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# 1. Einführung
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## Modellbildung
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- **Modell**: Vereinfachte Darstellung eines Systems
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- **Simulation**: Virtuelles Experiment
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## Mathematische Modellierung
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- Features, Größen ( Objekte z.B. Staub, Wandposter ; Parameter z.B. Temperatur, Druck)
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- Wechselwirkungen (Temperatur auf Personen im Raum; Druck und Staub)
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- Eindeutige Lösung: Existiert eine Lösung und ist sie eindeutig?
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- Abhängigkeit von Initialwerten: Je nachdem wo man in einem Shooter startet, sind die Überlebenschancen unterschiedlich gut.
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- Genauigkeit / Auflösung: Personenströme als Flüssigkeit modellieren, kann nicht eine einzelne Person darstellen.
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## Modellarten
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- **Diskret**: In Schritten Simuliert
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- **Kontinuierlich**: In Echtzeit / stetig
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Simuliert
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- **Deterministisch**: Immer das gleiche Ergebnis, mit den gleichen Anfangsbedingungen
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- **Stochastisch**: Zufällige Ergebnisse, auch mit den gleichen Anfangsbedingungen (z.B. Würfel)
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- **Inverse**: Ausgangsbedingungen aus Ergebnissen bestimmen oder Ergebnisse aus Ausgangsbedingungen bestimmen
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### Skalen
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- 1D, 2D, 3D, so einfach wie möglich, so komplex wie nötig
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- Abstraktionsebene: Menschen, Zellen oder Moleküle, oder gar Atome
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## Diskretitierung
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- Gitterbreite h (delta zwischen punkten)
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# 2. Geometrische Modellierung
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## Rigid Body Anforderungen
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- keine losen Teile (Zusammenhängend)
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- keine 1D-Teile (z.B Linie, Punkt)
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- Es muss ein Innen und Außen geben (Volumen)
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- keine Löcher
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- keine Überlappungen
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- Orientierbar (Außen und Innen unterscheidbar)
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- Manigfaltig möglich (Zwei körper teilen sich eine Kante)
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## Darstellungsformen (Speicherung)
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- Vertecies (Ecken), Edges (Kanten), Faces (Flächen)
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- $n_{v} - n_{e} + n_{f} = 2$ (Euler-Formel) -> Gilt für Rechtecke und Dreiecke
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### vef-Graph
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> Es werden nur die Koordinaten der **Eckpunkte** gespeichert, Kanten und Flächen speichern referenzen. Dadurch werden änderungen an den Eckpunkten automatisch in den Kanten und Flächen übernommen. \
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> Eine **Kante** wird durch zwei Eckpunkte definiert. \
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> Eine **Fläche** durch drei Kanten. \
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## Volumenmodell
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### Spacetree
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- **Balanzierung**: Jeder Knoten entweder **0** oder **4** Kinder (Eine Fläche 2 hat Angrezende Flächen)
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#### Codierung
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#### Linearisierung
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# 3. Spieltheorie
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## Definition
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- **Gewissheit**: Konsequenzen zu Aktionen bekannt
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- **Risiko**: Wahrscheinlichkeit von Konsequenz zu Aktion teilweise bekannt
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- **Unsicherheit**:keine Konsequenz zu Aktion bekannt
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**Modellierung**
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- Numbers of Players $N=\{1,2, \ldots, n\}$
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- Anzahl Aktionen (Strategien)$A_i\qquad i\in \mathbb{N}$
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- Menge Aktionsprofile (Strategieprofile) $A=\{\left( a_i \right)_{i\in \mathbb{N}}, a_i\in A_i, i\in\mathbb{N} \}$
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- Auszahlungsfunktion $u_i: A\rightarrow\mathbb{R}$
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## Unterteilung
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- **Kooperation**
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- **kooperative Spiele**: Spieler kooperieren müssen um zu gewinnen.
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- **nicht-kooperative Spiele**: Spieler konkurrieren um zu gewinnen / spielen gegeneinander. (z.B. nur einer kann gewinnen)
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- **Serie**
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- **simultane Spiele**: In einem Durchlauf treffen alle für sich gleichzeitig die Wahl.
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- **sequentielle Spiele**: Regeln wer wann Entscheiden darf.Sequenzielle Abfolge.
