12 KiB
12 KiB
Woche 1
Thema 1: Mengenlehre und Zahlenmengen
- Begriffe und Eigenschaften: Menge, Teilmenge, Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Grundmenge, Komplementärmenge
- Zahlenmengen: natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale, irrationale und reelle Zahlen
- Intervalltypen und deren Schreibweisen
- Kartesisches Produkt und Darstellung in xy-Diagrammen
- Anwendung: Venn-Diagramme zeichnen, Mengenoperationen durchführen
Thema 2: Zahlenoperationen und algebraische Gesetze
- Zahlenkörper, Brüche, Potenzen, Logarithmen: Begriffe und Rechenregeln
- Potenzen mit natürlichen, ganzzahligen, rationalen und irrationalen Exponenten
- Logarithmenregeln und Basisverschiebungssatz
- Binomische Formeln und Anwendung
- Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen
Thema 3: Numerik und Computer-Algebra-Systeme (CAS)
- Begriffe: Numerik, CAS, Python/Numpy, Python/Sympy
- Numerische und analytische Berechnungen mit Python/Numpy und Python/Sympy
- Terme auswerten, faktorisieren, vereinfachen und Gleichungen lösen
- Dokumentation mehrstufiger numerischer Berechnungen
Woche 2
Thema 1: Funktionen und Abbildungen
- Begriffe und Eigenschaften: Abbildung, Funktion, Definitionsmenge, Wertebereich, Zielmenge, Bildmenge
- Abbildungsvorschrift, unabhängige/abhängige Variablen, Argument, Bild, Urbild, Umkehrabbildung
- Eigenschaften: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
- Anwendung: Funktionen mathematisch korrekt formulieren, Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität prüfen
Thema 2: Winkelmaße und Kreisberechnungen
- Begriffe: Kreiszahl, Gradmaß, Bogenmaß, nautische Meile
- Zusammenhang zwischen Winkel (Bogenmaß), Radius und Bogenlänge
- Anwendung: Umrechnungen zwischen Gradmaß und Bogenmaß, Berechnung von Bogenlängen
Thema 3: Kombinatorik und Binomialkoeffizienten
- Begriffe: Fakultät, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, Permutation, Kombination
- Formeln: Permutationen von nnn Elementen, Kombinationen kkk-ter Ordnung
- Anwendung: Berechnung von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Permutationen und Kombinationen
Woche 3
Thema 1: Zahlenfolgen und Grenzwerte
- Begriffe: Zahlenfolge, Folgeglied, arithmetische/geometrische Folge, untere/obere Schranke, beschränkt, (streng) monoton fallend/steigend, Divergenz, Konvergenz, Grenzwert
- Zusammenhang: Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz/Divergenz
- Anwendung: Folgen abschätzen, auf Eigenschaften untersuchen, Grenzwerte bestimmen (manuell und mit Python/Sympy)
Thema 2: Lineare Gleichungssysteme und Matrixverfahren
- Begriffe: lineares Gleichungssystem, Dimensionszahl, Äquivalenzumformung, Gauß-Schema, Gauß-Verfahren, Gauß-Jordan-Verfahren, Stufenform, reduzierte Stufenform, Pivotelement
- Anwendung: Umwandlung in Gauß-Schema, Lösen mit Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren
Thema 3: Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen
- Begriffe: Kombination, Variation (mit und ohne Wiederholung)
- Formeln: Permutationen von nn Elementen, Kombinationen und Variationen kk-ter Ordnung
- Anwendung: Berechnung und Anwendung der Formeln auf konkrete Aufgaben
Woche 4
Thema 1: Summen und Reihen
- Begriffe: Summe, Summenzeichen, geometrische Summe, Reihe, geometrische Reihe
- Anwendung: Darstellung mit Summenzeichen, geometrische Summenformel, Grenzwert einer geometrischen Reihe
- Berechnungen: Summen manuell und mit Python/Sympy berechnen
Thema 2: Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter
- Begriffe: Stufenform, reduzierte Stufenform, Dimensionszahl, Rang, Defekt, Pivot-Variable, freier Parameter, Verträglichkeit
- Anwendung: Rang und Defekt bestimmen, Verträglichkeit prüfen, Lösungsmenge anhand der Stufenform beurteilen
- Verfahren: Lösungsmenge mit Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren bestimmen
Thema 3: Kombinatorik und spezielle Werteberechnung
