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DotNaos
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936f13ca6d
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ff6266b2f8
61
Code/Python Formelsammlung.md
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61
Code/Python Formelsammlung.md
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## SymPy Merkhilfe
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|**Kategorie**|**Funktion/Method**|**Beschreibung**|**Beispiel**|
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|**Initialisierung**|`symbols()`|Definiert symbolische Variablen|`x, y = symbols('x y')`|
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||`Symbol()`|Erstellt ein einzelnes symbolisches Objekt|`a = Symbol('a')`|
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|**Gleichungen**|`solve()`|Löst Gleichungen oder Gleichungssysteme|`solve(x**2 - 4, x)` → `[ -2, 2 ]`|
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||`Eq()`|Erstellt eine symbolische Gleichung|`Eq(x + y, 2)`|
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|**Differentialrechnung**|`diff()`|Berechnet die Ableitung|`diff(x**2, x)` → `2*x`|
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||`integrate()`|Berechnet das Integral|`integrate(x, x)` → `x**2/2`|
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|**Vereinfachung**|`simplify()`|Vereinfacht einen Ausdruck|`simplify((x**2 - 1)/(x - 1))` → `x + 1`|
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||`expand()`|Erweitert einen Ausdruck|`expand((x + 1)**2)` → `x**2 + 2*x + 1`|
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||`factor()`|Faktorisierte einen Ausdruck|`factor(x**2 - 1)` → `(x - 1)*(x + 1)`|
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|**Lösungen**|`nsolve()`|Numerische Lösung für Gleichungen|`nsolve(x**2 - 2, x, 1.5)` → `1.414213562373095`|
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|**Reihen und Summen**|`summation()`|Berechnet die Summe einer Reihe|`summation(n, (n, 1, 10))` → `55`|
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||`limit()`|Berechnet den Grenzwert|`limit(sin(x)/x, x, 0)` → `1`|
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|**Matrixalgebra**|`Matrix()`|Erstellt eine symbolische Matrix|`Matrix([[1, 2], [3, 4]])`|
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||`.inv()`|Berechnet die Inverse einer Matrix|`Matrix([[1, 2], [3, 4]]).inv()`|
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|**Substitution**|`.subs()`|Ersetzt Symbole durch Werte oder andere Ausdrücke|`(x + y).subs(x, 2)` → `2 + y`|
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|**Plotten**|`plot()`|Erstellt einfache Plots|`plot(x**2, (x, -5, 5))`|
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|**Weitere Funktionen**|`latex()`|Konvertiert einen Ausdruck in LaTeX-Format|`latex(x**2 + y**2)` → `'x^{2} + y^{2}'`|
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||`pretty()`|Gibt einen "schönen" String des Ausdrucks aus|`pretty(x**2 + y)`|
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## NumPy Merkhilfe
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|**Kategorie**|**Funktion/Method**|**Beschreibung**|**Beispiel**|
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|---|---|---|---|
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|**Array-Erstellung**|`np.array()`|Erstellt ein Array aus einer Liste oder Tupel|`np.array([1, 2, 3])`|
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||`np.zeros()`|Erstellt ein Array gefüllt mit Nullen|`np.zeros((2,3))`|
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||`np.ones()`|Erstellt ein Array gefüllt mit Einsen|`np.ones(5)`|
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||`np.arange()`|Erstellt ein Array mit einer Sequenz von Zahlen|`np.arange(0, 10, 2)` → `array([0, 2, 4, 6, 8])`|
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||`np.linspace()`|Erstellt ein Array mit gleichmäßig verteilten Werten|`np.linspace(0, 1, 5)` → `array([0. , 0.25, 0.5, 0.75, 1. ])`|
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|**Grundlegende Operationen**|`+`, `-`, `*`, `/`|Elementweise Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division|`a + b`, `a * 2`|
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||`np.dot()`|Berechnet das Skalarprodukt zweier Arrays|`np.dot(a, b)`|
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||`np.transpose()`|Transponiert ein Array|`a.T`|
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|**Indexierung & Slicing**|`a[i]`, `a[i:j]`|Zugriff auf Elemente oder Teilbereiche des Arrays|`a[0]`, `a[1:3]`|
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|**Statistische Funktionen**|`np.mean()`|Berechnet den Mittelwert|`np.mean(a)`|
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||`np.median()`|Berechnet den Median|`np.median(a)`|
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||`np.std()`|Berechnet die Standardabweichung|`np.std(a)`|
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|**Lineare Algebra**|`np.linalg.inv()`|Berechnet die Inverse einer Matrix|`np.linalg.inv(A)`|
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||`np.linalg.det()`|Berechnet die Determinante einer Matrix|`np.linalg.det(A)`|
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||`np.linalg.eig()`|Berechnet Eigenwerte und Eigenvektoren|`np.linalg.eig(A)`|
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|**Broadcasting**|-|Ermöglicht Operationen auf Arrays unterschiedlicher Formen|`a + np.array([1, 2, 3])`|
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|**Reshaping**|`np.reshape()`|Ändert die Form eines Arrays ohne Daten zu ändern|`a.reshape((3, 2))`|
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||`np.flatten()`|Konvertiert ein mehrdimensionales Array in ein eindimensionales Array|`a.flatten()`|
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|**Random Module**|`np.random.rand()`|Erstellt ein Array mit zufälligen Werten aus einer gleichverteilten Verteilung|`np.random.rand(3,2)`|
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||`np.random.randint()`|Erstellt ein Array mit zufälligen Ganzzahlen|`np.random.randint(0, 10, (2,3))`|
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||`np.random.seed()`|Setzt den Seed für reproduzierbare Zufallszahlen|`np.random.seed(42)`|
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|**Mathematische Funktionen**|`np.sin()`, `np.cos()`, `np.exp()`, `np.log()`|Wendet mathematische Funktionen elementweise auf Arrays an|`np.sin(a)`, `np.exp(a)`|
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|**Aggregation**|`np.sum()`|Berechnet die Summe aller Elemente|`np.sum(a)`|
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||`np.prod()`|Berechnet das Produkt aller Elemente|`np.prod(a)`|
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||`np.cumsum()`|Berechnet die kumulative Summe|`np.cumsum(a)`|
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|**Sortieren**|`np.sort()`|Sortiert ein Array|`np.sort(a)`|
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|**Speicher & Datentypen**|`a.dtype`|Gibt den Datentyp des Arrays an|`a.dtype`|
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||`a.astype()`|Ändert den Datentyp eines Arrays|`a.astype(float)`|
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|**Dateioperationen**|`np.loadtxt()`|Lädt Daten aus einer Textdatei in ein Array|`np.loadtxt('data.txt')`|
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||`np.savetxt()`|Speichert ein Array in eine Textdatei|`np.savetxt('output.txt', a)`|
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|**Weitere nützliche Funktionen**|`np.concatenate()`|Verbindet zwei Arrays entlang einer bestehenden Achse|`np.concatenate((a, b), axis=0)`|
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||`np.split()`|Teilt ein Array in mehrere Teilarrays|`np.split(a, 2)`|
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197
Code/combinations.py
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197
Code/combinations.py
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@ -0,0 +1,197 @@
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import streamlit as st
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import math
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import networkx as nx
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import matplotlib.pyplot as plt
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def calculate_formula(with_replacement, ordered):
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if with_replacement:
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if ordered:
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formula = f"n^k"
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else:
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formula = f"Binomialkoeffizient (n + k - 1 über k)"
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else:
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if ordered:
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formula = f"P(n, k) = n! / (n - k)!"
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else:
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formula = f"C(n, k) = n! / (k! (n - k)!)"
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return formula
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def calculate_number_of_possibilities(with_replacement, ordered, n, k):
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if with_replacement:
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if ordered:
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return n ** k
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else:
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return math.comb(n + k - 1, k)
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else:
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if ordered:
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return math.perm(n, k)
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else:
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return math.comb(n, k)
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def build_tree(n, k, with_replacement, ordered):
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G = nx.DiGraph()
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G.add_node("Start")
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# Queue enthält Tupel aus (current_node, used_elements, last_selected)
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queue = [("Start", [], 0)] # (current_node, used_elements, last_selected)
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for depth in range(1, min(k + 1, 4)): # Limit auf 3 Schichten
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next_queue = []
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for node, used, last_selected in queue:
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for i in range(1, n + 1):
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if not with_replacement:
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if i in used:
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# Ohne Zurücklegen und Element bereits verwendet: Eliminiert
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child_label = f"{node}->{i} (elim)"
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G.add_node(child_label)
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G.add_edge(node, child_label)
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continue
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if not ordered:
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if depth == 1:
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# Im ersten Schritt gibt es keine Einschränkungen
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pass
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else:
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# Bei Kombinationen: nur Elemente >= dem letzten ausgewählten Element
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if i < last_selected:
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# Diese Auswahl würde eine Permutation darstellen, die wir bei Kombinationen vermeiden
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child_label = f"{node}->{i} (elim)"
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G.add_node(child_label)
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G.add_edge(node, child_label)
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|
continue
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# Gültige Auswahl
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if with_replacement:
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new_used = used.copy()
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else:
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new_used = used.copy()
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new_used.append(i)
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child_label = f"{node}->{i}"
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G.add_node(child_label)
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G.add_edge(node, child_label)
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next_queue.append((child_label, new_used, i))
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queue = next_queue
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return G
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def hierarchy_pos(G, root=None, width=1.0, vert_gap=0.2, vert_loc=0, xcenter=0.5, pos=None, parent=None, parsed=None):
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"""
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Hierarchical layout für einen Baum, mit der Wurzel oben.
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Optimiert die horizontale Verteilung basierend auf der Anzahl der Unterknoten.
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"""
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if pos is None:
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pos = {}
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if parsed is None:
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parsed = set()
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if root is None:
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root = "Start"
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children = list(G.successors(root))
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if not children:
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pos[root] = (xcenter, vert_loc)
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else:
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# Anzahl der Kinder
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num_children = len(children)
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# Gesamte Breite für die Kinder
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dx = width / num_children
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next_x = xcenter - width / 2
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for child in children:
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next_x += dx
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pos = hierarchy_pos(G, child, width=dx, vert_gap=vert_gap, vert_loc=vert_loc - vert_gap, xcenter=next_x, pos=pos, parent=root, parsed=parsed)
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|
pos[root] = (xcenter, vert_loc)
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return pos
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def plot_tree(G, show_eliminated, with_replacement, ordered, n, k):
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pos = hierarchy_pos(G)
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plt.figure(figsize=(12, 8))
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ax = plt.gca()
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ax.set_axis_off()
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# Bestimme welche Knoten gezeichnet werden sollen
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if show_eliminated:
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nodes_to_draw = list(G.nodes())
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else:
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nodes_to_draw = [node for node in G.nodes() if "(elim)" not in node]
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# Bestimme welche Kanten gezeichnet werden sollen
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edges_to_draw = []
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for edge in G.edges():
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source, target = edge
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if show_eliminated:
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edges_to_draw.append(edge)
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||||||
|
else:
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if "(elim)" not in target:
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edges_to_draw.append(edge)
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# Bestimme Farben
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node_colors = []
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for node in nodes_to_draw:
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if node == "Start":
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color = 'black'
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||||||
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elif '->' in node:
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if "(elim)" in node:
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color = 'red'
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||||||
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else:
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||||||
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color = 'blue'
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||||||
|
else:
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||||||
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color = 'black'
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node_colors.append(color)
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# Zeichne Knoten
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nx.draw_networkx_nodes(G, pos, nodelist=nodes_to_draw, node_color=node_colors, node_size=500, alpha=0.9)
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|
# Zeichne Kanten
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nx.draw_networkx_edges(G, pos, edgelist=edges_to_draw, arrows=True, arrowstyle='->', arrowsize=20)
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# Zeichne Labels
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labels = {}
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for node in nodes_to_draw:
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if node == "Start":
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labels[node] = "Start"
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|
else:
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# Entferne "(elim)" für die Anzeige, wenn eliminiert ist
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label = node.replace("Start->", "").replace("->", "\n→ ")
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if "(elim)" in label:
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|
label = label.replace(" (elim)", "")
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|
labels[node] = label
|
||||||
|
nx.draw_networkx_labels(G, pos, labels=labels, font_size=10, font_weight='bold')
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||||||
|
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||||||
|
st.pyplot(plt)
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|
plt.close()
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def main():
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st.title("Interaktives Lerntool für Kombinatorische Formeln")
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st.sidebar.header("Einstellungen")
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||||||
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with_replacement = st.sidebar.checkbox("Mit Zurücklegen", value=False)
|
||||||
|
ordered = st.sidebar.checkbox("Berücksichtigung der Reihenfolge", value=False)
|
||||||
|
|
||||||
|
st.sidebar.header("Parameter")
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||||||
|
n = st.sidebar.number_input("Anzahl der Elemente (n)", min_value=1, value=5, step=1)
|
||||||
|
k = st.sidebar.number_input("Anzahl der Auswahlen (k)", min_value=1, value=3, step=1)
|
||||||
|
|
||||||
|
formula = calculate_formula(with_replacement, ordered)
|
||||||
|
st.subheader("Entsprechende Formel")
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||||||
|
st.write(formula)
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||||||
|
|
||||||
|
num_possibilities = calculate_number_of_possibilities(with_replacement, ordered, n, k)
|
||||||
|
st.subheader("Anzahl der Möglichkeiten")
|
||||||
|
st.write(f"Anzahl der Möglichkeiten: {num_possibilities}")
|
||||||
|
|
||||||
|
st.subheader("Baumdarstellung (erste 3 Schichten)")
|
||||||
|
G = build_tree(n, k, with_replacement, ordered)
|
||||||
|
|
||||||
|
show_eliminated = st.checkbox("Eliminierte Möglichkeiten anzeigen", value=True)
|
||||||
|
plot_tree(G, show_eliminated, with_replacement, ordered, n, k)
|
||||||
|
|
||||||
|
st.markdown("""
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---
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**Hinweise:**
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- *Mit Zurücklegen*: Elemente können mehrfach ausgewählt werden.
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|
- *Berücksichtigung der Reihenfolge*: Reihenfolge der Auswahl ist wichtig.
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|
- *Baumdarstellung*: Zeigt die ersten 3 Schichten der Auswahlmöglichkeiten.
|
||||||
|
- *Eliminierte Möglichkeiten*: Elemente, die aufgrund der Einstellungen nicht zulässig sind, werden rot markiert.
