21 KiB
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Woche 1
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Mengenlehre und Zahlenmengen
- Wichtigste Konzepte:
- Mengenschreibweise (z.B. {1,2,3}{1,2,3})
- Teilmengen (A⊆BA \subseteq B), Vereinigung (A∪BA \cup B), Schnittmenge (A∩BA \cap B), Komplement
- Zahlenmengen (N,Z,Q,R\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}) mit Beispielen:
- N={1,2,3,… }\mathbb{N}={1,2,3,\dots}, Z={…,−2,−1,0,1,2,… }\mathbb{Z}={\dots,-2,-1,0,1,2,\dots}
- Intervalle (z.B. [a,b][a,b], (−∞,5)(-\infty,5))
- Übung:
- Zeichne ein Venn-Diagramm für drei Mengen A,B,CA, B, C mit mindestens zwei Überschneidungen. Bestimme A∪BA \cup B, A∩CA \cap C, (A∪B)c(A \cup B)^c.
- Benenne jeweils Beispiele für N,Z,Q\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} und R\mathbb{R}. Welche Zahlen sind rational, welche irrational?
- Verstanden, wenn: Du kannst selbstständig Venn-Diagramme zeichnen und alle Mengenoperationen durchführen. Du kennst die Eigenschaften der Zahlenmengen und kannst jede Zahl einer Menge korrekt zuordnen.
- Wichtigste Konzepte:
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Zahlenoperationen und algebraische Gesetze
- Wichtigste Konzepte:
- Brüche (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division)
- Potenzen (mit natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Exponenten)
- Logarithmen (Log-Gesetze: log(ab)=log(a)+log(b)\log(ab)=\log(a)+\log(b), log(ak)=klog(a)\log(a^k)=k\log(a))
- Binomische Formeln (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a−b)2(a-b)^2 etc.
- Lineare und quadratische Gleichungen (Formeln wie Mitternachtsformel)
- Übung:
- Rechne (34)2\left(\frac{3}{4}\right)^2 und 2⋅8\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}.
- Logarithmus-Beispiel: log2(16)\log_2(16), log3(81)\log_3(81), ln(e3)\ln(e^3).
- Löse: x+3=10x + 3 = 10 und x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6=0.
- Verstanden, wenn: Du kommst schnell von einer allgemeinen Logarithmus- oder Potenzaufgabe zur richtigen Lösung und kannst lineare/quadratische Gleichungen sicher lösen.
- Wichtigste Konzepte:
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Numerik und Computer-Algebra-Systeme (CAS)
- Wichtigste Konzepte:
- Numerische vs. symbolische Berechnung
- Python/Numpy: numerische Summen, Produktberechnungen, Approximieren von Wurzeln usw.
- Python/Sympy: Terme vereinfachen, faktorisieren, Gleichungen symbolisch lösen
- Übung (kleine Beispiele):
- Nutze Sympy, um x2+2x+1x^2+2x+1 zu faktorisieren (sollte (x+1)2(x+1)^2 ergeben).
- Nutze Numpy, um eine Liste von Zahlen [1,2,3][1,2,3] zu addieren oder eine Summe ∑k=1nk\sum_{k=1}^{n} k zu berechnen.
- Verstanden, wenn: Du hast kleine Skripte geschrieben, mit denen du Terme vereinfacht und Gleichungen gelöst hast, ohne dich zu verzetteln.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 2
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Funktionen und Abbildungen
- Wichtigste Konzepte:
- Definition: f:D→Wf: D \rightarrow W, mit DD = Definitionsmenge, WW = Wertebereich
- Injektiv (f(x1)=f(x2) ⟹ x1=x2f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2), Surjektiv (jedes Element der Zielmenge hat ein Urbild)
- Übung:
- Definiere f(x)=x2f(x)=x^2 mit D=RD=\mathbb{R}. Ist ff injektiv? Ist es surjektiv auf R\mathbb{R}? Auf R≥0\mathbb{R}_{\ge 0}?
- Verstanden, wenn: Du erkennst rasch, ob eine Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist, und kannst Argumente/Bilder benennen.