- Begriffe: Fakultät, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, Permutation, Kombination, Variation
- Anwendung: Berechnung und Interpretation von Fakultäten und Binomialkoeffizienten
- Formeln: Permutationen, Kombinationen und Variationen mit und ohne Wiederholung berechnen
Woche 5
Thema 1: Funktionen und ihre Eigenschaften
- Begriffe: Betrag, Vorzeichen, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, hyperbolische Funktion
- Trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens
- Umkehrfunktionen: Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens, Arcuscotangens
- Anwendung: Skizzieren der Graphen von Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen (auch mit Python/Numpy)
Thema 2: Trigonometrische und Arcuswerte
- Ausgezeichnete Funktionswerte der trigonometrischen und Arcusfunktionen
- Anwendung: Werte bestimmen und Funktionsgraphen interpretieren
Thema 3: Wahrscheinlichkeit und Ereignisse
- Begriffe: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Ereignis, unmögliches/sicheres Ereignis
- Laplace-Experiment und Laplace-Wahrscheinlichkeit
- Absolute/relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeitsraum
- Ereignisverknüpfungen und Anwendung der De-Morgan’schen Regeln
Woche 6
Thema 1: Funktionen: Parität, Lineare und Exponentialfunktionen
- Begriffe: Parität (gerade/ungerade Funktion), lineare Funktion, verallgemeinerte Exponentialfunktion
- Bedeutung der Parameter einer verallgemeinerten Exponentialfunktion
- Anwendung: Graphenverschiebung durch Änderung des Funktionsterms, Bestimmung des Funktionsterms einer linearen Funktion aus Punkten und Steigung
Thema 2: Trigonometrische Funktionen und Theoreme
- Begriffe: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Steigung, Additionstheorem, Multiplikationstheorem, trigonometrische Gleichung
- Anwendung: Additionstheoreme und Multiplikationstheoreme auf trigonometrische Funktionen anwenden
- Lösung trigonometrischer Gleichungen manuell und mit Python/Sympy
Thema 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kolmogorov-Axiome
- Begriffe: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsraum
- Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov und deren Anwendung
- Absolute und relative Häufigkeit sowie Verknüpfung und Analyse von Ereignissen
Woche 7
Thema 1: Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung
- Begriffe: Steigung, Steigungswinkel, Differenzquotient, Ableitung, Aufleitung
- Rechenregeln: Faktorregel, Summenregel
- Geometrische Bedeutung: Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion
- Anwendung: Berechnung der Ableitung einfacher Monome, Ableitungen und Aufleitungen von Polynomen
Thema 2: Vektoren und Vektorrechnung
- Begriffe: Vektor, Vektorgeometrie, Linearkombination, Einheitsvektor, Richtungsvektor, Betrag eines Vektors
- Anwendung: Addition und Subtraktion von Vektoren, Linearkombinationen berechnen und grafisch darstellen
- Zerlegung eines Vektors: Zerlegung in Betrag und Richtungsvektor oder Linearkombination anderer Vektoren
Thema 3: Ableitung mit Differenzquotient
- Definition der Ableitung über den Differenzquotienten
- Anwendung: Bestimmung der Ableitung einfacher Funktionen direkt über den Differenzquotienten
Woche 8
Thema 1: Differenzialrechnung: Erweiterte Ableitungsregeln
- Begriffe: Produktregel, Kettenregel, Quadratregel, Reziprokenregel, Quotientenregel
- Anwendung: Ableiten von Produkten, Quotienten und verschachtelten Funktionen
- Spezialfall: Ableitung von Beträgen mithilfe passender Regeln
Thema 2: Vektorrechnung und Skalarprodukt
- Begriffe: Skalarprodukt, Länge und Winkelberechnung
- Rechenregeln und Eigenschaften des Skalarprodukts
- Anwendung: Berechnung von Längen und Winkeln in nn-dimensionalen Räumen sowie praktische Anwendungen in Alltag, Naturwissenschaft und Technik
Thema 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung und bedingte Wahrscheinlichkeit
- Begriffe: Additionssatz, Multiplikationssatz, bedingte Wahrscheinlichkeit, totale Wahrscheinlichkeit, abhängige/unabhängige Ereignisse, Ereignisbaum, Satz von Bayes
