CDS401-Mathematics-I/formulas/Formelsammlung.md

Analysis

Formelsammlung

Grundlagen: Mengen

• Menge: Sammlung unterschiedlicher Objekte.
• Teilmenge: A \subseteq B bedeutet, jedes Element von A liegt in B.
• Vereinigungsmenge: A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}.
• Schnittmenge: A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}.
• Grundmenge (Universalmenge): \Omega, umfasst alle relevanten Elemente.
• Komplementärmenge: A^c = \Omega \setminus A.
• Zahlenmengen:
  • \mathbb{N}: natürliche Zahlen
  • \mathbb{Z}: ganze Zahlen
  • \mathbb{Q}: rationale Zahlen
  • \mathbb{R}: reelle Zahlen
  • \mathbb{C}: komplexe Zahlen

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Kartesisches Produkt

A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}

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Abbildung/Funktion

• Abbildung: Zuordnungsvorschrift von einer Definitionsmenge (Domain) in eine Zielmenge (Codomain).
• Funktion: Spezielle Abbildung, z.B. f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}.
• Definitionsmenge (D): D_f
• Zielmenge (Z): Codomain
• Bildmenge (Wertebereich): \mathrm{Im}(f) (alle tatsächlich angenommenen Werte).
• Abbildungsvorschrift: Vorschrift, wie x \mapsto f(x).
• abhängige/unabhängige Variable: y=f(x), x ist unabhängig, y abhängig.
• Argument: Wert, der in die Funktion eingesetzt wird (x).

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Eigenschaften von Abbildungen

• Injektiv (eineindeutig): f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2.
  • Ein y hat höchstens ein x
  • nicht injektiv, sind funktionen die lokale Extrema haben
• Surjektiv (auf): Jedes Element der Zielmenge wird getroffen.
  • Jedes y hat mindestens ein x
  • Globales verhalten muss von -unendlich nach + unendlich, oder umgekehrt sein.
    • Also jedes Y muss belegt sein
• Bijektiv: Injektiv und surjektiv.
• Bild eines Teilbereichs A: f(A).
• Urbild eines Bereichs B: f^{-1}(B).
• Umkehrabbildung (Inverse): f^{-1}, existiert nur bei Bijektion.

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Folgen

• Folge (a_n): Geordnete Liste von Werten.
• Folgeglied: a_n.
• arithmetische Folge: a_{n+1} = a_n + d.
• geometrische Folge: a_{n+1} = a_n \cdot q.
• untere/obere Schranke: Kleinster/größter Wert, der die Folge begrenzt.
• beschränkt: Folge hat obere und/oder untere Schranke.
• (streng) monoton steigend/fallend: a_{n+1} \ge a_n bzw. a_{n+1} > a_n (oder umgekehrt fallend).
• Konvergenz: Folge nähert sich einem Grenzwert.
• Divergenz: Kein endlicher Grenzwert.
• Grenzwert L: \lim_{n \to \infty} a_n = L.

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Summen und Reihen

• Summe: \sum_{k=1}^{n} a_k.
• Summenzeichen: \sum.
• geometrische Summe: S_n = a\,\frac{1-r^n}{1-r} (für r \neq 1).
• Reihe: Unendliche Summe: \sum_{k=0}^{\infty} a_k.
• geometrische Reihe: \sum_{k=0}^{\infty} ar^k.

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Betrag und Vorzeichen

• Betrag: |x|.
• Vorzeichenfunktion: \mathrm{sgn}(x).

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Wichtige Funktionen

• Potenzfunktion: f(x) = x^n.
• Exponentialfunktion (eigentliche): f(x) = e^x.
• Logarithmusfunktion: f(x) = \log_a(x).
• hyperbolische Funktionen: \sinh x, \cosh x, \ldots
• Parität: f(-x) = f(x) (gerade), f(-x) = -f(x) (ungerade).
• lineare Funktion: f(x) = m x + b.
• verallgemeinerte Exponentialfunktion: a^x = e^{x \ln a}.

