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# Duden der wichtigsten Begriffe (mit Prüf-/Berechnungsmethoden)
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## Analysis & Integration
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- **Integral:**
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Ein Integral ist die orientierte Fläche unter einer Funktion und berechnet sich durch den Hauptsatz:
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$$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$
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mit $F' = f$.
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- **Bestimmtes Integral:**
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Integral mit Grenzen $a,b$, Ergebnis ist eine Zahl; geprüft durch Einsetzen in die Stammfunktion oder numerisch (z.B. Trapezformel).
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- **Unbestimmtes Integral / Stammfunktion:**
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Menge aller Funktionen $F$ mit
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$$ F'(x) = f(x) $$
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Nachweis durch Ableiten von $F$.
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- **Lineare Substitution:**
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Ersetzt $x$ durch $u = a x + b$ ($a \neq 0$), transformiert das Integral:
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$$ \int f(x) \, dx = \frac{1}{a} \int f\left(\frac{u - b}{a}\right) du $$
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Beweis durch Kettenregel.
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- **Substitution (allgemein):**
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Für $x = g(u)$ mit $dx = g'(u) du$ gilt:
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$$ \int f(x) dx = \int f(g(u)) g'(u) du $$
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Nachweis durch Kettenregel und Umkehrfunktion.
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- **Partielle Integration:**
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$$ \int u \, dv = u v - \int v \, du $$
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Herleitung aus Produktregel: $(u v)' = u' v + u v'$.
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- **Uneigentliches Integral:**
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Grenzwert
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$$ \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx $$
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Existenz wird mit Konvergenztests geprüft.
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- **Bogenlänge:**
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$$ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $$
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Herleitung über Grenzwert von Polygonzügen.
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- **Mantelfläche Rotationskörper:**
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$$ A = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $$
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- **Volumen Rotationskörper:**
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$$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx $$
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- **Flächeninhalt zwischen Funktion und Achsen:**
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$$ \text{Fläche} = \int_a^b |f(x)| dx $$
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- **Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen:**
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$$ \int_a^b |f(x) - g(x)| dx $$
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mit $a,b$ als Schnittpunkte, bestimmt durch $f(x) = g(x)$.
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- **Trapezformel (Numerische Integration):**
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$$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{b - a}{2} (f(a) + f(b)) $$
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- **Mehrfachintegral:**
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Iteriertes Integral z.B. in 2D:
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$$ \iint_D f(x,y) dA = \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) dx dy $$
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Reihenfolge vertauschbar nach Fubini.
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## Koordinatensysteme
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- **Polarkoordinaten:**
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$$ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi $$
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Jacobi-Determinante für Integration: $r$.
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- **Zylinderkoordinaten:**
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$$ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad z = z $$
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Jacobi-Determinante: $r$.
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## Lineare Algebra – Matrizen
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- **Matrix:**
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Rechteckige Anordnung von Zahlen, beschreibt lineare Abbildung.
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- **Symmetrische Matrix:**
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$$ A^T = A $$
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Eigenschaften: reelle Eigenwerte, orthogonale Eigenvektoren.
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- **Schiefsymmetrische Matrix:**
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$$ A^T = -A $$
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Diagonaleinträge sind $0$.
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- **Einheitsmatrix $I$:**
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$$ I_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases} $$
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Neutrales Element bei Multiplikation.
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- **Inverse Matrix:**
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$$ A^{-1} A = A A^{-1} = I $$
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Existenz wenn $\det A \neq 0$, berechnet mit Gauß-Jordan.
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- **Transposition:**
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$$ (A^T)_{ij} = A_{ji} $$
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- **Orthogonale Matrix:**
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$$ A^T A = I $$
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Spalten bilden orthonormale Basis.
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- **Drehmatrix (2D):**
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$$ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$
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Potenzen durch Addition der Winkel.
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- **Spiegelmatrix (2D):**
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Beispiel Spiegelung an x-Achse:
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$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
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- **Regulär / invertierbar:**
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$$ \det A \neq 0 $$
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- **Spur:**
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$$ \operatorname{tr} A = \sum_i A_{ii} $$
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Summe der Eigenwerte.
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- **Determinante:**
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Skalar, gibt Volumensskalierung an; berechenbar mit Sarrus, Laplace oder Gauß.
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- **Rang:**
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Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten; via Gauß.