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||||||
|
""")
|
||||||
|
|
||||||
|
if __name__ == "__main__":
|
||||||
|
main()
|
||||||
235
Code/comination.ipynb
Normal file
235
Code/comination.ipynb
Normal file
@ -0,0 +1,235 @@
|
|||||||
|
{
|
||||||
|
"cells": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"cell_type": "code",
|
||||||
|
"execution_count": 3,
|
||||||
|
"metadata": {},
|
||||||
|
"outputs": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"data": {
|
||||||
|
"application/vnd.jupyter.widget-view+json": {
|
||||||
|
"model_id": "e15757ea0cf743dc9af162093423cb6e",
|
||||||
|
"version_major": 2,
|
||||||
|
"version_minor": 0
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"text/plain": [
|
||||||
|
"VBox(children=(HBox(children=(Dropdown(description='Regel:', options=('Kombination', 'Permutation', 'Fakultät'…"
|
||||||
|
]
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"metadata": {},
|
||||||
|
"output_type": "display_data"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"source": [
|
||||||
|
"import matplotlib.pyplot as plt\n",
|
||||||
|
"import numpy as np\n",
|
||||||
|
"import ipywidgets as widgets\n",
|
||||||
|
"from IPython.display import display, Math, clear_output\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Interaktives Lern-Tool für Kombinatorik-Regeln\n",
|
||||||
|
"# Dies ist ein Jupyter-Notebook-Style Code für interaktive Widgets.\n",
|
||||||
|
"# Bitte in einer Umgebung ausführen, die Widgets unterstützt (z.B. JupyterLab/Notebook).\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Funktionen zur Berechnung\n",
|
||||||
|
"def combination(n, k):\n",
|
||||||
|
" from math import comb\n",
|
||||||
|
" return comb(n, k)\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"def permutation(n, k):\n",
|
||||||
|
" from math import perm\n",
|
||||||
|
" return perm(n, k)\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"def factorial(n):\n",
|
||||||
|
" from math import factorial\n",
|
||||||
|
" return factorial(n)\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"def binomial_coefficient(n, k):\n",
|
||||||
|
" from math import comb\n",
|
||||||
|
" return comb(n, k)\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"def variation(n, k):\n",
|
||||||
|
" from math import perm\n",
|
||||||
|
" return perm(n, k)\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"def multiset_combination(n, k):\n",
|
||||||
|
" from math import comb\n",
|
||||||
|
" return comb(n + k - 1, k)\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Funktion, um den Entscheidungsbaum zu zeichnen (nur für Kombinationen und Permutationen)\n",
|
||||||
|
"def draw_tree(n, k, is_perm):\n",
|
||||||
|
" plt.figure(figsize=(8, 6))\n",
|
||||||
|
" ax = plt.gca()\n",
|
||||||
|
" ax.clear()\n",
|
||||||
|
" ax.set_title(\"Entscheidungsbaum\", fontsize=14)\n",
|
||||||
|
" ax.axis('off')\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
" if k == 1:\n",
|
||||||
|
" x_start = 0.5\n",
|
||||||
|
" y_start = 0.9\n",
|
||||||
|
" plt.text(x_start, y_start, f\"Start\\n(n={n})\", ha='center', va='center')\n",
|
||||||
|
" for i in range(n):\n",
|
||||||
|
" x = 0.1 + i*(0.8/(n-1)) if n > 1 else 0.5\n",
|
||||||
|
" y = 0.6\n",
|
||||||
|
" plt.plot([x_start, x], [y_start-0.05, y], 'k-')\n",
|
||||||
|
" plt.text(x, y, f\"Wahl {i+1}\", ha='center', va='center')\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
" elif k == 2:\n",
|
||||||
|
" x_start = 0.5\n",
|
||||||
|
" y_start = 0.9\n",
|
||||||
|
" plt.text(x_start, y_start, f\"Start\\n(n={n})\", ha='center', va='center')\n",
|
||||||
|
" child_coords = []\n",
|
||||||
|
" for i in range(n):\n",
|
||||||
|
" x = 0.1 + i*(0.8/(n-1)) if n > 1 else 0.5\n",
|
||||||
|
" y = 0.7\n",
|
||||||
|
" plt.plot([x_start, x], [y_start-0.05, y], 'k-')\n",
|
||||||
|
" plt.text(x, y, f\"W1={i+1}\", ha='center', va='center')\n",
|
||||||
|
" child_coords.append((x, y))\n",
|
||||||
|
" for (ix, iy) in child_coords:\n",
|
||||||
|
" branch_count = (n-1) if is_perm else (n)\n",
|
||||||
|
" for j in range(branch_count):\n",
|
||||||
|
" x2 = ix - 0.08 + j*(0.16/(branch_count-1)) if branch_count > 1 else ix\n",
|
||||||
|
" y2 = 0.45\n",
|
||||||
|
" plt.plot([ix, x2], [iy-0.05, y2], 'k-')\n",
|
||||||
|
" plt.text(x2, y2, f\"W2={j+1}\", ha='center', va='center', fontsize=8)\n",
|
||||||
|
" elif k == 3:\n",
|
||||||
|
" x_start = 0.5\n",
|
||||||
|
" y_start = 0.95\n",
|
||||||
|
" plt.text(x_start, y_start, f\"Start\\n(n={n})\", ha='center', va='center')\n",
|
||||||
|
" layer1 = []\n",
|
||||||
|
" for i in range(n):\n",
|
||||||
|
" x = 0.1 + i*(0.8/(n-1)) if n > 1 else 0.5\n",
|
||||||
|
" y = 0.8\n",
|
||||||
|
" plt.plot([x_start, x], [y_start-0.03, y], 'k-')\n",
|
||||||
|
" plt.text(x, y, f\"W1={i+1}\", ha='center', va='center', fontsize=9)\n",
|
||||||
|
" layer1.append((x, y))\n",
|
||||||
|
" layer2 = []\n",
|
||||||
|
" for (ix, iy) in layer1:\n",
|
||||||
|
" branch_count = (n-1) if is_perm else n\n",
|
||||||
|
" for j in range(branch_count):\n",
|
||||||
|
" x2 = ix - 0.05 + j*(0.1/(branch_count-1)) if branch_count > 1 else ix\n",
|
||||||
|
" y2 = 0.6\n",
|
||||||
|
" plt.plot([ix, x2], [iy-0.03, y2], 'k-')\n",
|
||||||
|
" plt.text(x2, y2, f\"W2={j+1}\", ha='center', va='center', fontsize=7)\n",
|
||||||
|
" layer2.append((x2, y2))\n",
|
||||||
|
" for (ix2, iy2) in layer2:\n",
|
||||||
|
" branch_count = (n-2) if is_perm else n\n",
|
||||||
|
" for j in range(branch_count):\n",
|
||||||
|
" x3 = ix2 - 0.02 + j*(0.04/(branch_count-1)) if branch_count > 1 else ix2\n",
|
||||||
|
" y3 = 0.4\n",
|
||||||
|
" plt.plot([ix2, x3], [iy2-0.03, y3], 'k-')\n",
|
||||||
|
" plt.text(x3, y3, f\"W3={j+1}\", ha='center', va='center', fontsize=6)\n",
|
||||||
|
" else:\n",
|
||||||
|
" plt.text(0.5, 0.5, \"Baumdiagramm für k>3 ist zu groß.\\nBitte k <= 3 für Baum\", ha='center', va='center', fontsize=12)\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
" plt.tight_layout()\n",
|
||||||
|
" plt.show()\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Widgets erstellen\n",
|
||||||
|
"dropdown_rule = widgets.Dropdown(\n",
|
||||||
|
" options=['Kombination', 'Permutation', 'Fakultät', 'Binomialkoeffizient', 'Variation', 'Mehrfachkombination'],\n",
|
||||||
|
" value='Kombination',\n",
|
||||||
|
" description='Regel:',\n",
|
||||||
|
" style={'description_width': 'initial'}\n",
|
||||||
|
")\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"input_n = widgets.IntText(value=5, description='n:', style={'description_width': 'initial'})\n",
|
||||||
|
"input_k = widgets.IntText(value=2, description='k:', style={'description_width': 'initial'})\n",
|
||||||
|
"input_k.layout.visibility = 'visible' # Standardmäßig sichtbar\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"output_area = widgets.Output()\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Button zum Berechnen\n",
|
||||||
|
"button = widgets.Button(description='Berechnen & Visualisieren')\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Callback-Funktion\n",
|
||||||
|
"def on_button_click(b):\n",
|
||||||
|
" with output_area:\n",
|
||||||
|
" clear_output()\n",
|
||||||
|
" rule = dropdown_rule.value\n",
|
||||||
|
" n = input_n.value\n",
|
||||||
|
" k = input_k.value if rule in ['Kombination', 'Permutation', 'Binomialkoeffizient', 'Variation', 'Mehrfachkombination'] else None\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
" try:\n",
|
||||||
|
" if rule == 'Kombination':\n",
|
||||||
|
" if k > n:\n",
|
||||||
|
" print(\"k darf nicht größer als n sein.\")\n",
|
||||||
|
" return\n",
|
||||||
|
" res = combination(n, k)\n",
|
||||||
|
" display(Math(r\"C(n,k) = \\binom{{{}}}{{{}}} = {}\".format(n, k, res)))\n",
|
||||||
|
" draw_tree(n, k, is_perm=False)\n",
|
||||||
|
" elif rule == 'Permutation':\n",
|
||||||
|
" if k > n:\n",
|
||||||
|
" print(\"k darf nicht größer als n sein.\")\n",
|
||||||
|
" return\n",
|
||||||
|
" res = permutation(n, k)\n",
|
||||||
|
" display(Math(r\"P(n,k) = {} = {}\".format(res, res)))\n",
|
||||||
|
" draw_tree(n, k, is_perm=True)\n",
|
||||||
|
" elif rule == 'Fakultät':\n",
|
||||||
|
" res = factorial(n)\n",
|
||||||
|
" display(Math(r\"n! = {} = {}\".format(res, res)))\n",
|
||||||
|
" elif rule == 'Binomialkoeffizient':\n",
|
||||||
|
" if k > n:\n",
|
||||||
|
" print(\"k darf nicht größer als n sein.\")\n",
|
||||||
|
" return\n",
|
||||||
|
" res = binomial_coefficient(n, k)\n",
|
||||||
|
" display(Math(r\"\\binom{{{}}}{{{}}} = {}\".format(n, k, res)))\n",
|
||||||
|
" elif rule == 'Variation':\n",
|
||||||
|
" if k > n:\n",
|
||||||
|
" print(\"k darf nicht größer als n sein.\")\n",
|
||||||
|
" return\n",
|
||||||
|
" res = variation(n, k)\n",
|
||||||
|
" display(Math(r\"V(n,k) = P(n,k) = {} = {}\".format(res, res)))\n",
|
||||||
|
" elif rule == 'Mehrfachkombination':\n",
|
||||||
|
" res = multiset_combination(n, k)\n",
|
||||||
|
" display(Math(r\"\\binom{{n+k-1}}{{k}} = {} = {}\".format(res, res)))\n",
|
||||||
|
" else:\n",
|
||||||
|
" print(\"Unbekannte Regel.\")\n",
|
||||||
|
" except Exception as e:\n",
|
||||||
|
" print(f\"Fehler: {e}\")\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Event verknüpfen\n",
|
||||||
|
"button.on_click(on_button_click)\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Anpassung der sichtbaren Eingabefelder basierend auf der gewählten Regel\n",
|
||||||
|
"def on_rule_change(change):\n",
|
||||||
|
" rule = change['new']\n",
|
||||||
|
" if rule in ['Kombination', 'Permutation', 'Binomialkoeffizient', 'Variation', 'Mehrfachkombination']:\n",
|
||||||
|
" input_k.layout.visibility = 'visible'\n",
|
||||||
|
" else:\n",
|
||||||
|
" input_k.layout.visibility = 'hidden'\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"dropdown_rule.observe(on_rule_change, names='value')\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Anzeige\n",
|
||||||
|
"controls = widgets.VBox([\n",
|
||||||
|
" widgets.HBox([dropdown_rule]),\n",
|
||||||
|
" widgets.HBox([input_n, input_k]),\n",
|
||||||
|
" button,\n",
|
||||||
|
" output_area\n",
|
||||||
|
"])\n",
|
||||||
|
"display(controls)\n"
|
||||||
|
]
|
||||||
|
}
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"metadata": {
|
||||||
|
"kernelspec": {
|
||||||
|
"display_name": "Python 3",
|
||||||
|
"language": "python",
|
||||||
|
"name": "python3"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"language_info": {
|
||||||
|
"codemirror_mode": {
|
||||||
|
"name": "ipython",
|
||||||
|
"version": 3
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"file_extension": ".py",
|
||||||
|
"mimetype": "text/x-python",
|
||||||
|
"name": "python",
|
||||||
|
"nbconvert_exporter": "python",
|
||||||
|
"pygments_lexer": "ipython3",
|
||||||
|
"version": "3.12.7"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"nbformat": 4,
|
||||||
|
"nbformat_minor": 2
|
||||||
|
}
|
||||||
36
Code/test.py
Normal file
36
Code/test.py
Normal file
@ -0,0 +1,36 @@
|
|||||||
|
s = """
|
||||||
|
CREATE TABLE kunde
|
||||||
|
(
|
||||||
|
id INTEGER PRIMARY KEY,
|
||||||
|
name CHARACTER VARYING NOT NULL,
|
||||||
|
email CHARACTER VARYING NOT NULL,
|
||||||
|
password CHARACTER VARYING NOT NULL
|
||||||
|
);
|
||||||
|
|
||||||
|
CREATE TABLE bestellung
|
||||||
|
(
|
||||||
|
id INTEGER PRIMARY KEY,
|
||||||
|
kunde_id INTEGER NOT NULL,
|
||||||
|
datum DATE NOT NULL
|
||||||
|
);
|
||||||
|
|
||||||
|
CREATE TABLE produkt
|
||||||
|
(
|
||||||
|
id INTEGER PRIMARY KEY,
|
||||||
|
name CHARACTER VARYING NOT NULL,
|
||||||
|
beschreibung CHARACTER VARYING NOT NULL,
|
||||||
|
anzahl INTEGER NOT NULL,
|
||||||
|
preis NUMERIC(8,2) NOT NULL
|
||||||
|
);
|
||||||
|
|
||||||
|
CREATE TABLE bestellung_produkt
|
||||||
|
(
|
||||||
|
bestellung_id INTEGER NOT NULL,
|
||||||
|
produkt_id INTEGER NOT NULL,
|
||||||
|
anzahl INTEGER NOT NULL
|
||||||
|
);
|
||||||
|
"""
|
||||||
|
|
||||||
|
for command in s.split(';'):
|
||||||
|
print(command)
|
||||||
|
print('-----------------------')
|
||||||
270
Notes/Lernplan.md
Normal file
270
Notes/Lernplan.md
Normal file
@ -0,0 +1,270 @@
|
|||||||
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## Woche 1
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### Thema 1: **Mengenlehre und Zahlenmengen**
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|
- Begriffe und Eigenschaften: Menge, Teilmenge, Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Grundmenge, Komplementärmenge
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|
- Zahlenmengen: natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale, irrationale und reelle Zahlen
|
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|
- Intervalltypen und deren Schreibweisen
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|
- Kartesisches Produkt und Darstellung in xy-Diagrammen
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|
- Anwendung: Venn-Diagramme zeichnen, Mengenoperationen durchführen
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|
### Thema 2: **Zahlenoperationen und algebraische Gesetze**
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|
- Zahlenkörper, Brüche, Potenzen, Logarithmen: Begriffe und Rechenregeln
|
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|
- Potenzen mit natürlichen, ganzzahligen, rationalen und irrationalen Exponenten
|
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|
- Logarithmenregeln und Basisverschiebungssatz
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|
- Binomische Formeln und Anwendung
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|
- Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen
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|
### Thema 3: **Numerik und Computer-Algebra-Systeme (CAS)**
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|
- Begriffe: Numerik, CAS, Python/Numpy, Python/Sympy
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|
- Numerische und analytische Berechnungen mit Python/Numpy und Python/Sympy
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|
- Terme auswerten, faktorisieren, vereinfachen und Gleichungen lösen
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|
- Dokumentation mehrstufiger numerischer Berechnungen
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## Woche 2
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|
### Thema 1: **Funktionen und Abbildungen**
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|
- Begriffe und Eigenschaften: Abbildung, Funktion, Definitionsmenge, Wertebereich, Zielmenge, Bildmenge
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|
- Abbildungsvorschrift, unabhängige/abhängige Variablen, Argument, Bild, Urbild, Umkehrabbildung
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|
- Eigenschaften: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
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||||||
|
- Anwendung: Funktionen mathematisch korrekt formulieren, Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität prüfen
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|
### Thema 2: **Winkelmaße und Kreisberechnungen**
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|
- Begriffe: Kreiszahl, Gradmaß, Bogenmaß, nautische Meile
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|
- Zusammenhang zwischen Winkel (Bogenmaß), Radius und Bogenlänge
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|
- Anwendung: Umrechnungen zwischen Gradmaß und Bogenmaß, Berechnung von Bogenlängen
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|
### Thema 3: **Kombinatorik und Binomialkoeffizienten**
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|
- Begriffe: Fakultät, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, Permutation, Kombination
|
||||||
|
- Formeln: Permutationen von nnn Elementen, Kombinationen kkk-ter Ordnung
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|
- Anwendung: Berechnung von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Permutationen und Kombinationen
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## Woche 3
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### Thema 1: **Zahlenfolgen und Grenzwerte**
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|
- Begriffe: Zahlenfolge, Folgeglied, arithmetische/geometrische Folge, untere/obere Schranke, beschränkt, (streng) monoton fallend/steigend, Divergenz, Konvergenz, Grenzwert
|
||||||
|
- Zusammenhang: Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz/Divergenz
|
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|
- Anwendung: Folgen abschätzen, auf Eigenschaften untersuchen, Grenzwerte bestimmen (manuell und mit Python/Sympy)
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|
### Thema 2: **Lineare Gleichungssysteme und Matrixverfahren**
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|
- Begriffe: lineares Gleichungssystem, Dimensionszahl, Äquivalenzumformung, Gauß-Schema, Gauß-Verfahren, Gauß-Jordan-Verfahren, Stufenform, reduzierte Stufenform, Pivotelement
|
||||||
|
- Anwendung: Umwandlung in Gauß-Schema, Lösen mit Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren
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|
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|
### Thema 3: **Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen**
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|
- Begriffe: Kombination, Variation (mit und ohne Wiederholung)
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|
- Formeln: Permutationen von nn Elementen, Kombinationen und Variationen kk-ter Ordnung
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|
- Anwendung: Berechnung und Anwendung der Formeln auf konkrete Aufgaben
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## Woche 4
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### Thema 1: **Summen und Reihen**
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- Begriffe: Summe, Summenzeichen, geometrische Summe, Reihe, geometrische Reihe
|
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|
- Anwendung: Darstellung mit Summenzeichen, geometrische Summenformel, Grenzwert einer geometrischen Reihe
|
||||||
|
- Berechnungen: Summen manuell und mit Python/Sympy berechnen
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|
### Thema 2: **Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter**
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||||||
|
- Begriffe: Stufenform, reduzierte Stufenform, Dimensionszahl, Rang, Defekt, Pivot-Variable, freier Parameter, Verträglichkeit
|
||||||
|
- Anwendung: Rang und Defekt bestimmen, Verträglichkeit prüfen, Lösungsmenge anhand der Stufenform beurteilen
|
||||||
|
- Verfahren: Lösungsmenge mit Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren bestimmen
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|
### Thema 3: **Kombinatorik und spezielle Werteberechnung**
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|
- Begriffe: Fakultät, Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck, Permutation, Kombination, Variation
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||||||
|
- Anwendung: Berechnung und Interpretation von Fakultäten und Binomialkoeffizienten
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|
- Formeln: Permutationen, Kombinationen und Variationen mit und ohne Wiederholung berechnen
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## Woche 5
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|
### Thema 1: **Funktionen und ihre Eigenschaften**
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|
- Begriffe: Betrag, Vorzeichen, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, hyperbolische Funktion
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|
- Trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens
|
||||||
|
- Umkehrfunktionen: Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens, Arcuscotangens
|
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|
- Anwendung: Skizzieren der Graphen von Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen (auch mit Python/Numpy)
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|
### Thema 2: **Trigonometrische und Arcuswerte**
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|
- Ausgezeichnete Funktionswerte der trigonometrischen und Arcusfunktionen
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|
- Anwendung: Werte bestimmen und Funktionsgraphen interpretieren
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|
### Thema 3: **Wahrscheinlichkeit und Ereignisse**
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|
- Begriffe: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Ereignis, unmögliches/sicheres Ereignis
|
||||||
|
- Laplace-Experiment und Laplace-Wahrscheinlichkeit
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|
- Absolute/relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeitsraum
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|
- Ereignisverknüpfungen und Anwendung der De-Morgan’schen Regeln
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## Woche 6
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### Thema 1: **Funktionen: Parität, Lineare und Exponentialfunktionen**
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- Begriffe: Parität (gerade/ungerade Funktion), lineare Funktion, verallgemeinerte Exponentialfunktion
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|
- Bedeutung der Parameter einer verallgemeinerten Exponentialfunktion
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|
- Anwendung: Graphenverschiebung durch Änderung des Funktionsterms, Bestimmung des Funktionsterms einer linearen Funktion aus Punkten und Steigung
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|
### Thema 2: **Trigonometrische Funktionen und Theoreme**
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|
- Begriffe: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Steigung, Additionstheorem, Multiplikationstheorem, trigonometrische Gleichung
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|
- Anwendung: Additionstheoreme und Multiplikationstheoreme auf trigonometrische Funktionen anwenden
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|
- Lösung trigonometrischer Gleichungen manuell und mit Python/Sympy
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|
