CDS401-Mathematics-I/Notes/o1-mini.md

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Natürlich! Hier ist eine umfassende Formelsammlung für die von dir angegebenen Themenbereiche: Analysis, Lineare Algebra und Stochastik. Zusätzlich sind grundlegende Python-Syntax und Beispiele für numerische Berechnungen und Visualisierungen enthalten, wo es erforderlich ist.

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Analysis

1. Mengen und Mengenoperationen

Mengenbegriffe:

• Menge: A={a,b,c}A = {a, b, c}
• Leere Menge: ∅\emptyset
• Teilmenge: A⊆BA \subseteq B

Mengenoperationen:

• Vereinigung: A∪B={x∣x∈A oder x∈B}A \cup B = {x \mid x \in A \text{ oder } x \in B}
• Durchschnitt: A∩B={x∣x∈A und x∈B}A \cap B = {x \mid x \in A \text{ und } x \in B}
• Differenz: A∖B={x∣x∈A und x∉B}A \setminus B = {x \mid x \in A \text{ und } x \notin B}
• Symmetrische Differenz: A△B=(A∖B)∪(B∖A)A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)
• Komplement: Ac={x∣x∉A}A^c = {x \mid x \notin A}

Mengenoperationen in Python:

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
union = A | B
intersection = A & B
difference = A - B
sym_diff = A ^ B

2. Funktionen

Definition einer Funktion:

• Funktion: f:A→Bf: A \rightarrow B, f(x)=yf(x) = y
• Bijektiv, injektiv, surjektiv

Wichtige Funktionstypen:

• Lineare Funktion: f(x)=mx+bf(x) = mx + b
• Quadratische Funktion: f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
• Exponentialfunktion: f(x)=a⋅ebxf(x) = a \cdot e^{bx}
• Trigonometrische Funktionen: sin⁡(x),cos⁡(x),tan⁡(x)\sin(x), \cos(x), \tan(x)

3. Folgen und Reihen

Folgen:

• Definition: (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbb{N}}
• Grenzwert einer Folge: lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L

Reihen:

• Definition: ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n
• Partialsummen: SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n
• Konvergenzkriterien:
  • Divergenztest: Wenn lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, divergiert die Reihe.
  • Geometrische Reihe: ∑n=0∞arn=a1−r\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r} für ∣r∣<1|r| < 1
  • Harmonische Reihe: ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} divergiert.

4. Differentialrechnung

Ableitungen:

• Definition: f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
• Regeln:
  • Konstantenregel: ddxc=0\frac{d}{dx}c = 0
  • Potenzregel: ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}
  • Produktregel: (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'
  • Quotientenregel: (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
  • Kettenregel: ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)

Höhere Ableitungen:

• Zweite Ableitung: f′′(x)f''(x)
• Allgemeine Ableitung: f(n)(x)f^{(n)}(x)

5. Integralrechnung

Integrale:

• Unbestimmtes Integral: ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) , dx = F(x) + C, wobei F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)
• Bestimmtes Integral: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a)

Grundlegende Integrationsregeln:

• Konstantenregel: ∫c dx=cx+C\int c , dx = cx + C
• Potenzregel: ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C für n≠−1n \neq -1
• Linearkombination: ∫[af(x)+bg(x)] dx=a∫f(x) dx+b∫g(x) dx\int [af(x) + bg(x)] , dx = a\int f(x) , dx + b\int g(x) , dx

Polynomiale Integration:

• Beispiel: ∫(3x2+2x+1) dx=x3+x2+x+C\int (3x^2 + 2x + 1) , dx = x^3 + x^2 + x + C

6. Eigenschaften von Funktionen

Extrema:

• Lokales Maximum: f′(c)=0f'(c) = 0 und f′′(c)<0f''(c) < 0
• Lokales Minimum: f′(c)=0f'(c) = 0 und f′′(c)>0f''(c) > 0
• Globale Extrema: Höhere Betrachtung des Definitionsbereichs.

