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# Uneigentliches Integral
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1. Grenzwert bilden. Basically $R$ anstatt $\infty$ schreiben.
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2. Integral in Teile, bis zu den Polstellen. (Falls vorhanden.)
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3. Ganz normal integrieren.
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4. Grenzen einsetzen (ja, auch $\infty$). Wenn es abhaut nach $\infty$ , dann divergiert es, und ist nicht lösbar. Oszilation ist auch nicht lösbar, z.B. $\operatorname{sin(x)}$ von $0$ bis $\infty$. Hat nämlich keinen Grenzwert.
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# WIP Konzept - Komplexe Zahlen
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# 10. Diagonalisierung und Transformationsmatrix
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# 9. Schwerpunkt
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1. **Gebiet $\mathcal A$ festlegen**
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Wähle Integrationsgrenzen, z. B.
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$$
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x\in[a,b],\quad y\in\bigl[y_{\mathrm{unten}}(x),\,y_{\mathrm{oben}}(x)\bigr]
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$$
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oder umgekehrt
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$$
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y\in[c,d],\quad x\in\bigl[x_{\mathrm{links}}(y),\,x_{\mathrm{rechts}}(y)\bigr].
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$$
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2. **Dichtefunktion $\rho(x,y)$ angeben**
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- Allgemein beliebig.
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- Regelfall homogen: $\rho(x,y)\equiv 1$.
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3. **Gesamtmasse \(M\) berechnen**
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$$
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M \;=\;\iint_{\mathcal A}\rho(x,y)\,dA
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\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
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\rho(x,y)\,dy\,dx.
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$$
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4. **Erstes Moment zur \(y\)-Achse (\(x_S\))**
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$$
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M_y
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\;=\;\iint_{\mathcal A} x\,\rho(x,y)\,dA
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\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
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x\,\rho(x,y)\,dy\,dx.
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$$
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5. **Erstes Moment zur \(x\)-Achse ($y_S$)**
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$$
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M_x
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\;=\;\iint_{\mathcal A} y\,\rho(x,y)\,dA
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\;=\;\int_{x=a}^{b}\!\int_{y=y_{\mathrm{unten}}(x)}^{y_{\mathrm{oben}}(x)}
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y\,\rho(x,y)\,dy\,dx.
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$$
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6. **Schwerpunktkoordinaten**
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$$
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x_S \;=\;\frac{M_y}{M},
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\qquad
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y_S \;=\;\frac{M_x}{M}.
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$$
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### Beispiel für $\rho(x,y)\equiv1$ und $0\le x\le2a,\;0\le y\le a+x$
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- Gebiet:
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$$
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x\in[0,2a],\quad y\in[0,\;a+x].
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$$
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- Gesamtmasse:
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$$
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M = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x}1\,dy\,dx = 4a^2.
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$$
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- Erste Momente:
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$$
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M_y = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x} x\,dy\,dx,
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\quad
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M_x = \int_{0}^{2a}\!\int_{0}^{a+x} y\,dy\,dx.
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$$
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- Schwerpunkt:
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$$
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x_S = \frac{M_y}{M} = \frac{7}{6}a,
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\quad
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y_S = \frac{M_x}{M} = \frac{13}{12}a.
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$$
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# 8. Extrema - Mehrdimensional
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| **Baustein** | **Was es ist / tut** | **Warum es wichtig ist** |
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| **1. Funktion** $f(x,y)$ | Die „Höhenlandschaft“, die untersucht wird. | Ohne Funktion keine Analyse. |
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| **2. Gradient** $\nabla f=(f_x,f_y)$ | Erste partielle Ableitungen → zeigt stärksten Anstieg. | Setze $\nabla f = \mathbf 0$, um **kritische Punkte** zu finden. |
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| **3. Gleichungssystem** $\;f_x=0,\;f_y=0\;$ | Zwei Gleichungen. | Liefert die Koordinaten aller kritischen Punkte. |
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| **4. Hesse-Matrix** $$H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}$$ | Matrix der zweiten Ableitungen. | Enthält Krümmungs-Info der Fläche. |
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| **5. Determinante** $$D=\det H=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}$$ | Eine Zahl pro Punkt. | Entscheidet schnell über Punktart:<br>• $D>0$ ⇒ Extremum<br>• $D<0$ ⇒ Sattel<br>• $D=0$ ⇒ Test unentschieden |
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| **6. Vorzeichen von** $f_{xx}$ | Nur wenn $D>0$. | Unterscheidet Minimum ($f_{xx}>0$) vs. Maximum ($f_{xx}<0$). |
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| **7. Funktionswert** $f(x_0,y_0)$ *(optional)* | Höhe des Punktes. | Rein informativ, z. B. tiefstes Minimum. |
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| **8. Sonderfälle**<br>• Eigenwerte von $H$<br>• Lagrange-Multiplikatoren | Alternativen/Erweiterungen. | Eigenwerte geben gleiche Entscheidung; Lagrange bei Nebenbedingungen. |
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## Ablauf in Kurzform
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1. **Aufschreiben:** $f(x,y)$
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2. **Gradient bilden:** $f_x,\;f_y$
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3. **Kritische Punkte:** Löse $f_x=0,\;f_y=0$ → $\{P_i\}$
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4. **Hesse-Matrix:** $f_{xx},f_{xy},f_{yy}$ in jedem $P_i$
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5. **Klassifikation:**
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* $D<0$ ⇒ Sattel
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* $D>0$ & $f_{xx}>0$ ⇒ Minimum
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* $D>0$ & $f_{xx}<0$ ⇒ Maximum
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* $D=0$ ⇒ weiterer Test nötig
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1. **(Optional) Funktionswerte** $f(P_i)$ einsetzen, um Höhen/Tiefen zu vergleichen.
