potenzgleichung:**
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Lösungen von $$ z^n = c $$ sind
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$$ z_k = |c|^{1/n} e^{i \frac{\arg c + 2 \pi k}{n}}, \quad k=0, \dots, n-1 $$
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## Vektorräume
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- **Vektorraum:**
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Menge $V$ mit Addition und Skalarmultiplikation, erfüllt Axiome (Assoziativität, Distributivität etc.).
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- **Linearkombination:**
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$$ \sum_i \alpha_i v_i $$
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- **Lineare Unabhängigkeit:**
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$$ \sum_i \alpha_i v_i = 0 \Rightarrow \alpha_i = 0 \quad \forall i $$
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- **Basis:**
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Lineare unabhängige Erzeugendmenge.
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- **Dimension:**
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Anzahl Elemente der Basis.
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@ -1,6 +1,12 @@
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# WIP Konzept - Uneigentliches Integral
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# Uneigentliches Integral
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1. Grenzwert bilden. Basically $R$ anstatt $\infty$ schreiben.
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2. Integral in Teile, bis zu den Polstellen. (Falls vorhanden.)
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3. Ganz normal integrieren.
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4. Grenzen einsetzen (ja, auch $\infty$). Wenn es abhaut nach $\infty$ , dann divergiert es, und ist nicht lösbar. Oszilation ist auch nicht lösbar, z.B. $\operatorname{sin(x)}$ von $0$ bis $\infty$. Hat nämlich keinen Grenzwert.
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# WIP Konzept - Komplexe Zahlen
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# 10. Diagonalisierung und Transformationsmatrix
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# 9. Schwerpunkt
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1. **Gebiet $\mathcal A$ festlegen**
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@ -221,8 +227,13 @@ $$
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$$\boxed{A^{15}= \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}$$
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# WIP 7. c Vertauschen Integrationsreihenfolge
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# WIP 7. b) Matrix Potenz
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# 7. c Vertauschen Integrationsreihenfolge
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$$\int_{x=a}^{b} \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx \Longrightarrow \int_{y=g_1(a)}^{g_2(b)} \int_{x=g^{-1}_2(y)}^{g^{-1}_1(y)}f(x,y)\,dy\,dx$$
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1. Aussen grenzen in die Funktionen einsetzen z.B. $g_2(b)$.
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2. Umkehrfunktion der inneren Grenzen bilden. z.B. $x^2 \rightarrow \sqrt y$
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3. Innen unten und oben tauschen. (Nach dem Umkehrfunktion bilden.)
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4. dx, dy vertauschen und x=, y= bei den grenzen aufpassen.
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# 7. b) Matrix Potenz
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Diagonalmatrix oder Drehmatrix.
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# 7. a) Komplexe Zahl Polarform gleichung
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@ -250,10 +261,206 @@ $$
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# Vektorfelder
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Alle Felder/Funktionen seien hinreichend glatt ($C^1$ bzw.\ $C^2$) und auf $\mathbb R^3$ mit kartesischen Koordinaten definiert.
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| Symbol | Name / Bedeutung | Formel | Rechen-/Beweis-Schritte |
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| -------------------------- | ---------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | --------------------------------------------------------------------------------- |
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| $\nabla f$ | **Gradient** eines Skalarfeldes $f$ | $\displaystyle \nabla f=\bigl(\partial_x f,\;\partial_y f,\;\partial_z f\bigr)$ | 1. Partiell nach $x,y,z$ ableiten.<br>2. Ergebnisse als Vektor schreiben. |
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| $\nabla\!\cdot\!\mathbf F$ | **Divergenz** eines Vektorfeldes $\mathbf F=(F_x,F_y,F_z)$ | $\displaystyle \nabla\!\cdot\!\mathbf F=\partial_xF_x+\partial_yF_y+\partial_zF_z$ | 1. Jede Komponente nach zugehöriger Koordinate ableiten.<br>2. Summieren. |
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| $\nabla\times\mathbf F$ | **Rotation / Curl** | $$\nabla\times\mathbf F=\begin{pmatrix}\partial_yF_z-\partial_zF_y\\[4pt]\partial_zF_x-\partial_xF_z\\[4pt]\partial_xF_y-\partial_yF_x\end{pmatrix}$$ | 1. Determinanten-/Kreuzproduktformel anwenden.<br>2. Drei Komponenten ausrechnen. |
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| $\Delta f$ | **Laplace-Operator** (Skalarfeld) | $$\Delta f=\nabla\!\cdot(\nabla f)=\partial_{xx}f+\partial_{yy}f+\partial_{zz}f$$ | 1. Zweimal partiell nach jeder Koordinate ableiten.<br>2. Summieren. |
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| quellenfrei | $\nabla\!\cdot\!\mathbf F=0$ | 1. Divergenz berechnen. <br>2. Null? → quellenfrei. | |
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| wirbelfrei | $\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0$ | 1. Rotation berechnen. <br>2. Nullvektor? → wirbelfrei. | |
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| konservativ | siehe unten 🔽 | **Praktisches Kriterium:** In einem *einfach zusammenhängenden* Gebiet gilt $$\mathbf F\ \text{wirbelfrei}\;\Longleftrightarrow\;\mathbf F\ \text{konservativ}.$$ | |
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### Konservative Felder & geschlossene Weg-Integrale
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* **Definition**
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Ein Vektorfeld $\mathbf F$ heißt **konservativ**, wenn ein Skalarpotential $\varphi$ existiert, so dass
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$$\boxed{\ \mathbf F=\nabla\varphi\ }$$
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* **Äquivalente Charakterisierung**
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Für jedes stückweise glatte, *geschlossene* Kurvenstück $\gamma$ gilt
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$$\boxed{\ \oint_\gamma \mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r = 0\ }$$
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Dies folgt unmittelbar aus dem Fundamentalsatz der Vektoranalysis:
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$$\int_\gamma \nabla\varphi\cdot \mathrm d\mathbf r = \varphi\bigl(\text{Endpunkt}\bigr)-\varphi\bigl(\text{Startpunkt}\bigr).$$
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Bei einem geschlossenen Pfad sind Start- und Endpunkt identisch, also verschwindet das Integral.
