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**Menge der Vektorfelder**
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Für eine offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb{R}^n$ bezeichnet
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\mathfrak{X}(U) = \{\,F : U \to \mathbb{R}^n \mid F \text{ ist (stetig) differenzierbar}\}.
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> **Anwendungen**
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> - Beschreibung von Strömungsfeldern in Fluiddynamik
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> - Elektromagnetische Felder (Maxwell-Gleichungen)
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> - Kraftfelder in der Mechanik
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> - Computergrafik: Beleuchtung und Verformung
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> - Kontinuumsmechanik und Materialwissenschaften
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## Definition und Notation
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Ein Vektorfeld $F\in\mathfrak{X}(U)$ schreibt man komponentenweise:
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F(x) = \bigl(F_1(x),\,F_2(x),\,\dots,\,F_n(x)\bigr),\quad x\in U.
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Jeder $F_i$ ist eine skalare Funktion $F_i:U\to\mathbb{R}$.
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Für $n=3$ oft:
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F = F_x\,\mathbf{i} + F_y\,\mathbf{j} + F_z\,\mathbf{k}.
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## Lineare Operationen
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- **Addition**:
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(F + G)(x) = F(x) + G(x).
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- **Skalarmultiplikation** ($\lambda\in\mathbb{R}$):
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(\lambda F)(x) = \lambda\,F(x).
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$\mathfrak{X}(U)$ ist damit ein Vektorraum.
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## Differentialoperatoren
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- **Gradient** (für Skalarfeld $\phi:U\to\mathbb{R}$):
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\nabla\phi = \bigl(\tfrac{\partial\phi}{\partial x_1},\dots,\tfrac{\partial\phi}{\partial x_n}\bigr).
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- **Divergenz** (für $F\in\mathfrak{X}(U)$):
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\mathrm{div}\,F = \nabla\cdot F
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= \sum_{i=1}^n \frac{\partial F_i}{\partial x_i}.
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- **Rotation** / **Wirbel** ($\mathbb{R}^3$):
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\nabla\times F
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= \bigl(\tfrac{\partial F_z}{\partial y}-\tfrac{\partial F_y}{\partial z},\;
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\tfrac{\partial F_x}{\partial z}-\tfrac{\partial F_z}{\partial x},\;
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\tfrac{\partial F_y}{\partial x}-\tfrac{\partial F_x}{\partial y}\bigr).
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- **Laplacian** (auf Skalarfeld $\phi$):
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\Delta \phi = \nabla\cdot(\nabla\phi)
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= \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i^2}.
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## Integrale und klassische Sätze
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- **Linienintegral** entlang einer Kurve $C$ mit Parametrisierung $\gamma(t)$:
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\int_C F\cdot \mathrm{d}r
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= \int_a^b F\bigl(\gamma(t)\bigr)\cdot \gamma'(t)\,\mathrm{d}t.
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- **Fluss** durch eine Fläche $S$:
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\Phi = \iint_S F\cdot \mathrm{d}S
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= \iint_D F\bigl(\mathbf{r}(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
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- **Green’scher Satz** ($\mathbb{R}^2$):
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\oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y
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= \iint_D \bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x} - \tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,\mathrm{d}A.
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- **Divergenzsatz** (Gauß):
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\iint_{\partial V} F\cdot \mathrm{d}S
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= \iiint_V \mathrm{div}\,F\,\mathrm{d}V.
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- **Stokes’ Theorem** ($\mathbb{R}^3$):
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\oint_{\partial S} F\cdot \mathrm{d}r
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= \iint_S (\nabla\times F)\cdot \mathrm{d}S.
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## Spezielle Feldtypen
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- **Konservatives Feld**: $\exists\,\phi$ mit $F=\nabla\phi$
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$\Longrightarrow$ curl $F=0$ und Linienintegral nur von Endpunkten abhängig.
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- **Solenoidales Feld**: $\mathrm{div}\,F=0$
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$\Longrightarrow$ kein Netto-Fluss durch geschlossene Oberfläche.
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- **Potentialfeld**: Synonym zu konservativem Feld in Mechanik/Elektrostatik.
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- **Wirbelfreies Feld**: curl $F=0$.
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