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# 7. e) Skalares Kurvenintegral
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**Allgemeines Schema zur Berechnung eines skalaren Kurvenintegrals**
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1. **Parameterdarstellung**
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$$\gamma(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr),\quad t\in[a,b]$$
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2. **Einsetzen in die skalare Feldfunktion**
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$$f\bigl(\gamma(t)\bigr) = f\bigl(x(t),\,y(t)\bigr)$$
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3. **Berechnung des Bogenelements**
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- Ableitung:
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$$\gamma'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr)$$
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- Norm (Geschwindigkeit):
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$$\|\gamma'(t)\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$$
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4. **Formulierung des Kurvenintegrals**
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$$
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\int_{K} f\,\mathrm{d}s
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= \int_{a}^{b} f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\|\gamma'(t)\|\,\mathrm{d}t
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$$
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5. **Auswertung des Integrals**
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- Ggf. Substitution wählen, z. B. $u = g(t)$
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- $\mathrm{d}u$ bestimmen und $t\,\mathrm{d}t$ umschreiben
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- Grenzen anpassen:
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$$t=a\mapsto u=u(a),\quad t=b\mapsto u=u(b)$$
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- Stammfunktion finden und einsetzen
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- Ergebnis vereinfachen
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6. **Interpretation**
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- Physikalisch: Gesamtmasse, Arbeit, Energie, …
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- Mathematisch: Konvergenz prüfen (bei offenen Endpunkten)
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## Richtungsableitung
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1. **Gradient berechnen**
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$$
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\nabla f(x)
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=
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\begin{pmatrix}
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\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x) \\[6pt]
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\vdots \\[4pt]
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\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{n}}(x)
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\end{pmatrix}.
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$$
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2. **Einheitsvektor bilden**
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Sei $\vec v = (v_{1},\dots,v_{n})^\top\in\mathbb{R}^{n}$. Dann
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$$
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\|\vec v\| = \sqrt{v_{1}^{2} + \dots + v_{n}^{2}},
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\qquad
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\vec u = \frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
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$$
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3. **Richtungsableitung**
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$$
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D_{\vec v}f(P)
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= \lim_{h\to 0}\frac{f\bigl(P + h\,\vec u\bigr) - f(P)}{h}
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= \nabla f(P)\,\bullet\,\vec u
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= \nabla f(P)\,\bullet\,\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
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$$
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**Kurzgefasst:**
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$$
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D_{\vec v}f(P)
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= \nabla f(P)\,\bullet\,\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.
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$$
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# 7. d) Integrationsreihenfolge ändern
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| **Vorher** – Typ I | **Nachher** – Typ II | **Was wohin ?** |
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|--------------------|----------------------|-----------------|
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| $$\int_{x=a}^{b}\;\int_{y=l(x)}^{u(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$ | $$\int_{y=l(a)}^{u(b)}\;\int_{x=l^{-1}(y)}^{u^{-1}(y)} f(x,y)\,dx\,dy$$ | 1. äußere Variable wechselt $x\to y$ <br> 2. **äußere Grenzen** = tiefster / höchster $y$-Wert des Gebiets (hier $l(a),u(b)$) <br> 3. **innere Grenzen** = Umkehrfunktionen der alten Kurven $l,u$ (links / rechts) |
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| *(Spezialfall $l(x)=0$)* | | |
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#### Idiotensicheres Beispiel
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Gegeben
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$$
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\int_{x=a}^{b}\;\int_{y=0}^{x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx
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$$
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➜ Tauschen
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$$
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\int_{y=0}^{b^{2}}\;\int_{x=\sqrt{y}}^{b} f(x,y)\,dx\,dy
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$$
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* drag-and-drop-Mapping:
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* $0$ bleibt $0$ (äußere unten)
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* $x^{2}$ → Umkehr $\sqrt{y}$ (innere links)
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* $a,b$ bleiben Konstanten, landen als innere/rechte Grenze ($x=b$) und sorgen für $y$-Max $=b^{2}$
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### Matrixpotenz $A^{15}$ – idiotensicher
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1. **Faktor ausrechnen**
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$$A=\tfrac12\begin{pmatrix}\sqrt3&-1\\[2pt]1&\sqrt3\end{pmatrix}
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=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt3}{2}&-\tfrac12\\[4pt]\tfrac12&\tfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$$
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2. **Erkennen: Rotationsmatrix**
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Form $\bigl(\!\begin{smallmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{smallmatrix}\!\bigr)$
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⇒ $\cos\theta=\sqrt3/2,\ \sin\theta=1/2 \;\Longrightarrow\; \theta=\pi/6$ (30°).