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- **Lineare Abbildung:**
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Erfüllt
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$$ f(u+v) = f(u) + f(v), \quad f(\alpha v) = \alpha f(v) $$
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- **Bild (Image):**
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$$ \operatorname{im} A = \{Ax \mid x \in \mathbb{R}^n \} $$
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- **Kern (Nullraum):**
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$$ \ker A = \{ x \mid Ax = 0 \} $$
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- **Charakteristisches Polynom:**
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$$ p_A(\lambda) = \det (A - \lambda I) $$
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- **Eigenwert/-vektor:**
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$$ A v = \lambda v, \quad v \neq 0 $$
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- **Algebraische vs. geometrische Vielfachheit:**
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Algebraisch = Vielfachheit Nullstelle $p_A$; geometrisch = Dimension Eigenraum.
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- **Diagonalisierbarkeit:**
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Möglich wenn Summe geometrischer Vielfachheiten = Dimension.
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## Vektor- & Skalarfelder
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- **Skalarfeld:**
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Funktion $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$.
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- **Vektorfeld:**
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Funktion $v : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$.
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- **Gradient:**
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$$ \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix} $$
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Richtungsvektor des größten Anstiegs.
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- **Totales Differential:**
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$$ df = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i $$
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- **Partielle Ableitung:**
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Ableitung nach einer Variablen, andere konstant.
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- **Tangentialebene:**
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$$ z = f(a,b) + \nabla f(a,b) \cdot \begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} $$
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- **Richtungsableitung:**
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$$ D_v f = \nabla f \cdot \hat{v} $$
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mit normiertem Richtungsvektor $\hat{v}$.
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- **Hesse-Matrix:**
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$$ H_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{pmatrix} $$
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- **Lokales Extremum:**
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$\nabla f = 0$ und $H_f$ positiv (Minimum) oder negativ definit (Maximum).
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- **Sattelpunkt:**
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$\nabla f = 0$ und $H_f$ indefinit.
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- **Lagrange-Multiplikator:**
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$$ \nabla f = \lambda \nabla g $$
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für Extrema mit Nebenbedingung $g=0$.
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- **Kurve / Spur:**
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Bild einer Parametrisierung $r(t)$.
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- **Tangentenvektor:**
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$$ \dot{r}(t) $$
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- **Bogenlänge:**
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$$ L = \int_a^b |\dot{r}(t)| dt $$
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- **Linienintegral (skalar):**
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$$ \int_\gamma f(\mathbf{r}) ds $$
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- **Divergenz:**
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$$ \nabla \cdot v = \sum_i \frac{\partial v_i}{\partial x_i} $$
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- **Rotation (Curl):**
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$$ \nabla \times v = \text{Vektor aus partiellen Ableitungen} $$
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- **Laplace-Operator:**
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$$ \Delta f = \nabla \cdot \nabla f = \sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} $$
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- **Konservatives Feld:**
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$$ \nabla \times v = 0 \Rightarrow \exists \Phi : v = \nabla \Phi $$
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## Komplexe Zahlen
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- **Komplexe Zahl:**
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$$ z = a + bi, \quad a,b \in \mathbb{R} $$
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- **Real-/Imaginärteil:**
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$$ \operatorname{Re}(z) = a, \quad \operatorname{Im}(z) = b $$
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- **Betrag:**
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$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$
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- **Komplex Konjugiert:**
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$$ \bar{z} = a - bi $$
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mit $$ z \bar{z} = |z|^2 $$
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- **Trigonometrische Form:**
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$$ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) $$
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- **Exponentialform:**
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$$ z = r e^{i \varphi} $$
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mit Euler: $$ e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi $$
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- **Arg-Funktion:**
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$$ \varphi = \arg z = \arctan2(b,a) $$
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- **Potenzgleichung:**
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Lösungen von $$ z^n = c $$ sind
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$$ z_k = |c|^{1/n} e^{i \frac{\arg c + 2 \pi k}{n}}, \quad k=0, \dots, n-1 $$
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## Vektorräume
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- **Vektorraum:**
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Menge $V$ mit Addition und Skalarmultiplikation, erfüllt Axiome (Assoziativität, Distributivität etc.).
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- **Linearkombination:**
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$$ \sum_i \alpha_i v_i $$
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- **Lineare Unabhängigkeit:**
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$$ \sum_i \alpha_i v_i = 0 \Rightarrow \alpha_i = 0 \quad \forall i $$
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- **Basis:**
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Lineare unabhängige Erzeugendmenge.
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- **Dimension:**
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Anzahl Elemente der Basis.
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