### Thema 3: **Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kolmogorov-Axiome**
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- Begriffe: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsraum
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|
- Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov und deren Anwendung
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|
- Absolute und relative Häufigkeit sowie Verknüpfung und Analyse von Ereignissen
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## Woche 7
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### Thema 1: **Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung**
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- Begriffe: Steigung, Steigungswinkel, Differenzquotient, Ableitung, Aufleitung
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|
- Rechenregeln: Faktorregel, Summenregel
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|
- Geometrische Bedeutung: Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion
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|
- Anwendung: Berechnung der Ableitung einfacher Monome, Ableitungen und Aufleitungen von Polynomen
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### Thema 2: **Vektoren und Vektorrechnung**
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- Begriffe: Vektor, Vektorgeometrie, Linearkombination, Einheitsvektor, Richtungsvektor, Betrag eines Vektors
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- Anwendung: Addition und Subtraktion von Vektoren, Linearkombinationen berechnen und grafisch darstellen
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|
- Zerlegung eines Vektors: Zerlegung in Betrag und Richtungsvektor oder Linearkombination anderer Vektoren
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### Thema 3: **Ableitung mit Differenzquotient**
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- Definition der Ableitung über den Differenzquotienten
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- Anwendung: Bestimmung der Ableitung einfacher Funktionen direkt über den Differenzquotienten
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## Woche 8
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### Thema 1: **Differenzialrechnung: Erweiterte Ableitungsregeln**
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- Begriffe: Produktregel, Kettenregel, Quadratregel, Reziprokenregel, Quotientenregel
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- Anwendung: Ableiten von Produkten, Quotienten und verschachtelten Funktionen
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- Spezialfall: Ableitung von Beträgen mithilfe passender Regeln
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### Thema 2: **Vektorrechnung und Skalarprodukt**
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- Begriffe: Skalarprodukt, Länge und Winkelberechnung
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- Rechenregeln und Eigenschaften des Skalarprodukts
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- Anwendung: Berechnung von Längen und Winkeln in nn-dimensionalen Räumen sowie praktische Anwendungen in Alltag, Naturwissenschaft und Technik
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### Thema 3: **Wahrscheinlichkeitsrechnung und bedingte Wahrscheinlichkeit**
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- Begriffe: Additionssatz, Multiplikationssatz, bedingte Wahrscheinlichkeit, totale Wahrscheinlichkeit, abhängige/unabhängige Ereignisse, Ereignisbaum, Satz von Bayes
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- Anwendung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Satzes von Bayes und Ereignisbäumen
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## Woche 9
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### Thema 1: **Exponential- und Logarithmusfunktionen**
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- Begriffe: Eulersche Zahl, natürliche Exponentialfunktion, natürlicher Logarithmus
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- Regeln: Exponentialregel und Logarithmusregel zur Ableitung und Vereinfachung von Funktionen
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- Anwendung: Kombinierte Anwendung der Ableitungsregeln auf komplexe Funktionen
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### Thema 2: **Vektor- und Spatprodukt**
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- Begriffe: Vektorprodukt, Spatprodukt
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- Eigenschaften und Rechenregeln: Berechnung von Flächen (Vektorprodukt) und Volumen (Spatprodukt) in 3D
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- Anwendung: Bestimmung von Flächeninhalten und Volumen in geometrischen Aufgaben
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### Thema 3: **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung**
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- Begriffe: Zufallsvariable (diskret), Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Stabdiagramm
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- Anwendung: Erstellung und Interpretation von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Verteilungsfunktionen (auch grafisch)
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## Woche 10
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### Thema 1: **Ableitungen spezieller Funktionen**
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- Begriffe: Ableitungen der trigonometrischen, hyperbolischen, Arkus- und Areafunktionen
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- Anwendung: Ableitung zusammengesetzter und verschachtelter Funktionen mithilfe dieser Regeln
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### Thema 2: **Geraden in 2D und 3D**
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- Begriffe: Gerade, Parameterdarstellung, Normalenvektor, Einheitsnormalenvektor, Hessesche Normalform
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- Anwendung: Darstellung von Geraden in 2D und 3D durch Parameterform und Hessesche Normalform
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### Thema 3: **Vektorrechnung und Projektionen**
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- Begriff: Orthogonalprojektion
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- Anwendung: Berechnung und Darstellung von Projektionen von Punkten und Vektoren auf Geraden oder Ebenen
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## Woche 11
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### Thema 1: **Integralrechnung**
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- Begriffe: Aufleitung, Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral, Integrand, Integrationsgrenzen
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- Anwendung: Berechnung bestimmter und unbestimmter Integrale von Polynomen und Exponentialfunktionen (manuell und mit Python/Sympy)
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### Thema 2: **Geraden in 2D und 3D**
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- Begriffe: Normalform, Hessesche Normalform, Parameterdarstellung
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- Anwendung: Darstellung einer Geraden in 2D (Normal- und Hessesche Normalform) und in 3D (Parameterform)
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- Abstand eines Punktes von einer Geraden und Bestimmung der Lagebeziehung zweier Geraden in 3D (parallel, windschief, schneidend)
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### Thema 3: **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen**
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- Begriffe: Gleichverteilung, Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung
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- Anwendung: Erkennen und Anwenden der passenden Wahrscheinlichkeitsverteilung auf konkrete Situationen
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## Woche 12
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### Thema 1: **Extremstellen und Sattelpunkte von Funktionen**
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- Begriffe: kritische Stelle, kritischer Punkt, lokales/globales Extremum, Hoch-, Tief-, Sattelpunkt
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- Kriterien zur Bestimmung und Charakterisierung kritischer Stellen
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- Anwendung: Bestimmung lokaler/globale Extrema und Sattelpunkte einer Funktion
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### Thema 2: **Ebenen in 3D**
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- Begriffe: Parameterform, Normalenform, Hessesche Normalform einer Ebene
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- Anwendung: Darstellung einer Ebene in verschiedenen Formen und Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene
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### Thema 3: **Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene**
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- Begriffe: Lagebeziehung (parallel, enthalten, schneidend)
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- Anwendung: Bestimmung der Lage von Gerade und Ebene zueinander (Schnittpunkt bestimmen oder Nachweis der Parallelität)
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## Woche 13
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### Thema 1: **Krümmung und Wendepunkte**
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- Begriffe: analytische und geometrische Krümmung, Wendepunkt
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- Eigenschaften: Verhalten einer Funktion an Wendepunkten, Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung
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### Thema 2: **Wendepunktbestimmung**
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- Anwendung: Bestimmung der Wendepunkte durch zweite und dritte Ableitung einer Funktion
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### Thema 3: **Kurvendiskussion und praktische Anwendungen**
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- Durchführung einer vollständigen Kurvendiskussion:
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- Definitionsbereich, Symmetrie, Grenzwerte
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- Nullstellen, Extrema, Wendepunkte
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- Krümmungsverhalten, Grapheninterpretation
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- Anwendung auf praktische Aufgaben in Alltag, Naturwissenschaft und Technik
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Notes/Stichpunkte.md
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# Analysis
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- Menge
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- Teilmenge
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- Vereinigungsmenge
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- Schnittmenge
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- Grundmenge
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- Komplementärmenge
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- Zahlenmengen und ihre Eigenschaften
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- kartesisches Produkt
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- Abbildung
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- Funktion
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- Definitions-, Werte-, Ziel-, Bildmenge
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- Abbildungs-/Zurordnungsvorschrift
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- abhängige/unabhängige Variable
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- Argument
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- injektiv, surjektiv, bijektiv
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- Bild, Urbild
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- Umkehrabbildung
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- Folge, Folgeglied
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- arithmetische/geometrische Folge
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- untere/obere Schranke, beschränkt
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- (streng) monoton fallend/steigend
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- Divergenz, Konvergenz
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- Grenzwert
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- Summe, Summenzeichen,
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- geometrische Summe,
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- Reihe, geometrische Reihe
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- Betrag
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- Vorzeichen
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- Potenzfunktion
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- eigentliche Exponentialfunktion
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- Logarithmusfunktion
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- hyperbolische Funktion
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- Parität
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- lineare Funktion
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- verallgemeinerte Exponentialfunktion
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- Steigung
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- Steigungswinkel
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- Differenzquotient
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- Ableitung
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- Faktor- und Summenregel
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- Produkt-, Ketten-, Quadrat-, Reziproken- und Quotientenregel
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- Eulersche Zahl
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- natürliche Exponentialfunktion
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- natürlicher Logarithmus
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- Exponential- und Logarithmusregel
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- Ableitungen der trigonometrischen, hyperbolischen, Arkus- und Areafunktionen
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- Aufleitung
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- Stammfunktion
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- bestimmtes/unbestimmtes Integral
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- Integrand
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- Integrationsgrenzen
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- kritische Stelle
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- kritischer Punkt
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- lokales/globales Extremum
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- Hoch-/Tief-/Sattelpunkt
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- analytische/geometrische Krümmung
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- Wendepunkt
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# Lineare Algebra
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- Numerik
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- Computeralgebrasystem (CAS)
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- Python/Numpy mathematische Terme numerisch auswerten
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- Python/Numpy mehrstufige numerische Berechnungen durchführen
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- Python/Sympy mathematische Terme analytisch manipulieren, insbesondere ausmultiplizieren, faktorisieren und vereinfachen
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- Python/Sympy Gleichungen analytisch lösen
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- Kreiszahl
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- Gradmass, Bogenmass
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- nautische Meile
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- lineares Gleichungssystem
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- Dimensionszahl
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- Äquivalenzumformung
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- Gauß-Schema
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- Gauß-Verfahren
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- Gauß-Jordan-Verfahren
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- Stufenform, reduzierte Stufenform
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- Pivot-Element
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- freier Parameter
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- Verträglichkeit
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- Rang, Defekt, Pivot-Variablen und freie Parameter
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- Sinus-, Cosinus-, Tangens-,
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- Cotangens-, Arcussinus-, Arcuscosinus-
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- Arcustangens- und Arcuscotangensfunktion
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- Sinus-, Cosinus-, Tangens-, Cotangensfunktion
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- Steigung
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- Additionstheorem, Multiplikationstheorem
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- trigonometrische Gleichung
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- trigonometrische Gleichungen mit Python/Sympy lösen
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- Vektor
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- Vektorgeometrie
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- Linearkombination
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- Einheitsvektor
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- Richtungsvektor
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- Betrag eines Vektors
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- Skalarprodukt
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- Längen und Winkel mit Skalarprodukt
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- Vektor- und Spatprodukt
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- Flächen und Volumen in 3D mit Vektor- und Spatprodukt
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- Orthogonalprojektion
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- Gerade
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- Parameterdarstellung
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- Normalen- und Einheitsnormalenvektor
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- Hessesche Normalform
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- Geraden in 2D in Normal- und Hesse Normalform
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- 3D in Parameterform
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- Abstand eines Punktes von einer Geraden in 2D und 3D
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- Lage zweier Geraden in 3D
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- Ebene in Parameter-, Normalen- und Hesse Normalform
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- Abstand eines Punktes von einer Ebene
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- Lage von Geraden und Ebene
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# Stochastik
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- Binomialkoeffizent
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- Pascalsches Dreieck
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- Fakultät
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- Kombination
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- Variation
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- Permutation
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- Kombinationsmöglichkeiten (HIER DEN ENTSCHEIDUNGSBAUM)
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- Zufallsexperiment
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- Elementarereignis
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- Ereignisse
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- Ergebnisse
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- Wahrscheinlichkeitsraum
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- Laplace-Experiment
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- LaplaceWahrscheinlichkeit
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- absolute/relative Häufigkeit
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- Wahrscheinlichkeitsaxiome
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- Additionssatz
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- Multiplikationssatz
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- bedingte Wahrscheinlichkeit
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- totale Wahrscheinlichkeit
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- abhängige/unabhängige Ereignisse
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- Ereignisbaum
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- Satz von Bayes
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- Zufallsvariable
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- Verteilungsfunktion
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- Wahrscheinlichkeitsverteilung
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- Wahrscheinlichkeitsfunktion
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- Stabdiagramm
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- Erwartungswert
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- Mittelwert
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- Varianz
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- Standardabweichung
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- Gleichverteilung
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- Bernoulli-Verteilung
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- Binomialverteilung
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Natürlich! Hier ist eine umfassende Formelsammlung für die von dir angegebenen Themenbereiche: Analysis, Lineare Algebra und Stochastik. Zusätzlich sind grundlegende Python-Syntax und Beispiele für numerische Berechnungen und Visualisierungen enthalten, wo es erforderlich ist.
