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## Woche 1
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### Thema 1: **Mengenlehre und Zahlenmengen**
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- Begriffe und Eigenschaften: Menge, Teilmenge, Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Grundmenge, Komplementärmenge
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- Zahlenmengen: natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale, irrationale und reelle Zahlen
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- Intervalltypen und deren Schreibweisen
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- Kartesisches Produkt und Darstellung in xy-Diagrammen
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- Anwendung: Venn-Diagramme zeichnen, Mengenoperationen durchführen
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### Thema 2: **Zahlenoperationen und algebraische Gesetze**
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- Zahlenkörper, Brüche, Potenzen, Logarithmen: Begriffe und Rechenregeln
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- Potenzen mit natürlichen, ganzzahligen, rationalen und irrationalen Exponenten
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- Logarithmenregeln und Basisverschiebungssatz
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- Binomische Formeln und Anwendung
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- Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen
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### Thema 3: **Numerik und Computer-Algebra-Systeme (CAS)**
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- Begriffe: Numerik, CAS, Python/Numpy, Python/Sympy
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- Numerische und analytische Berechnungen mit Python/Numpy und Python/Sympy
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- Terme auswerten, faktorisieren, vereinfachen und Gleichungen lösen
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- Dokumentation mehrstufiger numerischer Berechnungen
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## Woche 2
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### Thema 1: **Funktionen und Abbildungen**
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- Begriffe und Eigenschaften: Abbildung, Funktion, Definitionsmenge, Wertebereich, Zielmenge, Bildmenge
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- Abbildungsvorschrift, unabhängige/abhängige Variablen, Argument, Bild, Urbild, Umkehrabbildung
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- Eigenschaften: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
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- Anwendung: Funktionen mathematisch korrekt formulieren, Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität prüfen
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### Thema 2: **Winkelmaße und Kreisberechnungen**
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- Begriffe: Kreiszahl, Gradmaß, Bogenmaß, nautische Meile
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- Zusammenhang zwischen Winkel (Bogenmaß), Radius und Bogenlänge
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- Anwendung: Umrechnungen zwischen Gradmaß und Bogenmaß, Berechnung von Bogenlängen
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### Thema 3: **Kombinatorik und Binomialkoeffizienten**
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- Begriffe: Fakultät, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, Permutation, Kombination
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- Formeln: Permutationen von nnn Elementen, Kombinationen kkk-ter Ordnung
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- Anwendung: Berechnung von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Permutationen und Kombinationen
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## Woche 3
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### Thema 1: **Zahlenfolgen und Grenzwerte**
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- Begriffe: Zahlenfolge, Folgeglied, arithmetische/geometrische Folge, untere/obere Schranke, beschränkt, (streng) monoton fallend/steigend, Divergenz, Konvergenz, Grenzwert
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- Zusammenhang: Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz/Divergenz
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- Anwendung: Folgen abschätzen, auf Eigenschaften untersuchen, Grenzwerte bestimmen (manuell und mit Python/Sympy)
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### Thema 2: **Lineare Gleichungssysteme und Matrixverfahren**
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- Begriffe: lineares Gleichungssystem, Dimensionszahl, Äquivalenzumformung, Gauß-Schema, Gauß-Verfahren, Gauß-Jordan-Verfahren, Stufenform, reduzierte Stufenform, Pivotelement
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- Anwendung: Umwandlung in Gauß-Schema, Lösen mit Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren
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### Thema 3: **Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen**
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- Begriffe: Kombination, Variation (mit und ohne Wiederholung)
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- Formeln: Permutationen von nn Elementen, Kombinationen und Variationen kk-ter Ordnung
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- Anwendung: Berechnung und Anwendung der Formeln auf konkrete Aufgaben
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## Woche 4
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### Thema 1: **Summen und Reihen**
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- Begriffe: Summe, Summenzeichen, geometrische Summe, Reihe, geometrische Reihe
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- Anwendung: Darstellung mit Summenzeichen, geometrische Summenformel, Grenzwert einer geometrischen Reihe
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- Berechnungen: Summen manuell und mit Python/Sympy berechnen
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### Thema 2: **Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter**
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- Begriffe: Stufenform, reduzierte Stufenform, Dimensionszahl, Rang, Defekt, Pivot-Variable, freier Parameter, Verträglichkeit
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- Anwendung: Rang und Defekt bestimmen, Verträglichkeit prüfen, Lösungsmenge anhand der Stufenform beurteilen
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- Verfahren: Lösungsmenge mit Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren bestimmen
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### Thema 3: **Kombinatorik und spezielle Werteberechnung**
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- Begriffe: Fakultät, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, Permutation, Kombination, Variation