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3. **Potenzregel für Rotationsmatrizen**
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$$A^n=\begin{pmatrix}\cos(n\theta)&-\sin(n\theta)\\\sin(n\theta)&\cos(n\theta)\end{pmatrix}$$
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4. **Hier $n=15$**
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$$n\theta=15\cdot\frac{\pi}{6}= \frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}$$
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(Rotation um $450^\circ$ ≙ $90^\circ$).
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5. **Kosinus/Sinus auslesen**
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$$\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\qquad
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\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.$$
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6. **Ergebnis**
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$$\boxed{A^{15}= \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}$$
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# 7. c Vertauschen Integrationsreihenfolge
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$$\int_{x=a}^{b} \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx \Longrightarrow \int_{y=g_1(a)}^{g_2(b)} \int_{x=g^{-1}_2(y)}^{g^{-1}_1(y)}f(x,y)\,dy\,dx$$
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1. Aussen grenzen in die Funktionen einsetzen z.B. $g_2(b)$.
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2. Umkehrfunktion der inneren Grenzen bilden. z.B. $x^2 \rightarrow \sqrt y$
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3. Innen unten und oben tauschen. (Nach dem Umkehrfunktion bilden.)
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4. dx, dy vertauschen und x=, y= bei den grenzen aufpassen.
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# 7. b) Matrix Potenz
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Diagonalmatrix oder Drehmatrix.
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# 7. a) Komplexe Zahl Polarform gleichung
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$$
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z^{\,n}=R\,e^{i\Phi},\qquad R>0,\;n\in\mathbb N
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$$
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| Schritt | Was tun? | Formel / Erläuterung |
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|---------|-----------|----------------------|
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| **1. Polar-/Exponentialform herstellen** | Schreibe die rechte Seite als $R\,e^{i\Phi}$ mit Betrag $R$ und (Haupt-)Argument $\Phi$.<br>Falls sie in kartesischer Form $a+ib$ vorliegt: $$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad \Phi=\operatorname{atan2}(b,a).$$ |
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| **2. n-te-Wurzel-Formel anwenden** | Für $$z^{n}=R\,e^{i\Phi}$$ lauten alle Lösungen $$z_k=\sqrt[n]{R}\,e^{\,i(\Phi+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.$$ |
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| **3. Winkel berechnen** | Definiere $$\theta_k=\frac{\Phi+2k\pi}{n}.$$ Diese $n$ Winkel liegen äquidistant auf dem Kreis (Abstand $2\pi/n$). |
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| **4. Arithmetische (kartesische) Form** | Nutze Euler $e^{i\theta_k}=\cos\theta_k+i\sin\theta_k$:<br> $$z_k=\sqrt[n]{R}\,(\cos\theta_k+i\sin\theta_k).$$ |
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| **5. (Optional) Prüfen** | Einsetzen zeigt $$z_k^{\,n}=R\,e^{i\Phi}.$$ |
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#### Kurzform der Lösungsmengen-Formel
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$$
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\boxed{\,z_k=\sqrt[n]{R}\,e^{\,i(\Phi+2k\pi)/n},\;k=0,\dots,n-1\,}
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$$
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**Merke**
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1. Betrag der Wurzeln: $\sqrt[n]{R}$.
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2. Winkel: $\theta_k=\dfrac{\Phi+2k\pi}{n}$.
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3. $n$ Lösungen liegen gleichmäßig verteilt auf einem Kreis mit Radius $\sqrt[n]{R}$.
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# Vektorfelder
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Alle Felder/Funktionen seien hinreichend glatt ($C^1$ bzw.\ $C^2$) und auf $\mathbb R^3$ mit kartesischen Koordinaten definiert.