- Anwendung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Satzes von Bayes und Ereignisbäumen
Woche 9
Thema 1: Exponential- und Logarithmusfunktionen
- Begriffe: Eulersche Zahl, natürliche Exponentialfunktion, natürlicher Logarithmus
- Regeln: Exponentialregel und Logarithmusregel zur Ableitung und Vereinfachung von Funktionen
- Anwendung: Kombinierte Anwendung der Ableitungsregeln auf komplexe Funktionen
Thema 2: Vektor- und Spatprodukt
- Begriffe: Vektorprodukt, Spatprodukt
- Eigenschaften und Rechenregeln: Berechnung von Flächen (Vektorprodukt) und Volumen (Spatprodukt) in 3D
- Anwendung: Bestimmung von Flächeninhalten und Volumen in geometrischen Aufgaben
Thema 3: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Begriffe: Zufallsvariable (diskret), Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Stabdiagramm
- Anwendung: Erstellung und Interpretation von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Verteilungsfunktionen (auch grafisch)
Woche 10
Thema 1: Ableitungen spezieller Funktionen
- Begriffe: Ableitungen der trigonometrischen, hyperbolischen, Arkus- und Areafunktionen
- Anwendung: Ableitung zusammengesetzter und verschachtelter Funktionen mithilfe dieser Regeln
Thema 2: Geraden in 2D und 3D
- Begriffe: Gerade, Parameterdarstellung, Normalenvektor, Einheitsnormalenvektor, Hessesche Normalform
- Anwendung: Darstellung von Geraden in 2D und 3D durch Parameterform und Hessesche Normalform
Thema 3: Vektorrechnung und Projektionen
- Begriff: Orthogonalprojektion
- Anwendung: Berechnung und Darstellung von Projektionen von Punkten und Vektoren auf Geraden oder Ebenen
Woche 11
Thema 1: Integralrechnung
- Begriffe: Aufleitung, Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral, Integrand, Integrationsgrenzen
- Anwendung: Berechnung bestimmter und unbestimmter Integrale von Polynomen und Exponentialfunktionen (manuell und mit Python/Sympy)
Thema 2: Geraden in 2D und 3D
- Begriffe: Normalform, Hessesche Normalform, Parameterdarstellung
- Anwendung: Darstellung einer Geraden in 2D (Normal- und Hessesche Normalform) und in 3D (Parameterform)
- Abstand eines Punktes von einer Geraden und Bestimmung der Lagebeziehung zweier Geraden in 3D (parallel, windschief, schneidend)
Thema 3: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Begriffe: Gleichverteilung, Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung
- Anwendung: Erkennen und Anwenden der passenden Wahrscheinlichkeitsverteilung auf konkrete Situationen
Woche 12
Thema 1: Extremstellen und Sattelpunkte von Funktionen
- Begriffe: kritische Stelle, kritischer Punkt, lokales/globales Extremum, Hoch-, Tief-, Sattelpunkt
- Kriterien zur Bestimmung und Charakterisierung kritischer Stellen
- Anwendung: Bestimmung lokaler/globale Extrema und Sattelpunkte einer Funktion
Thema 2: Ebenen in 3D
- Begriffe: Parameterform, Normalenform, Hessesche Normalform einer Ebene
- Anwendung: Darstellung einer Ebene in verschiedenen Formen und Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene
Thema 3: Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
- Begriffe: Lagebeziehung (parallel, enthalten, schneidend)
- Anwendung: Bestimmung der Lage von Gerade und Ebene zueinander (Schnittpunkt bestimmen oder Nachweis der Parallelität)
Woche 13
Thema 1: Krümmung und Wendepunkte
- Begriffe: analytische und geometrische Krümmung, Wendepunkt
- Eigenschaften: Verhalten einer Funktion an Wendepunkten, Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung
Thema 2: Wendepunktbestimmung
- Anwendung: Bestimmung der Wendepunkte durch zweite und dritte Ableitung einer Funktion
Thema 3: Kurvendiskussion und praktische Anwendungen
- Durchführung einer vollständigen Kurvendiskussion:
- Definitionsbereich, Symmetrie, Grenzwerte
- Nullstellen, Extrema, Wendepunkte
- Krümmungsverhalten, Grapheninterpretation
- Anwendung auf praktische Aufgaben in Alltag, Naturwissenschaft und Technik