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## **Analysis**
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### **1. Mengen und Mengenoperationen**
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**Mengenbegriffe:**
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- **Menge:** A={a,b,c}A = \{a, b, c\}
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- **Leere Menge:** ∅\emptyset
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- **Teilmenge:** A⊆BA \subseteq B
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**Mengenoperationen:**
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- **Vereinigung:** A∪B={x∣x∈A oder x∈B}A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}
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- **Durchschnitt:** A∩B={x∣x∈A und x∈B}A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}
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- **Differenz:** A∖B={x∣x∈A und x∉B}A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \notin B\}
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- **Symmetrische Differenz:** A△B=(A∖B)∪(B∖A)A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)
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- **Komplement:** Ac={x∣x∉A}A^c = \{x \mid x \notin A\}
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**Mengenoperationen in Python:**
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```python
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A = {1, 2, 3}
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B = {3, 4, 5}
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union = A | B
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intersection = A & B
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difference = A - B
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sym_diff = A ^ B
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```
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### **2. Funktionen**
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**Definition einer Funktion:**
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- **Funktion:** f:A→Bf: A \rightarrow B, f(x)=yf(x) = y
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- **Bijektiv, injektiv, surjektiv**
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**Wichtige Funktionstypen:**
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- **Lineare Funktion:** f(x)=mx+bf(x) = mx + b
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- **Quadratische Funktion:** f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
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- **Exponentialfunktion:** f(x)=a⋅ebxf(x) = a \cdot e^{bx}
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- **Trigonometrische Funktionen:** sin(x),cos(x),tan(x)\sin(x), \cos(x), \tan(x)
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### **3. Folgen und Reihen**
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**Folgen:**
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- **Definition:** (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbb{N}}
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- **Grenzwert einer Folge:** limn→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L
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**Reihen:**
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- **Definition:** ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n
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- **Partialsummen:** SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n
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- **Konvergenzkriterien:**
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- **Divergenztest:** Wenn limn→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, divergiert die Reihe.
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- **Geometrische Reihe:** ∑n=0∞arn=a1−r\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r} für ∣r∣<1|r| < 1
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- **Harmonische Reihe:** ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} divergiert.
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### **4. Differentialrechnung**
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**Ableitungen:**
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- **Definition:** f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
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- **Regeln:**
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- **Konstantenregel:** ddxc=0\frac{d}{dx}c = 0
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- **Potenzregel:** ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}
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- **Produktregel:** (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'
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- **Quotientenregel:** (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
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- **Kettenregel:** ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)
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**Höhere Ableitungen:**
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- **Zweite Ableitung:** f′′(x)f''(x)
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- **Allgemeine Ableitung:** f(n)(x)f^{(n)}(x)
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### **5. Integralrechnung**
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**Integrale:**
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- **Unbestimmtes Integral:** ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) \, dx = F(x) + C, wobei F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)
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- **Bestimmtes Integral:** ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
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**Grundlegende Integrationsregeln:**
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- **Konstantenregel:** ∫c dx=cx+C\int c \, dx = cx + C
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- **Potenzregel:** ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C für n≠−1n \neq -1
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- **Linearkombination:** ∫[af(x)+bg(x)] dx=a∫f(x) dx+b∫g(x) dx\int [af(x) + bg(x)] \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx
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**Polynomiale Integration:**
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- **Beispiel:** ∫(3x2+2x+1) dx=x3+x2+x+C\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^3 + x^2 + x + C
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### **6. Eigenschaften von Funktionen**
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**Extrema:**
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- **Lokales Maximum:** f′(c)=0f'(c) = 0 und f′′(c)<0f''(c) < 0
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- **Lokales Minimum:** f′(c)=0f'(c) = 0 und f′′(c)>0f''(c) > 0
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- **Globale Extrema:** Höhere Betrachtung des Definitionsbereichs.
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**Wendepunkte:**
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- **Definition:** f′′(c)=0f''(c) = 0 und Vorzeichenwechsel von f′′f'' um cc
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### **7. Python für Numerische Berechnungen und Visualisierungen**
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**Grundlegende Syntax:**
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```python
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# Variablen
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x = 5
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y = 3.2
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# Funktionen
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def f(x):
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return x**2 + 2*x + 1
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# Listen und Schleifen
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liste = [1, 2, 3, 4, 5]
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for elem in liste:
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print(elem)
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```
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**Numerische Berechnungen mit NumPy:**
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```python
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import numpy as np
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# Arrays
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A = np.array([1, 2, 3])
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B = np.array([4, 5, 6])
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# Operationen
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C = A + B
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D = A * B
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```
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**Visualisierungen mit Matplotlib:**
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```python
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import matplotlib.pyplot as plt
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# Daten
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x = np.linspace(-10, 10, 400)
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y = x**2
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# Plot
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plt.plot(x, y)
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plt.title('Parabel')
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plt.xlabel('x')
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plt.ylabel('f(x) = x²')
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plt.grid(True)
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plt.show()
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```
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## **Lineare Algebra**
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### **1. Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren**
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**Gauß-Verfahren:**
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- Ziel: Lösung eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform bringen.
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- **Schritte:**
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1. Vorwärtseinsetzen zur Eliminierung unterhalb der Pivotelemente.
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2. Rückwärtseinsetzen zur Bestimmung der Lösungen.
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**Gauß-Jordan-Verfahren:**
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- Ziel: Reduktion auf die reduzierte Zeilenstufenform.
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- **Schritte:**
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1. Vorwärtseinsetzen.
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2. Rückwärtseinsetzen mit Eliminierung oberhalb der Pivotelemente.
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**Rang und Defekt:**
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- **Rang (R):** Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten).
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- **Defekt (D):** D=n−RD = n - R, wobei nn die Anzahl der Variablen ist.
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**Lösungsmenge:**
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- **Eindeutige Lösung:** Rang der erweiterten Matrix gleich Rang der Koeffizientenmatrix und gleich der Anzahl der Variablen.
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- **Unendlich viele Lösungen:** Rang der erweiterten Matrix gleich Rang der Koeffizientenmatrix, aber kleiner als die Anzahl der Variablen.
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- **Keine Lösung:** Rang der erweiterten Matrix größer als Rang der Koeffizientenmatrix.
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### **2. Vektoren und Grundoperationen**
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**Vektoren:**
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- **Definition:** a=(a1a2an)\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}
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- **Addition:** a+b=(a1+b1a2+b2an+bn)\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{pmatrix}
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- **Skalare Multiplikation:** ca=(ca1ca2can)c\mathbf{a} = \begin{pmatrix} ca_1 \\ ca_2 \\ \vdots \\ ca_n \end{pmatrix}
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**Geometrische Wirkung:**
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- **Verschiebung, Skalierung, Rotation**
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### **3. Skalarprodukt und Vektoroperationen**
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**Skalarprodukt (Dot Product):**
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- **Definition:** a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n
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- **Länge eines Vektors:** ∥a∥=a⋅a\|\mathbf{a}\| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}
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- **Winkel zwischen Vektoren:** cos(θ)=a⋅b∥a∥∥b∥\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}
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**Projektion eines Vektors:**
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- **Projection von a\mathbf{a} auf b\mathbf{b}:** projba=(a⋅bb⋅b)b\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{b}
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### **4. Vektorprodukt (Kreuzprodukt) und Geometrie**
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**Vektorprodukt (nur in R3\mathbb{R}^3):**
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- **Definition:** a×b=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}
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- **Eigenschaften:**
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- Orthogonal zu beiden Ausgangsvektoren.
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- Betrag: ∥a×b∥=∥a∥∥b∥sin(θ)\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \sin(\theta)
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**Berechnung von Flächen und Volumen:**
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- **Fläche des Parallelogramms:** ∥a×b∥\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|
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- **Volumen des Tetraeders:** 16∣a⋅(b×c)∣\frac{1}{6} |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|
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### **5. Geraden und Ebenen in Vektoralgebra**
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**Gerade:**
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- **Parameterform:** g(t)=a+td\mathbf{g}(t) = \mathbf{a} + t\mathbf{d}, t∈Rt \in \mathbb{R}
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- **Stützvektor:** a\mathbf{a}
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- **Richtungsvektor:** d\mathbf{d}
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**Ebene:**
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- **Parameterform:** E(s,t)=a+sb+tc\mathbf{E}(s, t) = \mathbf{a} + s\mathbf{b} + t\mathbf{c}, s,t∈Rs, t \in \mathbb{R}
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- **Stützvektor:** a\mathbf{a}
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- **Richtungsvektoren:** b,c\mathbf{b}, \mathbf{c}
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- **Normalenform:** n⋅(x−a)=0\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0, wobei n\mathbf{n} der Normalenvektor ist.
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**Geometrische Fragestellungen:**
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- **Schnitt von Geraden und Ebenen**
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- **Abstände zwischen Punkten und Geraden/Ebenen**
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- **Winkel zwischen Geraden und Ebenen**
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### **6. Python für Numerische Berechnungen und Visualisierungen**
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**Lösen linearer Gleichungssysteme mit NumPy:**
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```python
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import numpy as np
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# Koeffizientenmatrix
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A = np.array([[2, 1], [1, 3]])
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# Rechtehandvektor
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b = np.array([8, 13])
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# Lösung
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x = np.linalg.solve(A, b)
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print(x) # Ausgabe: [3. 3.]
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```
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**Berechnung von Rang, Determinante und Inversen:**
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```python
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# Rang
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rang = np.linalg.matrix_rank(A)
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# Determinante
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det = np.linalg.det(A)
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# Inverse
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A_inv = np.linalg.inv(A)
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```
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**Visualisierung von Vektoren und Ebenen mit Matplotlib:**
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```python
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from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
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fig = plt.figure()
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ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
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# Vektoren
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origin = [0, 0, 0]
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ax.quiver(*origin, *A[:,0], color='r', label='a')
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ax.quiver(*origin, *A[:,1], color='b', label='b')
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# Ebene
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xx, yy = np.meshgrid(range(-10, 10), range(-10, 10))
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zz = ( -2*xx - yy + 8 ) / 1
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ax.plot_surface(xx, yy, zz, alpha=0.5)
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ax.legend()
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plt.show()
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## **Stochastik**
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### **1. Kombinatorik**
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**Grundlegende Begriffe:**
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- **Permutation:** Anordnung von nn verschiedenen Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. P(n)=n!P(n) = n!
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- **Variation:** Anordnung von kk Objekten aus nn ohne Wiederholung, bei der die Reihenfolge wichtig ist. V(n,k)=n!(n−k)!V(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}
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- **Kombination:** Auswahl von kk Objekten aus nn ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. C(n,k)=(nk)=n!k!(n−k)!C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
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**Wichtige Formeln:**
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- **Binomialkoeffizient:** (nk)\binom{n}{k}
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- **Multinomialkoeffizient:** n!k1!k2!…km!\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}
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### **2. Wahrscheinlichkeitsrechnung**
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**Grundlegende Begriffe:**
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- **Zufallsexperiment:** Ein Versuch, dessen Ausgang nicht vorhergesagt werden kann.
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- **Ereignis:** Eine Teilmenge des Ergebnisraums Ω\Omega.
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- **Ergebnisraum:** Gesamtheit aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
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**Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov):**
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1. P(Ω)=1P(\Omega) = 1
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2. P(A)≥0P(A) \geq 0 für jedes Ereignis AA
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3. Für disjunkte Ereignisse A1,A2,…A_1, A_2, \dots: P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)
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**Wichtige Wahrscheinlichkeitsregeln:**
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- **Additionstheorem:** P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
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- **Multiplikationstheorem (unabhängige Ereignisse):** P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
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- **Bedingte Wahrscheinlichkeit:** P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0
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- **Satz von Bayes:** P(A∣B)=P(B∣A)⋅P(A)P(B)P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}
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### **3. Wahrscheinlichkeitsverteilungen**
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**Diskrete Verteilungen:**
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- **Binomialverteilung:** P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
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- **Poisson-Verteilung:** P(X=k)=λke−λk!P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
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**Stetige Verteilungen:**
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- **Normalverteilung:** f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
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- **Exponentialverteilung:** f(x)=λe−λx,x≥0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0
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### **4. Erwartungswert und Varianz**
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**Erwartungswert (Erwartung):**
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- **Diskret:** E(X)=∑ixiP(X=xi)E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i)
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- **Stetig:** E(X)=∫−∞∞xf(x) dxE(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
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**Varianz:**
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- **Definition:** Var(X)=E(X2)−[E(X)]2\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
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**Standardabweichung:**
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σX=Var(X)\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}
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### **5. Unabhängigkeit und Bedingte Wahrscheinlichkeiten**
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**Unabhängigkeit:**
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- Zwei Ereignisse AA und BB sind unabhängig, wenn: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
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**Bedingte Wahrscheinlichkeiten:**
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- **Definition:** P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0
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### **6. Kombinatorische Wahrscheinlichkeiten**
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**Beispiel:**
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- **Wahrscheinlichkeit, kk Erfolge in nn Versuchen (Binomialverteilung):** P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
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**Hypergeometrische Verteilung:**
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- **Definition:** P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}} wobei NN die Gesamtzahl, KK die Anzahl der Erfolge in der Gesamtpopulation und nn die Anzahl der gezogenen Elemente ist.
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Diese Formelsammlung deckt die grundlegenden und erweiterten Themen in Analysis, Lineare Algebra und Stochastik ab. Für spezifische Anwendungen oder tiefere Einblicke in bestimmte Bereiche empfiehlt es sich, weiterführende Literatur oder spezialisierte Ressourcen zu konsultieren.
