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# WIP Konzept - Uneigentliches Integral
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# WIP Konzept - Komplexe Zahlen
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# 10. Diagonalisierung und Transformationsmatrix
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# 9. Schwerpunkt
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1. **Gebiet $\mathcal A$ festlegen**
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Wähle Integrationsgrenzen, z. B.
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$$
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x\in[a,b],\quad y\in\bigl[y_{\mathrm{unten}}(x),\,y_{\mathrm{oben}}(x)\bigr]
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$$
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oder umgekehrt
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$$
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y\in[c,d],\quad x\in\bigl[x_{\mathrm{links}}(y),\,x_{\mathrm{rechts}}(y)\bigr].
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$$
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2. **Dichtefunktion $\rho(x,y)$ angeben**
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- Allgemein beliebig.
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- Regelfall homogen: $\rho(x,y)\equiv 1$.
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3. **Gesamtmasse \(M\) berechnen**
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$$
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M \;=\;\iint_{\mathcal A}\rho(x,y)\,dA
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\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
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\rho(x,y)\,dy\,dx.
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$$
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4. **Erstes Moment zur \(y\)-Achse (\(x_S\))**
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$$
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M_y
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\;=\;\iint_{\mathcal A} x\,\rho(x,y)\,dA
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\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
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x\,\rho(x,y)\,dy\,dx.
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$$
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5. **Erstes Moment zur \(x\)-Achse ($y_S$)**
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$$
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M_x
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\;=\;\iint_{\mathcal A} y\,\rho(x,y)\,dA
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\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
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y\,\rho(x,y)\,dy\,dx.
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$$
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6. **Schwerpunktkoordinaten**
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$$
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x_S \;=\;\frac{M_y}{M},
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\qquad
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y_S \;=\;\frac{M_x}{M}.
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$$
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### Beispiel für $\rho(x,y)\equiv1$ und $0\le x\le2a,\;0\le y\le a+x$
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- Gebiet:
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$$
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x\in[0,2a],\quad y\in[0,\;a+x].
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$$
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- Gesamtmasse:
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$$
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M = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x}1\,dy\,dx = 4a^2.
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$$
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- Erste Momente:
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$$
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M_y = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x} x\,dy\,dx,
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\quad
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M_x = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x} y\,dy\,dx.
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$$
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- Schwerpunkt:
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$$
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x_S = \frac{M_y}{M} = \frac{7}{6}a,
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\quad
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y_S = \frac{M_x}{M} = \frac{13}{12}a.
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$$
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# 8. Extrema - Mehrdimensional
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| **Baustein** | **Was es ist / tut** | **Warum es wichtig ist** |
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| **1. Funktion** $f(x,y)$ | Die „Höhenlandschaft“, die untersucht wird. | Ohne Funktion keine Analyse. |
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| **2. Gradient** $\nabla f=(f_x,f_y)$ | Erste partielle Ableitungen → zeigt stärksten Anstieg. | Setze $\nabla f = \mathbf 0$, um **kritische Punkte** zu finden. |
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| **3. Gleichungssystem** $\;f_x=0,\;f_y=0\;$ | Zwei Gleichungen. | Liefert die Koordinaten aller kritischen Punkte. |
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| **4. Hesse-Matrix** $$H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}$$ | Matrix der zweiten Ableitungen. | Enthält Krümmungs-Info der Fläche. |
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| **5. Determinante** $$D=\det H=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}$$ | Eine Zahl pro Punkt. | Entscheidet schnell über Punktart:<br>• $D>0$ ⇒ Extremum<br>• $D<0$ ⇒ Sattel<br>• $D=0$ ⇒ Test unentschieden |
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| **6. Vorzeichen von** $f_{xx}$ | Nur wenn $D>0$. | Unterscheidet Minimum ($f_{xx}>0$) vs. Maximum ($f_{xx}<0$). |
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| **7. Funktionswert** $f(x_0,y_0)$ *(optional)* | Höhe des Punktes. | Rein informativ, z. B. tiefstes Minimum. |
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| **8. Sonderfälle**<br>• Eigenwerte von $H$<br>• Lagrange-Multiplikatoren | Alternativen/Erweiterungen. | Eigenwerte geben gleiche Entscheidung; Lagrange bei Nebenbedingungen. |
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## Ablauf in Kurzform
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1. **Aufschreiben:** $f(x,y)$
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2. **Gradient bilden:** $f_x,\;f_y$
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3. **Kritische Punkte:** Löse $f_x=0,\;f_y=0$ → $\{P_i\}$
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4. **Hesse-Matrix:** $f_{xx},f_{xy},f_{yy}$ in jedem $P_i$
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5. **Klassifikation:**
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* $D<0$ ⇒ Sattel
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* $D>0$ & $f_{xx}>0$ ⇒ Minimum
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* $D>0$ & $f_{xx}<0$ ⇒ Maximum
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* $D=0$ ⇒ weiterer Test nötig
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1. **(Optional) Funktionswerte** $f(P_i)$ einsetzen, um Höhen/Tiefen zu vergleichen.
