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# Komplexe Zahlen
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## Eulersche Gleichung & Formel
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Die Eulersche Gleichung lautet:
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$$e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)$$
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Daraus folgt die Darstellung einer komplexen Zahl in Exponentialform:
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$$z = r \Bigl(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi)\Bigr) = r \cdot e^{i\varphi}$$
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> **Exponentialform:**
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> $$z = r \cdot e^{i(\varphi + 2\pi k)}$$
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### Beispiel: Arithmetische in Exponentialform
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Für die arithmetische Darstellung:
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$$z = -2 + 2i$$
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Berechnung des Betrags:
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$$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8}$$
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Berechnung des Winkels:
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$$\varphi = \arctan\left(\frac{2}{-2}\right) + \pi = \frac{3\pi}{4}$$
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Somit ergibt sich:
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$$z = \sqrt{8} \cdot e^{i\frac{3\pi}{4}}$$
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### Multiplikation
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Gegeben:
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$$z_1 = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}}$$
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$$z_2 = 3 \cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}$$
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Multiplikation:
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$$z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right)} = 6 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}}$$
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### Division
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Gegeben:
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$$z_1 = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}}$$
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$$z_2 = 3 \cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}$$
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Division:
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$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3} \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{3}\right)} = \frac{2}{3} \cdot e^{-i\frac{7\pi}{6}} = \frac{2}{3} \cdot e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
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#### Umwandeln in Arithmetische Form
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$$\frac{2}{3} \cdot e^{i\frac{5\pi}{6}} = \frac{2}{3} \cdot \Bigl(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\Bigr)$$
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**Bemerkungen:**
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- $|e^{i\varphi}| =\sqrt{\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)} = 1$
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- $e^{i \ 0} = 1 = e^{i 2k\pi}$
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- $e^{i\pi} = -1$
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- $\sinh(i x) = \sin x$
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- $\cosh(i x) = \cos x$
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### Potenzieren
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