- Wichtigste Konzepte:
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Winkelmaße und Kreisberechnungen
- Wichtigste Konzepte:
- Gradmaß vs. Bogenmaß (z.B. 180∘=π180^\circ = \pi Bogenmaß)
- Bogenlänge s=r⋅φs = r \cdot \varphi (wenn φ\varphi im Bogenmaß)
- Übung:
- Wandle 30∘30^\circ in Bogenmaß um (π6\frac{\pi}{6}).
- Bei Radius r=5r=5 cm und Winkel 60∘60^\circ: Bogenlänge s=?s=?
- Verstanden, wenn: Du rechnest Grad in Bogenmaß sicher um und verwendest korrekt s=rφs=r\varphi.
- Wichtigste Konzepte:
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Kombinatorik und Binomialkoeffizienten
- Wichtigste Konzepte:
- n!n!, (nk)\binom{n}{k}, Permutation, Kombination
- Übung:
- (52)\binom{5}{2} berechnen (=10=10).
- Wie viele Möglichkeiten, 4 Bücher in ein Regal zu stellen (Permutation)?
- Verstanden, wenn: Du kannst die passende Formel direkt auswählen und sicher rechnen, ohne zu raten.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 3
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Zahlenfolgen und Grenzwerte
- Wichtigste Konzepte:
- Beispiele arithmetische Folge (an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d), geometrische Folge (an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1})
- Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz (z.B. 1n→0\frac{1}{n}\rightarrow 0)
- Übung:
- Bestimme die ersten fünf Glieder von an=2⋅3n−1a_n=2\cdot3^{n-1}. Ist sie wachsend oder fallend?
- Zeige, dass an=1na_n=\frac{1}{n} gegen 0 konvergiert.
- Verstanden, wenn: Du kannst klar angeben, ob eine Folge konvergiert oder divergiert und den Grenzwert berechnen.
- Wichtigste Konzepte:
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Lineare Gleichungssysteme und Matrixverfahren
- Wichtigste Konzepte:
- Gauß-Verfahren, Stufenform, Pivotelement, Lösungsmenge
- Übung:
- Löse das System: {x+2y=52x+3y=8\begin{cases} x + 2y = 5\ 2x + 3y = 8 \end{cases}
- Bringe ein 3x3-System in Stufenform und gib die Lösung an.
- Verstanden, wenn: Du arbeitest dich strukturiert durchs Gauß-Schema und erkennst schnell, ob eine eindeutige Lösung existiert.
- Wichtigste Konzepte:
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Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen
- Wichtigste Konzepte:
- Variation (Reihenfolge relevant, z.B. Sitzordnung), Kombination (Reihenfolge egal)
- Übung:
- Wieviele 5-stellige Codes kann man aus Ziffern 0–9 bilden (Variation mit Wiederholung)?
- Wieviele 2er-Teams lassen sich aus 6 Personen bilden (Kombination ohne Wiederholung)?
- Verstanden, wenn: Du ordnest jede typische Kombinatorik-Aufgabe zügig dem richtigen Modell zu.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 4
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Summen und Reihen
- Wichtigste Konzepte:
- Summenzeichen (∑\sum), geometrische Reihe (Sn=a⋅1−qn1−qS_n = a\cdot\frac{1-q^n}{1-q})
- Konvergenz einer unendlichen geometrischen Reihe (∣q∣<1|q|<1)
- Übung:
- Bestimme ∑k=14(2k)\sum_{k=1}^{4} (2k).
- Zeige, dass ∑k=0∞(12)k=2\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = 2.
- Verstanden, wenn: Du baust Summen selbstständig auf und erkennst sofort, wann eine geometrische Reihe konvergiert.
- Wichtigste Konzepte:
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Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter
- Wichtigste Konzepte:
- Rang = Anzahl linear unabhängiger Zeilen, Defekt = Dimension des Lösungsraums
- Übung:
- Gib für das System {x+y+z=22x+2y+2z=4x−y+0z=1\begin{cases} x + y + z = 2\ 2x + 2y + 2z = 4\ x - y + 0z = 1 \end{cases} Rang, Defekt und die Lösungsmenge an.
- Verstanden, wenn: Du erkennst sofort mehrfach gleiche Zeilen (linear abhängig) und kannst Parameter benennen.
- Wichtigste Konzepte:
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Kombinatorik und spezielle Werteberechnung
- Wichtigste Konzepte:
- Wiederholung der Fakulät, Binomialkoeffizienten, Permutationen, Kombinationen etc.