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# 7. e) Skalares Kurvenintegral
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**Allgemeines Schema zur Berechnung eines skalaren Kurvenintegrals**
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1. **Parameterdarstellung**
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$$\gamma(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr),\quad t\in[a,b]$$
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2. **Einsetzen in die skalare Feldfunktion**
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$$f\bigl(\gamma(t)\bigr) = f\bigl(x(t),\,y(t)\bigr)$$
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3. **Berechnung des Bogenelements**
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- Ableitung:
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$$\gamma'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr)$$
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- Norm (Geschwindigkeit):
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$$\|\gamma'(t)\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$$
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4. **Formulierung des Kurvenintegrals**
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$$
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\int_{K} f\,\mathrm{d}s
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= \int_{a}^{b} f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\|\gamma'(t)\|\,\mathrm{d}t
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$$
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5. **Auswertung des Integrals**
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- Ggf. Substitution wählen, z. B. $u = g(t)$
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- $\mathrm{d}u$ bestimmen und $t\,\mathrm{d}t$ umschreiben
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- Grenzen anpassen:
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$$t=a\mapsto u=u(a),\quad t=b\mapsto u=u(b)$$
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- Stammfunktion finden und einsetzen
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- Ergebnis vereinfachen
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6. **Interpretation**
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- Physikalisch: Gesamtmasse, Arbeit, Energie, …
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- Mathematisch: Konvergenz prüfen (bei offenen Endpunkten)
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## Richtungsableitung
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1. **Gradient berechnen**
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$$
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\nabla f(x)
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=
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\begin{pmatrix}
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\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x) \\[6pt]
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\vdots \\[4pt]
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\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{n}}(x)
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\end{pmatrix}.
