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**Menge der Matrizen**:
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- $\mathbb{M}(m, n, \mathbb{R}) = \mathbb{R}^{m\times n}$
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> **Anwendungen**:
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> - Beschreibung linearer Gleichungssysteme
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> - Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen
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> - Transformationen in der Geometrie (z. B. Drehungen, Spiegelungen, Skalierungen)
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> - Darstellung von Netzwerken oder Graphen
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> - Datenrepräsentation in maschinellem Lernen und Statistik
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## Zeilen, Spaltenvektoren
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- Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ besteht aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten.
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- Zeilenvektoren: $A_{i*} \in \mathbb{R}^{1 \times n}$
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- Spaltenvektoren: $A_{*j} \in \mathbb{R}^{m \times 1}$
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- Jeder Eintrag $a_{ij}$ steht an der Kreuzung von Zeile $i$ und Spalte $j$.
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## Transponieren
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- Zeilen- und Spaltenindex vertauschen:
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$$ A \longrightarrow A^T $$
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$$(A^T)^T = A$$
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- Eigenschaften:
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- $(A + B)^T = A^T + B^T$
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- $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ für $\lambda \in \mathbb{R}$
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- $(AB)^T = B^T A^T$
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## Matrizenmultiplikation
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- Definition: $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$
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- Voraussetzung: Spaltenanzahl von $A$ muss gleich der Zeilenanzahl von $B$ sein
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$$(A \in \mathbb{R}^{m \times n},\ B \in \mathbb{R}^{n \times p}) \Rightarrow AB \in \mathbb{R}^{m \times p}$$
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- **Shape des Outputs**: $m_A \times n_B$
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- **Eigenschaften**:
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- Assoziativ: $A(BC) = (AB)C$
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- Distributiv: $A(B + C) = AB + AC$
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- Im Allgemeinen **nicht kommutativ**: $AB \neq BA$
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