schuetoliver/CDS101-Introduction-to-Computational-and-Data-Science

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2025-04-17 13:18:15 +02:00

9.8 KiB

Raw Blame History

1. Einführung

Modellbildung

Modell: Vereinfachte Darstellung eines Systems
Simulation: Virtuelles Experiment

Mathematische Modellierung

Features, Größen ( Objekte z.B. Staub, Wandposter ; Parameter z.B. Temperatur, Druck)
Wechselwirkungen (Temperatur auf Personen im Raum; Druck und Staub)
Eindeutige Lösung: Existiert eine Lösung und ist sie eindeutig?
Abhängigkeit von Initialwerten: Je nachdem wo man in einem Shooter startet, sind die Überlebenschancen unterschiedlich gut.
Genauigkeit / Auflösung: Personenströme als Flüssigkeit modellieren, kann nicht eine einzelne Person darstellen.

Modellarten

Diskret: In Schritten Simuliert
Kontinuierlich: In Echtzeit / stetig Simuliert
Deterministisch: Immer das gleiche Ergebnis, mit den gleichen Anfangsbedingungen
Stochastisch: Zufällige Ergebnisse, auch mit den gleichen Anfangsbedingungen (z.B. Würfel)
Inverse: Ausgangsbedingungen aus Ergebnissen bestimmen oder Ergebnisse aus Ausgangsbedingungen bestimmen

Skalen

1D, 2D, 3D, so einfach wie möglich, so komplex wie nötig
Abstraktionsebene: Menschen, Zellen oder Moleküle, oder gar Atome

Diskretitierung

Gitterbreite h (delta zwischen punkten)

2. Geometrische Modellierung

Rigid Body Anforderungen

keine losen Teile (Zusammenhängend)
keine 1D-Teile (z.B Linie, Punkt)
Es muss ein Innen und Außen geben (Volumen)
keine Löcher
keine Überlappungen
Orientierbar (Außen und Innen unterscheidbar)
Manigfaltig möglich (Zwei körper teilen sich eine Kante)

Darstellungsformen (Speicherung)

Vertecies (Ecken), Edges (Kanten), Faces (Flächen)
n_{v} - n_{e} + n_{f} = 2 (Euler-Formel) -> Gilt für Rechtecke und Dreiecke

vef-Graph

Es werden nur die Koordinaten der Eckpunkte gespeichert, Kanten und Flächen speichern referenzen. Dadurch werden änderungen an den Eckpunkten automatisch in den Kanten und Flächen übernommen.
Eine Kante wird durch zwei Eckpunkte definiert.
Eine Fläche durch drei Kanten. \

Volumenmodell

Spacetree

Balanzierung: Jeder Knoten entweder 0 oder 4 Kinder (Eine Fläche 2 hat Angrezende Flächen)

Codierung

Linearisierung

3. Spieltheorie

Definition

Gewissheit: Konsequenzen zu Aktionen bekannt
Risiko: Wahrscheinlichkeit von Konsequenz zu Aktion teilweise bekannt
Unsicherheit:keine Konsequenz zu Aktion bekannt

Modellierung

Numbers of Players N=\{1,2, \ldots, n\}
Anzahl Aktionen (Strategien)A_i\qquad i\in \mathbb{N}
Menge Aktionsprofile (Strategieprofile) A=\{\left( a_i \right)_{i\in \mathbb{N}}, a_i\in A_i, i\in\mathbb{N} \}
Auszahlungsfunktion u_i: A\rightarrow\mathbb{R}

Unterteilung

Kooperation
- kooperative Spiele: Spieler kooperieren müssen um zu gewinnen.
- nicht-kooperative Spiele: Spieler konkurrieren um zu gewinnen / spielen gegeneinander. (z.B. nur einer kann gewinnen)
Serie
- simultane Spiele: In einem Durchlauf treffen alle für sich gleichzeitig die Wahl.
- sequentielle Spiele: Regeln wer wann Entscheiden darf.Sequenzielle Abfolge.

Darstellung

Bimatrixform / Normalform
- Gewinn wird angezeigt (u_i, u_i)

Reine Strategien

Gefangenen-Dilema

Zwei Subjects A_1\textrm{ und }A_2
Mögliche Aktionen
- Leugnen L: Niedrigere Strafe (2 Jahre)
- Gestehen G: Volle Strafe 5 (Kronzeuge) oder 8 Jahre

Nash-Gleichgewicht

Ist das Optimale Ergebnis für alle Spieler

Wenn ein Spieler durch Ändern seiner Strategie, seinen Gewinn erhöhen kann, ist der aktuelle Zustand nicht im Nash-Gleichgewicht.

Vorsicht!:

Jede Zelle muss einzeln betrachtet werden
WICHTIG: Nicht mit der gleichen Strategie vergleichen
Nash-Gleichgewicht muss für BEIDE Spieler gelten

Dominante Strategien

Eine Strategie die besser oder gleich gut ist wie alle anderen Strategien (>=) Beispiel: Sicht von S1:

S2 nimmt Leugnen: Nimmt S1 Gestehen = 8, nimmt S1 Leugnen = 6. 8 >= 6
S2 nimmt Gestehen: Nimmt S1 Gestehen = 3, nimmt S1 Leugnen = 0. 3 >= 0
Kreuzen sich Dominante Strategien, ist dort das Nash-Gleichgewicht (aber nicht umgekehrt)

Stark Dominante Strategien

Eine Strategie die echt besser ist als alle anderen Strategien (>)

Falke-Taube-Spiel

Zwei-Personen-Nullsummenspiel

Spieler 2 will gewinn maximieren, Spieler 1 will verlust minimieren
nicht jedes 2PNS in reinen Strategien hat ein Nash-Gleichgewicht.
Gewinnfunktion: u_2 = -u_1
Matrixform

Konservative Strategien

Wenn die Konservate Strategie beider Spieler gleich ist, ist dort ein Nash-Gleichgewicht.

