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# Analysis
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# Formelsammlung
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## Grundlagen: Mengen
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- **Menge**: Sammlung unterschiedlicher Objekte.
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- **Teilmenge**: $A \subseteq B$ bedeutet, jedes Element von $A$ liegt in $B$.
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- **Vereinigungsmenge**: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}$.
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- **Schnittmenge**: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}$.
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- **Grundmenge** (Universalmenge): $\Omega$, umfasst alle relevanten Elemente.
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- **Komplementärmenge**: $A^c = \Omega \setminus A$.
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- **Zahlenmengen**:
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- $\mathbb{N}$: natürliche Zahlen
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- $\mathbb{Z}$: ganze Zahlen
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- $\mathbb{Q}$: rationale Zahlen
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- $\mathbb{R}$: reelle Zahlen
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- $\mathbb{C}$: komplexe Zahlen
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## Kartesisches Produkt
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$$
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A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}
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$$
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## Abbildung/Funktion
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- **Abbildung**: Zuordnungsvorschrift von einer **Definitionsmenge** (Domain) in eine **Zielmenge** (Codomain).
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- **Funktion**: Spezielle Abbildung, z.B. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
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- **Definitionsmenge (D)**: $D_f$
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- **Zielmenge (Z)**: Codomain
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- **Bildmenge (Wertebereich)**: $\mathrm{Im}(f)$ (alle tatsächlich angenommenen Werte).
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- **Abbildungsvorschrift**: Vorschrift, wie $x \mapsto f(x)$.
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- **abhängige/unabhängige Variable**: $y=f(x)$, $x$ ist unabhängig, $y$ abhängig.
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- **Argument**: Wert, der in die Funktion eingesetzt wird ($x$).
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## Eigenschaften von Abbildungen
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- **Injektiv** (eineindeutig): $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
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- Ein y hat höchstens ein x
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- nicht injektiv, sind funktionen die lokale Extrema haben
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- **Surjektiv** (auf): Jedes Element der Zielmenge wird getroffen.
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- Jedes y hat mindestens ein x
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- Globales verhalten muss von -unendlich nach + unendlich, oder umgekehrt sein.
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- Also jedes Y muss belegt sein
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- **Bijektiv**: Injektiv und surjektiv.
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- **Bild** eines Teilbereichs $A$: $f(A)$.
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- **Urbild** eines Bereichs $B$: $f^{-1}(B)$.
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- **Umkehrabbildung** (Inverse): $f^{-1}$, existiert nur bei Bijektion.
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## Folgen
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- **Folge** $(a_n)$: Geordnete Liste von Werten.
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- **Folgeglied**: $a_n$.
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- **arithmetische Folge**: $a_{n+1} = a_n + d$.
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- **geometrische Folge**: $a_{n+1} = a_n \cdot q$.
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- **untere/obere Schranke**: Kleinster/größter Wert, der die Folge begrenzt.
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- **beschränkt**: Folge hat obere und/oder untere Schranke.
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- **(streng) monoton steigend/fallend**: $a_{n+1} \ge a_n$ bzw. $a_{n+1} > a_n$ (oder umgekehrt fallend).
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- **Konvergenz**: Folge nähert sich einem Grenzwert.
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- **Divergenz**: Kein endlicher Grenzwert.
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- **Grenzwert** $L$: $\lim_{n \to \infty} a_n = L$.
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## Summen und Reihen
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- **Summe**: $\sum_{k=1}^{n} a_k$.
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- **Summenzeichen**: $\sum$.
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- **geometrische Summe**: $S_n = a\,\frac{1-r^n}{1-r}$ (für $r \neq 1$).
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- **Reihe**: Unendliche Summe: $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$.
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- **geometrische Reihe**: $\sum_{k=0}^{\infty} ar^k$.
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## Betrag und Vorzeichen
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- **Betrag**: $|x|$.
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- **Vorzeichenfunktion**: $\mathrm{sgn}(x)$.
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## Wichtige Funktionen
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- **Potenzfunktion**: $f(x) = x^n$.
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- **Exponentialfunktion** (eigentliche): $f(x) = e^x$.