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102
formulas/Formeln und Vorgehen Oliver.md
Normal file
102
formulas/Formeln und Vorgehen Oliver.md
Normal file
@ -0,0 +1,102 @@
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# Abitur Formelsammlung
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![[Pasted image 20250129145851.png]]
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![[Pasted image 20250129145448.png]]![[Pasted image 20250129145519.png]]
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![[Pasted image 20250129145542.png]]
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![[Pasted image 20250129145705.png]]![[Pasted image 20250129145737.png]]
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![[Pasted image 20250129145808.png]]
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![[Pasted image 20250129151224.png]]
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![[Pasted image 20250129151412.png]]![[Pasted image 20250129151420.png]]
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![[Pasted image 20250129151642.png]]
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![[Pasted image 20250129152252.png]]![[Pasted image 20250129152305.png]]
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# Andere Formelsammlung
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![[Pasted image 20250129153252.png]]![[Pasted image 20250129153311.png]]
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![[Pasted image 20250129153348.png]]
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![[Pasted image 20250129154319.png]]
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![[Pasted image 20250129154420.png]]
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![[Pasted image 20250129154530.png]]
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# Nochmal andere Formelsammlung
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https://www.plus.ac.at/wp-content/uploads/2021/02/Formelsammlung_-_Mathematik_1_und_2.pdf
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![[Pasted image 20250129160307.png]]
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![[Pasted image 20250129160341.png]]
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![[Pasted image 20250129160415.png]]
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![[Pasted image 20250129160505.png]]
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![[Pasted image 20250129155453.png]]
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![[Pasted image 20250129155525.png]]
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![[Pasted image 20250129155709.png]]
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![[Pasted image 20250129155755.png]]
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![[Pasted image 20250129155804.png]]
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![[Pasted image 20250129155844.png]]
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![[Pasted image 20250129160005.png]]
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![[Pasted image 20250129160017.png]]
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![[Pasted image 20250129160200.png]]
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![[Pasted image 20250129160211.png]]
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![[Pasted image 20250129160113.png]]
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# Nochmal was anderes
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https://mmf.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/Formelsammlung-Angewandte_Mathematik.pdf
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![[Pasted image 20250129160902.png]]
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![[Pasted image 20250129161140.png]]
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![[Pasted image 20250129161224.png]]
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# Chatgpt
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![[Pasted image 20250129153437.png]]https://chatgpt.com/share/679a3c80-ac54-8006-a47c-8e96230a1210
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# Vorherige Formelsammlungen
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### Ableitungen
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>Nicht Aufgelistet sind Ableitung die trivial sind.
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| **$f(x)$** | **$f'(x)$** | **$F(x)$** |
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| ------------------- | ---------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------- |
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|
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
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|
| $c \cdot f(x)$ | $c \cdot f'(x)$ | $c \cdot \int f(x)\,dx + C$ |
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|
| $f(x) \cdot g(x)$ | $f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ | $\int f(x)g(x)\,dx + C$ |
|
||||||
|
| $\frac{f(x)}{g(x)}$ | $\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$ | $\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx + C$ |
|
||||||
|
| $f(g(x))$ | $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ | $\int f(g(x))\,dx + C$ |
|
||||||
|
| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x \ln(x) - x + C$ |
|
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|
| $\ln(a \cdot x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x \ln(a x) - x + C$ |
|
||||||
|
| $\ln(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | $x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx + C$ |
|
||||||
|
| $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \cdot \ln(a)}$ | $\frac{x \ln(x) - x}{\ln(a)} + C$ |
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||||||
|
| $\log_b(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x) \cdot \ln(b)}$ | $\frac{x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx}{\ln(b)} + C$ |
|
||||||
|
| $a^x$ | $a^x \cdot \ln(a)$ | $\frac{a^{x}}{\ln(a)} + C$ |
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||||||
|
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\frac{2}{3} x^{3/2} + C$ |
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|
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | $-\cos(x) + C$ |
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|
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | $\sin(x) + C$ |
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|
| $\tan(x)$ | $\frac{1}{\cos^2(x)}$ | $-\ln ( \| \cos(x) \|) + C$ |
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|
# O1 Formelsammlung
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16
formulas/Formeln und Vorgehen.md
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16
formulas/Formeln und Vorgehen.md
Normal file
@ -0,0 +1,16 @@
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# Mengen
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![[Pasted image 20250129145851.png]]
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![[Pasted image 20250129145815.png]]
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# Grundlagen
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![[Pasted image 20250129145414.png]]
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![[Pasted image 20250129145429.png]]
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![[Pasted image 20250129145448.png]]![[Pasted image 20250129145519.png]]
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![[Pasted image 20250129145542.png]]
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![[Pasted image 20250129145705.png]]![[Pasted image 20250129145737.png]]
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![[Pasted image 20250129145808.png]]
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648
formulas/Formelsammlung.md
Normal file
648
formulas/Formelsammlung.md
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@ -0,0 +1,648 @@
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# Analysis
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# Formelsammlung
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## Grundlagen: Mengen
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- **Menge**: Sammlung unterschiedlicher Objekte.
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- **Teilmenge**: $A \subseteq B$ bedeutet, jedes Element von $A$ liegt in $B$.
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- **Vereinigungsmenge**: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}$.
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- **Schnittmenge**: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}$.
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- **Grundmenge** (Universalmenge): $\Omega$, umfasst alle relevanten Elemente.
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- **Komplementärmenge**: $A^c = \Omega \setminus A$.
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- **Zahlenmengen**:
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- $\mathbb{N}$: natürliche Zahlen
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- $\mathbb{Z}$: ganze Zahlen
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- $\mathbb{Q}$: rationale Zahlen
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- $\mathbb{R}$: reelle Zahlen
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- $\mathbb{C}$: komplexe Zahlen
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## Kartesisches Produkt
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$$
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A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}
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$$
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## Abbildung/Funktion
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- **Abbildung**: Zuordnungsvorschrift von einer **Definitionsmenge** (Domain) in eine **Zielmenge** (Codomain).
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- **Funktion**: Spezielle Abbildung, z.B. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
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- **Definitionsmenge (D)**: $D_f$
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- **Zielmenge (Z)**: Codomain
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- **Bildmenge (Wertebereich)**: $\mathrm{Im}(f)$ (alle tatsächlich angenommenen Werte).
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|
- **Abbildungsvorschrift**: Vorschrift, wie $x \mapsto f(x)$.
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|
- **abhängige/unabhängige Variable**: $y=f(x)$, $x$ ist unabhängig, $y$ abhängig.
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- **Argument**: Wert, der in die Funktion eingesetzt wird ($x$).
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## Eigenschaften von Abbildungen
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- **Injektiv** (eineindeutig): $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
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- Ein y hat höchstens ein x
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- nicht injektiv, sind funktionen die lokale Extrema haben
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- **Surjektiv** (auf): Jedes Element der Zielmenge wird getroffen.
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- Jedes y hat mindestens ein x
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- Globales verhalten muss von -unendlich nach + unendlich, oder umgekehrt sein.
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- Also jedes Y muss belegt sein
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- **Bijektiv**: Injektiv und surjektiv.
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- **Bild** eines Teilbereichs $A$: $f(A)$.
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- **Urbild** eines Bereichs $B$: $f^{-1}(B)$.
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- **Umkehrabbildung** (Inverse): $f^{-1}$, existiert nur bei Bijektion.
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## Folgen
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- **Folge** $(a_n)$: Geordnete Liste von Werten.
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- **Folgeglied**: $a_n$.
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- **arithmetische Folge**: $a_{n+1} = a_n + d$.
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- **geometrische Folge**: $a_{n+1} = a_n \cdot q$.
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|
- **untere/obere Schranke**: Kleinster/größter Wert, der die Folge begrenzt.
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|
- **beschränkt**: Folge hat obere und/oder untere Schranke.
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|
- **(streng) monoton steigend/fallend**: $a_{n+1} \ge a_n$ bzw. $a_{n+1} > a_n$ (oder umgekehrt fallend).
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|
- **Konvergenz**: Folge nähert sich einem Grenzwert.
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- **Divergenz**: Kein endlicher Grenzwert.
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- **Grenzwert** $L$: $\lim_{n \to \infty} a_n = L$.
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## Summen und Reihen
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- **Summe**: $\sum_{k=1}^{n} a_k$.
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- **Summenzeichen**: $\sum$.
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- **geometrische Summe**: $S_n = a\,\frac{1-r^n}{1-r}$ (für $r \neq 1$).
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- **Reihe**: Unendliche Summe: $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$.
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- **geometrische Reihe**: $\sum_{k=0}^{\infty} ar^k$.
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## Betrag und Vorzeichen
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- **Betrag**: $|x|$.
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- **Vorzeichenfunktion**: $\mathrm{sgn}(x)$.
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## Wichtige Funktionen
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- **Potenzfunktion**: $f(x) = x^n$.
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- **Exponentialfunktion** (eigentliche): $f(x) = e^x$.
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- **Logarithmusfunktion**: $f(x) = \log_a(x)$.
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|
- **hyperbolische Funktionen**: $\sinh x, \cosh x, \ldots$
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|
- **Parität**: $f(-x) = f(x)$ (gerade), $f(-x) = -f(x)$ (ungerade).
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|
- **lineare Funktion**: $f(x) = m x + b$.
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- **verallgemeinerte Exponentialfunktion**: $a^x = e^{x \ln a}$.
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## Steigung und Differenzquotient
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- **Steigung** $m$ einer Geraden: $m = \tan(\alpha)$ (Steigungswinkel $\alpha$).
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- **Differenzquotient**: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
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## Ableitung
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$$
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f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
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$$
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### Ableitungsregeln
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|
- **Faktorregel**: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
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- **Summenregel**: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.
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|
- **Produktregel**: $(f \cdot g)' = f' g + f g'$.
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- **Kettenregel**: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
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|
- **Quadratregel**: $(x^2)' = 2x$.
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|
- **Reziprokenregel**: $\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)' = -\tfrac{1}{x^2}$.
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|
- **Quotientenregel**: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.
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## Exponential- und Logarithmusableitungen
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- **Eulersche Zahl**: $e \approx 2{.}71828$.
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|
- **natürliche Exponentialfunktion**: $(e^x)' = e^x$.
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|
- **natürlicher Logarithmus**: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
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|
- **Allgemeines**: $(a^x)' = a^x \ln(a)$, $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln(a)}$.
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## Ableitungen trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen
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- **Trigonometrisch**: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \sec^2 x$, …
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|
- **Hyperbolisch**: $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$, $(\tanh x)' = \mathrm{sech}^2 x$, …
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|
- **Arkusfunktionen**: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, …
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|
- **Areafunktionen**: $(\mathrm{arsinh}\,x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, …
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## Aufleitung und Integration
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- **Aufleitung / Stammfunktion**: $F'(x) = f(x)$.
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- **unbestimmtes Integral**: $\int f(x)\,dx = F(x) + C$.
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- **bestimmtes Integral**: $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
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|
- **Integrand**: $f(x)$.
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|
- **Integrationsgrenzen**: $[a,b]$.
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## Differenzialrechnung: kritische Stellen und Extrempunkte
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- **kritische Stelle**: $x_0$, bei dem $f'(x_0)=0$ oder $f'(x_0)$ undefiniert.
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|
- **kritischer Punkt**: $(x_0, f(x_0))$.
|
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|
- **lokales/globales Extremum**: Minimum oder Maximum (lokal/global).
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- **Hoch-/Tief-/Sattelpunkt**: Punkt mit $f'(x_0)=0$; Klassifizierung via $f''(x_0)$.
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## Krümmung und Wendepunkt
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- **analytische/geometrische Krümmung**: Vorzeichen von $f''(x)$ oder spezielle Krümmungsformeln.
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- **Wendepunkt**: Stelle, an der $f''(x)$ Vorzeichen wechselt (Krümmungswechsel).
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# Stochastik
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# Formelsammlung
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## Binomialkoeffizient
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$$
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\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
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$$
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## Pascalsches Dreieck
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Dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten:
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Zeile $n$ enthält $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$.
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|
## Fakultät
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$$
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n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1
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$$
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|
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|
## Kombination (ohne Wiederholung)
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$$
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||||||
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\binom{n}{k}
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$$
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||||||
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|
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|
## Variation
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|
- Ohne Wiederholung:
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$$
|
||||||
|
\frac{n!}{(n-k)!}
|
||||||
|
$$
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||||||
|
- Mit Wiederholung:
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$$
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||||||
|
n^k
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|
$$
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||||||
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## Permutation
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$$
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n!
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$$
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## Kombinationsmöglichkeiten – Entscheidungsbaum
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|
1. **Wird die Reihenfolge beachtet?**
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|
- **Ja → Variation** (evtl. Permutation, wenn alle Elemente benutzt werden)
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|
- **Nein → Kombination**
|
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|
2. **Mit oder ohne Wiederholung?**
|
||||||
|
- **Ohne → \binom{n}{k} oder \frac{n!}{(n-k)!}**
|
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|
- **Mit → n^k**
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|
||||||
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## Zufallsexperiment
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|
Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber nicht vorhergesagt werden können.
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||||||
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## Elementarereignis
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|
Einzelnes, unzerlegbares Ereignis (genau ein Ergebnis).
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|
## Ereignisse
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|
Mengen von Elementarereignissen.
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## Ergebnisse
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Die möglichen Resultate eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse).
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## Wahrscheinlichkeitsraum
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$$(\Omega, \mathcal{A}, P)$$
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|
- $\Omega$: Ergebnismenge
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|
- $\mathcal{A}$: Ereignissystem
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|
- $P$: Wahrscheinlichkeitsfunktion
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||||||
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||||||
|
## Laplace-Experiment
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||||||
|
Gleichwahrscheinliche Elementarereignisse:
|
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$$
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||||||
|
P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger}}{\text{Anzahl aller}}
|
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$$
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||||||
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|
||||||
|
---
|
||||||
|
|
||||||
|
## Laplace-Wahrscheinlichkeit
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$$
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||||||
|
P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}
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|
$$
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||||||
|
|
||||||
|
---
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||||||
|
|
||||||
|
## Absolute/Relative Häufigkeit
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||||||
|
- **Absolute Häufigkeit**: Anzahl der Auftretensfälle eines Ergebnisses.
|
||||||
|
- **Relative Häufigkeit**:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
---
|
||||||
|
|
||||||
|
## Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov)
|
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|
1. $P(E) \ge 0$
|
||||||
|
2. $P(\Omega) = 1$
|
||||||
|
3. $$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$$
|
||||||
|
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||||||
|
---
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||||||
|
|
||||||
|
## Additionssatz
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||||||
|
$$
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|
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
|
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|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
---
|
||||||
|
|
||||||
|
## Multiplikationssatz
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||||||
|
$$
|
||||||
|
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
Bei Unabhängigkeit:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
---
|
||||||
|
|
||||||
|
## Bedingte Wahrscheinlichkeit
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
---
|
||||||
|
|
||||||
|
## Totale Wahrscheinlichkeit
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
P(B) = \sum_i \bigl[P(B \mid A_i)\cdot P(A_i)\bigr]
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
wenn $\{A_i\}$ vollständige Zerlegung von $\Omega$ ist.
|
||||||
|
|
||||||
|
---
|
||||||
|
|
||||||
|
## Abhängige/Unabhängige Ereignisse
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- **Unabhängig**:
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$$
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P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
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$$
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|
- **Abhängig**: Obige Gleichung gilt nicht.
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## Ereignisbaum
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Grafische Darstellung von Ereignissen, deren Abzweigungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriftet sind.
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## Satz von Bayes
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$$
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|
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}
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$$
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---
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## Zufallsvariable
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Funktion $X: \Omega \to \mathbb{R}$, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet.
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## Verteilungsfunktion
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$$
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F_X(x) = P(X \le x)
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$$
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|
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## Wahrscheinlichkeitsverteilung
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|
Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsvariable.
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|
## Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Zufallsvariable)
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$$
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|
p_X(x) = P(X = x)
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$$
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## Stabdiagramm
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Grafische Darstellung $x$ gegen $p_X(x)$ (diskrete Verteilung).
