Komplexe Zahlen

Eulersche Gleichung & Formel

Die Eulersche Gleichung lautet:

e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)

Daraus folgt die Darstellung einer komplexen Zahl in Exponentialform:

z = r \Bigl(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi)\Bigr) = r \cdot e^{i\varphi}

Exponentialform:
z = r \cdot e^{i(\varphi + 2\pi k)}

Beispiel: Arithmetische in Exponentialform

Für die arithmetische Darstellung:

z = -2 + 2i

Berechnung des Betrags:

r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8}

Berechnung des Winkels:

\varphi = \arctan\left(\frac{2}{-2}\right) + \pi = \frac{3\pi}{4}

Somit ergibt sich:

z = \sqrt{8} \cdot e^{i\frac{3\pi}{4}}

Multiplikation

Gegeben:

z_1 = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}} z_2 = 3 \cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}

Multiplikation:

z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right)} = 6 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}}

Division

Gegeben:

z_1 = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}} z_2 = 3 \cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}

Division:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3} \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{3}\right)} = \frac{2}{3} \cdot e^{-i\frac{7\pi}{6}} = \frac{2}{3} \cdot e^{i\frac{5\pi}{6}}

Umwandeln in Arithmetische Form

\frac{2}{3} \cdot e^{i\frac{5\pi}{6}} = \frac{2}{3} \cdot \Bigl(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\Bigr)

Bemerkungen:

|e^{i\varphi}| =\sqrt{\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)} = 1
e^{i \ 0} = 1 = e^{i 2k\pi}
e^{i\pi} = -1
\sinh(i x) = \sin x
\cosh(i x) = \cos x

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