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- **Logarithmusfunktion**: $f(x) = \log_a(x)$.
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- **hyperbolische Funktionen**: $\sinh x, \cosh x, \ldots$
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- **Parität**: $f(-x) = f(x)$ (gerade), $f(-x) = -f(x)$ (ungerade).
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- **lineare Funktion**: $f(x) = m x + b$.
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- **verallgemeinerte Exponentialfunktion**: $a^x = e^{x \ln a}$.
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## Steigung und Differenzquotient
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- **Steigung** $m$ einer Geraden: $m = \tan(\alpha)$ (Steigungswinkel $\alpha$).
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- **Differenzquotient**: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
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## Ableitung
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$$
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f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
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$$
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### Ableitungsregeln
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- **Faktorregel**: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
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- **Summenregel**: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.
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- **Produktregel**: $(f \cdot g)' = f' g + f g'$.
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- **Kettenregel**: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
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- **Quadratregel**: $(x^2)' = 2x$.
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- **Reziprokenregel**: $\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)' = -\tfrac{1}{x^2}$.
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- **Quotientenregel**: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.
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## Exponential- und Logarithmusableitungen
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- **Eulersche Zahl**: $e \approx 2{.}71828$.
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- **natürliche Exponentialfunktion**: $(e^x)' = e^x$.
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- **natürlicher Logarithmus**: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
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- **Allgemeines**: $(a^x)' = a^x \ln(a)$, $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln(a)}$.
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## Ableitungen trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen
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- **Trigonometrisch**: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \sec^2 x$, …
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- **Hyperbolisch**: $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$, $(\tanh x)' = \mathrm{sech}^2 x$, …
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- **Arkusfunktionen**: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, …
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- **Areafunktionen**: $(\mathrm{arsinh}\,x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, …
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## Aufleitung und Integration
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- **Aufleitung / Stammfunktion**: $F'(x) = f(x)$.
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- **unbestimmtes Integral**: $\int f(x)\,dx = F(x) + C$.
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- **bestimmtes Integral**: $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
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- **Integrand**: $f(x)$.
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- **Integrationsgrenzen**: $[a,b]$.
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## Differenzialrechnung: kritische Stellen und Extrempunkte
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- **kritische Stelle**: $x_0$, bei dem $f'(x_0)=0$ oder $f'(x_0)$ undefiniert.
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- **kritischer Punkt**: $(x_0, f(x_0))$.
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- **lokales/globales Extremum**: Minimum oder Maximum (lokal/global).
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- **Hoch-/Tief-/Sattelpunkt**: Punkt mit $f'(x_0)=0$; Klassifizierung via $f''(x_0)$.
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## Krümmung und Wendepunkt
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- **analytische/geometrische Krümmung**: Vorzeichen von $f''(x)$ oder spezielle Krümmungsformeln.
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- **Wendepunkt**: Stelle, an der $f''(x)$ Vorzeichen wechselt (Krümmungswechsel).
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# Stochastik
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# Formelsammlung
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## Binomialkoeffizient
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$$
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\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
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$$
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## Pascalsches Dreieck
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Dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten:
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Zeile $n$ enthält $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$.
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## Fakultät
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$$
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n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1
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$$
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## Kombination (ohne Wiederholung)
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$$
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\binom{n}{k}
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$$
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## Variation
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- Ohne Wiederholung:
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$$
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\frac{n!}{(n-k)!}
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$$
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||
- Mit Wiederholung:
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$$
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n^k
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$$
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## Permutation
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$$
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n!
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$$
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## Kombinationsmöglichkeiten – Entscheidungsbaum
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1. **Wird die Reihenfolge beachtet?**
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- **Ja → Variation** (evtl. Permutation, wenn alle Elemente benutzt werden)
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||
- **Nein → Kombination**
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||
2. **Mit oder ohne Wiederholung?**
|
||
- **Ohne → \binom{n}{k} oder \frac{n!}{(n-k)!}**
|
||
- **Mit → n^k**
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## Zufallsexperiment
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Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber nicht vorhergesagt werden können.
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## Elementarereignis
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||
Einzelnes, unzerlegbares Ereignis (genau ein Ergebnis).