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- Anwendung: Berechnung und Interpretation von Fakultäten und Binomialkoeffizienten
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- Formeln: Permutationen, Kombinationen und Variationen mit und ohne Wiederholung berechnen
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## Woche 5
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### Thema 1: **Funktionen und ihre Eigenschaften**
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- Begriffe: Betrag, Vorzeichen, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, hyperbolische Funktion
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- Trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens
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- Umkehrfunktionen: Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens, Arcuscotangens
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- Anwendung: Skizzieren der Graphen von Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen (auch mit Python/Numpy)
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### Thema 2: **Trigonometrische und Arcuswerte**
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- Ausgezeichnete Funktionswerte der trigonometrischen und Arcusfunktionen
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- Anwendung: Werte bestimmen und Funktionsgraphen interpretieren
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### Thema 3: **Wahrscheinlichkeit und Ereignisse**
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- Begriffe: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Ereignis, unmögliches/sicheres Ereignis
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- Laplace-Experiment und Laplace-Wahrscheinlichkeit
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- Absolute/relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeitsraum
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- Ereignisverknüpfungen und Anwendung der De-Morgan’schen Regeln
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## Woche 6
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### Thema 1: **Funktionen: Parität, Lineare und Exponentialfunktionen**
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- Begriffe: Parität (gerade/ungerade Funktion), lineare Funktion, verallgemeinerte Exponentialfunktion
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- Bedeutung der Parameter einer verallgemeinerten Exponentialfunktion
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- Anwendung: Graphenverschiebung durch Änderung des Funktionsterms, Bestimmung des Funktionsterms einer linearen Funktion aus Punkten und Steigung
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### Thema 2: **Trigonometrische Funktionen und Theoreme**
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- Begriffe: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Steigung, Additionstheorem, Multiplikationstheorem, trigonometrische Gleichung
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- Anwendung: Additionstheoreme und Multiplikationstheoreme auf trigonometrische Funktionen anwenden
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- Lösung trigonometrischer Gleichungen manuell und mit Python/Sympy
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### Thema 3: **Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kolmogorov-Axiome**
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- Begriffe: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsraum
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- Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov und deren Anwendung
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- Absolute und relative Häufigkeit sowie Verknüpfung und Analyse von Ereignissen
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## Woche 7
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### Thema 1: **Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung**
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- Begriffe: Steigung, Steigungswinkel, Differenzquotient, Ableitung, Aufleitung
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- Rechenregeln: Faktorregel, Summenregel
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- Geometrische Bedeutung: Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion
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- Anwendung: Berechnung der Ableitung einfacher Monome, Ableitungen und Aufleitungen von Polynomen
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### Thema 2: **Vektoren und Vektorrechnung**
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- Begriffe: Vektor, Vektorgeometrie, Linearkombination, Einheitsvektor, Richtungsvektor, Betrag eines Vektors
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- Anwendung: Addition und Subtraktion von Vektoren, Linearkombinationen berechnen und grafisch darstellen
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- Zerlegung eines Vektors: Zerlegung in Betrag und Richtungsvektor oder Linearkombination anderer Vektoren
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### Thema 3: **Ableitung mit Differenzquotient**
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- Definition der Ableitung über den Differenzquotienten
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- Anwendung: Bestimmung der Ableitung einfacher Funktionen direkt über den Differenzquotienten
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## Woche 8
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### Thema 1: **Differenzialrechnung: Erweiterte Ableitungsregeln**
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- Begriffe: Produktregel, Kettenregel, Quadratregel, Reziprokenregel, Quotientenregel
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- Anwendung: Ableiten von Produkten, Quotienten und verschachtelten Funktionen
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- Spezialfall: Ableitung von Beträgen mithilfe passender Regeln
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### Thema 2: **Vektorrechnung und Skalarprodukt**
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- Begriffe: Skalarprodukt, Länge und Winkelberechnung
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- Rechenregeln und Eigenschaften des Skalarprodukts
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- Anwendung: Berechnung von Längen und Winkeln in nn-dimensionalen Räumen sowie praktische Anwendungen in Alltag, Naturwissenschaft und Technik
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### Thema 3: **Wahrscheinlichkeitsrechnung und bedingte Wahrscheinlichkeit**
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- Begriffe: Additionssatz, Multiplikationssatz, bedingte Wahrscheinlichkeit, totale Wahrscheinlichkeit, abhängige/unabhängige Ereignisse, Ereignisbaum, Satz von Bayes
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- Anwendung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Satzes von Bayes und Ereignisbäumen