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## Erwartungswert (diskret)
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$$
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E(X) = \sum_x \bigl[x \cdot p_X(x)\bigr]
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|
$$
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## Mittelwert (Stichprobe)
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$$
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\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
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$$
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|
## Varianz
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$$
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\mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - [E(X)]^2
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$$
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---
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## Standardabweichung
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$$
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\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}
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$$
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|
## Gleichverteilung
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|
Alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, z.B.
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$$
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|
p(x) = \frac{1}{n} \quad \text{für } x \in \{1,\dots,n\}
|
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$$
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---
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## Bernoulli-Verteilung
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$$
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P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p
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$$
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|
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|
## Binomialverteilung
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$$
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P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}
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$$
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# Lineare Algebra
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# Formelsammlung
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## Binomialkoeffizient
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$$
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\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
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$$
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|
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## Pascalsches Dreieck
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Dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten:
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Zeile $n$ enthält $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$.
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## Fakultät
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$$
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n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1
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$$
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## Kombination (ohne Wiederholung)
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$$
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\binom{n}{k}
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$$
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## Variation
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- Ohne Wiederholung:
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$$
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\frac{n!}{(n-k)!}
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$$
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- Mit Wiederholung:
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$$
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n^k
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$$
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## Permutation
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$$
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n!
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$$
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## Kombinationsmöglichkeiten – Entscheidungsbaum
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1. **Wird die Reihenfolge beachtet?**
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- **Ja → Variation** (evtl. Permutation, wenn alle Elemente benutzt werden)
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- **Nein → Kombination**
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2. **Mit oder ohne Wiederholung?**
|
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|
- **Ohne → \binom{n}{k} oder \frac{n!}{(n-k)!}**
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|
- **Mit → n^k**
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## Zufallsexperiment
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Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber nicht vorhergesagt werden können.
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## Elementarereignis
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Einzelnes, unzerlegbares Ereignis (genau ein Ergebnis).
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## Ereignisse
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Mengen von Elementarereignissen.
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## Ergebnisse
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Die möglichen Resultate eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse).
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## Wahrscheinlichkeitsraum
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$$(\Omega, \mathcal{A}, P)$$
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- $\Omega$: Ergebnismenge
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- $\mathcal{A}$: Ereignissystem
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|
- $P$: Wahrscheinlichkeitsfunktion
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## Laplace-Experiment
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Gleichwahrscheinliche Elementarereignisse:
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$$
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P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger}}{\text{Anzahl aller}}
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$$
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## Laplace-Wahrscheinlichkeit
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$$
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P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}
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$$
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## Absolute/Relative Häufigkeit
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- **Absolute Häufigkeit**: Anzahl der Auftretensfälle eines Ergebnisses.
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- **Relative Häufigkeit**:
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$$
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|
\frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtanzahl}}
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$$
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|
## Wahrscheinlichkeitsaxiome (Kolmogorov)
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1. $P(E) \ge 0$
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|
2. $P(\Omega) = 1$
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|
3. $$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$$
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## Additionssatz
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$$
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P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
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$$
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---
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## Multiplikationssatz
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$$
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P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)
|
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|
$$
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|
Bei Unabhängigkeit:
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$$
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|
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
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$$
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|
## Bedingte Wahrscheinlichkeit
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$$
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P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
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$$
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---
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|
## Totale Wahrscheinlichkeit
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$$
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P(B) = \sum_i \bigl[P(B \mid A_i)\cdot P(A_i)\bigr]
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$$
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|
wenn $\{A_i\}$ vollständige Zerlegung von $\Omega$ ist.
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|
## Abhängige/Unabhängige Ereignisse
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- **Unabhängig**:
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$$
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|
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
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|
$$
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|
- **Abhängig**: Obige Gleichung gilt nicht.
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|
## Ereignisbaum
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|
Grafische Darstellung von Ereignissen, deren Abzweigungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriftet sind.
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|
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|
## Satz von Bayes
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$$
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P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}
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|
$$
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|
---
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|
|
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|
## Zufallsvariable
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Funktion $X: \Omega \to \mathbb{R}$, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet.
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## Verteilungsfunktion
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$$
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F_X(x) = P(X \le x)
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$$
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|
## Wahrscheinlichkeitsverteilung
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|
Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten einer Zufallsvariable.
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|
## Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Zufallsvariable)
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$$
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p_X(x) = P(X = x)
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$$
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## Stabdiagramm
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Grafische Darstellung $x$ gegen $p_X(x)$ (diskrete Verteilung).
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## Erwartungswert (diskret)
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$$
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E(X) = \sum_x \bigl[x \cdot p_X(x)\bigr]
|
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$$
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---
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||||||
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|
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|
## Mittelwert (Stichprobe)
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$$
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\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
|
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|
$$
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|
## Varianz
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$$
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||||||
|
\mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - [E(X)]^2
|
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|
$$
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|
||||||
|
---
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||||||
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|
## Standardabweichung
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$$
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|
\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}
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|
$$
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||||||
|
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---
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|
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|
## Gleichverteilung
|
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|
Alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, z.B.
|
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|
$$
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||||||
|
p(x) = \frac{1}{n} \quad \text{für } x \in \{1,\dots,n\}
|
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|
$$
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|
---
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|
## Bernoulli-Verteilung
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$$
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|
P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p
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$$
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|
## Binomialverteilung
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$$
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P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}
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|
$$
|
||||||
149
formulas/Merkhilfe ENTGÜLTIG.md
Normal file
149
formulas/Merkhilfe ENTGÜLTIG.md
Normal file
@ -0,0 +1,149 @@
|
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|
## Mengen
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|
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![[Pasted image 20250129170443.png]]
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## Abbildungen
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![[Pasted image 20250129172335.png]]
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### Injektiv
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- Ein y hat höchstens ein x
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- nicht injektiv, sind funktionen die lokale Extrema haben
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### Surjektiv
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Jedes Element der Zielmenge wird getroffen.
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- Jedes y hat mindestens ein x
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- Globales verhalten muss von -unendlich nach + unendlich, oder umgekehrt sein.
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- Also jedes Y muss belegt sein
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$$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{\textit{\textcolor{red}{Nullstellen des Nenners}}\} $$ $$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2,2\} $$
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||||||
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### Abhängig / Unabhängig
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1. **Unabhängige Variable**: Die Variable, die du frei wählen kannst.
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2. **Abhängige Variable**: Die Variable, die von der unabhängigen Variable abhängt.
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Beispiel mit Mengen:
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- $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \leq 5\} = \{1,2,3,4,5\}$ → **Unabhängige Variable**
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|
- $B = \{y \mid y = x^2, x \in A\} = \{1,4,9,16,25\}$ → **Abhängige Variable**
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- Hier ist $x$ die **unabhängige Variable**, weil du sie frei aus $A$ wählen kannst. $y$ ist die **abhängige Variable**, weil ihr Wert durch $x$ bestimmt wird $(y = x^2)$.
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Kurz:
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- $x$ unabhängig
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- $y$ abhängig von $x$
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### Umkehrabbildung
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![[Pasted image 20250129192644.png]]
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|
### Folgen und Reihen
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![[Pasted image 20250129173438.png]]
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|
>Reihe = summe aus folge ( Liste )
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![[Pasted image 20250129173450.png]]
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|
### Grenzwert berechnen
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![[Pasted image 20250129192429.png]]
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|
### Funktionen
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![[Pasted image 20250129173849.png]]
|
||||||
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||||||
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||||||
|
### Steigungswinkel
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||||||
|
![[Pasted image 20250129174359.png]]
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||||||
|
## Ableitung
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||||||
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||||||
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| **$f(x)$** | **$f'(x)$** | **$F(x)$** |
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| ------------------- | ---------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------- |
|
||||||
|
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
|
||||||
|
| $c \cdot f(x)$ | $c \cdot f'(x)$ | $c \cdot \int f(x)\,dx + C$ |
|
||||||
|
| $f(x) \cdot g(x)$ | $f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ | $\int f(x)g(x)\,dx + C$ |
|
||||||
|
| $\frac{f(x)}{g(x)}$ | $\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$ | $\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx + C$ |
|
||||||
|
| $f(g(x))$ | $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ | $\int f(g(x))\,dx + C$ |
|
||||||
|
| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x \ln(x) - x + C$ |
|
||||||
|
| $\ln(a \cdot x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x \ln(a x) - x + C$ |
|
||||||
|
| $\ln(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | $x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx + C$ |
|
||||||
|
| $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \cdot \ln(a)}$ | $\frac{x \ln(x) - x}{\ln(a)} + C$ |
|
||||||
|
| $\log_b(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x) \cdot \ln(b)}$ | $\frac{x \ln(g(x)) - \int \frac{x g'(x)}{g(x)}\,dx}{\ln(b)} + C$ |
|
||||||
|
| $a^x$ | $a^x \cdot \ln(a)$ | $\frac{a^{x}}{\ln(a)} + C$ |
|
||||||
|
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\frac{2}{3} x^{3/2} + C$ |
|
||||||
|
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | $-\cos(x) + C$ |
|
||||||
|
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | $\sin(x) + C$ |
|
||||||
|
| $\tan(x)$ | $\frac{1}{\cos^2(x)}$ | $-\ln ( \| \cos(x) \|) + C$ |
|
||||||
|
| $\sinh(x)$ | $\cosh(x)$ | $\cosh(x) + C$ |
|
||||||
|
| $\cosh(x)$ | $\sinh(x)$ | $\sinh(x) + C$ |
|
||||||
|
| $\tanh(x)$ | $\frac{1}{\cosh^2(x)}$ | $\ln(\cosh(x)) + C$ |
|
||||||
|
![[Pasted image 20250129174542.png]]
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||||||
|
![[Pasted image 20250129174619.png]]
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|
![[Pasted image 20250129174749.png]]
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|
![[Pasted image 20250129174834.png]]
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|
### Logarithmen
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![[Pasted image 20250129174006.png]]
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![[Pasted image 20250129175643.png]]
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![[Pasted image 20250129175759.png]]
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|
### Kritische Punkte
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![[Pasted image 20250129174711.png]]
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### Geometrische Krümmung
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## Bogenmaß - Gradmaß
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### Nautische Meile
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1 nautische Meile (NM) = 1,852 Kilometer (km) = 1/60 eines Breitengrads
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### Gauß Verfahren
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- **Freier Parameter:** Tritt auf, wenn ein LGS unendlich viele Lösungen hat. Variablen, die beliebig gewählt werden können.
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- **Verträglichkeit:** Ein LGS ist verträglich, wenn es mindestens eine Lösung gibt. Unverträglich, wenn ein Widerspruch wie 0=50 = 5 auftritt.
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### Sinus - Cosinus - Tangens
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### Vektoren
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# Stochastik
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# Python
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215
formulas/O1 Formelsammlung.md
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215
formulas/O1 Formelsammlung.md
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@ -0,0 +1,215 @@
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**Formelsammlung**
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_(Inhalt geordnet nach den vorgegebenen Themenbereichen Analysis, Lineare Algebra und Stochastik. Bei Python nur die wichtigsten Ansätze für numerische Berechnung/Visualisierung – keine vollständigen Programme.)_
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https://chatgpt.com/share/679a476a-5c4c-8006-937d-46736e78cd0d
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## 1. Analysis
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### 1.1 Mengenlehre und mathematische Notation
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- **Menge**: A={x∣x besitzt eine bestimmte Eigenschaft}A = \{x \mid x \text{ besitzt eine bestimmte Eigenschaft}\}
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- **Vereinigung**: A∪B={x∣x∈A oder x∈B}A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}
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- **Schnitt**: A∩B={x∣x∈A und x∈B}A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}
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- **Differenz**: A∖B={x∣x∈A und x∉B}A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \notin B\}
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- **Komplement** (in Grundmenge GG): Ac=G∖AA^c = G \setminus A
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- **Teilmengen**: A⊆B ⟺ ∀x(x∈A⇒x∈B)A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B)
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### 1.2 Funktionen
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- **Allgemein**: f:D→W,x↦f(x)f: D \to W, \quad x \mapsto f(x)
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- DD = Definitionsmenge, WW = Wertemenge
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- **Wichtige Grundtypen**:
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1. **Lineare Funktion**: f(x)=mx+bf(x) = mx + b
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2. **Quadratische Funktion**: f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
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3. **Polynom**: f(x)=anxn+⋯+a1x+a0f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0
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4. **Exponentialfunktion**: f(x)=axf(x) = a^x
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5. **Logarithmusfunktion**: f(x)=loga(x)f(x) = \log_a(x)
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6. **Trigonometrische Funktionen**: sinx,cosx,tanx\sin x, \cos x, \tan x etc.
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### 1.3 Folgen und Reihen
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- **Folgenglied**: (an)(a_n), mit ana_n als nn-tes Glied
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- **Grenzwert einer Folge**: limn→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L
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- **Reihe**: ∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} a_k; Grenzwert bei n→∞n \to \infty = ∑k=1∞ak\sum_{k=1}^{\infty} a_k
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- **Wichtige Reihen**:
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- **Geometrische Reihe**: ∑k=0∞ark=a1−r\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r} für ∣r∣<1|r|<1
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### 1.4 Grenzwerte (Funktionen)
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- **Definition**: limx→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L, falls für alle ε>0\varepsilon > 0 ein δ>0\delta > 0 existiert mit ∀x:0<∣x−x0∣<δ ⟹ ∣f(x)−L∣<ε\forall x: 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon
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- **Standardgrenzwerte**:
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- limx→0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
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- limx→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
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- limx→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
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- **Stetigkeit**: ff ist stetig in x0x_0, wenn limx→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).
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### 1.5 Differentialrechnung
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- **Ableitung (Definition)**: f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
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- **Wichtige Ableitungsregeln**:
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1. **Konstante**: (c)′=0(c)' = 0
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2. **Potenzregel**: (xn)′=nxn−1(x^n)' = n x^{n-1}
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3. **Summenregel**: (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'
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4. **Produktregel**: (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'
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5. **Quotientenregel**: (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
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6. **Kettenregel**: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
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- **Ableitungen wichtiger Funktionen**:
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- (sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x
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- (tanx)′=sec2x(\tan x)' = \sec^2 x
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- (ex)′=ex(e^x)' = e^x
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- (ax)′=axln(a)(a^x)' = a^x \ln(a)
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- (lnx)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}
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### 1.6 Integralrechnung (Polynome)
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- **Unbestimmtes Integral**: ∫f(x) dx=F(x)+C \int f(x)\,dx = F(x) + C (wobei F′(x)=f(x)F'(x) = f(x))
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- **Bestimmtes Integral**: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a) \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)
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- **Grundintegrale**:
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- ∫xn dx=xn+1n+1+C,n≠−1\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
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- ∫1x dx=ln∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
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- ∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C
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- ∫sinx dx=−cosx+C\int \sin x \, dx = -\cos x + C
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- ∫cosx dx=sinx+C\int \cos x \, dx = \sin x + C
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### 1.7 Eigenschaften von Funktionen (Extrema, Wendepunkte)
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- **Lokale Extrema**:
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1. Notwendige Bedingung: f′(x0)=0f'(x_0) = 0
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2. Hinreichende Bedingung:
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- f′′(x0)<0 ⟹ f''(x_0) < 0 \implies lok. Maximum
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- f′′(x0)>0 ⟹ f''(x_0) > 0 \implies lok. Minimum
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- **Wendepunkt**: f′′(xW)=0f''(x_W) = 0 und f′′′(xW)≠0f'''(x_W) \neq 0 (i.d.R. Prüfbedingung)
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### 1.8 Python – Grundlagen numerische Berechnung/Visualisierung
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- **Variablen & Datentypen**: `x = 5`, `y = 3.14`, `text = "Hallo"`
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- **Funktionen**:
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```python
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def f(x):
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return x**2 + 3*x - 1
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```
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- **Numerische Berechnungen (Beispiel)**:
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```python
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import numpy as np
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x_values = np.linspace(-10, 10, 100)
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y_values = f(x_values) # mit obiger Definition
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```
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- **Plot**:
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```python
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import matplotlib.pyplot as plt
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plt.plot(x_values, y_values)
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plt.show()
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```
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## 2. Lineare Algebra
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### 2.1 Lineare Gleichungssysteme: Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren
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- **Matrixform**: Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}
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- **Gauß-Verfahren**: Schrittweises Eliminieren von Unbekannten durch Zeilenoperationen, bis eine Dreiecksform entsteht.