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$$
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2. **Einheitsvektor bilden**
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Sei $\vec v = (v_{1},\dots,v_{n})^\top\in\mathbb{R}^{n}$. Dann
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$$
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\|\vec v\| = \sqrt{v_{1}^{2} + \dots + v_{n}^{2}},
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\qquad
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\vec u = \frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
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$$
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3. **Richtungsableitung**
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$$
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D_{\vec v}f(P)
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= \lim_{h\to 0}\frac{f\bigl(P + h\,\vec u\bigr) - f(P)}{h}
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= \nabla f(P)\,\bullet\,\vec u
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= \nabla f(P)\,\bullet\,\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
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$$
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**Kurzgefasst:**
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$$
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D_{\vec v}f(P)
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= \nabla f(P)\,\bullet\,\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
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$$
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# 7. d) Integrationsreihenfolge ändern
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| **Vorher** – Typ I | **Nachher** – Typ II | **Was wohin ?** |
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|--------------------|----------------------|-----------------|
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| $$\int_{x=a}^{b}\;\int_{y=l(x)}^{u(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$ | $$\int_{y=l(a)}^{u(b)}\;\int_{x=l^{-1}(y)}^{u^{-1}(y)} f(x,y)\,dx\,dy$$ | 1. äußere Variable wechselt $x\to y$ <br> 2. **äußere Grenzen** = tiefster / höchster $y$-Wert des Gebiets (hier $l(a),u(b)$) <br> 3. **innere Grenzen** = Umkehrfunktionen der alten Kurven $l,u$ (links / rechts) |
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| *(Spezialfall $l(x)=0$)* | | |
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#### Idiotensicheres Beispiel
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Gegeben
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$$
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\int_{x=a}^{b}\;\int_{y=0}^{x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx
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$$
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➜ Tauschen
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$$
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\int_{y=0}^{b^{2}}\;\int_{x=\sqrt{y}}^{b} f(x,y)\,dx\,dy
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$$
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* drag-and-drop-Mapping:
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* $0$ bleibt $0$ (äußere unten)
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* $x^{2}$ → Umkehr $\sqrt{y}$ (innere links)
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* $a,b$ bleiben Konstanten, landen als innere/rechte Grenze ($x=b$) und sorgen für $y$-Max $=b^{2}$
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### Matrixpotenz $A^{15}$ – idiotensicher
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1. **Faktor ausrechnen**
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$$A=\tfrac12\begin{pmatrix}\sqrt3&-1\\[2pt]1&\sqrt3\end{pmatrix}
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=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt3}{2}&-\tfrac12\\[4pt]\tfrac12&\tfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$$
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2. **Erkennen: Rotationsmatrix**
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Form $\bigl(\!\begin{smallmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{smallmatrix}\!\bigr)$
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⇒ $\cos\theta=\sqrt3/2,\ \sin\theta=1/2 \;\Longrightarrow\; \theta=\pi/6$ (30°).
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3. **Potenzregel für Rotationsmatrizen**
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$$A^n=\begin{pmatrix}\cos(n\theta)&-\sin(n\theta)\\\sin(n\theta)&\cos(n\theta)\end{pmatrix}$$
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4. **Hier $n=15$**
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$$n\theta=15\cdot\frac{\pi}{6}= \frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}$$
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(Rotation um $450^\circ$ ≙ $90^\circ$).
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5. **Kosinus/Sinus auslesen**
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$$\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\qquad
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\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.$$
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6. **Ergebnis**
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$$\boxed{A^{15}= \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}$$
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# WIP 7. c Vertauschen Integrationsreihenfolge
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# WIP 7. b) Matrix Potenz
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Diagonalmatrix oder Drehmatrix.
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# 7. a) Komplexe Zahl Polarform gleichung
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$$
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z^{\,n}=R\,e^{i\Phi},\qquad R>0,\;n\in\mathbb N
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$$
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| Schritt | Was tun? | Formel / Erläuterung |
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|---------|-----------|----------------------|
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| **1. Polar-/Exponentialform herstellen** | Schreibe die rechte Seite als $R\,e^{i\Phi}$ mit Betrag $R$ und (Haupt-)Argument $\Phi$.<br>Falls sie in kartesischer Form $a+ib$ vorliegt: $$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad \Phi=\operatorname{atan2}(b,a).$$ |
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||
| **2. n-te-Wurzel-Formel anwenden** | Für $$z^{n}=R\,e^{i\Phi}$$ lauten alle Lösungen $$z_k=\sqrt[n]{R}\,e^{\,i(\Phi+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.$$ |
|
||
| **3. Winkel berechnen** | Definiere $$\theta_k=\frac{\Phi+2k\pi}{n}.$$ Diese $n$ Winkel liegen äquidistant auf dem Kreis (Abstand $2\pi/n$). |
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||
| **4. Arithmetische (kartesische) Form** | Nutze Euler $e^{i\theta_k}=\cos\theta_k+i\sin\theta_k$:<br> $$z_k=\sqrt[n]{R}\,(\cos\theta_k+i\sin\theta_k).$$ |
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| **5. (Optional) Prüfen** | Einsetzen zeigt $$z_k^{\,n}=R\,e^{i\Phi}.$$ |
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#### Kurzform der Lösungsmengen-Formel
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$$
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\boxed{\,z_k=\sqrt[n]{R}\,e^{\,i(\Phi+2k\pi)/n},\;k=0,\dots,n-1\,}
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$$
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**Merke**
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1. Betrag der Wurzeln: $\sqrt[n]{R}$.