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| Symbol | Name / Bedeutung | Formel | Rechen-/Beweis-Schritte |
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| -------------------------- | ---------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | --------------------------------------------------------------------------------- |
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| $\nabla f$ | **Gradient** eines Skalarfeldes $f$ | $\displaystyle \nabla f=\bigl(\partial_x f,\;\partial_y f,\;\partial_z f\bigr)$ | 1. Partiell nach $x,y,z$ ableiten.<br>2. Ergebnisse als Vektor schreiben. |
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| $\nabla\!\cdot\!\mathbf F$ | **Divergenz** eines Vektorfeldes $\mathbf F=(F_x,F_y,F_z)$ | $\displaystyle \nabla\!\cdot\!\mathbf F=\partial_xF_x+\partial_yF_y+\partial_zF_z$ | 1. Jede Komponente nach zugehöriger Koordinate ableiten.<br>2. Summieren. |
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| $\nabla\times\mathbf F$ | **Rotation / Curl** | $$\nabla\times\mathbf F=\begin{pmatrix}\partial_yF_z-\partial_zF_y\\[4pt]\partial_zF_x-\partial_xF_z\\[4pt]\partial_xF_y-\partial_yF_x\end{pmatrix}$$ | 1. Determinanten-/Kreuzproduktformel anwenden.<br>2. Drei Komponenten ausrechnen. |
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| $\Delta f$ | **Laplace-Operator** (Skalarfeld) | $$\Delta f=\nabla\!\cdot(\nabla f)=\partial_{xx}f+\partial_{yy}f+\partial_{zz}f$$ | 1. Zweimal partiell nach jeder Koordinate ableiten.<br>2. Summieren. |
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| quellenfrei | $\nabla\!\cdot\!\mathbf F=0$ | 1. Divergenz berechnen. <br>2. Null? → quellenfrei. | |
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| wirbelfrei | $\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0$ | 1. Rotation berechnen. <br>2. Nullvektor? → wirbelfrei. | |
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| konservativ | siehe unten 🔽 | **Praktisches Kriterium:** In einem *einfach zusammenhängenden* Gebiet gilt $$\mathbf F\ \text{wirbelfrei}\;\Longleftrightarrow\;\mathbf F\ \text{konservativ}.$$ | |
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### Konservative Felder & geschlossene Weg-Integrale
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* **Definition**
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Ein Vektorfeld $\mathbf F$ heißt **konservativ**, wenn ein Skalarpotential $\varphi$ existiert, so dass
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$$\boxed{\ \mathbf F=\nabla\varphi\ }$$
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* **Äquivalente Charakterisierung**
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Für jedes stückweise glatte, *geschlossene* Kurvenstück $\gamma$ gilt
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$$\boxed{\ \oint_\gamma \mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r = 0\ }$$
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Dies folgt unmittelbar aus dem Fundamentalsatz der Vektoranalysis:
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$$\int_\gamma \nabla\varphi\cdot \mathrm d\mathbf r = \varphi\bigl(\text{Endpunkt}\bigr)-\varphi\bigl(\text{Startpunkt}\bigr).$$
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Bei einem geschlossenen Pfad sind Start- und Endpunkt identisch, also verschwindet das Integral.
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* **Rezept zur Prüfung auf Konservativität**
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1. **Rotation berechnen:** $\nabla\times\mathbf F$.
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2. Falls $\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0$ *und* das Definitionsgebiet besitzt keine „Löcher“ (einfach zusammenhängend), ist $\mathbf F$ konservativ.
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3. **Potential konstruieren** (falls benötigt):
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- Gleichungen $\partial_x\varphi=F_x$, $\partial_y\varphi=F_y$, $\partial_z\varphi=F_z$ sukzessive integrieren.
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- Beim Integrieren auftretende „Integrationsfunktionen“ durch Abgleich mit den anderen Komponenten bestimmen.
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- Beliebige Konstante $C$ hinzufügen.
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* **Merksatz**
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$$\nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf 0 \quad\text{und}\quad \nabla\!\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0$$
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(Rotor des Gradienten ist stets null, Divergenz des Rotors ebenso.)