Wendepunkte:

• Definition: f′′(c)=0f''(c) = 0 und Vorzeichenwechsel von f′′f'' um cc

7. Python für Numerische Berechnungen und Visualisierungen

Grundlegende Syntax:

# Variablen
x = 5
y = 3.2

# Funktionen
def f(x):
    return x**2 + 2*x + 1

# Listen und Schleifen
liste = [1, 2, 3, 4, 5]
for elem in liste:
    print(elem)

Numerische Berechnungen mit NumPy:

import numpy as np

# Arrays
A = np.array([1, 2, 3])
B = np.array([4, 5, 6])

# Operationen
C = A + B
D = A * B

Visualisierungen mit Matplotlib:

import matplotlib.pyplot as plt

# Daten
x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = x**2

# Plot
plt.plot(x, y)
plt.title('Parabel')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) = x²')
plt.grid(True)
plt.show()

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Lineare Algebra

1. Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren

Gauß-Verfahren:

• Ziel: Lösung eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform bringen.
• Schritte:
  1. Vorwärtseinsetzen zur Eliminierung unterhalb der Pivotelemente.
  2. Rückwärtseinsetzen zur Bestimmung der Lösungen.

Gauß-Jordan-Verfahren:

• Ziel: Reduktion auf die reduzierte Zeilenstufenform.
• Schritte:
  1. Vorwärtseinsetzen.
  2. Rückwärtseinsetzen mit Eliminierung oberhalb der Pivotelemente.

Rang und Defekt:

• Rang (R): Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten).
• Defekt (D): D=n−RD = n - R, wobei nn die Anzahl der Variablen ist.

Lösungsmenge:

• Eindeutige Lösung: Rang der erweiterten Matrix gleich Rang der Koeffizientenmatrix und gleich der Anzahl der Variablen.
• Unendlich viele Lösungen: Rang der erweiterten Matrix gleich Rang der Koeffizientenmatrix, aber kleiner als die Anzahl der Variablen.
• Keine Lösung: Rang der erweiterten Matrix größer als Rang der Koeffizientenmatrix.

2. Vektoren und Grundoperationen

Vektoren:

• Definition: a=(a1a2an)\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ \vdots \ a_n \end{pmatrix}
• Addition: a+b=(a1+b1a2+b2an+bn)\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \ a_2 + b_2 \ \vdots \ a_n + b_n \end{pmatrix}
• Skalare Multiplikation: ca=(ca1ca2can)c\mathbf{a} = \begin{pmatrix} ca_1 \ ca_2 \ \vdots \ ca_n \end{pmatrix}

Geometrische Wirkung:

• Verschiebung, Skalierung, Rotation

3. Skalarprodukt und Vektoroperationen

Skalarprodukt (Dot Product):

• Definition: a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n
• Länge eines Vektors: ∥a∥=a⋅a|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}
• Winkel zwischen Vektoren: cos⁡(θ)=a⋅b∥a∥∥b∥\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}

Projektion eines Vektors:

• Projection von a\mathbf{a} auf b\mathbf{b}: projba=(a⋅bb⋅b)b\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{b}

4. Vektorprodukt (Kreuzprodukt) und Geometrie

Vektorprodukt (nur in R3\mathbb{R}^3):

• Definition: a×b=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}
• Eigenschaften:
  • Orthogonal zu beiden Ausgangsvektoren.
  • Betrag: ∥a×b∥=∥a∥∥b∥sin⁡(θ)|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin(\theta)

Berechnung von Flächen und Volumen:

• Fläche des Parallelogramms: ∥a×b∥|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|
• Volumen des Tetraeders: 16∣a⋅(b×c)∣\frac{1}{6} |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|

5. Geraden und Ebenen in Vektoralgebra

Gerade:

• Parameterform: g(t)=a+td\mathbf{g}(t) = \mathbf{a} + t\mathbf{d}, t∈Rt \in \mathbb{R}
• Stützvektor: a\mathbf{a}
• Richtungsvektor: d\mathbf{d}

Ebene:

• Parameterform: E(s,t)=a+sb+tc\mathbf{E}(s, t) = \mathbf{a} + s\mathbf{b} + t\mathbf{c}, s,t∈Rs, t \in \mathbb{R}
• Stützvektor: a\mathbf{a}
• Richtungsvektoren: b,c\mathbf{b}, \mathbf{c}
• Normalenform: n⋅(x−a)=0\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0, wobei n\mathbf{n} der Normalenvektor ist.

