125 lines
3.4 KiB
Typst
125 lines
3.4 KiB
Typst
#import "@preview/cetz:0.4.1"
|
||
|
||
== Schwingungen und Wellen
|
||
Periodendauer $T [s]$ \
|
||
Frequenz $f eq frac(1, T)$ #h(20pt) $[f] eq "Hz"$
|
||
|
||
|
||
=== Ort-Zeit Funktion
|
||
$x(t) eq A dot cos(omega t plus delta)$ \
|
||
// Phase $omega t dot delta$ \
|
||
// Phasenwinkel $delta$ Wert von $delta$ bei $t eq 0$ \
|
||
// Kreisfrequenz $omega$ \
|
||
// $x(t) eq x(t plus T)$ wir setzen $delta eq 0$ \
|
||
// $A cos(omega t) &eq A dot cos(omega (t plus T)) \
|
||
// &eq A dot cos(omega t plus omega T)$ \
|
||
// da $cos 2 pi$ periodisch $omega T eq 2 pi$
|
||
|
||
// $omega eq frac(2 pi, T) eq frac(2 pi, frac(1, f)) eq 2 pi f$ \
|
||
// $[omega] eq frac(1, s)$
|
||
$omega eq frac(2 pi, T) eq 2 pi f$ #h(20pt) $[omega] eq frac(1, s)$
|
||
|
||
Geschwindigkeit: \
|
||
// $V_x &eq frac(d x (t), d t) \
|
||
// &eq - A omega sin(omega t plus delta)$
|
||
$V_x eq - A omega sin(omega t plus delta)$
|
||
|
||
Beschleunigung: \
|
||
// $a_x &eq frac(d v_x, d t) eq frac(d^2 x(t), d t^2) \
|
||
// &eq - A omega^2 cos(omega t plus delta) \
|
||
// &eq minus omega^2 dot x(t)$
|
||
$a_x &eq - A omega^2 cos(omega t plus delta) \
|
||
a_x &eq minus omega^2 dot x(t) \
|
||
a_"max" &eq omega^2 dot accent(x, hat)$
|
||
|
||
// Amplitude von:\
|
||
// $v_x : A omega$ \
|
||
// $a_x : A omega^2$ \
|
||
|
||
|
||
|
||
=== Newtonssches Gesetz (Bewegungsgleichung)
|
||
// $m dot a eq sum F$ \
|
||
// $m dot a_x eq minus k dot x arrow a_x eq minus frac(k, m) dot x$ \
|
||
// oder \
|
||
// $m dot a_x eq minus omega^2 dot x dot m$ \
|
||
// gleichsetzen der gleichungen: \
|
||
// $minus k dot x eq minus m dot omega^2 dot x$ \
|
||
// $k eq m dot omega^2$ \
|
||
// $omega eq sqrt(frac(k, m))$ \
|
||
// mit: \
|
||
// $omega eq frac(s pi, T)$ $arrow$ $T eq 2 pi sqrt(frac(m,k))$ \
|
||
$omega eq sqrt(frac(k, m))$ \
|
||
|
||
Dehnung der Feder: \
|
||
$k dot Delta l eq m dot g$
|
||
|
||
=== Gleichgewichtslage
|
||
$E_"pot" (x) eq 0$ Bei Gleichgewichtslage \
|
||
|
||
=== Energie
|
||
$E_"pot" eq frac(1, 2) k y^2$ \
|
||
$E_"ges" eq frac(1, 2) k accent(y, hat)^2$ ($accent(y, hat) arrow $ Maximalwert von der Amplitude)
|
||
|
||
|
||
=== Fadenpendel
|
||
#grid(columns: (100pt, 1fr), gutter: 10pt, [
|
||
$ T eq 2 pi dot root(, frac(l, g)) $
|
||
], [
|
||
#cetz.canvas({
|
||
import cetz.draw: *
|
||
line((0, 0), (6, 0), stroke: (thickness: 3pt))
|
||
line((3, 0), (1, -2))
|
||
circle((1, -2), radius: 0.5, fill: gray)
|
||
content((2.5, -1), [$l$])
|
||
content((4.5, -0.5), anchor: "north-west", [
|
||
- $l$ Lënge des Pendels
|
||
- $g$ Erdbeschleunigung $(9.81m\/s^2)$
|
||
])
|
||
})
|
||
])
|
||
|
||
=== Physikalisches Pendel
|
||
#grid(columns: (100pt, 1fr), gutter: 10pt, [
|
||
$ T eq 2 pi dot root(, frac(I, m dot g dot d)) $
|
||
], [
|
||
#cetz.canvas({
|
||
import cetz.draw: *
|
||
circle((0, 0), radius: 2, fill: gray)
|
||
circle((0, 1), radius: 0.2, fill: white)
|
||
circle((0, 0), radius: 0.1, fill: black)
|
||
|
||
line((0, 0), (0, 1), mark: (symbol: ">"), fill: blue, stroke: blue)
|
||
line((0, 0), (2, 0), mark: (symbol: ">"), fill: blue, stroke: blue)
|
||
line((2.4, 1.85), (0.2, 1.2), mark: (end: ">"), fill: blue, stroke: blue)
|
||
|
||
content((-0.3, 0.4), [$d$])
|
||
content((1, 0.4), [$r$])
|
||
content((0, -1), [$m$])
|
||
|
||
content((2.5, 2), anchor: "north-west", [Drehpunkt])
|
||
content((2.5, 1), anchor: "north-west", [
|
||
- d Abstand vom Drehpunkt zum Massemittelpunkt
|
||
- r Radius vom Kreis
|
||
- m Masse vom Pendel
|
||
- I Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse
|
||
])
|
||
})
|
||
])
|
||
|
||
|
||
=== Drehpendel (Torsionspendel)
|
||
#grid(columns: (200pt, 1fr), gutter: 10pt, [
|
||
$ T eq 2 pi dot root(, frac(I, D*)) $
|
||
- $D∗$ Direktionsmoment (Torsionskonstante des Drahtes)
|
||
- $I$ Trägheitsmoment des Körpers
|
||
], [
|
||
#image("../img/schwingungen_und_wellen/Drehpendel.png")
|
||
])
|
||
|
||
=== Satz von Steiner
|
||
$ I eq I_S plus m dot d^2 $
|
||
#table(columns: (1fr, 1fr),
|
||
[Kreis], [$ I_S eq frac(1, 2) dot m dot r^2 $]
|
||
)
|