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# Komplexe Zahlen
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*(Notation: $z=x+iy,\;x,y\in\mathbb R,\;i^{2}=-1$; $\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$.)*
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## 1 Grundbegriffe
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| Symbol / Begriff | Formel / Bedeutung |
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|------------------|--------------------|
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| **Algebraische Form** | $z = x + iy$ |
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| **Reeller / Imaginärer Teil** | $\operatorname{Re}(z)=x,\quad \operatorname{Im}(z)=y$ |
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| **Konjugiertes** | $z^{*}=x-iy$ |
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| **Betrag (Modul)** | $\lvert z\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ |
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| **Argument** (Hauptwert) | $\arg(z)\in(-\pi,\pi],\;$ $\tan\arg(z)=\dfrac{y}{x}$ |
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## 2 Polar-/Trigonometrische-/Exponentialform
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$$
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z \;=\; r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)
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\;=\; r\,\operatorname{cis}\theta
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\;=\; r\,e^{i\theta},
|
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\qquad
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r=\lvert z\rvert,\;
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\theta=\arg(z)+2k\pi,\;k\in\mathbb Z
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$$
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### In Polarform umrechnen
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1. **Betrag $r$ bestimmen**
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$$ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$
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2. **Winkel $\varphi$ ermitteln**
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$$ \varphi = \operatorname{atan2}(y,\,x) $$
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3. **In Polar-/Eulerform ausdrücken**
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$$ z = r\bigl(\cos\varphi + i\sin\varphi\bigr) = re^{i\varphi} $$
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## 3 Rechenregeln
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| Operation | Algebraische Form | Polar-/Exponentialform | Rechenweg (polar) |
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| ------------------- | ------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
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| **Addition** | $(x_1+x_2)+(x_2+iy_2)$<br>$=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$ | — | (keine einfache Polarregel) |
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| **Multiplikation** | ${(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}$ Binomische Formel | $z_1 z_2 = r_1 r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ | $$\begin{aligned} z_1 z_2 &= r_1e^{i\theta_1}\,r_2e^{i\theta_2} \\ &= r_1r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)} \\ &= r_1r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)\end{aligned}$$ |
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||
| **Division** | $\frac{(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}$ Muss erweitert werden. | $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ | $$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} \\ &= \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \\ &= \frac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)\end{aligned}$$ |
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||
| **Konjugation** | $(x+iy)^{*}=x-iy$ | $(re^{i\theta})^{*}=re^{-i\theta}$ | $$\begin{aligned}(z_1z_2)^{*} &= (r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)})^{*} \\ &= r_1r_2e^{-i(\theta_1+\theta_2)} \\ &= z_1^{*}\,z_2^{*}\end{aligned}$$ |
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| **Betrags-Quadrat** | $\lvert z\rvert^{2}=z\,z^{*}$ | $\lvert re^{i\theta}\rvert = r$ | — |
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## 4 Potenzen und Wurzeln (De Moivre)
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### Potenzen
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$$
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z^{\,n}=r^{\,n}\,e^{in\theta}, \qquad n\in\mathbb Z
|
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$$
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### $n$-te Wurzeln
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$$
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\sqrt[n]{z}=r^{1/n}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}},\qquad k=0,\dots,n-1
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$$
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## 5 Wichtige Identitäten
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| Name | Formel |
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|------|--------|
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| **Euler** | $e^{i\theta}= \cos\theta+i\sin\theta$ |
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| **De Moivre** | $(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}= \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ |
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| **Dreiecksungleichung** | $\lvert z_1+z_2\rvert\le \lvert z_1\rvert+\lvert z_2\rvert$ |
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| **Betragsprodukt** | $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\,\lvert z_2\rvert$ |
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| **Argumente** | $\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}$ |
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## 6 Komplexe Exponential- & Logarithmusfunktion
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$$
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e^{x+iy}=e^{x}\bigl(\cos y+i\sin y\bigr)
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$$
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$$
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\ln z = \ln\lvert z\rvert + i\bigl(\arg z + 2k\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb Z
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$$
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## 7 Komplexe trigonometrische & hyperbolische Funktionen
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$$
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\begin{aligned}
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\sin z &=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, &
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\cos z &=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, &
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||
\tan z &=\frac{\sin z}{\cos z},\\[4pt]
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\sinh z &=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, &
|
||
\cosh z &=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}, &
|
||
\tanh z &=\frac{\sinh z}{\cosh z}.
|
||
\end{aligned}
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$$
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## 8 Analytische Bedingung (Cauchy-Riemann)
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$$
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\boxed{\;
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\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y},
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\qquad
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\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}
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\;}
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$$
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für $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ differenzierbar im Punkt $(x,y)$.
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## 9 Geometrische Interpretation
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* **Multiplikation** mit $r e^{i\theta}$: Skalierung um $r$ und Drehung um $\theta$.
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* **Konjugation**: Spiegelung an der reellen Achse.
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* **Betrag**: Abstand des Punktes $(x,y)$ vom Ursprung.
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## 10 Nützliche Kurzformeln
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* **Kartesisch → Polar**
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$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad
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\theta=\operatorname{atan2}(y,\,x)$$
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* **Einheitskreis**
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$$\lvert z\rvert=1 \;\Longleftrightarrow\; z=e^{i\theta}.$$
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# Matrizen
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## Bild (*img*)
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>Menge aller **Möglichen** Vektoren die aus $A\cdot \chi$ entstehen.
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$dim(img(A))$ ist welchen Raum die Menge aufspannt. Sind alle auf einer Linie? -> 1D Sind sie alle auf einer Ebene? -> 2D etc.
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## Kern (*ker*)
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>Menge aller Vektoren die mit A multipliziert, den Nullvektor ergeben, also *genullt* werden.
