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Natürlich! Hier ist eine umfassende Formelsammlung für die von dir angegebenen Themenbereiche: Analysis, Lineare Algebra und Stochastik. Zusätzlich sind grundlegende Python-Syntax und Beispiele für numerische Berechnungen und Visualisierungen enthalten, wo es erforderlich ist.
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## **Analysis**
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### **1. Mengen und Mengenoperationen**
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**Mengenbegriffe:**
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- **Menge:** A={a,b,c}A = \{a, b, c\}
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- **Leere Menge:** ∅\emptyset
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- **Teilmenge:** A⊆BA \subseteq B
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**Mengenoperationen:**
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- **Vereinigung:** A∪B={x∣x∈A oder x∈B}A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}
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- **Durchschnitt:** A∩B={x∣x∈A und x∈B}A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}
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- **Differenz:** A∖B={x∣x∈A und x∉B}A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \notin B\}
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- **Symmetrische Differenz:** A△B=(A∖B)∪(B∖A)A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)
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- **Komplement:** Ac={x∣x∉A}A^c = \{x \mid x \notin A\}
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**Mengenoperationen in Python:**
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```python
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A = {1, 2, 3}
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B = {3, 4, 5}
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union = A | B
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intersection = A & B
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difference = A - B
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sym_diff = A ^ B
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```
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### **2. Funktionen**
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**Definition einer Funktion:**
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- **Funktion:** f:A→Bf: A \rightarrow B, f(x)=yf(x) = y
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- **Bijektiv, injektiv, surjektiv**
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**Wichtige Funktionstypen:**
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- **Lineare Funktion:** f(x)=mx+bf(x) = mx + b
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- **Quadratische Funktion:** f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
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- **Exponentialfunktion:** f(x)=a⋅ebxf(x) = a \cdot e^{bx}
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- **Trigonometrische Funktionen:** sin(x),cos(x),tan(x)\sin(x), \cos(x), \tan(x)
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### **3. Folgen und Reihen**
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**Folgen:**
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- **Definition:** (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbb{N}}
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- **Grenzwert einer Folge:** limn→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L
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**Reihen:**
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- **Definition:** ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n
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- **Partialsummen:** SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n
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- **Konvergenzkriterien:**
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- **Divergenztest:** Wenn limn→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, divergiert die Reihe.
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- **Geometrische Reihe:** ∑n=0∞arn=a1−r\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r} für ∣r∣<1|r| < 1
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- **Harmonische Reihe:** ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} divergiert.
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### **4. Differentialrechnung**
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**Ableitungen:**
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- **Definition:** f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
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- **Regeln:**
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- **Konstantenregel:** ddxc=0\frac{d}{dx}c = 0
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- **Potenzregel:** ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}
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- **Produktregel:** (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'
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- **Quotientenregel:** (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
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- **Kettenregel:** ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)
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**Höhere Ableitungen:**
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- **Zweite Ableitung:** f′′(x)f''(x)
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- **Allgemeine Ableitung:** f(n)(x)f^{(n)}(x)
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### **5. Integralrechnung**
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**Integrale:**
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- **Unbestimmtes Integral:** ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) \, dx = F(x) + C, wobei F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)
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- **Bestimmtes Integral:** ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
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**Grundlegende Integrationsregeln:**
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- **Konstantenregel:** ∫c dx=cx+C\int c \, dx = cx + C
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- **Potenzregel:** ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C für n≠−1n \neq -1
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- **Linearkombination:** ∫[af(x)+bg(x)] dx=a∫f(x) dx+b∫g(x) dx\int [af(x) + bg(x)] \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx
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**Polynomiale Integration:**
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- **Beispiel:** ∫(3x2+2x+1) dx=x3+x2+x+C\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^3 + x^2 + x + C
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### **6. Eigenschaften von Funktionen**
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**Extrema:**
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- **Lokales Maximum:** f′(c)=0f'(c) = 0 und f′′(c)<0f''(c) < 0
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- **Lokales Minimum:** f′(c)=0f'(c) = 0 und f′′(c)>0f''(c) > 0
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- **Globale Extrema:** Höhere Betrachtung des Definitionsbereichs.
