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Duden der wichtigsten Begriffe (mit Prüf-/Berechnungsmethoden)

Analysis & Integration

• Integral:
  Ein Integral ist die orientierte Fläche unter einer Funktion und berechnet sich durch den Hauptsatz:

  \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

  mit F' = f.

• Bestimmtes Integral:
  Integral mit Grenzen a,b, Ergebnis ist eine Zahl; geprüft durch Einsetzen in die Stammfunktion oder numerisch (z.B. Trapezformel).

• Unbestimmtes Integral / Stammfunktion:
  Menge aller Funktionen F mit

  F'(x) = f(x)

  Nachweis durch Ableiten von F.

• Lineare Substitution:
  Ersetzt x durch u = a x + b (a \neq 0), transformiert das Integral:

  \int f(x) \, dx = \frac{1}{a} \int f\left(\frac{u - b}{a}\right) du

  Beweis durch Kettenregel.

• Substitution (allgemein):
  Für x = g(u) mit dx = g'(u) du gilt:

  \int f(x) dx = \int f(g(u)) g'(u) du

  Nachweis durch Kettenregel und Umkehrfunktion.

• Partielle Integration:

  \int u \, dv = u v - \int v \, du

  Herleitung aus Produktregel: (u v)' = u' v + u v'.

• Uneigentliches Integral:
  Grenzwert

  \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx

  Existenz wird mit Konvergenztests geprüft.

• Bogenlänge:

  L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx

  Herleitung über Grenzwert von Polygonzügen.

• Mantelfläche Rotationskörper:

  A = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx

• Volumen Rotationskörper:

  V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx

• Flächeninhalt zwischen Funktion und Achsen:

  \text{Fläche} = \int_a^b |f(x)| dx

• Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen:

  \int_a^b |f(x) - g(x)| dx

  mit a,b als Schnittpunkte, bestimmt durch f(x) = g(x).

• Trapezformel (Numerische Integration):

  \int_a^b f(x) dx \approx \frac{b - a}{2} (f(a) + f(b))

• Mehrfachintegral:
  Iteriertes Integral z.B. in 2D:

  \iint_D f(x,y) dA = \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) dx dy

  Reihenfolge vertauschbar nach Fubini.

Koordinatensysteme

• Polarkoordinaten:

  x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi

  Jacobi-Determinante für Integration: r.

• Zylinderkoordinaten:

  x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad z = z

  Jacobi-Determinante: r.

Lineare Algebra – Matrizen

• Matrix:
  Rechteckige Anordnung von Zahlen, beschreibt lineare Abbildung.

• Symmetrische Matrix:

  A^T = A

  Eigenschaften: reelle Eigenwerte, orthogonale Eigenvektoren.

• Schiefsymmetrische Matrix:

  A^T = -A

  Diagonaleinträge sind 0.

• Einheitsmatrix I:

  I_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}

  Neutrales Element bei Multiplikation.

• Inverse Matrix:

  A^{-1} A = A A^{-1} = I

  Existenz wenn \det A \neq 0, berechnet mit Gauß-Jordan.

• Transposition:

  (A^T)_{ij} = A_{ji}

• Orthogonale Matrix:

  A^T A = I

  Spalten bilden orthonormale Basis.

• Drehmatrix (2D):

  R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

  Potenzen durch Addition der Winkel.

• Spiegelmatrix (2D):
  Beispiel Spiegelung an x-Achse:

  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

• Regulär / invertierbar:

  \det A \neq 0

• Spur:

  \operatorname{tr} A = \sum_i A_{ii}

  Summe der Eigenwerte.

• Determinante:
  Skalar, gibt Volumensskalierung an; berechenbar mit Sarrus, Laplace oder Gauß.

• Rang:
  Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten; via Gauß.

• Lineare Abbildung:
  Erfüllt

  f(u+v) = f(u) + f(v), \quad f(\alpha v) = \alpha f(v)

• Bild (Image):

  \operatorname{im} A = \{Ax \mid x \in \mathbb{R}^n \}

• Kern (Nullraum):

  \ker A = \{ x \mid Ax = 0 \}

• Charakteristisches Polynom:

  p_A(\lambda) = \det (A - \lambda I)

• Eigenwert/-vektor:

  A v = \lambda v, \quad v \neq 0

• Algebraische vs. geometrische Vielfachheit:
  Algebraisch = Vielfachheit Nullstelle p_A; geometrisch = Dimension Eigenraum.

• Diagonalisierbarkeit:
  Möglich wenn Summe geometrischer Vielfachheiten = Dimension.

Vektor- & Skalarfelder

• Skalarfeld:
  Funktion f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}.

• Vektorfeld:
  Funktion v : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n.

• Gradient:

  \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix}

  Richtungsvektor des größten Anstiegs.

• Totales Differential:

  df = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i

• Partielle Ableitung:
  Ableitung nach einer Variablen, andere konstant.

• Tangentialebene:

  z = f(a,b) + \nabla f(a,b) \cdot \begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix}

• Richtungsableitung:

  D_v f = \nabla f \cdot \hat{v}

  mit normiertem Richtungsvektor \hat{v}.

• Hesse-Matrix:

  H_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{pmatrix}

• Lokales Extremum:
  \nabla f = 0 und H_f positiv (Minimum) oder negativ definit (Maximum).

• Sattelpunkt:
  \nabla f = 0 und H_f indefinit.

• Lagrange-Multiplikator:

  \nabla f = \lambda \nabla g

  für Extrema mit Nebenbedingung g=0.

• Kurve / Spur:
  Bild einer Parametrisierung r(t).

• Tangentenvektor:

  \dot{r}(t)

• Bogenlänge:

  L = \int_a^b |\dot{r}(t)| dt

• Linienintegral (skalar):

  \int_\gamma f(\mathbf{r}) ds

• Divergenz:

  \nabla \cdot v = \sum_i \frac{\partial v_i}{\partial x_i}

• Rotation (Curl):

  \nabla \times v = \text{Vektor aus partiellen Ableitungen}

• Laplace-Operator:

  \Delta f = \nabla \cdot \nabla f = \sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}

• Konservatives Feld:

  \nabla \times v = 0 \Rightarrow \exists \Phi : v = \nabla \Phi

Komplexe Zahlen

• Komplexe Zahl:

  z = a + bi, \quad a,b \in \mathbb{R}

• Real-/Imaginärteil:

  \operatorname{Re}(z) = a, \quad \operatorname{Im}(z) = b

• Betrag:

  |z| = \sqrt{a^2 + b^2}

• Komplex Konjugiert:

  \bar{z} = a - bi

  mit z \bar{z} = |z|^2

• Trigonometrische Form:

  z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)

• Exponentialform:

  z = r e^{i \varphi}

  mit Euler: e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi

• Arg-Funktion:

  \varphi = \arg z = \arctan2(b,a)

• Potenzgleichung:
  Lösungen von z^n = c sind

  z_k = |c|^{1/n} e^{i \frac{\arg c + 2 \pi k}{n}}, \quad k=0, \dots, n-1

Vektorräume

• Vektorraum:
  Menge V mit Addition und Skalarmultiplikation, erfüllt Axiome (Assoziativität, Distributivität etc.).

• Linearkombination:

  \sum_i \alpha_i v_i

• Lineare Unabhängigkeit:

  \sum_i \alpha_i v_i = 0 \Rightarrow \alpha_i = 0 \quad \forall i

• Basis:
  Lineare unabhängige Erzeugendmenge.

• Dimension:
  Anzahl Elemente der Basis.

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