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* **Rezept zur Prüfung auf Konservativität**
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1. **Rotation berechnen:** $\nabla\times\mathbf F$.
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2. Falls $\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0$ *und* das Definitionsgebiet besitzt keine „Löcher“ (einfach zusammenhängend), ist $\mathbf F$ konservativ.
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3. **Potential konstruieren** (falls benötigt):
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- Gleichungen $\partial_x\varphi=F_x$, $\partial_y\varphi=F_y$, $\partial_z\varphi=F_z$ sukzessive integrieren.
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- Beim Integrieren auftretende „Integrationsfunktionen“ durch Abgleich mit den anderen Komponenten bestimmen.
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- Beliebige Konstante $C$ hinzufügen.
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* **Merksatz**
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$$\nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf 0 \quad\text{und}\quad \nabla\!\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0$$
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(Rotor des Gradienten ist stets null, Divergenz des Rotors ebenso.)
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# Matrizen Eigenschaften
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# Komplexe Zahlen
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*(Notation: $z=x+iy,\;x,y\in\mathbb R,\;i^{2}=-1$; $\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$.)*
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## 1 Grundbegriffe
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| Symbol / Begriff | Formel / Bedeutung |
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|------------------|--------------------|
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| **Algebraische Form** | $z = x + iy$ |
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| **Reeller / Imaginärer Teil** | $\operatorname{Re}(z)=x,\quad \operatorname{Im}(z)=y$ |
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| **Konjugiertes** | $z^{*}=x-iy$ |
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| **Betrag (Modul)** | $\lvert z\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ |
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| **Argument** (Hauptwert) | $\arg(z)\in(-\pi,\pi],\;$ $\tan\arg(z)=\dfrac{y}{x}$ |
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## 2 Polar-/Trigonometrische-/Exponentialform
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$$
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z \;=\; r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)
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\;=\; r\,\operatorname{cis}\theta
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\;=\; r\,e^{i\theta},
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\qquad
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r=\lvert z\rvert,\;
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\theta=\arg(z)+2k\pi,\;k\in\mathbb Z
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$$
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### In Polarform umrechnen
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1. **Betrag $r$ bestimmen**
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$$ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$
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2. **Winkel $\varphi$ ermitteln**
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$$ \varphi = \operatorname{atan2}(y,\,x) $$
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||||
3. **In Polar-/Eulerform ausdrücken**
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$$ z = r\bigl(\cos\varphi + i\sin\varphi\bigr) = re^{i\varphi} $$
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## 3 Rechenregeln
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| Operation | Algebraische Form | Polar-/Exponentialform | Rechenweg (polar) |
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| ------------------- | ------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
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||||
| **Addition** | $(x_1+x_2)+(x_2+iy_2)$<br>$=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$ | — | (keine einfache Polarregel) |
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| **Multiplikation** | ${(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}$ Binomische Formel | $z_1 z_2 = r_1 r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ | $$\begin{aligned} z_1 z_2 &= r_1e^{i\theta_1}\,r_2e^{i\theta_2} \\ &= r_1r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)} \\ &= r_1r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)\end{aligned}$$ |
|
||||
| **Division** | $\frac{(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}$ Muss erweitert werden. | $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ | $$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} \\ &= \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \\ &= \frac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)\end{aligned}$$ |
|
||||
| **Konjugation** | $(x+iy)^{*}=x-iy$ | $(re^{i\theta})^{*}=re^{-i\theta}$ | $$\begin{aligned}(z_1z_2)^{*} &= (r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)})^{*} \\ &= r_1r_2e^{-i(\theta_1+\theta_2)} \\ &= z_1^{*}\,z_2^{*}\end{aligned}$$ |
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||||
| **Betrags-Quadrat** | $\lvert z\rvert^{2}=z\,z^{*}$ | $\lvert re^{i\theta}\rvert = r$ | — |
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## 4 Potenzen und Wurzeln (De Moivre)
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### Potenzen
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$$
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z^{\,n}=r^{\,n}\,e^{in\theta}, \qquad n\in\mathbb Z
|
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$$
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### $n$-te Wurzeln
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$$
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\sqrt[n]{z}=r^{1/n}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}},\qquad k=0,\dots,n-1
|
||||
$$
|
||||
|
||||
---
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## 5 Wichtige Identitäten
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| Name | Formel |
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| **Euler** | $e^{i\theta}= \cos\theta+i\sin\theta$ |
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| **De Moivre** | $(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}= \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ |
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| **Dreiecksungleichung** | $\lvert z_1+z_2\rvert\le \lvert z_1\rvert+\lvert z_2\rvert$ |