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**Wendepunkte:**
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- **Definition:** f′′(c)=0f''(c) = 0 und Vorzeichenwechsel von f′′f'' um cc
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### **7. Python für Numerische Berechnungen und Visualisierungen**
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**Grundlegende Syntax:**
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```python
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# Variablen
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x = 5
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y = 3.2
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# Funktionen
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def f(x):
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return x**2 + 2*x + 1
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# Listen und Schleifen
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liste = [1, 2, 3, 4, 5]
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for elem in liste:
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print(elem)
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```
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**Numerische Berechnungen mit NumPy:**
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```python
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import numpy as np
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# Arrays
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A = np.array([1, 2, 3])
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B = np.array([4, 5, 6])
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# Operationen
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C = A + B
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D = A * B
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```
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**Visualisierungen mit Matplotlib:**
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```python
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import matplotlib.pyplot as plt
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# Daten
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x = np.linspace(-10, 10, 400)
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y = x**2
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# Plot
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plt.plot(x, y)
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plt.title('Parabel')
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plt.xlabel('x')
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plt.ylabel('f(x) = x²')
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plt.grid(True)
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plt.show()
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```
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## **Lineare Algebra**
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### **1. Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren**
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**Gauß-Verfahren:**
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- Ziel: Lösung eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform bringen.
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- **Schritte:**
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1. Vorwärtseinsetzen zur Eliminierung unterhalb der Pivotelemente.
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2. Rückwärtseinsetzen zur Bestimmung der Lösungen.
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**Gauß-Jordan-Verfahren:**
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- Ziel: Reduktion auf die reduzierte Zeilenstufenform.
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- **Schritte:**
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1. Vorwärtseinsetzen.
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2. Rückwärtseinsetzen mit Eliminierung oberhalb der Pivotelemente.
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**Rang und Defekt:**
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- **Rang (R):** Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten).
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- **Defekt (D):** D=n−RD = n - R, wobei nn die Anzahl der Variablen ist.
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**Lösungsmenge:**
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- **Eindeutige Lösung:** Rang der erweiterten Matrix gleich Rang der Koeffizientenmatrix und gleich der Anzahl der Variablen.
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- **Unendlich viele Lösungen:** Rang der erweiterten Matrix gleich Rang der Koeffizientenmatrix, aber kleiner als die Anzahl der Variablen.
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- **Keine Lösung:** Rang der erweiterten Matrix größer als Rang der Koeffizientenmatrix.
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### **2. Vektoren und Grundoperationen**
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**Vektoren:**
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- **Definition:** a=(a1a2an)\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}
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- **Addition:** a+b=(a1+b1a2+b2an+bn)\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{pmatrix}
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- **Skalare Multiplikation:** ca=(ca1ca2can)c\mathbf{a} = \begin{pmatrix} ca_1 \\ ca_2 \\ \vdots \\ ca_n \end{pmatrix}
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**Geometrische Wirkung:**
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- **Verschiebung, Skalierung, Rotation**
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### **3. Skalarprodukt und Vektoroperationen**
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**Skalarprodukt (Dot Product):**
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- **Definition:** a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n
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- **Länge eines Vektors:** ∥a∥=a⋅a\|\mathbf{a}\| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}
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- **Winkel zwischen Vektoren:** cos(θ)=a⋅b∥a∥∥b∥\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}
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**Projektion eines Vektors:**
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- **Projection von a\mathbf{a} auf b\mathbf{b}:** projba=(a⋅bb⋅b)b\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{b}
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### **4. Vektorprodukt (Kreuzprodukt) und Geometrie**
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**Vektorprodukt (nur in R3\mathbb{R}^3):**
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- **Definition:** a×b=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}
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- **Eigenschaften:**
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- Orthogonal zu beiden Ausgangsvektoren.
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- Betrag: ∥a×b∥=∥a∥∥b∥sin(θ)\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \sin(\theta)
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**Berechnung von Flächen und Volumen:**
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- **Fläche des Parallelogramms:** ∥a×b∥\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|
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- **Volumen des Tetraeders:** 16∣a⋅(b×c)∣\frac{1}{6} |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|
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### **5. Geraden und Ebenen in Vektoralgebra**
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**Gerade:**
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- **Parameterform:** g(t)=a+td\mathbf{g}(t) = \mathbf{a} + t\mathbf{d}, t∈Rt \in \mathbb{R}
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- **Stützvektor:** a\mathbf{a}
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- **Richtungsvektor:** d\mathbf{d}
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**Ebene:**
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- **Parameterform:** E(s,t)=a+sb+tc\mathbf{E}(s, t) = \mathbf{a} + s\mathbf{b} + t\mathbf{c}, s,t∈Rs, t \in \mathbb{R}
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- **Stützvektor:** a\mathbf{a}
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- **Richtungsvektoren:** b,c\mathbf{b}, \mathbf{c}
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- **Normalenform:** n⋅(x−a)=0\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0, wobei n\mathbf{n} der Normalenvektor ist.