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||
## Ereignisse
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Mengen von Elementarereignissen.
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||
## Ergebnisse
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||
Die möglichen Resultate eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse).
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## Wahrscheinlichkeitsraum
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||
$$(\Omega, \mathcal{A}, P)$$
|
||
- $\Omega$: Ergebnismenge
|
||
- $\mathcal{A}$: Ereignissystem
|
||
- $P$: Wahrscheinlichkeitsfunktion
|
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||
---
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||
## Laplace-Experiment
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||
Gleichwahrscheinliche Elementarereignisse:
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$$
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||
P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger}}{\text{Anzahl aller}}
|
||
$$
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||
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||
---
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||
## Laplace-Wahrscheinlichkeit
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||
$$
|
||
P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}
|
||
$$
|
||
|
||
---
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||
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||
## Absolute/Relative Häufigkeit
|
||
- **Absolute Häufigkeit**: Anzahl der Auftretensfälle eines Ergebnisses.
|
||
- **Relative Häufigkeit**:
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||
$$
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||
\frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}}
|
||
$$
|
||
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||
---
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||
## Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov)
|
||
1. $P(E) \ge 0$
|
||
2. $P(\Omega) = 1$
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||
3. $$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$$
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## Additionssatz
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$$
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||
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
|
||
$$
|
||
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---
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||
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||
## Multiplikationssatz
|
||
$$
|
||
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)
|
||
$$
|
||
Bei Unabhängigkeit:
|
||
$$
|
||
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
|
||
$$
|
||
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||
---
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||
## Bedingte Wahrscheinlichkeit
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||
$$
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||
P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
|
||
$$
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||
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||
---
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|
||
## Totale Wahrscheinlichkeit
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||
$$
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||
P(B) = \sum_i \bigl[P(B \mid A_i)\cdot P(A_i)\bigr]
|
||
$$
|
||
wenn $\{A_i\}$ vollständige Zerlegung von $\Omega$ ist.
|
||
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||
---
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||
|
||
## Abhängige/Unabhängige Ereignisse
|
||
- **Unabhängig**:
|
||
$$
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||
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
|
||
$$
|
||
- **Abhängig**: Obige Gleichung gilt nicht.
|
||
|
||
---
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||
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||
## Ereignisbaum
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||
Grafische Darstellung von Ereignissen, deren Abzweigungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriftet sind.
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||
## Satz von Bayes
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||
$$
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||
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}
|
||
$$
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||
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||
---
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||
|
||
## Zufallsvariable
|
||
Funktion $X: \Omega \to \mathbb{R}$, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet.
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||
## Verteilungsfunktion
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||
$$
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||
F_X(x) = P(X \le x)
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||
$$
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||
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---
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||
## Wahrscheinlichkeitsverteilung
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||
Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsvariable.
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||
## Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Zufallsvariable)
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||
$$
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||
p_X(x) = P(X = x)
|
||
$$
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||
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## Stabdiagramm
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||
Grafische Darstellung $x$ gegen $p_X(x)$ (diskrete Verteilung).
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## Erwartungswert (diskret)
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$$
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||
E(X) = \sum_x \bigl[x \cdot p_X(x)\bigr]
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$$
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||
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||
## Mittelwert (Stichprobe)
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||
$$
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||
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
|
||
$$
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||
|
||
---
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||
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||
## Varianz
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||
$$
|
||
\mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - [E(X)]^2
|
||
$$
|
||
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||
---
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||
## Standardabweichung
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||
$$
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||
\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}
|
||
$$
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||
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||
---
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## Gleichverteilung
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||
Alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, z.B.
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$$
|
||
p(x) = \frac{1}{n} \quad \text{für } x \in \{1,\dots,n\}
|
||
$$
|
||
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||
---
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||
## Bernoulli-Verteilung
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$$
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||
P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p
|
||
$$
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---
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||
|
||
## Binomialverteilung
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||
$$
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||
P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}
|
||
$$
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# Lineare Algebra
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# Formelsammlung
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||
## Binomialkoeffizient
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||
$$
|
||
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Pascalsches Dreieck
|
||
Dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten:
|
||
Zeile $n$ enthält $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$.