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2. Winkel: $\theta_k=\dfrac{\Phi+2k\pi}{n}$.
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3. $n$ Lösungen liegen gleichmäßig verteilt auf einem Kreis mit Radius $\sqrt[n]{R}$.
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# Vektorfelder
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# Matrizen Eigenschaften
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## Singular vs. Regulär
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>Check: Deteminante berechnen
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- **Singular** ⇔ $\det A=0$ → nicht invertierbar.
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- **Regulär** ⇔ $\det A\neq0$ → Inverse $A^{-1}$ existiert.
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## Diagonalmatrix
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Matrix
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$$
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D=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&-2&0\\0&0&7\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- **Besteht typischerweise aus den Eigenwerten** einer Matrix entlang der Hauptdiagonalen, wenn man $A=PDP^{-1}$ diagonalisiert.
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- Kommutiert mit jeder anderen Diagonalmatrix
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- **Leicht zu potenzieren/invertieren**:
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$D^k=\operatorname{diag}(4^k,-2^k,7^k)$,
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$D^{-1}=\operatorname{diag}\!\bigl(\tfrac14,-\tfrac12,\tfrac17\bigr)$
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- **Orthogonal** genau dann, wenn $|d_i|=1$ (dann $DD^\top=I$)
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## Orthogonale Matrix
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Matrix
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$$
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Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}
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$$
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||
Eigenschaften
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- **$Q^\top Q=I$**, also $Q^{-1}=Q^\top$
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- **Determinante = ±1**, erhält Länge & Winkel
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## Rotationsmatrix (Ebene)
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Matrix
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$$
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||
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}
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||
$$
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||
|
||
Eigenschaften
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- Orthogonal mit **$\det=1$**
|
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- **Potenzregel**: $R(\theta)^n=R(n\theta)$
|
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---
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## Nullmatrix
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||
Matrix
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$$
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||
O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
Eigenschaften
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||
- **Additives Neutrum**: $A+O=A$
|
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- **Rang = 0**, **Spur = 0**
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## Einheits-/Identitätsmatrix
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Matrix
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$$
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||
I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
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||
$$
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|
||
Eigenschaften
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- **Multiplikatives Neutrum**: $AI_2=I_2A=A$
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||
- **Eigenwerte alle 1**, $I_2^\top=I_2^{-1}=I_2$
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---
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||
## Skalarmatrix
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||
Matrix
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$$
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||
2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Eigenschaften
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- Spezialfall Diagonalmatrix, **alle Eigenwerte = 2**
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||
- Orthogonal/unitär ⇔ $|2|=1$ (hier also **nicht** orthogonal)
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||
## Symmetrische Matrix ( +Transformationsmatrix)
|
||
Matrix
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$$
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||
S=\begin{pmatrix}2&3&-1\\3&5&0\\-1&0&4\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Eigenschaften
|
||
- $S^\top=S$
|
||
- **Reelle Eigenwerte**, **orthogonal diagonalisierbar**:
|
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$$S = Q\,D\,Q^\top$$
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||
- **Transformationsmatrix** $Q$:
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$$Q=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix},$$
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wobei $v_i$ die normierten Eigenvektoren von $S$ sind (Spalten von $Q$).