MinMax-Strategie Was sollte ich höchstens verlieren?

Mache eine liste mit dem jeweils größten Verlust

Daraus wähle den kleinsten Verlust

U_{-} = \min_{i}(\max_{j}(a_{ij}) )

MaxMin-Strategie Was sollte ich mindestens gewinnen?

Mache eine liste mit dem minimalen gewinn

Daraus wähle den größten Gewinn

U_{+} = \max_{j}(\min_{i}(a_{ij}) )

Sattelpunkt

Nash-Gleichgewicht, wenn die Untergrenze und Obergrenze übereinstimmen. Dort ist auch der Sattelpunkt.

U_{-} = a_{i^* j^*} = U_{+}

Gemischte Strategien

Spieler entscheidet zufällig zwischen Strategien

Jede Strategie hat eine Wahrscheinlichkeit. p_i
Alle Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1: \sum_{i} p_i = 1
Minimum 2 Strategien

Beispiel Spieler 1:

p_1 = 70\% p_2 = 1-p_1 = 30\%

Beispiel Spieler 2:

q_1 = 60\% q_2 = 1-q_1 = 40\%

Summe aus allen Zellen, eine Zelle wird mit der Wahrscheinlichkeit von Zeile und Spalte Multipliziert.

ACHTUNG KANN MAN NUR GRAPHISCH LÖSEN

Lösen von Gemischten Strategien

Tip

: Beim Vereinfachen nicht die Klammern ausmultiplizeren, weil man einfach kürzen kann.

Setze Erwartungswerte gleich von Beiden Strategien für Beide Spieler

Berechnen von q aus Sicht von Spieler 1

\mu_{S_{11}} = \mu_{S_{12}}

Berechnung von p aus Sicht von Spieler 2

\mu_{S_{21}} = \mu_{S_{22}}

Einsetzen der Erwartungswerte und U- und U+ ausrechnen
Wenn U- und U+ gleich sind, ist das Nash-Gleichgewicht

INFO: Wenn eine Freie Variable in der Gleichung ist, die gleichung in abhängigkeit von der freien Variable umstellen, nash-gleichgewicht ist dann von z.B. s abhängig.

Gruppenentscheidungen

Menge an Auswahlmöglichkeiten
Jeder Möglichkeit wird eine Zahl ( k \isin \N ) zugeordnet ( Rang )
Rangabbildung ist Surjetiv (Jede Möglichkeit hat einen Rang. Ein Rang kann aber mehrmals auftreten )

Relationen

r(x) < r(y): \text{x ist besser als y} x \ R \ y: \text{x steht in Relation zu y}

reflexiv schließt asymetrisch aus und umgekehrt

transitiv: x \ R \ y \ und \ y \ R \ z \Rightarrow x \ R \ z
- \text{Wenn 2 < 3 und 3 < 4, dann auch 2 < 4}
reflexiv: x \ R \ x
- \text{2 <= 2}
asymetrisch: x \ R \ y \And y \ R \ x \Rightarrow False
- \text{2 < 3, aber nicht 3 < 2}

Präferenzen

Lesen: Von links starten dann relation dann rechts

Extern/Intern Diktator

Rangaddition

Jede Wahlmöglichkeit wird mit der Summe der Ränge bewertet. Die Wahlmöglichkeit mit der niedrigsten Summe ist die beste.

Condorcet-Verfahren (BEI MINUTE 40:00 bis 1:10:00)

Einstimmigkeit

I.e. Irrelevante Änderungen hinten in der Reihenfolge, dürfen nicht vorne in der Reihenfolge etwas ändern.

4. Automaten

Forderung: Simulation schneller als Echtzeit

Bestandteile

Zellraum: Spielfeld, i.d.R. eine Matrix in der jedes Element einer Zelle entspricht
Zustandsmenge: Menge aller möglichen ( diskrete ) Zustände einer Zelle -> State Machine
Nachbarschaftsbeziehung: Zustände der Nachbarzellen werden berücksichtigt
diskrete Zeit: Zustandsänderung eines ZA erfolgt in diskreten Zeitschritten \delta t (z.B. 1s)
lokale übergangsfunktion: Berechnet den Zustand Z_{t+\delta t} einer Zelle aus dem aktuellen Zustand Z_t und den Zuständen der Nachbarzellen

Nachbarzellen (im 2D und Schachbrett )

Moore-Nachbarschaft: 8 Zellen um die Zelle
Von-Neumann-Nachbarschaft: 4 Zellen um die Zelle

Übergangsfunktion ( Beispiel Conways Game of Life)

def transition_function(cell, neighbors):
    if cell == 0 and sum(neighbors) == 3: # Wenn Zelle tot und 3 Nachbarn lebendig
        return 1                           # Dann wird die Zelle wiederbelebt
    elif cell == 1 and sum(neighbors) in [2, 3]: # Wenn Zelle lebendig und 2 oder 3 Nachbarn lebendig
        return 1
    else:
        return 0

Game of Life

Start mit 2D-Gitter. Jede Zelle ist entweder lebendig oder tot und ändert ihren Zustand gemäß der Nachbarzellen:
Eine lebende Zelle mit 2 oder 3 lebenden Nachbarn bleibt am Leben, sonst stirbt sie. Eine tote Zelle mit genau 3 lebenden Nachbarn wird lebendig. Es werden ALLE Zellen mit dem aktuellen Zustand und den Nachbarzellen betrachtet, daraus wird der nächste Zustand berechnet, damit die Zellen parallel aktualisiert werden.

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