- Übung:
- Vergleiche (53)\binom{5}{3} mit (52)\binom{5}{2}.
- Verstanden, wenn: Du wählst korrekt zwischen Permutation, Kombination und Variation in jeder Aufgabenstellung.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 5
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Funktionen und ihre Eigenschaften
- Wichtigste Konzepte:
- Potenzfunktion (xnx^n), Exponentialfunktion (exe^x), Logarithmusfunktion (lnx\ln x), hyperbolische Funktionen (sinhx,coshx\sinh x, \cosh x)
- Übung:
- Skizziere f(x)=exf(x)=e^x. Berechne f(0)f(0), f′(0)f'(0).
- Skizziere g(x)=ln(x)g(x)=\ln(x). Was passiert für x→0+x \rightarrow 0^+?
- Verstanden, wenn: Du kannst die Grundformen zeichnen und weißt, wie sie sich für große ∣x∣|x| verhalten.
- Wichtigste Konzepte:
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Trigonometrische und Arcuswerte
- Wichtigste Konzepte:
- Sin, Cos, Tan, Arcsin, Arccos, Arctan
- Übung:
- sin(π6)\sin(\frac{\pi}{6}), cos(π3)\cos(\frac{\pi}{3}), tan(π4)\tan(\frac{\pi}{4}).
- Löse sin(x)=12\sin(x)=\frac{1}{2}.
- Verstanden, wenn: Du kennst Standardwerte (30°, 45°, 60°) und kannst Umkehrfunktionen sicher verwenden.
- Wichtigste Konzepte:
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Wahrscheinlichkeit und Ereignisse
- Wichtigste Konzepte:
- Laplace-Experiment, Ereignisverknüpfungen (und, oder, Komplement), De-Morgan’sche Regeln
- Übung:
- Beim Würfeln: Ereignis A={Wurf gerade}A={\text{Wurf gerade}}, B={Wurf ≤3}B={\text{Wurf }\le 3}. Bestimme A∩BA\cap B und A∪BA\cup B.
- Verstanden, wenn: Du arbeitest sicher mit Ereignissen und Verknüpfungen, egal ob im Würfelexperiment oder allgemeinen Fällen.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 6
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Funktionen: Parität, Lineare und Exponentialfunktionen
- Wichtigste Konzepte:
- Gerade Funktion (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)), ungerade Funktion (f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x))
- Lineare Funktion (f(x)=mx+bf(x)=mx+b) aus Punkt+Steigung bestimmen
- Übung:
- Teste, ob f(x)=x2f(x)=x^2 gerade/ungerade ist.
- Bestimme die lineare Funktion, die durch (1,2)(1,2) mit Steigung 3 verläuft.
- Verstanden, wenn: Du erkennst Symmetrien und schreibst sofort den korrekten Funktionsterm.
- Wichtigste Konzepte:
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Trigonometrische Funktionen und Theoreme
- Wichtigste Konzepte:
- Additionstheorem: sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)
- Lösung trigonometrischer Gleichungen
- Übung:
- Zeige sin(π/3+π/6)\sin(\pi/3 + \pi/6) mithilfe des Additionstheorems.
- Löse sin(x)=2/2\sin(x)=\sqrt{2}/2.
- Verstanden, wenn: Du setzt die Additionstheoreme automatisch ein und findest die allgemeinen Lösungen.
- Wichtigste Konzepte:
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kolmogorov-Axiome
- Wichtigste Konzepte:
- Kolmogorov-Axiome, Unabhängigkeit
- Übung:
- Zeige, dass P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
- Prüfe in einem Beispiel, ob zwei Ereignisse unabhängig sind.
- Verstanden, wenn: Du kannst alle Wahrscheinlichkeitsformeln ohne Zögern herleiten/anwenden.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 7
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Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung
- Wichtigste Konzepte:
- Differenzquotient f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
- Ableitung einfacher Monome (ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=n x^{n-1})
- Aufleitung = „Umgekehrte Ableitung“
- Übung:
- ddx(x3)\frac{d}{dx} (x^3) berechnen.
- ∫x2 dx\int x^2 , dx.