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Fakultät
|
||
$$
|
||
n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1
|
||
$$
|
||
|
||
---
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||
|
||
## Kombination (ohne Wiederholung)
|
||
$$
|
||
\binom{n}{k}
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Variation
|
||
- Ohne Wiederholung:
|
||
$$
|
||
\frac{n!}{(n-k)!}
|
||
$$
|
||
- Mit Wiederholung:
|
||
$$
|
||
n^k
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Permutation
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||
$$
|
||
n!
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Kombinationsmöglichkeiten – Entscheidungsbaum
|
||
1. **Wird die Reihenfolge beachtet?**
|
||
- **Ja → Variation** (evtl. Permutation, wenn alle Elemente benutzt werden)
|
||
- **Nein → Kombination**
|
||
2. **Mit oder ohne Wiederholung?**
|
||
- **Ohne → \binom{n}{k} oder \frac{n!}{(n-k)!}**
|
||
- **Mit → n^k**
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Zufallsexperiment
|
||
Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber nicht vorhergesagt werden können.
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Elementarereignis
|
||
Einzelnes, unzerlegbares Ereignis (genau ein Ergebnis).
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Ereignisse
|
||
Mengen von Elementarereignissen.
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Ergebnisse
|
||
Die möglichen Resultate eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse).
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Wahrscheinlichkeitsraum
|
||
$$(\Omega, \mathcal{A}, P)$$
|
||
- $\Omega$: Ergebnismenge
|
||
- $\mathcal{A}$: Ereignissystem
|
||
- $P$: Wahrscheinlichkeitsfunktion
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Laplace-Experiment
|
||
Gleichwahrscheinliche Elementarereignisse:
|
||
$$
|
||
P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger}}{\text{Anzahl aller}}
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Laplace-Wahrscheinlichkeit
|
||
$$
|
||
P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Absolute/Relative Häufigkeit
|
||
- **Absolute Häufigkeit**: Anzahl der Auftretensfälle eines Ergebnisses.
|
||
- **Relative Häufigkeit**:
|
||
$$
|
||
\frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}}
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov)
|
||
1. $P(E) \ge 0$
|
||
2. $P(\Omega) = 1$
|
||
3. $$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Additionssatz
|
||
$$
|
||
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Multiplikationssatz
|
||
$$
|
||
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)
|
||
$$
|
||
Bei Unabhängigkeit:
|
||
$$
|
||
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Bedingte Wahrscheinlichkeit
|
||
$$
|
||
P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Totale Wahrscheinlichkeit
|
||
$$
|
||
P(B) = \sum_i \bigl[P(B \mid A_i)\cdot P(A_i)\bigr]
|
||
$$
|
||
wenn $\{A_i\}$ vollständige Zerlegung von $\Omega$ ist.
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Abhängige/Unabhängige Ereignisse
|
||
- **Unabhängig**:
|
||
$$
|
||
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
|
||
$$
|
||
- **Abhängig**: Obige Gleichung gilt nicht.
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Ereignisbaum
|
||
Grafische Darstellung von Ereignissen, deren Abzweigungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriftet sind.
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## Satz von Bayes
|
||
$$
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P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}
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## Zufallsvariable
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Funktion $X: \Omega \to \mathbb{R}$, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet.
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## Verteilungsfunktion
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F_X(x) = P(X \le x)
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## Wahrscheinlichkeitsverteilung
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Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsvariable.
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## Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Zufallsvariable)
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p_X(x) = P(X = x)
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## Stabdiagramm
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Grafische Darstellung $x$ gegen $p_X(x)$ (diskrete Verteilung).
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## Erwartungswert (diskret)
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E(X) = \sum_x \bigl[x \cdot p_X(x)\bigr]
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## Mittelwert (Stichprobe)
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\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
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## Varianz
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\mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - [E(X)]^2
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## Standardabweichung
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\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}
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## Gleichverteilung
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Alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, z.B.
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p(x) = \frac{1}{n} \quad \text{für } x \in \{1,\dots,n\}
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## Bernoulli-Verteilung
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P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p
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## Binomialverteilung
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P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}
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