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| **Betragsprodukt** | $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\,\lvert z_2\rvert$ |
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| **Argumente** | $\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}$ |
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## 6 Komplexe Exponential- & Logarithmusfunktion
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$$
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e^{x+iy}=e^{x}\bigl(\cos y+i\sin y\bigr)
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$$
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$$
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\ln z = \ln\lvert z\rvert + i\bigl(\arg z + 2k\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb Z
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$$
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## 7 Komplexe trigonometrische & hyperbolische Funktionen
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$$
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\begin{aligned}
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\sin z &=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, &
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\cos z &=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, &
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\tan z &=\frac{\sin z}{\cos z},\\[4pt]
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\sinh z &=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, &
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\cosh z &=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}, &
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\tanh z &=\frac{\sinh z}{\cosh z}.
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\end{aligned}
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$$
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## 8 Analytische Bedingung (Cauchy-Riemann)
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$$
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\boxed{\;
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\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y},
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\qquad
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\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}
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\;}
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$$
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für $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ differenzierbar im Punkt $(x,y)$.
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## 9 Geometrische Interpretation
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* **Multiplikation** mit $r e^{i\theta}$: Skalierung um $r$ und Drehung um $\theta$.
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* **Konjugation**: Spiegelung an der reellen Achse.
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* **Betrag**: Abstand des Punktes $(x,y)$ vom Ursprung.
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## 10 Nützliche Kurzformeln
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* **Kartesisch → Polar**
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$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad
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\theta=\operatorname{atan2}(y,\,x)$$
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* **Einheitskreis**
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$$\lvert z\rvert=1 \;\Longleftrightarrow\; z=e^{i\theta}.$$
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# Matrizen
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## Bild (*img*)
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>Menge aller **Möglichen** Vektoren die aus $A\cdot \chi$ entstehen.
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$dim(img(A))$ ist welchen Raum die Menge aufspannt. Sind alle auf einer Linie? -> 1D Sind sie alle auf einer Ebene? -> 2D etc.
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## Kern (*ker*)
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>Menge aller Vektoren die mit A multipliziert, den Nullvektor ergeben, also *genullt* werden.
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>$$A\cdot \chi_i = 0_V$$
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## Dim
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Zum schnellen beweisen, von z.B. multiple Choice:
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$$\operatorname{dim}(\operatorname{img}A) + \operatorname{dim}(\operatorname{ker}A) = \text{Anzahl Spalten von A}$$
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#### Dimension vom Bild
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$$\operatorname{dim}(\operatorname{img}A)= \text{Anzahl Pivot Elemente von Gauss}$$
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z.B. hier ist $dim=2$
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$$\left\lvert\,\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\,\right\rvert$$
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#### Dimension vom Kern
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$$\operatorname{dim}(\operatorname{ker}A) = \text{Anzahl freier Parameter für den Nullraum}$$
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1. $A \cdot \chi$ Aufschreiben.
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2. Gauss Matrix machen mit rechts = $0$. (Kann auch vom Bild recycled werden)
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3. System lösen. Anzahl Freier Parameter ist dann die Dimension.
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## Singular vs. Regulär
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@ -563,3 +770,6 @@ $$\int{\frac{1}{u'}u}\, du$$
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> 1/Ableitung von u, muss sich mit dem Variablen Faktor vorne kürzen. Also es darf bei $du$ kein $x$ mehr übrig bleiben.
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> Beispiel:
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> $$\int{\frac{1}{x}}2x\cdot u \, \, du \longrightarrow \int{2u} \,\,du$$
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@ -4,3 +4,4 @@
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2. Bitte einmal das Schema allgemein Formuliert. Also für aufgaben in dem Format.
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3. Kannst du mir den Hintergrund erklären, was wir hier berechnen und wie man sich das ganze Vorstellen kann?
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4. Ok, das Allgemeine Schema jetzt bitte als Markdown code, mit dollar als inline latex delimiter anstatt \( \) und zwei dollar für multiline/block anstatt \[ \] (Katex)
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