CDS402-Mathematics-II/notes/Vektorfelder.md

Menge der Vektorfelder
Für eine offene Teilmenge U\subseteq \mathbb{R}^n bezeichnet

  \mathfrak{X}(U) = \{\,F : U \to \mathbb{R}^n \mid F \text{ ist (stetig) differenzierbar}\}.

Anwendungen

• Beschreibung von Strömungsfeldern in Fluiddynamik
• Elektromagnetische Felder (Maxwell-Gleichungen)
• Kraftfelder in der Mechanik
• Computergrafik: Beleuchtung und Verformung
• Kontinuumsmechanik und Materialwissenschaften

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Definition und Notation

Ein Vektorfeld F\in\mathfrak{X}(U) schreibt man komponentenweise:

  F(x) = \bigl(F_1(x),\,F_2(x),\,\dots,\,F_n(x)\bigr),\quad x\in U.

Jeder F_i ist eine skalare Funktion F_i:U\to\mathbb{R}.
Für n=3 oft:

  F = F_x\,\mathbf{i} + F_y\,\mathbf{j} + F_z\,\mathbf{k}.

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Lineare Operationen

• Addition:

  
    (F + G)(x) = F(x) + G(x).
  

• Skalarmultiplikation (\lambda\in\mathbb{R}):

  
    (\lambda F)(x) = \lambda\,F(x).
  

\mathfrak{X}(U) ist damit ein Vektorraum.

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Differentialoperatoren

• Gradient (für Skalarfeld \phi:U\to\mathbb{R}):

  
    \nabla\phi = \bigl(\tfrac{\partial\phi}{\partial x_1},\dots,\tfrac{\partial\phi}{\partial x_n}\bigr).
  

• Divergenz (für F\in\mathfrak{X}(U)):

  
    \mathrm{div}\,F = \nabla\cdot F
    = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F_i}{\partial x_i}.
  

• Rotation / Wirbel (\mathbb{R}^3):

  
    \nabla\times F
    = \bigl(\tfrac{\partial F_z}{\partial y}-\tfrac{\partial F_y}{\partial z},\;
          \tfrac{\partial F_x}{\partial z}-\tfrac{\partial F_z}{\partial x},\;
          \tfrac{\partial F_y}{\partial x}-\tfrac{\partial F_x}{\partial y}\bigr).
  

• Laplacian (auf Skalarfeld \phi):

  
    \Delta \phi = \nabla\cdot(\nabla\phi)
    = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i^2}.
  

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Integrale und klassische Sätze

• Linien­integral entlang einer Kurve C mit Parametrisierung \gamma(t):

  
    \int_C F\cdot \mathrm{d}r
    = \int_a^b F\bigl(\gamma(t)\bigr)\cdot \gamma'(t)\,\mathrm{d}t.
  

• Fluss durch eine Fläche S:

  
    \Phi = \iint_S F\cdot \mathrm{d}S
    = \iint_D F\bigl(\mathbf{r}(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
  

• Green’scher Satz (\mathbb{R}^2):

  
    \oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y
    = \iint_D \bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x} - \tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,\mathrm{d}A.
  

• Divergenzsatz (Gauß):

  
    \iint_{\partial V} F\cdot \mathrm{d}S
    = \iiint_V \mathrm{div}\,F\,\mathrm{d}V.
  

• Stokes’ Theorem (\mathbb{R}^3):

  
    \oint_{\partial S} F\cdot \mathrm{d}r
    = \iint_S (\nabla\times F)\cdot \mathrm{d}S.
  

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Spezielle Feldtypen

• Konservatives Feld: \exists\,\phi mit F=\nabla\phi
\Longrightarrow curl F=0 und Linienintegral nur von Endpunkten abhängig.
• Solenoidales Feld: \mathrm{div}\,F=0
\Longrightarrow kein Netto-Fluss durch geschlossene Oberfläche.
• Potentialfeld: Synonym zu konservativem Feld in Mechanik/Elektrostatik.
• Wirbelfreies Feld: curl F=0.