CDS402-Mathematics-II/notes/Matrizen.md

Menge der Matrizen:

• \mathbb{M}(m, n, \mathbb{R}) = \mathbb{R}^{m\times n}

Anwendungen:

• Beschreibung linearer Gleichungssysteme
• Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen
• Transformationen in der Geometrie (z. B. Drehungen, Spiegelungen, Skalierungen)
• Darstellung von Netzwerken oder Graphen
• Datenrepräsentation in maschinellem Lernen und Statistik

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Zeilen, Spaltenvektoren

• Eine Matrix A \in \mathbb{R}^{m \times n} besteht aus m Zeilen und n Spalten.
• Zeilenvektoren: A_{i*} \in \mathbb{R}^{1 \times n}
• Spaltenvektoren: A_{*j} \in \mathbb{R}^{m \times 1}
• Jeder Eintrag a_{ij} steht an der Kreuzung von Zeile i und Spalte j.

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Transponieren

• Zeilen- und Spaltenindex vertauschen:

A \longrightarrow A^T (A^T)^T = A

• Eigenschaften:
  • (A + B)^T = A^T + B^T
  • (\lambda A)^T = \lambda A^T für \lambda \in \mathbb{R}
  • (AB)^T = B^T A^T

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Matrizenmultiplikation

• Definition: (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
• Voraussetzung: Spaltenanzahl von A muss gleich der Zeilenanzahl von B sein

(A \in \mathbb{R}^{m \times n},\ B \in \mathbb{R}^{n \times p}) \Rightarrow AB \in \mathbb{R}^{m \times p}

• Shape des Outputs: m_A \times n_B

• Eigenschaften:

  • Assoziativ: A(BC) = (AB)C

  • Distributiv: A(B + C) = AB + AC

  • Im Allgemeinen nicht kommutativ: AB \neq BA