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>$$A\cdot \chi_i = 0_V$$
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## Dim
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Zum schnellen beweisen, von z.B. multiple Choice:
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$$\operatorname{dim}(\operatorname{img}A) + \operatorname{dim}(\operatorname{ker}A) = \text{Anzahl Spalten von A}$$
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#### Dimension vom Bild
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$$\operatorname{dim}(\operatorname{img}A)= \text{Anzahl Pivot Elemente von Gauss}$$
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z.B. hier ist $dim=2$
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$$\left\lvert\,\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\,\right\rvert$$
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#### Dimension vom Kern
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$$\operatorname{dim}(\operatorname{ker}A) = \text{Anzahl freier Parameter für den Nullraum}$$
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1. $A \cdot \chi$ Aufschreiben.
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2. Gauss Matrix machen mit rechts = $0$. (Kann auch vom Bild recycled werden)
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3. System lösen. Anzahl Freier Parameter ist dann die Dimension.
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## Singular vs. Regulär
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>Check: Deteminante berechnen
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- **Singular** ⇔ $\det A=0$ → nicht invertierbar.
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- **Regulär** ⇔ $\det A\neq0$ → Inverse $A^{-1}$ existiert.
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## Diagonalmatrix
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Matrix
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$$
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D=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&-2&0\\0&0&7\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- **Besteht typischerweise aus den Eigenwerten** einer Matrix entlang der Hauptdiagonalen, wenn man $A=PDP^{-1}$ diagonalisiert.
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- Kommutiert mit jeder anderen Diagonalmatrix
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- **Leicht zu potenzieren/invertieren**:
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$D^k=\operatorname{diag}(4^k,-2^k,7^k)$,
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$D^{-1}=\operatorname{diag}\!\bigl(\tfrac14,-\tfrac12,\tfrac17\bigr)$
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- **Orthogonal** genau dann, wenn $|d_i|=1$ (dann $DD^\top=I$)
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## Orthogonale Matrix
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Matrix
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$$
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Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- **$Q^\top Q=I$**, also $Q^{-1}=Q^\top$
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- **Determinante = ±1**, erhält Länge & Winkel
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## Rotationsmatrix (Ebene)
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Matrix
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$$
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R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- Orthogonal mit **$\det=1$**
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- **Potenzregel**: $R(\theta)^n=R(n\theta)$
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## Nullmatrix
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Matrix
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$$
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O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- **Additives Neutrum**: $A+O=A$
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- **Rang = 0**, **Spur = 0**
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## Einheits-/Identitätsmatrix
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Matrix
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$$
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I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- **Multiplikatives Neutrum**: $AI_2=I_2A=A$
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- **Eigenwerte alle 1**, $I_2^\top=I_2^{-1}=I_2$
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## Skalarmatrix
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Matrix
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$$
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2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- Spezialfall Diagonalmatrix, **alle Eigenwerte = 2**
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- Orthogonal/unitär ⇔ $|2|=1$ (hier also **nicht** orthogonal)
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## Symmetrische Matrix ( +Transformationsmatrix)
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Matrix
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$$
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S=\begin{pmatrix}2&3&-1\\3&5&0\\-1&0&4\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- $S^\top=S$
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- **Reelle Eigenwerte**, **orthogonal diagonalisierbar**:
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$$S = Q\,D\,Q^\top$$
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- **Transformationsmatrix** $Q$:
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$$Q=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix},$$
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wobei $v_i$ die normierten Eigenvektoren von $S$ sind (Spalten von $Q$).
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## Schiefsymmetrische Matrix
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Matrix
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$$
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K=\begin{pmatrix}0&-2&1\\2&0&4\\-1&-4&0\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- $K^\top=-K$, **Diagonale = 0**
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- **Spur = 0**, Eigenwerte rein imaginär oder 0
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## Projektionsmatrix (idempotent)
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Matrix
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$$