- Verstanden, wenn: Du weißt, dass die Ableitung die Steigung ist und du einfache Polynomfunktionen ab- und aufleiten kannst.
- Wichtigste Konzepte:
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Vektoren und Vektorrechnung
- Wichtigste Konzepte:
- Definition eines Vektors in Rn\mathbb{R}^n, Betrag, Linearkombination
- Übung:
- (2,1)+(1,4)=(3,5)(2,1)+(1,4)=(3,5), (2,1)−(1,4)=(1,−3)(2,1)-(1,4)=(1,-3).
- λ(2,1)\lambda(2,1) + μ(0,3)\mu(0,3) = beliebiger Vektor in der Ebene.
- Verstanden, wenn: Du addierst, subtrahierst und skalierst Vektoren flüssig und erkennst geometrische Zusammenhänge.
- Wichtigste Konzepte:
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Ableitung mit Differenzquotient
- Wichtigste Konzepte:
- Definition limh→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
- Übung:
- Zeige direkt via Grenzwert, dass ddxx2=2x\frac{d}{dx} x^2 = 2x.
- Verstanden, wenn: Du kannst den Grenzwert sicher ausrechnen und weißt, wieso das die Steigung ist.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 8
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Differenzialrechnung: Erweiterte Ableitungsregeln
- Wichtigste Konzepte:
- Produktregel: (fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'
- Kettenregel: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)
- Quotientenregel
- Übung:
- Leite f(x)=x2⋅exf(x)=x^2 \cdot e^x ab.
- Leite g(x)=sinxxg(x)=\frac{\sin x}{x} ab.
- Verstanden, wenn: Du sicher bist im Jonglieren mit Produkt-, Ketten- und Quotientenregel.
- Wichtigste Konzepte:
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Vektorrechnung und Skalarprodukt
- Wichtigste Konzepte:
- (a⃗,b⃗)=∥a⃗∥∥b⃗∥cos(α)(\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)
- Winkel- und Längenberechnung
- Übung:
- Berechne das Skalarprodukt von a⃗=(1,2)\vec{a}=(1,2) und b⃗=(2,1)\vec{b}=(2,1).
- Finde den Winkel zwischen a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b}.
- Verstanden, wenn: Du zückst sofort α=arccos(a⃗⋅b⃗∥a⃗∥∥b⃗∥)\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right) und bekommst den richtigen Wert.
- Wichtigste Konzepte:
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und bedingte Wahrscheinlichkeit
- Wichtigste Konzepte:
- Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
- Satz von Bayes
- Übung:
- In einer Urne sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Was ist P(rot∣erste Kugel war rot)P(\text{rot}|\text{erste Kugel war rot})?
- Typische Diagnosefragen (falsch-positiv, falsch-negativ) mit Bayes-Satz durchrechnen.
- Verstanden, wenn: Du kannst Aufgaben zu (Un)abhängigkeit lösen und Bayes-Satz korrekt anwenden.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 9
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
- Wichtigste Konzepte:
- Eulersche Zahl ee, natürliche Exponentialfunktion exe^x, natürlicher Logarithmus lnx\ln x
- Ableitungen: ddxex=ex\frac{d}{dx}e^x=e^x, ddxln(x)=1x\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}
- Übung:
- ∫ex dx=ex+C\int e^x ,dx = e^x + C.
- Leite f(x)=e2xf(x)=e^{2x} mithilfe der Kettenregel ab.
- Verstanden, wenn: Du arbeitest mit ln\ln und exe^x (inkl. Ableitungen) absolut sicher.
- Wichtigste Konzepte:
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Vektor- und Spatprodukt
- Wichtigste Konzepte:
- Kreuzprodukt a⃗×b⃗\vec{a}\times \vec{b}: Betrag = Fläche des Parallelogramms
- Spatprodukt (a⃗×b⃗)⋅c⃗(\vec{a}\times \vec{b})\cdot\vec{c}: Volumen
- Übung:
- Berechne (1,0,0)×(0,1,0)(1,0,0)\times(0,1,0).
- Finde das Volumen des Spats aufgespannt von a⃗=(1,2,3)\vec{a}=(1,2,3), b⃗=(0,1,1)\vec{b}=(0,1,1), c⃗=(2,0,1)\vec{c}=(2,0,1).