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- **Gauß-Jordan**: Weitermachen bis zur Diagonalform (oder reduzierten Zeilenstufenform).
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- **Rang**: Anzahl linear unabhängiger Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix.
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- **Defekt**: Def(A)=Anzahl Unbekannte−Rang(A)\text{Def}(A) = \text{Anzahl Unbekannte} - \text{Rang}(A).
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- **Lösungsmenge** abhängig von Rang(A)\text{Rang}(A) vs. Rang([A∣b⃗])\text{Rang}([A|\vec{b}]):
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- Eindeutige Lösung: Rang(A)=Rang([A∣b⃗])=Anzahl Unbekannte\text{Rang}(A) = \text{Rang}([A|\vec{b}]) = \text{Anzahl Unbekannte}.
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- Unendlich viele Lösungen: Rang(A)=Rang([A∣b⃗])<Anzahl Unbekannte\text{Rang}(A) = \text{Rang}([A|\vec{b}]) < \text{Anzahl Unbekannte}.
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- Keine Lösung: Rang(A)<Rang([A∣b⃗])\text{Rang}(A) < \text{Rang}([A|\vec{b}]).
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### 2.2 Grundoperationen auf Vektoren
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- **Vektor in Rn\mathbb{R}^n**: v⃗=(v1,v2,…,vn)\vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)
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- **Addition**: v⃗+w⃗=(v1+w1,…,vn+wn)\vec{v} + \vec{w} = (v_1 + w_1, \dots, v_n + w_n)
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- **Skalarmultiplikation**: αv⃗=(αv1,…,αvn)\alpha \vec{v} = (\alpha v_1, \dots, \alpha v_n)
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### 2.3 Skalarprodukt (inneres Produkt)
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- **Definition**: v⃗⋅w⃗=∑i=1nviwi \vec{v} \cdot \vec{w} = \sum_{i=1}^{n} v_i w_i
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- **Länge eines Vektors**: ∥v⃗∥=v⃗⋅v⃗=v12+⋯+vn2\|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}} = \sqrt{v_1^2 + \dots + v_n^2}
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- **Winkel**: v⃗⋅w⃗=∥v⃗∥ ∥w⃗∥cos(α) \vec{v} \cdot \vec{w} = \|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|\cos(\alpha)
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- **Orthogonale Projektion** von v⃗\vec{v} auf w⃗\vec{w}: projw⃗(v⃗)=(v⃗⋅w⃗∥w⃗∥2)w⃗ \text{proj}_{\vec{w}}(\vec{v}) = \left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{w}\|^2}\right)\vec{w}
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### 2.4 Vektorprodukt (R3\mathbb{R}^3)
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- **Kreuzprodukt**: v⃗×w⃗=∣ijkv1v2v3w1w2w3∣\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}
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- Ergebnis ist ein Vektor senkrecht auf v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w}.
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- **Fläche des von v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} aufgespannten Parallelogramms**: ∥v⃗×w⃗∥\|\vec{v} \times \vec{w}\|.
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- **Volumen des von u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} aufgespannten Spats**: ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) |.
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### 2.5 Geraden & Ebenen (in R3\mathbb{R}^3)
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- **Gerade in Parameterform**: g:r⃗=p⃗+λd⃗,λ∈R g: \vec{r} = \vec{p} + \lambda \vec{d}, \quad \lambda \in \mathbb{R} (p⃗\vec{p} = Stützvektor, d⃗\vec{d} = Richtungsvektor)
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- **Ebene in Parameterform**: E:r⃗=p⃗+λu⃗+μv⃗,λ,μ∈R E: \vec{r} = \vec{p} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R} (p⃗\vec{p} = Stützvektor, u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} = Spannvektoren)
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- **Normalenform** (Ebene): (r⃗−p⃗)⋅n⃗=0(n⃗≠0⃗) (\vec{r} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0 \quad (\vec{n} \neq \vec{0})
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- **Koordinatenform** (Ebene): ax+by+cz=d,wobei n⃗=(a,b,c) ax + by + cz = d, \quad \text{wobei } \vec{n} = (a,b,c)
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### 2.6 Python – Numerische Lineare Algebra
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- **Matrix und Vektoren (NumPy)**:
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```python
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import numpy as np
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A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
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b = np.array([5, 6])
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x = np.linalg.solve(A, b) # Löst das LGS A*x = b
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```
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- **Skalarprodukt**:
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```python
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v = np.array([1,2,3])
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w = np.array([4,5,6])
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dot = np.dot(v, w)
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```
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- **Kreuzprodukt**:
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```python
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cross = np.cross(v, w)
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```
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## 3. Stochastik
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### 3.1 Kombinatorik
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- **Fakultät**: n!=n⋅(n−1)⋅⋯⋅1n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1
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- **Binomialkoeffizient**: (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
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- **Permutationen**:
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- _Verschiedene Objekte (alle nutzen)_: P(n)=n!P(n) = n!
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- _Mit Wiederholungen_: n!n1! n2! …\frac{n!}{n_1! \, n_2! \,\dots}
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- **Variationen (ohne Wiederholung)**: V(n,k)=n!(n−k)!V(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}
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- **Kombinationen (ohne Wiederholung)**: C(n,k)=(nk)C(n,k) = \binom{n}{k}
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### 3.2 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten
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- **Zufallsexperiment**: Ergebnis nicht vorhersehbar, aber Wahrscheinlichkeiten bekannt.
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- **Ereignis**: Teilmenge der Ergebnismenge Ω\Omega.
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- **Wahrscheinlichkeit**: P:P(Ω)→[0,1]P: \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1] mit:
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1. P(Ω)=1P(\Omega) = 1
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2. P(A)≥0P(A) \ge 0
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3. **Additivität**: A∩B=∅ ⟹ P(A∪B)=P(A)+P(B)A \cap B = \emptyset \implies P(A \cup B) = P(A) + P(B)
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### 3.3 Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
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- **Laplace-Experiment** (alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich): P(E)=Anzahl der fu¨r E gu¨nstigen ErgebnisseAnzahl aller mo¨glichen Ergebnisse P(E) = \frac{\text{Anzahl der für } E \text{ günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}
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- **Additionsregel**: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
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- **Produktregel** (unabhängige Ereignisse AA und BB): P(A∩B)=P(A)⋅P(B) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
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- **Bedingte Wahrscheinlichkeit**: P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0 P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B)>0
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- **Satz von Bayes**: P(A∣B)=P(B∣A) P(A)P(B) P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}
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**Fertig.** Damit hast du eine umfassende Formelsammlung zu Analysis (inkl. Mengen, Folgen/Reihen, Differenzial- und Integralrechnung, Kurzdarstellung Python), Lineare Algebra (Gauß-Verfahren, Vektoralgebra) und Stochastik (Kombinatorik, Wahrscheinlichkeiten, Wahrscheinlichkeitsregeln).
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formulas/Vorgehen laut O1-mini.md
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formulas/Vorgehen laut O1-mini.md
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formulas/Vorgehen laut O1.md
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formulas/Vorgehen laut O1.md
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**Woche 1**
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1. **Mengenlehre und Zahlenmengen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Mengenschreibweise (z.B. {1,2,3}\{1,2,3\})
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- Teilmengen (A⊆BA \subseteq B), Vereinigung (A∪BA \cup B), Schnittmenge (A∩BA \cap B), Komplement
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- Zahlenmengen (N,Z,Q,R\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}) mit Beispielen:
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- N={1,2,3,… }\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, Z={…,−2,−1,0,1,2,… }\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}
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- Intervalle (z.B. [a,b][a,b], (−∞,5)(-\infty,5))
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- **Übung**:
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1. Zeichne ein Venn-Diagramm für drei Mengen A,B,CA, B, C mit mindestens zwei Überschneidungen. Bestimme A∪BA \cup B, A∩CA \cap C, (A∪B)c(A \cup B)^c.
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2. Benenne jeweils Beispiele für N,Z,Q\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} und R\mathbb{R}. Welche Zahlen sind rational, welche irrational?
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst selbstständig Venn-Diagramme zeichnen und alle Mengenoperationen durchführen. Du kennst die Eigenschaften der Zahlenmengen und kannst jede Zahl einer Menge korrekt zuordnen.
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2. **Zahlenoperationen und algebraische Gesetze**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Brüche (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division)
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- Potenzen (mit natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Exponenten)
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- Logarithmen (Log-Gesetze: log(ab)=log(a)+log(b)\log(ab)=\log(a)+\log(b), log(ak)=klog(a)\log(a^k)=k\log(a))
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- Binomische Formeln (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a−b)2(a-b)^2 etc.
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- Lineare und quadratische Gleichungen (Formeln wie Mitternachtsformel)
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- **Übung**:
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1. Rechne (34)2\left(\frac{3}{4}\right)^2 und 2⋅8\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}.
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2. Logarithmus-Beispiel: log2(16)\log_2(16), log3(81)\log_3(81), ln(e3)\ln(e^3).
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3. Löse: x+3=10x + 3 = 10 und x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6=0.
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- **Verstanden, wenn**: Du kommst schnell von einer allgemeinen Logarithmus- oder Potenzaufgabe zur richtigen Lösung und kannst lineare/quadratische Gleichungen sicher lösen.
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3. **Numerik und Computer-Algebra-Systeme (CAS)**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Numerische vs. symbolische Berechnung
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- Python/Numpy: numerische Summen, Produktberechnungen, Approximieren von Wurzeln usw.
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- Python/Sympy: Terme vereinfachen, faktorisieren, Gleichungen symbolisch lösen
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- **Übung** (kleine Beispiele):
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1. Nutze Sympy, um x2+2x+1x^2+2x+1 zu faktorisieren (sollte (x+1)2(x+1)^2 ergeben).
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2. Nutze Numpy, um eine Liste von Zahlen [1,2,3][1,2,3] zu addieren oder eine Summe ∑k=1nk\sum_{k=1}^{n} k zu berechnen.
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- **Verstanden, wenn**: Du hast kleine Skripte geschrieben, mit denen du Terme vereinfacht und Gleichungen gelöst hast, ohne dich zu verzetteln.
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**Woche 2**
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1. **Funktionen und Abbildungen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Definition: f:D→Wf: D \rightarrow W, mit DD = Definitionsmenge, WW = Wertebereich
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- Injektiv (f(x1)=f(x2) ⟹ x1=x2f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2), Surjektiv (jedes Element der Zielmenge hat ein Urbild)
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- **Übung**:
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1. Definiere f(x)=x2f(x)=x^2 mit D=RD=\mathbb{R}. Ist ff injektiv? Ist es surjektiv auf R\mathbb{R}? Auf R≥0\mathbb{R}_{\ge 0}?
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- **Verstanden, wenn**: Du erkennst rasch, ob eine Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist, und kannst Argumente/Bilder benennen.
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2. **Winkelmaße und Kreisberechnungen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Gradmaß vs. Bogenmaß (z.B. 180∘=π180^\circ = \pi Bogenmaß)
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- Bogenlänge s=r⋅φs = r \cdot \varphi (wenn φ\varphi im Bogenmaß)
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- **Übung**:
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1. Wandle 30∘30^\circ in Bogenmaß um (π6\frac{\pi}{6}).
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2. Bei Radius r=5r=5 cm und Winkel 60∘60^\circ: Bogenlänge s=?s=?
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- **Verstanden, wenn**: Du rechnest Grad in Bogenmaß sicher um und verwendest korrekt s=rφs=r\varphi.
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3. **Kombinatorik und Binomialkoeffizienten**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- n!n!, (nk)\binom{n}{k}, Permutation, Kombination
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- **Übung**:
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1. (52)\binom{5}{2} berechnen (=10=10).
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2. Wie viele Möglichkeiten, 4 Bücher in ein Regal zu stellen (Permutation)?
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst die passende Formel direkt auswählen und sicher rechnen, ohne zu raten.
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**Woche 3**
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1. **Zahlenfolgen und Grenzwerte**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Beispiele arithmetische Folge (an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d), geometrische Folge (an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1})
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- Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz (z.B. 1n→0\frac{1}{n}\rightarrow 0)
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- **Übung**:
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1. Bestimme die ersten fünf Glieder von an=2⋅3n−1a_n=2\cdot3^{n-1}. Ist sie wachsend oder fallend?
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2. Zeige, dass an=1na_n=\frac{1}{n} gegen 0 konvergiert.
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst klar angeben, ob eine Folge konvergiert oder divergiert und den Grenzwert berechnen.
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2. **Lineare Gleichungssysteme und Matrixverfahren**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Gauß-Verfahren, Stufenform, Pivotelement, Lösungsmenge
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- **Übung**:
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1. Löse das System: {x+2y=52x+3y=8\begin{cases} x + 2y = 5\\ 2x + 3y = 8 \end{cases}
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2. Bringe ein 3x3-System in Stufenform und gib die Lösung an.
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- **Verstanden, wenn**: Du arbeitest dich strukturiert durchs Gauß-Schema und erkennst schnell, ob eine eindeutige Lösung existiert.
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3. **Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen und Variationen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Variation (Reihenfolge relevant, z.B. Sitzordnung), Kombination (Reihenfolge egal)
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- **Übung**:
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1. Wieviele 5-stellige Codes kann man aus Ziffern 0–9 bilden (Variation mit Wiederholung)?
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2. Wieviele 2er-Teams lassen sich aus 6 Personen bilden (Kombination ohne Wiederholung)?
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- **Verstanden, wenn**: Du ordnest jede typische Kombinatorik-Aufgabe zügig dem richtigen Modell zu.
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**Woche 4**
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1. **Summen und Reihen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Summenzeichen (∑\sum), geometrische Reihe (Sn=a⋅1−qn1−qS_n = a\cdot\frac{1-q^n}{1-q})
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- Konvergenz einer unendlichen geometrischen Reihe (∣q∣<1|q|<1)
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- **Übung**:
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1. Bestimme ∑k=14(2k)\sum_{k=1}^{4} (2k).
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2. Zeige, dass ∑k=0∞(12)k=2\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = 2.
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- **Verstanden, wenn**: Du baust Summen selbstständig auf und erkennst sofort, wann eine geometrische Reihe konvergiert.
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2. **Lineare Gleichungssysteme: Rang, Defekt und Parameter**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Rang = Anzahl linear unabhängiger Zeilen, Defekt = Dimension des Lösungsraums
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- **Übung**:
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1. Gib für das System {x+y+z=22x+2y+2z=4x−y+0z=1\begin{cases} x + y + z = 2\\ 2x + 2y + 2z = 4\\ x - y + 0z = 1 \end{cases} Rang, Defekt und die Lösungsmenge an.
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- **Verstanden, wenn**: Du erkennst sofort mehrfach gleiche Zeilen (linear abhängig) und kannst Parameter benennen.
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3. **Kombinatorik und spezielle Werteberechnung**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Wiederholung der Fakulät, Binomialkoeffizienten, Permutationen, Kombinationen etc.
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- **Übung**:
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1. Vergleiche (53)\binom{5}{3} mit (52)\binom{5}{2}.