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## Darstellung
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- Bimatrixform / Normalform
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- Gewinn wird angezeigt ($u_i$, $u_i$)
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## Reine Strategien
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### Gefangenen-Dilema
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- Zwei Subjects $A_1\textrm{ und }A_2$
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- Mögliche Aktionen
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- **Leugnen L**: Niedrigere Strafe (2 Jahre)
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- **Gestehen G**: Volle Strafe 5 (Kronzeuge) oder 8 Jahre
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### Nash-Gleichgewicht
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> Ist das Optimale Ergebnis für **alle** Spieler
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- Wenn ein Spieler durch Ändern seiner Strategie, seinen Gewinn erhöhen kann, ist der aktuelle Zustand nicht im Nash-Gleichgewicht.
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**Vorsicht!**:
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- Jede Zelle muss einzeln betrachtet werden
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- WICHTIG: Nicht mit der gleichen Strategie vergleichen
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- Nash-Gleichgewicht muss für BEIDE Spieler gelten
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#### Dominante Strategien
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> Eine Strategie die besser oder gleich gut ist wie alle anderen Strategien (>=)
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**Beispiel:**
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Sicht von S1:
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- S2 nimmt Leugnen: Nimmt S1 Gestehen = 8, nimmt S1 Leugnen = 6. 8 >= 6
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- S2 nimmt Gestehen: Nimmt S1 Gestehen = 3, nimmt S1 Leugnen = 0. 3 >= 0
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- Kreuzen sich Dominante Strategien, ist dort das Nash-Gleichgewicht (aber nicht umgekehrt)
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#### Stark Dominante Strategien
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> Eine Strategie die echt besser ist als alle anderen Strategien (>)
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#### Falke-Taube-Spiel
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#### Zwei-Personen-Nullsummenspiel
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- Spieler 2 will gewinn maximieren, Spieler 1 will verlust minimieren
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- nicht jedes 2PNS in reinen Strategien hat ein Nash-Gleichgewicht.
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- **Gewinnfunktion**: $u_2 = -u_1$
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- Matrixform
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##### Konservative Strategien
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- Wenn die Konservate Strategie beider Spieler gleich ist, ist dort ein Nash-Gleichgewicht.
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**MinMax-Strategie**
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Was sollte ich höchstens verlieren?
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> 1. Mache eine liste mit dem jeweils größten Verlust
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> 2. Daraus wähle den kleinsten Verlust
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$$U_{-} = \min_{i}(\max_{j}(a_{ij}) )$$
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**MaxMin-Strategie**
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Was sollte ich mindestens gewinnen?
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> 1. Mache eine liste mit dem minimalen gewinn
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> 2. Daraus wähle den größten Gewinn
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$$U_{+} = \max_{j}(\min_{i}(a_{ij}) )$$
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**Sattelpunkt**
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> Nash-Gleichgewicht, wenn die Untergrenze und Obergrenze übereinstimmen. Dort ist auch der Sattelpunkt.
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$$U_{-} = a_{i^* j^*} = U_{+}$$
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## Gemischte Strategien
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> Spieler entscheidet zufällig zwischen Strategien
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- Jede Strategie hat eine Wahrscheinlichkeit. $p_i$
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- Alle Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1: $\sum_{i} p_i = 1$
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- Minimum 2 Strategien
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**Beispiel Spieler 1:**
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$$p_1 = 70\%$$
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$$p_2 = 1-p_1 = 30\%$$
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**Beispiel Spieler 2:**
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$$q_1 = 60\%$$
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$$q_2 = 1-q_1 = 40\%$$
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>Summe aus allen Zellen, eine Zelle wird mit der Wahrscheinlichkeit von Zeile und Spalte Multipliziert.
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**ACHTUNG KANN MAN NUR GRAPHISCH LÖSEN**
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### Lösen von Gemischten Strategien
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> **Tip**: Beim Vereinfachen nicht die Klammern ausmultiplizeren, weil man einfach kürzen kann.
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1. Setze Erwartungswerte gleich von Beiden Strategien für Beide Spieler
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**Berechnen von q aus Sicht von Spieler 1**
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$$\mu_{S_{11}} = \mu_{S_{12}}$$
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**Berechnung von p aus Sicht von Spieler 2**
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$$\mu_{S_{21}} = \mu_{S_{22}}$$
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2. Einsetzen der Erwartungswerte und U- und U+ ausrechnen
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3. Wenn U- und U+ gleich sind, ist das Nash-Gleichgewicht
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> **INFO**: Wenn eine Freie Variable in der Gleichung ist, die gleichung in abhängigkeit von der freien Variable umstellen, nash-gleichgewicht ist dann von z.B. s abhängig.