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---
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||
## Schiefsymmetrische Matrix
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||
Matrix
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$$
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||
K=\begin{pmatrix}0&-2&1\\2&0&4\\-1&-4&0\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Eigenschaften
|
||
- $K^\top=-K$, **Diagonale = 0**
|
||
- **Spur = 0**, Eigenwerte rein imaginär oder 0
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---
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||
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||
## Projektionsmatrix (idempotent)
|
||
Matrix
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||
$$
|
||
P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Eigenschaften
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||
- **$P^2=P$**, projiziert auf $x$-Achse
|
||
- Eigenwerte **0 oder 1**
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||
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## Involutorische Matrix
|
||
Matrix
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||
$$
|
||
J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Eigenschaften
|
||
- **$J^2=I$**, also $J^{-1}=J$
|
||
- Eigenwerte **±1** (tauscht Koordinatenachsen)
|
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||
---
|
||
|
||
## Nilpotente Matrix
|
||
Matrix
|
||
$$
|
||
N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
|
||
\quad\text{mit}\quad N^2=O_2
|
||
$$
|
||
|
||
Eigenschaften
|
||
- **Alle Eigenwerte = 0**, Spur = 0
|
||
- $N^k=O$ für $k\ge2$
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||
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||
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||
---
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|
||
## Reflexionsmatrix (Householder-Typ)
|
||
Matrix (Spiegelung an $x$-Achse)
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||
$$
|
||
H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Eigenschaften
|
||
- Orthogonal, **$H^2=I$**, $\det=-1$
|
||
- Spiegelt $y\to -y$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Obere Dreiecksmatrix
|
||
Matrix
|
||
$$
|
||
U=\begin{pmatrix}3&-2&1\\0&5&4\\0&0&-1\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Eigenschaften
|
||
- **$\det=\prod$ Diagonal = $3\cdot5\cdot(-1)=-15$**
|
||
- **Eigenwerte = Diagonalelemente** (hier 3, 5, −1)
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Positiv definite Matrix
|
||
Matrix
|
||
$$
|
||
A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Eigenschaften
|
||
- **$x^\top A x>0$ für alle $x\neq0$**
|
||
- Alle Eigenwerte positiv (hier 1 und 3)
|
||
- **Cholesky-Zerlegung** existiert: $A=LL^\top$
|
||
|
||
|
||
|
||
# Formeln - Ableitung - Integration
|
||
|
||
### Potenz- und Wurzelfunktionen
|
||
|
||
| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ | | | |
|
||
| :--------------------------------: | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------: | --- | --- | --- |
|
||
| $0$ | $0$ | | | |
|
||
| $k \quad (k \in \mathbb{R})$ | $kx$ | | | |
|
||
| $$x^n$$ | $$F(x)=\begin{cases} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & , \text{if}\quad \,n \neq -1,\\ \ln\lvert x\rvert, & ,\text{if}\quad n = -1. \end{cases}$$ | | | |
|
||
| $nx^{n-1}$ | $x^n$ | | | |
|
||
| $x$ | $\tfrac12 x^2$ | | | |
|
||
| $2x$ | $x^2$ | | | |
|
||
| $x^2$ | $\tfrac13 x^3$ | | | |
|
||
| $3x^2$ | $x^3$ | | | |
|
||
| $\sqrt{x}$ | $\tfrac23 x^{\tfrac32}$ | | | |
|
||
| $\sqrt[n]{x}$ | $\displaystyle \frac{n}{n+1},\bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)^{n+1}\quad(n\neq -1)$ | | | |
|
||
| $\frac1{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | | | |
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| $\frac{1}{n,(\sqrt[n]{x^{,n-1}})}$ | $\sqrt[n]{x}$ | | | |
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| $-\frac{2}{x^3}$ | $\frac{1}{x^2}$ | | | |
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| $-\frac{1}{x^2}$ | $\frac{1}{x}$ | | | |
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### Exponential- und Logarithmusfunktionen
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| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ |
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| :-----------------------------------------------------: | :----------------------------------------------------------------: |
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| $\mathrm e^x$ | $\mathrm e^x$ |
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| $\mathrm e^{kx}$ | $\displaystyle \frac{1}{k},\mathrm e^{kx}$ |
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| $a^x\ln a \quad (a>0)$ | $a^x$ |
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| $a^x$ | $\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}$ |