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P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- **$P^2=P$**, projiziert auf $x$-Achse
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- Eigenwerte **0 oder 1**
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## Involutorische Matrix
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Matrix
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$$
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J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- **$J^2=I$**, also $J^{-1}=J$
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- Eigenwerte **±1** (tauscht Koordinatenachsen)
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## Nilpotente Matrix
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Matrix
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$$
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N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
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\quad\text{mit}\quad N^2=O_2
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$$
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Eigenschaften
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- **Alle Eigenwerte = 0**, Spur = 0
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- $N^k=O$ für $k\ge2$
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## Reflexionsmatrix (Householder-Typ)
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Matrix (Spiegelung an $x$-Achse)
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$$
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H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- Orthogonal, **$H^2=I$**, $\det=-1$
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- Spiegelt $y\to -y$
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## Obere Dreiecksmatrix
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Matrix
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$$
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U=\begin{pmatrix}3&-2&1\\0&5&4\\0&0&-1\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- **$\det=\prod$ Diagonal = $3\cdot5\cdot(-1)=-15$**
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- **Eigenwerte = Diagonalelemente** (hier 3, 5, −1)
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## Positiv definite Matrix
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Matrix
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$$
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A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}
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$$
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Eigenschaften
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- **$x^\top A x>0$ für alle $x\neq0$**
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- Alle Eigenwerte positiv (hier 1 und 3)
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- **Cholesky-Zerlegung** existiert: $A=LL^\top$
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# Formeln - Ableitung - Integration
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### Potenz- und Wurzelfunktionen
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| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ | | | |
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| :--------------------------------: | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------: | --- | --- | --- |
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| $0$ | $0$ | | | |
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| $k \quad (k \in \mathbb{R})$ | $kx$ | | | |
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| $$x^n$$ | $$F(x)=\begin{cases} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & , \text{if}\quad \,n \neq -1,\\ \ln\lvert x\rvert, & ,\text{if}\quad n = -1. \end{cases}$$ | | | |
|
||
| $nx^{n-1}$ | $x^n$ | | | |
|
||
| $x$ | $\tfrac12 x^2$ | | | |
|
||
| $2x$ | $x^2$ | | | |
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||
| $x^2$ | $\tfrac13 x^3$ | | | |
|
||
| $3x^2$ | $x^3$ | | | |
|
||
| $\sqrt{x}$ | $\tfrac23 x^{\tfrac32}$ | | | |
|
||
| $\sqrt[n]{x}$ | $\displaystyle \frac{n}{n+1},\bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)^{n+1}\quad(n\neq -1)$ | | | |
|
||
| $\frac1{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | | | |
|
||
| $\frac{1}{n,(\sqrt[n]{x^{,n-1}})}$ | $\sqrt[n]{x}$ | | | |
|
||
| $-\frac{2}{x^3}$ | $\frac{1}{x^2}$ | | | |
|
||
| $-\frac{1}{x^2}$ | $\frac{1}{x}$ | | | |
|
||
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||
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||
### Exponential- und Logarithmusfunktionen
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|
||
| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ |
|
||
| :-----------------------------------------------------: | :----------------------------------------------------------------: |
|
||
| $\mathrm e^x$ | $\mathrm e^x$ |
|
||
| $\mathrm e^{kx}$ | $\displaystyle \frac{1}{k},\mathrm e^{kx}$ |
|
||
| $a^x\ln a \quad (a>0)$ | $a^x$ |
|
||
| $a^x$ | $\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}$ |
|
||
| $x^x,(1+\ln x)$ | $x^x \quad (x>0)$ |
|
||
| $\mathrm e^{x\ln\lvert x\rvert},(\ln\lvert x\rvert +1)$ | $\lvert x\rvert^x = \mathrm e^{x\ln\lvert x\rvert}\quad (x\neq0)$ |
|
||
| $\frac{1}{x}$ | $\ln\lvert x\rvert$ Sonderfall von $x^n$ für $n=-1$, siehe oben |
|
||
| $\ln x$ | $x\ln x - x$ |
|
||
| $x^n\ln x$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}\Bigl(\ln x - \frac{1}{n+1}\Bigr)\quad(n\ge0)$ |
|
||
| $u'(x),\ln u(x)$ | $u(x)\ln u(x) - u(x)$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{x},\ln^{n}x\quad(n\neq -1)$ | $\displaystyle \frac{1}{n+1},\ln^{n+1}x$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{x},\ln x^n\quad(n\neq 0)$ | $\displaystyle \frac{1}{2n},\ln^2 x^n = \frac{n}{2}\ln^2 x$ |
|
||
| $\frac{1}{x}\,\frac{1}{\ln a}$ | $\log_a x$ |
|
||
| $\frac{1}{x\ln x}$ | $\displaystyle \ln\lvert\ln x\rvert\quad(x>0, \,x\neq1)$ |
|
||
| $\log_a x$ | $\displaystyle \frac{1}{\ln a}\,(x\ln x - x)$ |
|
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||
## Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
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||
### Trigonometrische Funktionen
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| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ | | |
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| :-------------------------------------: | :---------------------------------------------------------------------------------------: | --- | --- |