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## Woche 9
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### Thema 1: **Exponential- und Logarithmusfunktionen**
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- Begriffe: Eulersche Zahl, natürliche Exponentialfunktion, natürlicher Logarithmus
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- Regeln: Exponentialregel und Logarithmusregel zur Ableitung und Vereinfachung von Funktionen
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- Anwendung: Kombinierte Anwendung der Ableitungsregeln auf komplexe Funktionen
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### Thema 2: **Vektor- und Spatprodukt**
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- Begriffe: Vektorprodukt, Spatprodukt
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- Eigenschaften und Rechenregeln: Berechnung von Flächen (Vektorprodukt) und Volumen (Spatprodukt) in 3D
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- Anwendung: Bestimmung von Flächeninhalten und Volumen in geometrischen Aufgaben
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### Thema 3: **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung**
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- Begriffe: Zufallsvariable (diskret), Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Stabdiagramm
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- Anwendung: Erstellung und Interpretation von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Verteilungsfunktionen (auch grafisch)
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## Woche 10
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### Thema 1: **Ableitungen spezieller Funktionen**
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- Begriffe: Ableitungen der trigonometrischen, hyperbolischen, Arkus- und Areafunktionen
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- Anwendung: Ableitung zusammengesetzter und verschachtelter Funktionen mithilfe dieser Regeln
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### Thema 2: **Geraden in 2D und 3D**
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- Begriffe: Gerade, Parameterdarstellung, Normalenvektor, Einheitsnormalenvektor, Hessesche Normalform
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- Anwendung: Darstellung von Geraden in 2D und 3D durch Parameterform und Hessesche Normalform
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### Thema 3: **Vektorrechnung und Projektionen**
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- Begriff: Orthogonalprojektion
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- Anwendung: Berechnung und Darstellung von Projektionen von Punkten und Vektoren auf Geraden oder Ebenen
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## Woche 11
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### Thema 1: **Integralrechnung**
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- Begriffe: Aufleitung, Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral, Integrand, Integrationsgrenzen
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- Anwendung: Berechnung bestimmter und unbestimmter Integrale von Polynomen und Exponentialfunktionen (manuell und mit Python/Sympy)
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### Thema 2: **Geraden in 2D und 3D**
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- Begriffe: Normalform, Hessesche Normalform, Parameterdarstellung
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- Anwendung: Darstellung einer Geraden in 2D (Normal- und Hessesche Normalform) und in 3D (Parameterform)
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- Abstand eines Punktes von einer Geraden und Bestimmung der Lagebeziehung zweier Geraden in 3D (parallel, windschief, schneidend)
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### Thema 3: **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen**
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- Begriffe: Gleichverteilung, Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung
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- Anwendung: Erkennen und Anwenden der passenden Wahrscheinlichkeitsverteilung auf konkrete Situationen
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## Woche 12
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### Thema 1: **Extremstellen und Sattelpunkte von Funktionen**
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- Begriffe: kritische Stelle, kritischer Punkt, lokales/globales Extremum, Hoch-, Tief-, Sattelpunkt
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- Kriterien zur Bestimmung und Charakterisierung kritischer Stellen
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- Anwendung: Bestimmung lokaler/globale Extrema und Sattelpunkte einer Funktion
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### Thema 2: **Ebenen in 3D**
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- Begriffe: Parameterform, Normalenform, Hessesche Normalform einer Ebene
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- Anwendung: Darstellung einer Ebene in verschiedenen Formen und Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene
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### Thema 3: **Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene**
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- Begriffe: Lagebeziehung (parallel, enthalten, schneidend)
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- Anwendung: Bestimmung der Lage von Gerade und Ebene zueinander (Schnittpunkt bestimmen oder Nachweis der Parallelität)
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## Woche 13
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### Thema 1: **Krümmung und Wendepunkte**
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- Begriffe: analytische und geometrische Krümmung, Wendepunkt
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- Eigenschaften: Verhalten einer Funktion an Wendepunkten, Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung
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### Thema 2: **Wendepunktbestimmung**
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- Anwendung: Bestimmung der Wendepunkte durch zweite und dritte Ableitung einer Funktion
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### Thema 3: **Kurvendiskussion und praktische Anwendungen**
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- Durchführung einer vollständigen Kurvendiskussion:
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- Definitionsbereich, Symmetrie, Grenzwerte
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- Nullstellen, Extrema, Wendepunkte
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- Krümmungsverhalten, Grapheninterpretation
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- Anwendung auf praktische Aufgaben in Alltag, Naturwissenschaft und Technik |