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Steigung und Differenzquotient

• Steigung m einer Geraden: m = \tan(\alpha) (Steigungswinkel \alpha).
• Differenzquotient: \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

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Ableitung

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Ableitungsregeln

• Faktorregel: (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x).
• Summenregel: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).
• Produktregel: (f \cdot g)' = f' g + f g'.
• Kettenregel: (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).
• Quadratregel: (x^2)' = 2x.
• Reziprokenregel: \bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)' = -\tfrac{1}{x^2}.
• Quotientenregel: \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}.

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Exponential- und Logarithmusableitungen

• Eulersche Zahl: e \approx 2{.}71828.
• natürliche Exponentialfunktion: (e^x)' = e^x.
• natürlicher Logarithmus: (\ln x)' = \frac{1}{x}.
• Allgemeines: (a^x)' = a^x \ln(a), (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln(a)}.

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Ableitungen trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen

• Trigonometrisch: (\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x, (\tan x)' = \sec^2 x, …
• Hyperbolisch: (\sinh x)' = \cosh x, (\cosh x)' = \sinh x, (\tanh x)' = \mathrm{sech}^2 x, …
• Arkusfunktionen: (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, …
• Areafunktionen: (\mathrm{arsinh}\,x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, …

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Aufleitung und Integration

• Aufleitung / Stammfunktion: F'(x) = f(x).
• unbestimmtes Integral: \int f(x)\,dx = F(x) + C.
• bestimmtes Integral: \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).
• Integrand: f(x).
• Integrationsgrenzen: [a,b].

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Differenzialrechnung: kritische Stellen und Extrempunkte

• kritische Stelle: x_0, bei dem f'(x_0)=0 oder f'(x_0) undefiniert.
• kritischer Punkt: (x_0, f(x_0)).
• lokales/globales Extremum: Minimum oder Maximum (lokal/global).
• Hoch-/Tief-/Sattelpunkt: Punkt mit f'(x_0)=0; Klassifizierung via f''(x_0).

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Krümmung und Wendepunkt

• analytische/geometrische Krümmung: Vorzeichen von f''(x) oder spezielle Krümmungsformeln.
• Wendepunkt: Stelle, an der f''(x) Vorzeichen wechselt (Krümmungswechsel).

Stochastik

Formelsammlung

Binomialkoeffizient

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

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Pascalsches Dreieck

Dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten:
Zeile n enthält \binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}.

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Fakultät

n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1

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Kombination (ohne Wiederholung)

\binom{n}{k}

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Variation

• Ohne Wiederholung:

  
  \frac{n!}{(n-k)!}
  

• Mit Wiederholung:

  
  n^k
  

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Permutation

n!

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Kombinationsmöglichkeiten – Entscheidungsbaum

1. Wird die Reihenfolge beachtet?
   • Ja → Variation (evtl. Permutation, wenn alle Elemente benutzt werden)
   • Nein → Kombination
2. Mit oder ohne Wiederholung?
   • Ohne → \binom{n}{k} oder \frac{n!}{(n-k)!}
   • Mit → n^k

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Zufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber nicht vorhergesagt werden können.

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Elementarereignis

Einzelnes, unzerlegbares Ereignis (genau ein Ergebnis).

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Ereignisse

Mengen von Elementarereignissen.

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Ergebnisse

Die möglichen Resultate eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse).

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Wahrscheinlichkeitsraum

(\Omega, \mathcal{A}, P)

• \Omega: Ergebnismenge
• \mathcal{A}: Ereignissystem
• P: Wahrscheinlichkeitsfunktion

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Laplace-Experiment

Gleichwahrscheinliche Elementarereignisse:

P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger}}{\text{Anzahl aller}}

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Laplace-Wahrscheinlichkeit

P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}

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Absolute/Relative Häufigkeit

• Absolute Häufigkeit: Anzahl der Auftretensfälle eines Ergebnisses.
• Relative Häufigkeit:

  
  \frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}}
  

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Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov)

1. P(E) \ge 0
2. P(\Omega) = 1
3. P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)

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Additionssatz

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

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Multiplikationssatz

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)

Bei Unabhängigkeit:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

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Totale Wahrscheinlichkeit

P(B) = \sum_i \bigl[P(B \mid A_i)\cdot P(A_i)\bigr]

wenn \{A_i\} vollständige Zerlegung von \Omega ist.

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Abhängige/Unabhängige Ereignisse

• Unabhängig:

  
  P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
  

• Abhängig: Obige Gleichung gilt nicht.