- Verstanden, wenn: Du kannst Flächen/Volumen in 3D-Aufgaben schnell bestimmen.
- Wichtigste Konzepte:
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Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Wichtigste Konzepte:
- Zufallsvariable XX, Wahrscheinlichkeitsfunktion pX(k)=P(X=k)p_X(k)=P(X=k)
- Verteilungsfunktion FX(k)=P(X≤k)F_X(k)=P(X\le k)
- Übung:
- Ein Würfel: XX=Augenzahl, erstelle ein Stabdiagramm für pXp_X.
- Verstanden, wenn: Du kannst Wahrscheinlichkeitsfunktionen definieren und interpretieren.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 10
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Ableitungen spezieller Funktionen
- Wichtigste Konzepte:
- ddxsinx=cosx\frac{d}{dx}\sin x=\cos x, ddxcosx=−sinx\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x, ddxtanx=sec2x\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x
- Hyperbolische: ddxsinhx=coshx\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x usw.
- Übung:
- Leite f(x)=sin(3x)f(x)=\sin(3x) ab (Kettenregel).
- Leite g(x)=sinh(2x)g(x)=\sinh(2x) ab.
- Verstanden, wenn: Du kennst diese Standardableitungen auswendig und wendest sie gezielt an.
- Wichtigste Konzepte:
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Geraden in 2D und 3D
- Wichtigste Konzepte:
- Parameterdarstellung r⃗=p⃗+td⃗\vec{r} = \vec{p} + t\vec{d}
- Normalenvektor in 2D, Hessesche Normalform xcosα+ysinα−p1=0\frac{x\cos\alpha + y\sin\alpha - p}{1}=0
- Übung:
- Finde die Parameterdarstellung einer Geraden durch Punkte P(1,2)P(1,2) und Q(2,5)Q(2,5).
- In 3D: Gerade durch P(0,1,2)P(0,1,2) mit Richtungsvektor d⃗=(1,0,3)\vec{d}=(1,0,3).
- Verstanden, wenn: Du schreibst jede Gerade sofort in Parameterform und findest den Normalenvektor in 2D.
- Wichtigste Konzepte:
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Vektorrechnung und Projektionen
- Wichtigste Konzepte:
- Orthogonalprojektion einer Größe u⃗\vec{u} auf v⃗\vec{v}
- Übung:
- Projektion von u⃗=(2,3)\vec{u}=(2,3) auf v⃗=(1,0)\vec{v}=(1,0).
- Verstanden, wenn: Du beherrschst die Formel projv⃗(u⃗)=(u⃗⋅v⃗v⃗⋅v⃗)v⃗\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \left(\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}\right)\vec{v}.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 11
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Integralrechnung
- Wichtigste Konzepte:
- Bestimmtes Integral ∫abf(x) dx\int_a^b f(x),dx als Flächeninhalt
- Grundaufgaben: ∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, ∫exdx=ex+C\int e^x dx=e^x + C
- Übung:
- ∫02x2 dx\int_0^2 x^2,dx.
- ∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x},dx.
- Verstanden, wenn: Du setzt die Stammfunktionen korrekt ein und verstehst, warum das bestimmte Integral eine Fläche darstellt.
- Wichtigste Konzepte:
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Geraden in 2D und 3D
- Wichtigste Konzepte:
- Normal- und Parameterform, Abstandsbestimmung Punkt-Gerade
- Übung:
- Finde den Abstand des Punkts (3,4)(3,4) von der Geraden x+2y=5x+2y=5.
- In 3D: Prüfe, ob zwei Geraden parallel, windschief oder sich schneidend sind.
- Verstanden, wenn: Du beherrschst die Abstandsformel und Lagebeziehungen in 3D.
- Wichtigste Konzepte:
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Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Wichtigste Konzepte:
- Gleichverteilung, Bernoulli, Binomialverteilung (nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
- Übung:
- Bernoulli-Experiment (Treffer/kein Treffer): P(X=1)=pP(X=1)=p.
- Binomialverteilung: n=5n=5, p=0.4p=0.4. Berechne P(X=2)P(X=2).