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| $x^x,(1+\ln x)$ | $x^x \quad (x>0)$ |
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| $\mathrm e^{x\ln\lvert x\rvert},(\ln\lvert x\rvert +1)$ | $\lvert x\rvert^x = \mathrm e^{x\ln\lvert x\rvert}\quad (x\neq0)$ |
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| $\frac{1}{x}$ | $\ln\lvert x\rvert$ Sonderfall von $x^n$ für $n=-1$, siehe oben |
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| $\ln x$ | $x\ln x - x$ |
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| $x^n\ln x$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}\Bigl(\ln x - \frac{1}{n+1}\Bigr)\quad(n\ge0)$ |
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| $u'(x),\ln u(x)$ | $u(x)\ln u(x) - u(x)$ |
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| $\displaystyle \frac{1}{x},\ln^{n}x\quad(n\neq -1)$ | $\displaystyle \frac{1}{n+1},\ln^{n+1}x$ |
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| $\displaystyle \frac{1}{x},\ln x^n\quad(n\neq 0)$ | $\displaystyle \frac{1}{2n},\ln^2 x^n = \frac{n}{2}\ln^2 x$ |
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| $\frac{1}{x}\,\frac{1}{\ln a}$ | $\log_a x$ |
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| $\frac{1}{x\ln x}$ | $\displaystyle \ln\lvert\ln x\rvert\quad(x>0, \,x\neq1)$ |
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| $\log_a x$ | $\displaystyle \frac{1}{\ln a}\,(x\ln x - x)$ |
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## Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
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### Trigonometrische Funktionen
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| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ | | |
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| :-------------------------------------: | :---------------------------------------------------------------------------------------: | --- | --- |
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| $\sin x$ | $-\cos x$ | | |
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| $\cos x$ | $\sin x$ | | |
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| $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ | $\ln\bigl[\sec x\bigr]$ | | |
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| $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ | $-\ln\bigl[\csc x\bigr]$ | | |
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| $\sec x = \frac1{\cos x}$ | $\operatorname{artanh}[\sin x]$ | | |
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| $\csc x = \frac1{\sin x}$ | $-\operatorname{artanh}[\cos x]$ | | |
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| $\sec^2 x = 1+\tan^2 x$ | $\tan x$ | | |
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| $-\csc^2 x = -\bigl(1+\cot^2 x\bigr)$ | $\cot x$ | | |
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| $\sin^2 x$ | $\frac{1}{2}[x−sinx\,cosx]=\frac{1}{2}x− \frac{1}{4} sin(2x)$ | | |
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| $\cos^2 x$ | $\frac{1}{2}[x+sinx\,cosx]=\frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} sin(2x)$ | | |
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| $\sin(kx)\cos(kx)$ | $-\displaystyle \frac{1}{4k}\cos(2kx)$ | | |
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| $\sin(kx)\cos(kx)$ | $\displaystyle \frac{1}{2k}\sin^2(kx)$ | | |
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| $\displaystyle \frac{\sin(ax)}{e^{bx}}$ | $\displaystyle \frac{a\,e^{bx} - a\cos(ax) - b\sin(ax)}{(a^2+b^2)\,e^{bx}}$ | | |
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| $\displaystyle \frac{\cos(ax)}{e^{bx}}$ | $\displaystyle \frac{a\sin(ax) - b\cos(ax) + b\,e^{bx}}{(a^2+b^2)\,e^{bx}}$ | | |
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| $\arcsin x$ | $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}$ | | |
|
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| $\arccos x$ | $x\arccos x - \sqrt{1-x^2}$ | | |
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| $\arctan x$ | $x\arctan x - \tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr)$ | | |
|
||
| $\arccot x$ | $x\arccot x + \tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr)$ | | |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x$ | | |
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| $\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arccos x$ | | |
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| $\displaystyle \frac{1}{x^2+1}$ | $\arctan x$ | | |
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| $\displaystyle -\frac{1}{x^2+1}$ | $\arccot x$ | | |
|
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| $\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}$ | $x - \arctan x$ | | |
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||
| $\displaystyle \frac{1}{(x^2+1)^2}$ | $\displaystyle \tfrac12\Bigl(\frac{x}{x^2+1} + \arctan x\Bigr)$ | | |
|
||
