Organisation

Notes/07.02.25.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+# Komplexe Zahlen
+
+## Eulersche Gleichung & Formel
+Die Eulersche Gleichung lautet:
+$$e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)$$
+
+Daraus folgt die Darstellung einer komplexen Zahl in Exponentialform:
+$$z = r \Bigl(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi)\Bigr) = r \cdot e^{i\varphi}$$
+
+> **Exponentialform:**
+> $$z = r \cdot e^{i(\varphi + 2\pi k)}$$
+
+### Beispiel: Arithmetische in Exponentialform
+Für die arithmetische Darstellung:
+$$z = -2 + 2i$$
+
+Berechnung des Betrags:
+$$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8}$$
+
+Berechnung des Winkels:
+$$\varphi = \arctan\left(\frac{2}{-2}\right) + \pi = \frac{3\pi}{4}$$
+
+Somit ergibt sich:
+$$z = \sqrt{8} \cdot e^{i\frac{3\pi}{4}}$$
+
+### Multiplikation
+Gegeben:
+$$z_1 = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}}$$
+$$z_2 = 3 \cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}$$
+
+Multiplikation:
+$$z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right)} = 6 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}}$$
+
+### Division
+Gegeben:
+$$z_1 = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}}$$
+$$z_2 = 3 \cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}$$
+
+Division:
+$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3} \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{3}\right)} = \frac{2}{3} \cdot e^{-i\frac{7\pi}{6}} = \frac{2}{3} \cdot e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
+
+#### Umwandeln in Arithmetische Form
+$$\frac{2}{3} \cdot e^{i\frac{5\pi}{6}} = \frac{2}{3} \cdot \Bigl(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\Bigr)$$
+
+**Bemerkungen:**
+- $|e^{i\varphi}| =\sqrt{\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)} = 1$
+- $e^{i \ 0} = 1 = e^{i 2k\pi}$
+- $e^{i\pi} = -1$
+- $\sinh(i x) = \sin x$
+- $\cosh(i x) = \cos x$
+
+
+### Potenzieren
+

Notes/13.03.25.md

@@ -0,0 +1,13 @@
+# Uneigentliches Integral
+
+> bisher:
+>- unbestimmtes Integral, es geht um das auffinden der Stammfunktion
+>- bestimmte Integrale auf beschränkten Intervallen
+
+-> was passiert, wenn Intervall unbeschränkt ist? z.B. $[a, \infty)$
+
+Bsp: betrachte geometrische Reihe
+
+$$ \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^k = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$$
+
+wir können dies als Flächeninhalt betrachten

Notes/14.03.25.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+# Matrizen
+
+**Menge der Matrizen**:
+- $\mathbb{M}(m, n, \mathbb{R}) = \mathbb{R}^{m\times n}$
+
+ >**Anwendungen**: 
+ >- Beschreibung linearer Gleichungssysteme 
+ >- Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen
+
+
+## Zeilen, Spaltenvektoren
+
+## Transponieren
+Zeilen und spaltenindex vertauschen
+
+$$ A \longrightarrow A^T$$
+$$(A^T)^T = A$$
+
+
+## Matrizenmultiplikation 
+
+Shape des Outputs: m_A X n_B
+
+Spaltenanzahl von A muss mit der Zeilenanzahl von B übereinstimmen

Notes/20.02.25.md

@@ -0,0 +1,37 @@
+# Integrale
+
+Integral durch Rechtecke mit Breite $\Delta x$ annähern mit ...  
+**Obersumme**: der *rechten* Grenze
+
+**Untersumme**: der *linken* Grenze
+
+$$ U_n = A_1 + ... + A_n$$
+$$= \sum_{i=1}^{n}{A_i}$$
+$$ O_n = A_1 + ... + A_n$$
+$$A_1 = f(x_1) \cdot \Delta x_1$$
+$$= \sum_{i=1}^{n}{A_i}$$
+
+
+# Lineare Substitution / Modifikation
+
+$\textrm{Gegeben sei} f: R \rightarrow R \ und \ eine$
+$Stammfunktion \ F: R \rightarrow R, c, m, q, x_0, x_E \in R$
+$mit \ x_0 < x_E$
+
+$$ a) \int{f(mx + q) \ dx = \frac{1}{m} \cdot F}$$
+
+
+$$\int{f(g(x))} = F(x) \cdot \frac{1}{m_{g(x)}}$$ 
+
+## Eingeschlossene Fläche
+### Sonderfälle
+
+1. Teile der Funktionen y < 0
+> Egal weil konstantes $c$ hebt es auf
+
+2. Funktionen schneiden sich
+> Integral einteilen in Intervalle zwischen den Schnittpunkten
+
+
+## Volumen
+Volumen eines Rotationskörpers

Notes/27.02.25.md

@@ -0,0 +1,31 @@
+## Substitution
+
+$$
+\int_a^b{f(g(x))} \quad dx \quad \longrightarrow  \int_{g(a)}^{g(b)}{f(z)} \quad dz
+$$
+1. **Wähle geeignete Substitution:**
+
+$$u = u(x)$$
+
+$$\Rightarrow du = u’(x),dx$$
+
+1. **Ersetze im Integral:**
+
+$$\int f(u(x)) \cdot u’(x),dx = \int f(u),du$$
+
+1. **Integriere nach $u$:**
+
+$$\int f(u),du = F(u) + C$$
+
+1. **Rücksubstitution durchführen:**
+
+$$F(u) + C = F(u(x)) + C$$
+## Näherungsweise Integrieren: Trapezform
+$$ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}  $$
+
+Teilintervalle der länge $h = \frac{b-a}{n}$
+$stützstellen \quad$
+
+$\longrightarrow$ Funktionswerte an Stützstellen $f(x_k)$ heissen Stützwerte: $y_k = f(x_k) = f(x_0 + k\cdot h)$
+$k= 0 ...n$
+

Notes/28.02.25.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+# Komplexe Zahlen 
+
+## Polarkoordinatendarstellung
+
+$$\phi = \arctan \frac{y}{x} = \frac{\pi}{4}$$
+
+$$\longrightarrow \phi \ \textrm{wird auch Argument von z genannt:} arg(z)$$
+
+$$\longrightarrow z \ \textrm{in arithmetischer Form} \ Re(z) \ \& \ Im(z) \ sofort \ ersichtlich$$
+
+$$\longrightarrow \textrm{z in trigonometrischer Form:} \ Re(z) \ \& \ Im(z) \ müssen \ berechenet \ werden.$$
+$$x = Re(z) = r \cdot \cos{\phi}$$
+$$y = Im(z) = r \cdot \sin \phi$$
+
+$$\longrightarrow z = x + iy = r \cdot \cos \phi + i \cdot r \cdot \sin \phi$$
+$$= r\cdot (\cos\phi+i\cdot\sin\phi)$$
+$$=r\cdot\ cis \ \phi$$
+
+