- Verstanden, wenn: Du kannst die passende Verteilung heraussuchen und berechnen.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 12
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Extremstellen und Sattelpunkte von Funktionen
- Wichtigste Konzepte:
- Kritische Stelle: f′(x0)=0f'(x_0)=0
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- Ableitungstest: f′′(x0)>0f''(x_0)>0 (Tiefpunkt), <0<0 (Hochpunkt), =0=0 (möglicher Sattel)
- Übung:
- Finde Extrema von f(x)=x3−3xf(x)=x^3 - 3x.
- Verstanden, wenn: Du findest Hoch-, Tief- und Sattelpunkte inkl. Koordinaten korrekt.
- Wichtigste Konzepte:
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Ebenen in 3D
- Wichtigste Konzepte:
- Parameterform (r⃗=p⃗+su⃗+tv⃗\vec{r}=\vec{p} + s\vec{u}+ t\vec{v})
- Normalenform (n⃗⋅(r⃗−p⃗)=0\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{p})=0)
- Abstand Punkt-Ebene
- Übung:
- Ebene durch Punkte A,B,CA,B,C angeben.
- Abstand von P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0) zur Ebene berechnen.
- Verstanden, wenn: Du schreibst direkt die Parameter-/Normalenform hin und rechnest den Abstand sauber aus.
- Wichtigste Konzepte:
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Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
- Wichtigste Konzepte:
- Schnittpunkt berechnen (Gerade in die Ebenengleichung einsetzen)
- Parallelität (Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor?)
- Enthaltensein (alle Punkte der Geraden liegen in der Ebene?)
- Übung:
- Zeige, dass die Gerade r⃗=(1,2,3)+t(1,1,1)\vec{r}=(1,2,3)+t(1,1,1) in der Ebene r⃗=(1,2,3)+s(1,0,1)+u(0,1,2)\vec{r}=(1,2,3)+s(1,0,1)+u(0,1,2) liegt.
- Verstanden, wenn: Du unterscheidest rasch zwischen schneidend, parallel und enthalten.
- Wichtigste Konzepte:
Woche 13
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Krümmung und Wendepunkte
- Wichtigste Konzepte:
- Zweite Ableitung (f′′(x)f''(x)) und Vorzeichenwechsel -> Wendepunkt
- Übung:
- Finde alle Wendepunkte bei f(x)=x3f(x)=x^3.
- Verstanden, wenn: Du prüfst d2dx2\frac{d^2}{dx^2} sorgfältig und erkennst das Krümmungsverhalten.
- Wichtigste Konzepte:
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Wendepunktbestimmung
- Wichtigste Konzepte:
- d2dx2(x3)=6x\frac{d^2}{dx^2}(x^3)=6x, d3dx3(x3)=6\frac{d^3}{dx^3}(x^3)=6 (3. Ableitung zur Absicherung)
- Übung:
- Bei f(x)=x4f(x)=x^4: Zeige, warum x=0x=0 zwar d2dx2=0\frac{d^2}{dx^2}=0 ergibt, aber kein Wendepunkt ist.
- Verstanden, wenn: Du kennst den Unterschied: d2dx2=0\frac{d^2}{dx^2}=0 ist nur ein Kandidat und kein sicherer Wendepunkt ohne Vorzeichenwechsel.
- Wichtigste Konzepte:
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Kurvendiskussion und praktische Anwendungen
- Wichtigste Konzepte:
- Kompletter Ablauf: Definitionsbereich, Grenzwerte, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Graphzeichnung
- Übung:
- Vollständige Kurvendiskussion von f(x)=x2−1x+1f(x)=\frac{x^2 - 1}{x+1}. Bestimme Polstellen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte.
- Verstanden, wenn: Du kannst eine Kurvendiskussion in einem Rutsch durchziehen und deine Ergebnisse grafisch/argumentativ stützen.
- Wichtigste Konzepte:
So gehst du vor
- Inhalt sichten: Lies kurz die wichtigsten Konzepte der Woche.
- Minibeispiele rechnen: Pro Punkt 1–2 kleine Aufgaben wie oben, direkt auf Papier/CAS.
- Check: Vergleiche mit den „Verstanden, wenn“-Kriterien.
- Vertiefen (falls Lücken): Wiederhole Theorie, löse zusätzliche Übungsaufgaben.
- Zusammenfassen: Mach dir ein Kurzskript, wo du Formeln und Beispiele notierst.
So lernst du die Themen am effizientesten durch.