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||
| $\sin x$ | $-\cos x$ | | |
|
||
| $\cos x$ | $\sin x$ | | |
|
||
| $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ | $\ln\bigl[\sec x\bigr]$ | | |
|
||
| $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ | $-\ln\bigl[\csc x\bigr]$ | | |
|
||
| $\sec x = \frac1{\cos x}$ | $\operatorname{artanh}[\sin x]$ | | |
|
||
| $\csc x = \frac1{\sin x}$ | $-\operatorname{artanh}[\cos x]$ | | |
|
||
| $\sec^2 x = 1+\tan^2 x$ | $\tan x$ | | |
|
||
| $-\csc^2 x = -\bigl(1+\cot^2 x\bigr)$ | $\cot x$ | | |
|
||
| $\sin^2 x$ | $\frac{1}{2}[x−sinx\,cosx]=\frac{1}{2}x− \frac{1}{4} sin(2x)$ | | |
|
||
| $\cos^2 x$ | $\frac{1}{2}[x+sinx\,cosx]=\frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} sin(2x)$ | | |
|
||
| $\sin(kx)\cos(kx)$ | $-\displaystyle \frac{1}{4k}\cos(2kx)$ | | |
|
||
| $\sin(kx)\cos(kx)$ | $\displaystyle \frac{1}{2k}\sin^2(kx)$ | | |
|
||
| $\displaystyle \frac{\sin(ax)}{e^{bx}}$ | $\displaystyle \frac{a\,e^{bx} - a\cos(ax) - b\sin(ax)}{(a^2+b^2)\,e^{bx}}$ | | |
|
||
| $\displaystyle \frac{\cos(ax)}{e^{bx}}$ | $\displaystyle \frac{a\sin(ax) - b\cos(ax) + b\,e^{bx}}{(a^2+b^2)\,e^{bx}}$ | | |
|
||
| $\arcsin x$ | $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}$ | | |
|
||
| $\arccos x$ | $x\arccos x - \sqrt{1-x^2}$ | | |
|
||
| $\arctan x$ | $x\arctan x - \tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr)$ | | |
|
||
| $\arccot x$ | $x\arccot x + \tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr)$ | | |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x$ | | |
|
||
| $\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arccos x$ | | |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{x^2+1}$ | $\arctan x$ | | |
|
||
| $\displaystyle -\frac{1}{x^2+1}$ | $\arccot x$ | | |
|
||
| $\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}$ | $x - \arctan x$ | | |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{(x^2+1)^2}$ | $\displaystyle \tfrac12\Bigl(\frac{x}{x^2+1} + \arctan x\Bigr)$ | | |
|
||
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $\displaystyle \frac{a^2}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2}$ | | |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{ax^2+bx+c}$ | $\frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\Bigr)$ | | |
|
||
|
||
### Hyperbelfunktionen
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||
|
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| Funktion $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ |
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||
| :----------------------------------------------------: | :-------------------------------------------------------------------------------------------------------: |
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||
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
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| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
|
||
| $\tanh x$ | $\ln\bigl[\cosh x\bigr]$ |
|
||
| $\coth x$ | $\ln\lvert\sinh x\rvert$ |
|
||
| $\operatorname{sech} x$ | $\operatorname{gd} x = \arctan[\sinh x]$ |
|
||
| $\operatorname{csch} x$ | $-\operatorname{arcoth}[\cosh x]$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{\cosh^2 x} = 1-\tanh^2 x$ | $\tanh x$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{-1}{\sinh^2 x} = 1-\coth^2 x$ | $\coth x$ |
|
||
| $\operatorname{arsinh} x$ | $x\,\operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^2+1}$ |
|
||
| $\operatorname{arcosh} x$ | $x\,\operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}$ |
|
||
| $\operatorname{artanh} x$ | $x\,\operatorname{artanh} x + \tfrac12\ln\bigl(1-x^2\bigr)$ |
|
||
| $\operatorname{arcoth} x$ | $x\,\operatorname{arcoth} x + \tfrac12\ln\bigl(x^2-1\bigr)$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ | $\operatorname{arsinh} x$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\quad(x>1)$ | $\operatorname{arcosh} x$ |
|
||
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $\displaystyle \frac{a^2}{2}\,\operatorname{arsinh}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2}$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$ | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\operatorname{arsinh}\Bigl(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\Bigr)$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{1-x^2}\quad(\lvert x\rvert<1)$ | $\operatorname{artanh} x$ |
|
||
| $\displaystyle \frac{1}{1-x^2}\quad(\lvert x\rvert>1)$ | $\operatorname{arcoth} x$ |
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# Regeln - Ableiten
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### Produktregel
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$$u(x) \cdot v(x) \Longrightarrow u'v + u\,v'$$
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### Quotientenregel
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$$\frac{u(x)}{v(x)} \Longrightarrow \frac{u'v + u\,v'}{v^2}$$
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||
### Kettenregel
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Äußere Funktion abgeleitet, mal innere Funktion abgeleitet.
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$$u[v(x)] \Longrightarrow u'[v(x)] \cdot v'(x)$$
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# Regeln - Integrieren
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### Partielle Integration
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>**Idee**:
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>Ein Teil herausziehen, dass später etwas Integrierbares herauskommt. $u$ wird abgeleitet. $v$ wird integriert.
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$$
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||
\int{u \, v} \Longrightarrow u\, V - \int{V\, u' \,dx}
|
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$$
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||
### U-Substitution
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||
Substituieren:
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$$\int{\frac{1}{u'}u}\, du$$
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||
> **Wichtig:**
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||
> 1/Ableitung von u, muss sich mit dem Variablen Faktor vorne kürzen. Also es darf bei $du$ kein $x$ mehr übrig bleiben.
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||
> Beispiel:
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> $$\int{\frac{1}{x}}2x\cdot u \, \, du \longrightarrow \int{2u} \,\,du$$
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