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Ereignisbaum

Grafische Darstellung von Ereignissen, deren Abzweigungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriftet sind.

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Satz von Bayes

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}

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Zufallsvariable

Funktion X: \Omega \to \mathbb{R}, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet.

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Verteilungsfunktion

F_X(x) = P(X \le x)

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Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsvariable.

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Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Zufallsvariable)

p_X(x) = P(X = x)

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Stabdiagramm

Grafische Darstellung x gegen p_X(x) (diskrete Verteilung).

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Erwartungswert (diskret)

E(X) = \sum_x \bigl[x \cdot p_X(x)\bigr]

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Mittelwert (Stichprobe)

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

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Varianz

\mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - [E(X)]^2

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Standardabweichung

\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}

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Gleichverteilung

Alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, z.B.

p(x) = \frac{1}{n} \quad \text{für } x \in \{1,\dots,n\}

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Bernoulli-Verteilung

P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p

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Binomialverteilung

P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}

Lineare Algebra

Formelsammlung

Binomialkoeffizient

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

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Pascalsches Dreieck

Dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten:
Zeile n enthält \binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}.

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Fakultät

n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1

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Kombination (ohne Wiederholung)

\binom{n}{k}

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Variation

• Ohne Wiederholung:

  
  \frac{n!}{(n-k)!}
  

• Mit Wiederholung:

  
  n^k
  

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Permutation

n!

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Kombinationsmöglichkeiten – Entscheidungsbaum

1. Wird die Reihenfolge beachtet?
   • Ja → Variation (evtl. Permutation, wenn alle Elemente benutzt werden)
   • Nein → Kombination
2. Mit oder ohne Wiederholung?
   • Ohne → \binom{n}{k} oder \frac{n!}{(n-k)!}
   • Mit → n^k

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Zufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber nicht vorhergesagt werden können.

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Elementarereignis

Einzelnes, unzerlegbares Ereignis (genau ein Ergebnis).

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Ereignisse

Mengen von Elementarereignissen.

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Ergebnisse

Die möglichen Resultate eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse).

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Wahrscheinlichkeitsraum

(\Omega, \mathcal{A}, P)

• \Omega: Ergebnismenge
• \mathcal{A}: Ereignissystem
• P: Wahrscheinlichkeitsfunktion

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Laplace-Experiment

Gleichwahrscheinliche Elementarereignisse:

P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger}}{\text{Anzahl aller}}

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Laplace-Wahrscheinlichkeit

P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}

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Absolute/Relative Häufigkeit

• Absolute Häufigkeit: Anzahl der Auftretensfälle eines Ergebnisses.
• Relative Häufigkeit:

  
  \frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}}
  

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Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov)

1. P(E) \ge 0
2. P(\Omega) = 1
3. P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)

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Additionssatz

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

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Multiplikationssatz

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)

Bei Unabhängigkeit:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

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Totale Wahrscheinlichkeit

P(B) = \sum_i \bigl[P(B \mid A_i)\cdot P(A_i)\bigr]

wenn \{A_i\} vollständige Zerlegung von \Omega ist.

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Abhängige/Unabhängige Ereignisse

• Unabhängig:

  
  P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
  

• Abhängig: Obige Gleichung gilt nicht.

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Ereignisbaum

Grafische Darstellung von Ereignissen, deren Abzweigungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriftet sind.

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Satz von Bayes

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}

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Zufallsvariable

Funktion X: \Omega \to \mathbb{R}, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet.

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Verteilungsfunktion

F_X(x) = P(X \le x)

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Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsvariable.

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Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Zufallsvariable)

p_X(x) = P(X = x)

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Stabdiagramm

Grafische Darstellung x gegen p_X(x) (diskrete Verteilung).

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Erwartungswert (diskret)

E(X) = \sum_x \bigl[x \cdot p_X(x)\bigr]

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Mittelwert (Stichprobe)

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

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Varianz

\mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - [E(X)]^2

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Standardabweichung

\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}

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Gleichverteilung

Alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, z.B.

p(x) = \frac{1}{n} \quad \text{für } x \in \{1,\dots,n\}

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Bernoulli-Verteilung

P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p

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Binomialverteilung

P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}