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**Geometrische Fragestellungen:**
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- **Schnitt von Geraden und Ebenen**
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- **Abstände zwischen Punkten und Geraden/Ebenen**
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- **Winkel zwischen Geraden und Ebenen**
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### **6. Python für Numerische Berechnungen und Visualisierungen**
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**Lösen linearer Gleichungssysteme mit NumPy:**
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```python
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import numpy as np
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# Koeffizientenmatrix
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A = np.array([[2, 1], [1, 3]])
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# Rechtehandvektor
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b = np.array([8, 13])
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# Lösung
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x = np.linalg.solve(A, b)
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print(x) # Ausgabe: [3. 3.]
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```
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**Berechnung von Rang, Determinante und Inversen:**
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```python
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# Rang
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rang = np.linalg.matrix_rank(A)
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# Determinante
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det = np.linalg.det(A)
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# Inverse
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A_inv = np.linalg.inv(A)
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```
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**Visualisierung von Vektoren und Ebenen mit Matplotlib:**
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```python
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from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
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fig = plt.figure()
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ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
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# Vektoren
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origin = [0, 0, 0]
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ax.quiver(*origin, *A[:,0], color='r', label='a')
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ax.quiver(*origin, *A[:,1], color='b', label='b')
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# Ebene
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xx, yy = np.meshgrid(range(-10, 10), range(-10, 10))
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zz = ( -2*xx - yy + 8 ) / 1
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ax.plot_surface(xx, yy, zz, alpha=0.5)
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ax.legend()
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plt.show()
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```
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## **Stochastik**
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### **1. Kombinatorik**
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**Grundlegende Begriffe:**
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- **Permutation:** Anordnung von nn verschiedenen Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. P(n)=n!P(n) = n!
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- **Variation:** Anordnung von kk Objekten aus nn ohne Wiederholung, bei der die Reihenfolge wichtig ist. V(n,k)=n!(n−k)!V(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}
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- **Kombination:** Auswahl von kk Objekten aus nn ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. C(n,k)=(nk)=n!k!(n−k)!C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
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**Wichtige Formeln:**
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- **Binomialkoeffizient:** (nk)\binom{n}{k}
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- **Multinomialkoeffizient:** n!k1!k2!…km!\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}
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### **2. Wahrscheinlichkeitsrechnung**
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**Grundlegende Begriffe:**
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- **Zufallsexperiment:** Ein Versuch, dessen Ausgang nicht vorhergesagt werden kann.
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- **Ereignis:** Eine Teilmenge des Ergebnisraums Ω\Omega.
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- **Ergebnisraum:** Gesamtheit aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
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**Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov):**
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1. P(Ω)=1P(\Omega) = 1
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2. P(A)≥0P(A) \geq 0 für jedes Ereignis AA
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3. Für disjunkte Ereignisse A1,A2,…A_1, A_2, \dots: P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)
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**Wichtige Wahrscheinlichkeitsregeln:**
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- **Additionstheorem:** P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
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- **Multiplikationstheorem (unabhängige Ereignisse):** P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
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- **Bedingte Wahrscheinlichkeit:** P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0
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- **Satz von Bayes:** P(A∣B)=P(B∣A)⋅P(A)P(B)P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}
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### **3. Wahrscheinlichkeitsverteilungen**
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**Diskrete Verteilungen:**
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- **Binomialverteilung:** P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
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- **Poisson-Verteilung:** P(X=k)=λke−λk!P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
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**Stetige Verteilungen:**
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- **Normalverteilung:** f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
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- **Exponentialverteilung:** f(x)=λe−λx,x≥0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0
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### **4. Erwartungswert und Varianz**
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**Erwartungswert (Erwartung):**
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- **Diskret:** E(X)=∑ixiP(X=xi)E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i)
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- **Stetig:** E(X)=∫−∞∞xf(x) dxE(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
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**Varianz:**
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- **Definition:** Var(X)=E(X2)−[E(X)]2\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
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**Standardabweichung:**
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σX=Var(X)\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}
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### **5. Unabhängigkeit und Bedingte Wahrscheinlichkeiten**
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**Unabhängigkeit:**
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- Zwei Ereignisse AA und BB sind unabhängig, wenn: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
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**Bedingte Wahrscheinlichkeiten:**
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- **Definition:** P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0
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### **6. Kombinatorische Wahrscheinlichkeiten**
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**Beispiel:**
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- **Wahrscheinlichkeit, kk Erfolge in nn Versuchen (Binomialverteilung):** P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
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**Hypergeometrische Verteilung:**
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- **Definition:** P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}} wobei NN die Gesamtzahl, KK die Anzahl der Erfolge in der Gesamtpopulation und nn die Anzahl der gezogenen Elemente ist.
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Diese Formelsammlung deckt die grundlegenden und erweiterten Themen in Analysis, Lineare Algebra und Stochastik ab. Für spezifische Anwendungen oder tiefere Einblicke in bestimmte Bereiche empfiehlt es sich, weiterführende Literatur oder spezialisierte Ressourcen zu konsultieren. |