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## Gruppenentscheidungen
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- Menge an Auswahlmöglichkeiten
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- Jeder Möglichkeit wird eine Zahl ( $k \isin \N$ ) zugeordnet ( Rang )
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- Rangabbildung ist Surjetiv (Jede Möglichkeit hat einen Rang. Ein Rang kann aber mehrmals auftreten )
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### Relationen
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$$r(x) < r(y): \text{x ist besser als y}$$
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$$x \ R \ y: \text{x steht in Relation zu y}$$
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>reflexiv schließt asymetrisch aus und umgekehrt
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- **transitiv**: $x \ R \ y \ und \ y \ R \ z \Rightarrow x \ R \ z$
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- $\text{Wenn 2 < 3 und 3 < 4, dann auch 2 < 4}$
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- **reflexiv**: $x \ R \ x$
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- $\text{2 <= 2}$
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- **asymetrisch**: $x \ R \ y \And y \ R \ x \Rightarrow False$
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- $\text{2 < 3, aber nicht 3 < 2}$
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### Präferenzen
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>*Lesen*: Von links starten dann relation dann rechts
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### Extern/Intern Diktator
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### Rangaddition
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>Jede Wahlmöglichkeit wird mit der Summe der Ränge bewertet. Die Wahlmöglichkeit mit der niedrigsten Summe ist die beste.
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### Condorcet-Verfahren (BEI MINUTE 40:00 bis 1:10:00)
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### Einstimmigkeit
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- I.e. Irrelevante Änderungen hinten in der Reihenfolge, dürfen nicht vorne in der Reihenfolge etwas ändern.
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# 4. Automaten
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- **Forderung**: Simulation schneller als Echtzeit
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## Bestandteile
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- **Zellraum**: Spielfeld, i.d.R. eine Matrix in der jedes Element einer Zelle entspricht
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- **Zustandsmenge**: Menge aller möglichen ( diskrete ) Zustände einer Zelle -> State Machine
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- **Nachbarschaftsbeziehung**: Zustände der Nachbarzellen werden berücksichtigt
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- **diskrete Zeit**: Zustandsänderung eines ZA erfolgt in diskreten Zeitschritten $\delta t$ (z.B. 1s)
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- **lokale übergangsfunktion**: Berechnet den Zustand $Z_{t+\delta t}$ einer Zelle aus dem aktuellen Zustand $Z_t$ und den Zuständen der Nachbarzellen
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## Nachbarzellen (im 2D und Schachbrett )
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- **Moore-Nachbarschaft**: 8 Zellen um die Zelle
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- **Von-Neumann-Nachbarschaft**: 4 Zellen um die Zelle
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## Übergangsfunktion ( Beispiel Conways Game of Life)
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```python
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def transition_function(cell, neighbors):
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if cell == 0 and sum(neighbors) == 3: # Wenn Zelle tot und 3 Nachbarn lebendig
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return 1 # Dann wird die Zelle wiederbelebt
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elif cell == 1 and sum(neighbors) in [2, 3]: # Wenn Zelle lebendig und 2 oder 3 Nachbarn lebendig
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return 1
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else:
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return 0
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```
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## Game of Life
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Start mit 2D-Gitter.
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Jede Zelle ist entweder lebendig oder tot und ändert ihren Zustand gemäß der Nachbarzellen: \
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Eine lebende Zelle mit 2 oder 3 lebenden Nachbarn bleibt am Leben, sonst stirbt sie.
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Eine tote Zelle mit genau 3 lebenden Nachbarn wird lebendig.
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Es werden ALLE Zellen mit dem aktuellen Zustand und den Nachbarzellen betrachtet, daraus wird der nächste Zustand berechnet, damit die Zellen parallel aktualisiert werden.
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**Kurzfassung**:
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- Grid anlegen (2D-Liste)
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- Jede Runde Nachbarn zählen
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- Nach obigen Regeln neue Zustände berechnen
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- Endlos aktualisieren und ausgeben.
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# Mathe schriftlich rechnen
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## Dividieren
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## Multiplizieren
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