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $\displaystyle \frac{a^2}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2}$ | | |
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||
| $\displaystyle \frac{1}{ax^2+bx+c}$ | $\frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\Bigr)$ | | |
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### Hyperbelfunktionen
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| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ |
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| :----------------------------------------------------: | :-------------------------------------------------------------------------------------------------------: |
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| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
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| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
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| $\tanh x$ | $\ln\bigl[\cosh x\bigr]$ |
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| $\coth x$ | $\ln\lvert\sinh x\rvert$ |
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| $\operatorname{sech} x$ | $\operatorname{gd} x = \arctan[\sinh x]$ |
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| $\operatorname{csch} x$ | $-\operatorname{arcoth}[\cosh x]$ |
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| $\displaystyle \frac{1}{\cosh^2 x} = 1-\tanh^2 x$ | $\tanh x$ |
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| $\displaystyle \frac{-1}{\sinh^2 x} = 1-\coth^2 x$ | $\coth x$ |
|
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| $\operatorname{arsinh} x$ | $x\,\operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^2+1}$ |
|
||
| $\operatorname{arcosh} x$ | $x\,\operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}$ |
|
||
| $\operatorname{artanh} x$ | $x\,\operatorname{artanh} x + \tfrac12\ln\bigl(1-x^2\bigr)$ |
|
||
| $\operatorname{arcoth} x$ | $x\,\operatorname{arcoth} x + \tfrac12\ln\bigl(x^2-1\bigr)$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ | $\operatorname{arsinh} x$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\quad(x>1)$ | $\operatorname{arcosh} x$ |
|
||
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $\displaystyle \frac{a^2}{2}\,\operatorname{arsinh}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2}$ |
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| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$ | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\operatorname{arsinh}\Bigl(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\Bigr)$ |
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| $\displaystyle \frac{1}{1-x^2}\quad(\lvert x\rvert<1)$ | $\operatorname{artanh} x$ |
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| $\displaystyle \frac{1}{1-x^2}\quad(\lvert x\rvert>1)$ | $\operatorname{arcoth} x$ |
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# Regeln - Ableiten
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### Produktregel
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$$u(x) \cdot v(x) \Longrightarrow u'v + u\,v'$$
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### Quotientenregel
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$$\frac{u(x)}{v(x)} \Longrightarrow \frac{u'v + u\,v'}{v^2}$$
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### Kettenregel
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Äußere Funktion abgeleitet, mal innere Funktion abgeleitet.
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$$u[v(x)] \Longrightarrow u'[v(x)] \cdot v'(x)$$
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# Regeln - Integrieren
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### Partielle Integration
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>**Idee**:
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>Ein Teil herausziehen, dass später etwas Integrierbares herauskommt. $u$ wird abgeleitet. $v$ wird integriert.
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$$
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\int{u \, v} \Longrightarrow u\, V - \int{V\, u' \,dx}
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$$
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### U-Substitution
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Substituieren:
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$$\int{\frac{1}{u'}u}\, du$$
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> **Wichtig:**
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> 1/Ableitung von u, muss sich mit dem Variablen Faktor vorne kürzen. Also es darf bei $du$ kein $x$ mehr übrig bleiben.
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> Beispiel:
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> $$\int{\frac{1}{x}}2x\cdot u \, \, du \longrightarrow \int{2u} \,\,du$$
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