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- **Verstanden, wenn**: Du wählst korrekt zwischen Permutation, Kombination und Variation in jeder Aufgabenstellung.
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**Woche 5**
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1. **Funktionen und ihre Eigenschaften**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Potenzfunktion (xnx^n), Exponentialfunktion (exe^x), Logarithmusfunktion (lnx\ln x), hyperbolische Funktionen (sinhx,coshx\sinh x, \cosh x)
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- **Übung**:
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1. Skizziere f(x)=exf(x)=e^x. Berechne f(0)f(0), f′(0)f'(0).
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2. Skizziere g(x)=ln(x)g(x)=\ln(x). Was passiert für x→0+x \rightarrow 0^+?
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst die Grundformen zeichnen und weißt, wie sie sich für große ∣x∣|x| verhalten.
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2. **Trigonometrische und Arcuswerte**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Sin, Cos, Tan, Arcsin, Arccos, Arctan
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- **Übung**:
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1. sin(π6)\sin(\frac{\pi}{6}), cos(π3)\cos(\frac{\pi}{3}), tan(π4)\tan(\frac{\pi}{4}).
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2. Löse sin(x)=12\sin(x)=\frac{1}{2}.
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- **Verstanden, wenn**: Du kennst Standardwerte (30°, 45°, 60°) und kannst Umkehrfunktionen sicher verwenden.
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3. **Wahrscheinlichkeit und Ereignisse**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Laplace-Experiment, Ereignisverknüpfungen (und, oder, Komplement), De-Morgan’sche Regeln
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- **Übung**:
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1. Beim Würfeln: Ereignis A={Wurf gerade}A=\{\text{Wurf gerade}\}, B={Wurf ≤3}B=\{\text{Wurf }\le 3\}. Bestimme A∩BA\cap B und A∪BA\cup B.
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- **Verstanden, wenn**: Du arbeitest sicher mit Ereignissen und Verknüpfungen, egal ob im Würfelexperiment oder allgemeinen Fällen.
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**Woche 6**
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1. **Funktionen: Parität, Lineare und Exponentialfunktionen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Gerade Funktion (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)), ungerade Funktion (f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x))
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- Lineare Funktion (f(x)=mx+bf(x)=mx+b) aus Punkt+Steigung bestimmen
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- **Übung**:
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1. Teste, ob f(x)=x2f(x)=x^2 gerade/ungerade ist.
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2. Bestimme die lineare Funktion, die durch (1,2)(1,2) mit Steigung 3 verläuft.
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- **Verstanden, wenn**: Du erkennst Symmetrien und schreibst sofort den korrekten Funktionsterm.
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2. **Trigonometrische Funktionen und Theoreme**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Additionstheorem: sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)
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- Lösung trigonometrischer Gleichungen
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- **Übung**:
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1. Zeige sin(π/3+π/6)\sin(\pi/3 + \pi/6) mithilfe des Additionstheorems.
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2. Löse sin(x)=2/2\sin(x)=\sqrt{2}/2.
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- **Verstanden, wenn**: Du setzt die Additionstheoreme automatisch ein und findest die allgemeinen Lösungen.
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3. **Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kolmogorov-Axiome**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Kolmogorov-Axiome, Unabhängigkeit
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- **Übung**:
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1. Zeige, dass P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
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2. Prüfe in einem Beispiel, ob zwei Ereignisse unabhängig sind.
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst alle Wahrscheinlichkeitsformeln ohne Zögern herleiten/anwenden.
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**Woche 7**
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1. **Differenzialrechnung: Ableitung und Aufleitung**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Differenzquotient f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
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- Ableitung einfacher Monome (ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=n x^{n-1})
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- Aufleitung = „Umgekehrte Ableitung“
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- **Übung**:
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1. ddx(x3)\frac{d}{dx} (x^3) berechnen.
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2. ∫x2 dx\int x^2 \, dx.
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- **Verstanden, wenn**: Du weißt, dass die Ableitung die Steigung ist und du einfache Polynomfunktionen ab- und aufleiten kannst.
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2. **Vektoren und Vektorrechnung**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Definition eines Vektors in Rn\mathbb{R}^n, Betrag, Linearkombination
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- **Übung**:
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1. (2,1)+(1,4)=(3,5)(2,1)+(1,4)=(3,5), (2,1)−(1,4)=(1,−3)(2,1)-(1,4)=(1,-3).
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2. λ(2,1)\lambda(2,1) + μ(0,3)\mu(0,3) = beliebiger Vektor in der Ebene.
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- **Verstanden, wenn**: Du addierst, subtrahierst und skalierst Vektoren flüssig und erkennst geometrische Zusammenhänge.
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3. **Ableitung mit Differenzquotient**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Definition limh→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
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- **Übung**:
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1. Zeige direkt via Grenzwert, dass ddxx2=2x\frac{d}{dx} x^2 = 2x.
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst den Grenzwert sicher ausrechnen und weißt, wieso das die Steigung ist.
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**Woche 8**
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1. **Differenzialrechnung: Erweiterte Ableitungsregeln**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Produktregel: (fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'
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- Kettenregel: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)
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- Quotientenregel
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- **Übung**:
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1. Leite f(x)=x2⋅exf(x)=x^2 \cdot e^x ab.
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2. Leite g(x)=sinxxg(x)=\frac{\sin x}{x} ab.
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- **Verstanden, wenn**: Du sicher bist im Jonglieren mit Produkt-, Ketten- und Quotientenregel.
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2. **Vektorrechnung und Skalarprodukt**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- (a⃗,b⃗)=∥a⃗∥∥b⃗∥cos(α)(\vec{a},\vec{b})=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos(\alpha)
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- Winkel- und Längenberechnung
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- **Übung**:
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1. Berechne das Skalarprodukt von a⃗=(1,2)\vec{a}=(1,2) und b⃗=(2,1)\vec{b}=(2,1).
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2. Finde den Winkel zwischen a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b}.
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- **Verstanden, wenn**: Du zückst sofort α=arccos(a⃗⋅b⃗∥a⃗∥∥b⃗∥)\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\right) und bekommst den richtigen Wert.
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3. **Wahrscheinlichkeitsrechnung und bedingte Wahrscheinlichkeit**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
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- Satz von Bayes
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- **Übung**:
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1. In einer Urne sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Was ist P(rot∣erste Kugel war rot)P(\text{rot}|\text{erste Kugel war rot})?
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2. Typische Diagnosefragen (falsch-positiv, falsch-negativ) mit Bayes-Satz durchrechnen.
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst Aufgaben zu (Un)abhängigkeit lösen und Bayes-Satz korrekt anwenden.
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**Woche 9**
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1. **Exponential- und Logarithmusfunktionen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Eulersche Zahl ee, natürliche Exponentialfunktion exe^x, natürlicher Logarithmus lnx\ln x
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- Ableitungen: ddxex=ex\frac{d}{dx}e^x=e^x, ddxln(x)=1x\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}
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- **Übung**:
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1. ∫ex dx=ex+C\int e^x \,dx = e^x + C.
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2. Leite f(x)=e2xf(x)=e^{2x} mithilfe der Kettenregel ab.
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- **Verstanden, wenn**: Du arbeitest mit ln\ln und exe^x (inkl. Ableitungen) absolut sicher.
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2. **Vektor- und Spatprodukt**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Kreuzprodukt a⃗×b⃗\vec{a}\times \vec{b}: Betrag = Fläche des Parallelogramms
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- Spatprodukt (a⃗×b⃗)⋅c⃗(\vec{a}\times \vec{b})\cdot\vec{c}: Volumen
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- **Übung**:
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1. Berechne (1,0,0)×(0,1,0)(1,0,0)\times(0,1,0).
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2. Finde das Volumen des Spats aufgespannt von a⃗=(1,2,3)\vec{a}=(1,2,3), b⃗=(0,1,1)\vec{b}=(0,1,1), c⃗=(2,0,1)\vec{c}=(2,0,1).
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst Flächen/Volumen in 3D-Aufgaben schnell bestimmen.
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3. **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Zufallsvariable XX, Wahrscheinlichkeitsfunktion pX(k)=P(X=k)p_X(k)=P(X=k)
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- Verteilungsfunktion FX(k)=P(X≤k)F_X(k)=P(X\le k)
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- **Übung**:
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1. Ein Würfel: XX=Augenzahl, erstelle ein Stabdiagramm für pXp_X.
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst Wahrscheinlichkeitsfunktionen definieren und interpretieren.
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**Woche 10**
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1. **Ableitungen spezieller Funktionen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- ddxsinx=cosx\frac{d}{dx}\sin x=\cos x, ddxcosx=−sinx\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x, ddxtanx=sec2x\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x
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- Hyperbolische: ddxsinhx=coshx\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x usw.
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- **Übung**:
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1. Leite f(x)=sin(3x)f(x)=\sin(3x) ab (Kettenregel).
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2. Leite g(x)=sinh(2x)g(x)=\sinh(2x) ab.
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- **Verstanden, wenn**: Du kennst diese Standardableitungen auswendig und wendest sie gezielt an.
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2. **Geraden in 2D und 3D**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Parameterdarstellung r⃗=p⃗+td⃗\vec{r} = \vec{p} + t\vec{d}
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- Normalenvektor in 2D, Hessesche Normalform xcosα+ysinα−p1=0\frac{x\cos\alpha + y\sin\alpha - p}{1}=0
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- **Übung**:
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1. Finde die Parameterdarstellung einer Geraden durch Punkte P(1,2)P(1,2) und Q(2,5)Q(2,5).
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2. In 3D: Gerade durch P(0,1,2)P(0,1,2) mit Richtungsvektor d⃗=(1,0,3)\vec{d}=(1,0,3).
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- **Verstanden, wenn**: Du schreibst jede Gerade sofort in Parameterform und findest den Normalenvektor in 2D.
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3. **Vektorrechnung und Projektionen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Orthogonalprojektion einer Größe u⃗\vec{u} auf v⃗\vec{v}
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- **Übung**:
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1. Projektion von u⃗=(2,3)\vec{u}=(2,3) auf v⃗=(1,0)\vec{v}=(1,0).
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- **Verstanden, wenn**: Du beherrschst die Formel projv⃗(u⃗)=(u⃗⋅v⃗v⃗⋅v⃗)v⃗\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \left(\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}\right)\vec{v}.
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**Woche 11**
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1. **Integralrechnung**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Bestimmtes Integral ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx als Flächeninhalt
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- Grundaufgaben: ∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, ∫exdx=ex+C\int e^x dx=e^x + C
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- **Übung**:
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1. ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx.
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2. ∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x}\,dx.
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- **Verstanden, wenn**: Du setzt die Stammfunktionen korrekt ein und verstehst, warum das bestimmte Integral eine Fläche darstellt.
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2. **Geraden in 2D und 3D**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Normal- und Parameterform, Abstandsbestimmung Punkt-Gerade
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- **Übung**:
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1. Finde den Abstand des Punkts (3,4)(3,4) von der Geraden x+2y=5x+2y=5.
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2. In 3D: Prüfe, ob zwei Geraden parallel, windschief oder sich schneidend sind.
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- **Verstanden, wenn**: Du beherrschst die Abstandsformel und Lagebeziehungen in 3D.
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3. **Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Gleichverteilung, Bernoulli, Binomialverteilung (nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
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- **Übung**:
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1. Bernoulli-Experiment (Treffer/kein Treffer): P(X=1)=pP(X=1)=p.
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2. Binomialverteilung: n=5n=5, p=0.4p=0.4. Berechne P(X=2)P(X=2).
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst die passende Verteilung heraussuchen und berechnen.
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**Woche 12**
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1. **Extremstellen und Sattelpunkte von Funktionen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Kritische Stelle: f′(x0)=0f'(x_0)=0
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- 2. Ableitungstest: f′′(x0)>0f''(x_0)>0 (Tiefpunkt), <0<0 (Hochpunkt), =0=0 (möglicher Sattel)
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- **Übung**:
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1. Finde Extrema von f(x)=x3−3xf(x)=x^3 - 3x.
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- **Verstanden, wenn**: Du findest Hoch-, Tief- und Sattelpunkte inkl. Koordinaten korrekt.
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2. **Ebenen in 3D**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Parameterform (r⃗=p⃗+su⃗+tv⃗\vec{r}=\vec{p} + s\vec{u}+ t\vec{v})
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- Normalenform (n⃗⋅(r⃗−p⃗)=0\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{p})=0)
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- Abstand Punkt-Ebene
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- **Übung**:
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1. Ebene durch Punkte A,B,CA,B,C angeben.
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2. Abstand von P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0) zur Ebene berechnen.
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- **Verstanden, wenn**: Du schreibst direkt die Parameter-/Normalenform hin und rechnest den Abstand sauber aus.
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3. **Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Schnittpunkt berechnen (Gerade in die Ebenengleichung einsetzen)
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- Parallelität (Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor?)
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- Enthaltensein (alle Punkte der Geraden liegen in der Ebene?)
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- **Übung**:
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1. Zeige, dass die Gerade r⃗=(1,2,3)+t(1,1,1)\vec{r}=(1,2,3)+t(1,1,1) in der Ebene r⃗=(1,2,3)+s(1,0,1)+u(0,1,2)\vec{r}=(1,2,3)+s(1,0,1)+u(0,1,2) liegt.
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- **Verstanden, wenn**: Du unterscheidest rasch zwischen schneidend, parallel und enthalten.
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**Woche 13**
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1. **Krümmung und Wendepunkte**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Zweite Ableitung (f′′(x)f''(x)) und Vorzeichenwechsel -> Wendepunkt
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- **Übung**:
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1. Finde alle Wendepunkte bei f(x)=x3f(x)=x^3.
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- **Verstanden, wenn**: Du prüfst d2dx2\frac{d^2}{dx^2} sorgfältig und erkennst das Krümmungsverhalten.
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2. **Wendepunktbestimmung**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- d2dx2(x3)=6x\frac{d^2}{dx^2}(x^3)=6x, d3dx3(x3)=6\frac{d^3}{dx^3}(x^3)=6 (3. Ableitung zur Absicherung)
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- **Übung**:
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1. Bei f(x)=x4f(x)=x^4: Zeige, warum x=0x=0 zwar d2dx2=0\frac{d^2}{dx^2}=0 ergibt, aber kein Wendepunkt ist.
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- **Verstanden, wenn**: Du kennst den Unterschied: d2dx2=0\frac{d^2}{dx^2}=0 ist nur ein **Kandidat** und kein sicherer Wendepunkt ohne Vorzeichenwechsel.
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3. **Kurvendiskussion und praktische Anwendungen**
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- **Wichtigste Konzepte**:
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- Kompletter Ablauf: Definitionsbereich, Grenzwerte, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Graphzeichnung
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- **Übung**:
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1. Vollständige Kurvendiskussion von f(x)=x2−1x+1f(x)=\frac{x^2 - 1}{x+1}. Bestimme Polstellen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte.
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- **Verstanden, wenn**: Du kannst eine Kurvendiskussion in einem Rutsch durchziehen und deine Ergebnisse grafisch/argumentativ stützen.
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### **So gehst du vor**
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1. **Inhalt sichten**: Lies kurz die wichtigsten Konzepte der Woche.
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2. **Minibeispiele rechnen**: Pro Punkt 1–2 kleine Aufgaben wie oben, direkt auf Papier/CAS.
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3. **Check**: Vergleiche mit den „Verstanden, wenn“-Kriterien.
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4. **Vertiefen** (falls Lücken): Wiederhole Theorie, löse zusätzliche Übungsaufgaben.
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5. **Zusammenfassen**: Mach dir ein Kurzskript, wo du Formeln und Beispiele notierst.
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So lernst du die Themen am effizientesten durch.
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