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# Fixpunktiteration
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## Fixpunkt
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Ein punkt ist ein Fixpunkt wenn, $f(x) = x$
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in anderen Worten der X Wert ist gleich die das Ergebnis der Funktion
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Beispiel: $f(x) = x^2$
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$f(0) = 0$
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$f(1)=1$
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Wird ein Interval I auf sich selbst abgebildet. So existiert ein Fixpunkt i.e. ein Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden, in der Bounding box bzw. Kartesischen Produkts von I
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## Rekursiv definierte Folgen
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Funktion die
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Ein Stabilisator einer folge ist der Fixpunkt der Folge.
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Also am besten auch eine Abbruchbedingung.
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$$a = \lim_{n\rightarrow \infty}{a_{n+1}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{a_{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{f(a_n)} = f(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n)$$
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### Kontraktion
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| X |
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->
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|. X. |
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->
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|. X. |
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