Geometrische Fragestellungen:

• Schnitt von Geraden und Ebenen
• Abstände zwischen Punkten und Geraden/Ebenen
• Winkel zwischen Geraden und Ebenen

6. Python für Numerische Berechnungen und Visualisierungen

Lösen linearer Gleichungssysteme mit NumPy:

import numpy as np

# Koeffizientenmatrix
A = np.array([[2, 1], [1, 3]])

# Rechtehandvektor
b = np.array([8, 13])

# Lösung
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)  # Ausgabe: [3.  3.]

Berechnung von Rang, Determinante und Inversen:

# Rang
rang = np.linalg.matrix_rank(A)

# Determinante
det = np.linalg.det(A)

# Inverse
A_inv = np.linalg.inv(A)

Visualisierung von Vektoren und Ebenen mit Matplotlib:

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# Vektoren
origin = [0, 0, 0]
ax.quiver(*origin, *A[:,0], color='r', label='a')
ax.quiver(*origin, *A[:,1], color='b', label='b')

# Ebene
xx, yy = np.meshgrid(range(-10, 10), range(-10, 10))
zz = ( -2*xx - yy + 8 ) / 1
ax.plot_surface(xx, yy, zz, alpha=0.5)

ax.legend()
plt.show()

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Stochastik

1. Kombinatorik

Grundlegende Begriffe:

• Permutation: Anordnung von nn verschiedenen Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. P(n)=n!P(n) = n!
• Variation: Anordnung von kk Objekten aus nn ohne Wiederholung, bei der die Reihenfolge wichtig ist. V(n,k)=n!(n−k)!V(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}
• Kombination: Auswahl von kk Objekten aus nn ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. C(n,k)=(nk)=n!k!(n−k)!C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}

Wichtige Formeln:

• Binomialkoeffizient: (nk)\binom{n}{k}
• Multinomialkoeffizient: n!k1!k2!…km!\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}

2. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe:

• Zufallsexperiment: Ein Versuch, dessen Ausgang nicht vorhergesagt werden kann.
• Ereignis: Eine Teilmenge des Ergebnisraums Ω\Omega.
• Ergebnisraum: Gesamtheit aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov):

1. P(Ω)=1P(\Omega) = 1
2. P(A)≥0P(A) \geq 0 für jedes Ereignis AA
3. Für disjunkte Ereignisse A1,A2,…A_1, A_2, \dots: P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)

Wichtige Wahrscheinlichkeitsregeln:

• Additionstheorem: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
• Multiplikationstheorem (unabhängige Ereignisse): P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
• Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0
• Satz von Bayes: P(A∣B)=P(B∣A)⋅P(A)P(B)P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}

3. Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diskrete Verteilungen:

• Binomialverteilung: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
• Poisson-Verteilung: P(X=k)=λke−λk!P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

Stetige Verteilungen:

• Normalverteilung: f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
• Exponentialverteilung: f(x)=λe−λx,x≥0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0

4. Erwartungswert und Varianz

Erwartungswert (Erwartung):

• Diskret: E(X)=∑ixiP(X=xi)E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i)
• Stetig: E(X)=∫−∞∞xf(x) dxE(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) , dx

Varianz:

• Definition: Var(X)=E(X2)−[E(X)]2\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Standardabweichung:

σX=Var(X)\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}

5. Unabhängigkeit und Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Unabhängigkeit:

• Zwei Ereignisse AA und BB sind unabhängig, wenn: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Bedingte Wahrscheinlichkeiten:

• Definition: P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0

6. Kombinatorische Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

• Wahrscheinlichkeit, kk Erfolge in nn Versuchen (Binomialverteilung): P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}

Hypergeometrische Verteilung:

• Definition: P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}} wobei NN die Gesamtzahl, KK die Anzahl der Erfolge in der Gesamtpopulation und nn die Anzahl der gezogenen Elemente ist.

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Diese Formelsammlung deckt die grundlegenden und erweiterten Themen in Analysis, Lineare Algebra und Stochastik ab. Für spezifische Anwendungen oder tiefere Einblicke in bestimmte Bereiche empfiehlt es sich, weiterführende Literatur oder spezialisierte Ressourcen zu konsultieren.